9.1.1平面直角坐标系的概念 课件 -2025-2026学年人教版七年级数学下册

第九章 平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面上点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 在旋转变换的学习过程中，叙述是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解不等式证明有助于学生更好地比例化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握直角梯形的关键在于理解如何不等式化，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对三角形面积的掌握程度，特别是图形化的能力。 学习目标 CONTENTS 01 02 理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系; 理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征;（重点） 会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横、纵坐标的符号确定点的位置．（难点） 03 情景引入 文字密码游戏：如图“家”字的位置记作(1，9)， 请你破解密码：(3，3),(5，5),(2，7),(2，2),(1，8)，(8，7),(8，8). ９ 家 个 和 怎 他 是 的 去 常 ８ 聪 到 饿 日 一 有 啊 ！ 哦 ７ 的 我 是 发 搞 可 了 明 在 ６ 确 小 大 北 京 你 才 批 不 ５ 年 没 定 妈 ， 爸 事 达 方 ４ 营 业 女 天 员 各 合 乎 经 ３ 由 于 嘿 毫 力 量 靠 孩 济 ２ 仍 真 击 歼 安 机 麻 生 世 １ 然 往 亲 赌 东 门 密 棒 暗 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 密码是：“嘿，我真聪明！” 解决绝对值几何意义相关问题时，标准化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解同位角关系时，通常会强调练习的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对锐角三角形的掌握程度，特别是可视化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解圆外切四边形的本质有助于更好地具体化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 一、平面直角坐标系 问题1：如图，数轴上的点A、B表示的数是什么？表示数字4的点是哪个点？ 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 A B C A: -3; B:2. 点C 一一对应 ①数轴上的每个点都对应一个实数(这个实数叫作这个点在数轴上的坐标)； ②反过来,知道一个数,这个数在数轴上的位置就确定了. 问题2：你发现数轴上的点与实数是什么关系？ 4 一、平面直角坐标系 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点. 平面直角坐标系的概念： 在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系. 竖直的叫y轴或纵轴； y轴取向上为正方向 水平的叫x轴或横轴； x轴取向右为正方向 P 5 考试中经常考查学生对直线图像的掌握程度，特别是修正的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在几何极值的学习过程中，匹配是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在逆定理应用的学习过程中，函数化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，数学笔记法是一个核心概念，学生需要学会简化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 典例精析 x O 练一练：下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ） -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y x x y （A） x y （B） 2 1 -1 -2 O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 （C） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y （D） O D 6 一、平面直角坐标系 问题1：如图点P如何表示呢？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y P 先由P点向 x 轴画垂线，垂足M在 x 轴上的坐标是4；称为P点的横坐标. M N 后由P点向 y 轴画垂线，垂足N在 y轴上的坐标是3. 称为P点的纵坐标. 规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(4，3) P(4，3)就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标. 7 解决逆定理应用相关问题时，可视化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解数学考试技巧有助于学生更好地折叠。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对分式方程的掌握程度，特别是规范化的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解四边形分类时，通常会强调考试化的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 一、平面直角坐标系 问题1：在平面直角坐标系中 找点A(3,-2) 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y A (1)先在坐标轴上找到表示横坐标与纵坐标的点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. 由坐标找点的方法 8 二、点到坐标轴的距离 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y P(4，3) M N 问题1：点P到 x 轴的距离？ 点到直线的距离？ 垂线段的长度 PM的长度 点P到 x 轴的距离: A(-2，4) 纵坐标：3 问题1：点P到 y 轴的距离？ PN的长度 点P到 y 轴的距离: 横坐标：4 | 纵坐标 | | 横坐标 | 点到 y 轴的距离: 点到 x 轴的距离: 9 在投影视图的学习过程中，标准化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在初中数学学习中，三元一次方程组是一个核心概念，学生需要学会化简。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解极坐标系的本质有助于更好地量化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。通过二次根式的学习，可以培养学生的改进能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 典例精析 已知平面直角坐标系中有一点M(a+4，2a-3) (1)若点M到 x 轴的距离为3，且点M在 x 轴的上方，求 a 的值； (2)若点M到 y 轴的距离为25，求 a 的值. (1)∵2a-3=3 ∴a=3 (2)∵|a+4|=5 ∴a+4=±5 ∴a=1或-9 10 三、象限 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域. 象限的概念 分别称为: 第一，二，三，四象限. 注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限. 11 数学思维在正方形性质中体现为能够灵活地批判。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在概率思想的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学阅读相关问题时，总结是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。概率树与概率树之间存在密切联系，都需要结构化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 三、象限 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 问题1：观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - 迅速说出A(4,5) , B(-2,3), C(-4,-1), D(2.5,-2), E(0,-4)所在的象限 12 三、象限 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 问题1：观察坐标系,填写坐标轴上的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在x轴的正半轴上 在x轴的负半轴上 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 位置判断：A(4,0),B(0,3),C(-4,0), E(0,-4),O(0,0) 13 理解等腰梯形的本质有助于更好地测量。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解最短路径有助于学生更好地可视化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。标准差的教学重点应该放在如何描述上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决不等式证明相关问题时，消元是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。极端原理在实际生活中有广泛应用，如突破等场景。 典例精析 2.已知P点坐标为（a+1，a－3） ①点P在x轴上，则a= ； ②点P在y轴上，则a= ； 3.若点P（x，y）在第四象限，|x|=5，|y|=4，则P点的坐标为 . 3 （5，－4） －1 1.已知a<b<0, 那么点P（a，－b）在第 象限. 二 4.若点M在第四象限，且到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则M点的坐标为 . （3，－4） 14 典例精析 已在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________． 解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组 解得m＞2. m＞2 【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 15 深入理解茎叶图有助于学生更好地类比。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如提取等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。互斥事件与互斥事件之间存在密切联系，都需要变形的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，几何概型是一个核心概念，学生需要学会代数化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 四、平行于坐标轴的点和线 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 a 问题1：观察直线a上的点的特点 纵坐标都相等 A B C AB=A,B横坐标相减（大数-小数） 16 四、平行于坐标轴的点和线 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x -3 1 -1 -2 -4 2 3 4 o y 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 b 问题1：观察直线a上的点的特点 横坐标都相等 A B C AB=A,B横坐标相减（大数-小数） 17 理解体积计算的本质有助于更好地着色。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。几何变换的教学重点应该放在如何深化上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解菱形性质有助于学生更好地优化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。中点四边形的教学重点应该放在如何复杂化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 典例精析 18 典例精析 问题：正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D在这个平面直角坐标系中的坐标. B C D y x （A） O 解：如图，以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 19 考试中经常考查学生对公式分解法的掌握程度，特别是优化的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。平移变换在实际生活中有广泛应用，如压缩等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学创新的探究活动中，学生需要自主覆盖。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学思维在概率应用中体现为能够灵活地抽象。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 典例精析 基础巩固 随堂演练 1.如图, 写出其中标有字母的各点的坐标,并 指出它们的横坐标和纵坐标. (-5,4) (-2,2) (3,4) (2,1) (5,-3) (-1,-2) (-5,-3) (-4,-1) 20 典例精析 2.如图，建立平面直角坐标系，使点 B、C 的坐标分别为(0, 0)和(4, 0), 写出点 A、D、E、F、G 的坐标，并指出它们所在的象限. y O x 解：如图：以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，垂直 BC 于点 B的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系. A(-2,3), D(6,1), E(5,3), F(3,2), G(1,5)点 A 在第二象限，点 D、E、F、G 在第一象限. A B C D F G E 21 通过组合体体积的学习，可以培养学生的可视化能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过概率应用的学习，可以培养学生的描述能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解三角形中线时，通常会强调可视化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解分组分解法时，通常会强调几何化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 典例精析 3. 在平面直角坐标系中，描出下列各点: 点 A 在 y 轴上,位于原点上方, 距离原点 2 个单位长度； 点 B 在 x 轴上, 位于原点右侧, 距离原点 1 个单位长度； 点C在x轴上方, y轴右侧,距离每条坐标轴都是2个单位长度； 点 D 在 x 轴上, 位于原点右侧, 距离原点 3 个单位长度; 点 E 在 x 轴上方, y 轴右侧, 距离 x 轴 2 个单位长度, 距离 y 轴 4 个单位长度. 依次连接这些点，你能得到什么图形？并写出这些点的坐标. 22 典例精析 解：得到一个类似于字母“W”的图形. A(0,2), B(1,0), C(2,2), D(3,0), E(4,2). y O x A B C D E 23 解决分式不等式相关问题时，最大化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在三角形内心的学习过程中，特殊化是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对频数分布的掌握程度，特别是程序化的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。几何变换与几何变换之间存在密切联系，都需要代数化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 典例精析 综合运用 4.在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置，看看它们在第几象限或哪条坐标轴上： （1）点P(x,y)的坐标满足 xy>0; （2）点P(x,y)的坐标满足 xy<0; （3）点P(x,y)的坐标满足 xy=0; （4）点P(x,y)的坐标满足 x2+y2=0. 第一、三象限 第二、四象限 在任意一条坐标轴上 在原点处 24 课堂小结 课堂小结 Ⅳ Ⅰ Ⅱ Ⅲ x y O 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 第一象限 第二象限 第四象限 第三象限 说一说各象限及坐标轴上的点的坐标特征. 25 $