广东湛江市第二十一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性考试数学试题

**基本信息** 湛江市高二下学期4月数学阶段性考试，覆盖数列、导数、立体几何等核心模块，解答题注重逻辑推理与综合应用，体现数学思维与表达能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列计算、排列组合应用、导数极值判断|基础巩固，考查抽象能力与运算能力| |多选题|3/18|数列递推与求和、导数图像分析|能力提升，培养批判性思维与推理意识| |填空题|3/15|二项式系数、等比数列求和|聚焦核心技能，强化符号意识| |解答题|5/77|数列证明与求和、立体几何面面垂直及线面角、抛物线综合、函数与数列综合证明、导数切线与单调性及不等式证明|创新应用，突出逻辑推理与数学表达，贴合高考命题趋势|

湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期4月高二阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单选题（本大题共8道小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知为等比数列，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 2．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．16 D．14 3．若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 4．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 5．若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C．-4 D．-3 6．记为等差数列的前项和.若，，则（    ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 7．函数在上的最大值为4，则的值为（    ） A．7 B． C．3 D．4 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列满足，，数列的前项和，则（   ） A．是常数列 B． C． D．恒成立 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A． 是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，的系数是______． 13．设等比数列的前项和为，若，则公比______. 14.已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线相交于、两点. ①求弦长； ②求证：. 18．（17分）已知函数，记，且，． (1)求，； (2)设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：. 19．（17分）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期4月高二阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分：150分，命题人：唐斌球 一、单选题（本大题共8道小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知为等比数列，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．17 2．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．16 D．14 3．若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 4．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 5．若函数的图象在点处的切线方程是，则（    ） A． B． C．-4 D．-3 6．记为等差数列的前项和.若，，则（    ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 7．函数在上的最大值为4，则的值为（    ） A．7 B． C．3 D．4 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列满足，，数列的前项和，则（   ） A．是常数列 B． C． D．恒成立 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A． 是导函数的极小值点 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值点 三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，的系数是______． 13．设等比数列的前项和为，若，则公比______. 14.已知函数，若关于的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线相交于、两点. ①求弦长； ②求证：. 18．（17分）已知函数，记，且，． (1)求，； (2)设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：. 19．（17分）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 湛江市第二十一中学2025-2026学年度第二学期4月高二阶段性数学考试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A D A D C AC BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 2．C 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 3．B 【分析】求出原函数的导函数，由题意得，求出的值并验证即可得解． 【详解】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 4．A 【详解】要求老师不能分开（即相邻），先把2位老师捆绑看作1个整体，两位老师内部不同顺序属于不同排法，内部排列数为 种； 将老师的整体与3名学生进行全排列，全排列数为种； 根据分步乘法计数原理，则不同的排法为 种. 5．D 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故选：D 6．A 【分析】方法一：由等差数列的性质得：，，成等差数列，则，求解即可. 方法二：利用等差数列前项和公式，列出方程，求解即可. 【详解】方法一：因为为等差数列的前项和，则，，也成等差数列， 所以，即，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，则. 7．D 【分析】本题先求导函数，并运用导函数判断原函数的单调性，最后求函数的最大值并令其等于4，建立方程求参数即可. 【详解】解：∵，∴ ∴ 导数在时，，单调递减； 导数在时，，单调递增； ∵ ，， ∴在处取得最大值为，即， 故选：D. 8．C 【分析】观察值之间的关系，可作差构造函数，通过求导分析函数单调性，确定大小关系. 【详解】设（）， 则，在上单调递增， 所以， 当时，，取，得，即； 设（）， 则，在上单调递减， 所以， 所以当时，， 取，得，即. 故. 9．AC 【详解】因为，所以. 所以是一个常数列，故A正确；故B错； ,，故C正确； 因为，所以恒成立，故D错. 10．BCD 【分析】应用赋值法判断A，C，D选项，根据二项式展开式的通项公式判断B选项. 【详解】令，可得，故A错误； 而其展开式的通项公式为， 令，解得，所以,故B正确； 令，可得， 令，可得， 两式相加可得，故C正确； 两式相减可得，故D正确； 11．【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项. 【详解】根据导函数的图象可知：的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值；的两侧的小区域内，左增右减， 所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知B错误，ACD正确. 12． 【详解】由题意展开式通项公式为， 时，系数为． 13．2 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的定义运算求解即可. 【详解】因为，所以， 显然，则，即，解得. 14． 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，.................3 又，所以，，.................5 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列．，.................7 （2）由（1）得，即，，.................10 设数列的前项和为， 所以．，.................13 16．．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）底面为矩形， 所以，，.................2 又因为平面，平面，所以，，.................4 又平面， 所以平面，又平面，，.................6 可知平面平面；，.................7 （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：，.................8 易知，，.................9 则，，.................11 设平面的法向量为， 则，令，可得，，.................12 可得，.................13 所以，.................14； 因此直线与平面所成角的正弦值为.，.................15 17．（1）；（2）①; ②见解析. 【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程； （2）①联立方程，利用弦长公式，结合韦达定理求得弦长；②利用向量的数量积为零求证垂直关系. 【详解】（1）,化为标准形式：，，.................2 ，右顶点A,，.................4 设抛物线的方程为,焦点坐标为,，.................5 由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以,，.................6 抛物线的方程；，.................7 （2）,消去得,，.................8 设,则，................9 ,，.................11 ，.................12 ①.，.................13 ②,，.................14 .，.................15 18．(1)， (2)（ⅰ）证明见解析；；（ⅱ）证明见解析； 【分析】（1）求出导数，利用递推关系可得答案； （2）（ⅰ）求出的递推关系，利用等差数列的定义可证明等差数列，利用错位相减法可求和； （ⅱ）利用进行放缩，结合等比数列求和公式可证结论. 【详解】（1）因为，所以，，.................2 .，.................4 （2）（ⅰ）因为，所以，，.................5 又，所以，；，.................7 由（1）可知，，所以，，，.................8 ，所以是以为首项和公差的等差数列，，.................10 ，所以.，.................11 ,, 两式相减可得，.................12 , .，.................13 （ⅱ），，，.................14 所以，.................15 ，.................16 因为，所以.，.................17 19．(1) (2)在区间上为增函数，在区间上为减函数 (3)证明见解析 【分析】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【详解】（1），所以切点，.................1 由得，，，.................3 所以切线方程为：，即：，.................5 （2）的定义域为．，.................6 由得，，，.................7 当时，；当时；当时，．，.................8 故在区间内为增函数，在区间内为减函数，，.................9 （3）变形为，所以．，.................10 令．则上式变为，，.................11 于是命题转换为证明：．，.................12 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证．，.................13 要证：．，.................14 令，， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即．，.................15 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令，，.................16 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知．，.................17 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $