精品解析：河南省郑州市桐柏一中2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025~2026学年下学期期中学业水平测试 七年级数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分100分． 2．考试时间：90分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 郑州某人工智能研发中心成功研制出一款语音识别芯片．该芯片中一个关键晶体管的栅极宽度约为米．将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将一张长方形纸片折叠，如果，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列判断正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. “”是不可能事件 C. “两直线平行，同旁内角互补”是随机事件 D. “日出东方”是必然事件 8. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 眼睛是心灵的窗户，为保护视力，小艺同学购买了一盏护眼灯，其侧面可以抽象成如图2的数学模型（台灯底座高度忽略不计），其中，，小艺使用时发现，当时，这台灯光线最佳．此时的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，且，则的值为（ ） A. 5 B. 15 C. 3 D. 10 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一个角的余角是，则这个角的度数是________． 12. 数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是________． 现象：测量跳远成绩 13. 如图，在中，，，，则________． 14. 若，，则________． 15. 如图所示，是直角三角形，，，点是边上的中点，是射线的动点，将沿翻折，得到（点不与点重合），连接，当是直角三角形时，________． 三、解答题：本题共7小题，共55分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．小明和小颖拿这个骰子玩游戏； （1）若随机将这枚骰子掷出后，数字“6”朝上的概率为_______； （2）小明和小颖约定，掷出的数字是奇数时，小明胜；掷出的数字是偶数时，小颖胜；请你通过计算判断此游戏规则公平吗？ 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 作图并回答问题： （1）如图所示，已知点在直线外，请用尺规作直线，使，经过点，且； （2）在（1）中，你作平行线的数学依据是 ． 20. 如图，，试说明． 请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由： 证明：∵（已知）， ∴_____________（ ） ∵（已知）， ∴_____________（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 21. 【公式探究】 （1）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 （2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 （3）使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 22. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A． B． C． D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 （3）如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 （4）如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年下学期期中学业水平测试 七年级数学试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分100分． 2．考试时间：90分钟． 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：. 2. 如图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据对顶角相等可得． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 4. 郑州某人工智能研发中心成功研制出一款语音识别芯片．该芯片中一个关键晶体管的栅极宽度约为米．将该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求满足，的值等于原数小数点移动的位数．原数为，是绝对值小于的正数将原数的小数点向右移动位可得，满足，所以． 【详解】解：． 5. 如图，在和中，点A、E、B、D在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【详解】解：∵， ∴， A、∵，，，∴，∴，该选项不符合题意； B、∵，，，∴，该选项不符合题意； C、，，不能判断，该选项符合题意； D、∵，，，∴，该选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，将一张长方形纸片折叠，如果，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，由平行线的性质得，进而可求出，然后再根据平行线的性质即可求出． 【详解】由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 7. 下列判断正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. “”是不可能事件 C. “两直线平行，同旁内角互补”是随机事件 D. “日出东方”是必然事件 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，“清明时节雨纷纷”可能发生也可能不发生，∴A是随机事件，A错误； 对于选项B，当都为负数时，成立，当都为正数时，不成立，故事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，B错误； 对于选项C，“两直线平行，同旁内角互补”是一定成立的几何定理，∴是必然事件，C错误； 对于选项D，“日出东方”是确定的自然规律，一定会发生，∴是必然事件，D正确. 8. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得，由对顶角相等可得，最后再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， 由对顶角相等可得， ∴． 9. 眼睛是心灵的窗户，为保护视力，小艺同学购买了一盏护眼灯，其侧面可以抽象成如图2的数学模型（台灯底座高度忽略不计），其中，，小艺使用时发现，当时，这台灯光线最佳．此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，利用平行线的性质求得，计算得到，推出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 已知，，，且，则的值为（ ） A. 5 B. 15 C. 3 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用积的乘方、幂的乘方法则对已知条件变形，对比同底数幂的指数即可得到的值． 【详解】解：，，， ， 又， 将代入得 ， ， ， ． 第Ⅱ卷（非选择题，共70分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若一个角的余角是，则这个角的度数是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，这个角的度数为. 12. 数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是________． 现象：测量跳远成绩 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据生活现象：测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短． 13. 如图，在中，，，，则________． 【答案】##99度 【解析】 【分析】先证明，再结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， 即．， 14. 若，，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用完全平方和公式变形，将已知条件代入计算即可求出的值. 【详解】解：∵， 又，， ， ∴， ∴. 15. 如图所示，是直角三角形，，，点是边上的中点，是射线的动点，将沿翻折，得到（点不与点重合），连接，当是直角三角形时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当点在线段上，且时，如图： 则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，且时，如图：则，作， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 三、解答题：本题共7小题，共55分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．小明和小颖拿这个骰子玩游戏； （1）若随机将这枚骰子掷出后，数字“6”朝上的概率为_______； （2）小明和小颖约定，掷出的数字是奇数时，小明胜；掷出的数字是偶数时，小颖胜；请你通过计算判断此游戏规则公平吗？ 【答案】（1）； （2）此游戏规则不公平； 【解析】 【分析】（1）根据题意得到“6”朝上的面数，利用“6”朝上的面数除以总面数即可得到答案； （2）把所有奇数的面数加起来，再求出偶数的面数，分别求出概率比较即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， 数字“6”朝上的面数为：（面）， ∴数字“6”朝上的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得， 数字是奇数的面有：（面），数字是偶数的面有：（面）， ∴，， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【点睛】本题主要考查概率知识，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式. 19. 作图并回答问题： （1）如图所示，已知点在直线外，请用尺规作直线，使，经过点，且； （2）在（1）中，你作平行线的数学依据是 ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2）同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）根据题意，在点作直线，即可作答． （2）结合（1）的作图过程，作，得出，即作平行线的数学依据是同位角相等，两直线平行，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，同位角相等，两直线平行． 20. 如图，，试说明． 请补全推理过程，并在括号内填上相应的理由： 证明：∵（已知）， ∴_____________（ ） ∵（已知）， ∴_____________（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用平行线的性质可得，然后利用同角的补角相等可得，从而可得，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 21. 【公式探究】 （1）如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 （2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 （3）使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】（1） （2）①8；② （3） 【解析】 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 22. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 （1）如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A． B． C． D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 （2）如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 （3）如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 （4）如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1）C （2） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； （3） ，且， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用判定三角形全等； （2）先利用等边三角形的边、角性质证得 ，再通过角的等量代换结合三角形内角和求出； （3）由角的和差得夹角相等证得 ，再通过角的转化证明两线夹角为，得出 ； （4）利用“同角的余角相等”推出，再代入的内角和定理得到三个角的数量关系． 【小问1详解】 解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是手拉手模型的经典呈现，核心是共顶点等腰三角形通过证全等，得对应边相等且夹角等于原顶角，拓展题则巧用同角的余角相等结合三角形内角和完成角的转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $