23.4实际问题与一次函数 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本同步练习针对“实际问题与一次函数”分两课时设计，采用“基础提优-综合应用-创新拓展”三层递进结构，覆盖分段问题与方案问题，通过实际情境强化知识应用与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提优|分段函数图象识别、解析式求解、简单方案计算|以选择、填空为主，聚焦单一知识点，如日薪计算、水费阶梯收费| |综合应用|函数与几何结合、多过程情境分析|结合实验（浮力）、生长问题，需分析分段函数关系，提升推理能力| |创新拓展|实际问题建模与优化|如校园拥堵预警、物流方案比较，培养应用意识与创新思维|

23.4实际问题与一次函数 第1课时分段问题 基础提优题目 1.小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学，该厂的日薪计算方式：一天内组装玩具不超过 80个时，固定工资120元，组装超过 80个玩具时，除了固定工资120元，超过的部分，每个再另给2元.下列能表示该厂日薪y(元)与一天内组装的玩具数量x(个)之间的函数图象大致是 ( ) 2.如图①，某容器由 A，B两个长方体组成，其底面积分别为25 cm²,5 cm²,容器 B的容积是整个容器容积的 (容器各面厚度忽略不计)，现以速度v(cm³/s)均匀地向容器注水，直至注满为止.图②是注水全过程中容器的水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的函数图象.下列判断中正确的是( ) A.注满整个容器至少需要20 s B.容器 B 的容积为 40 cm³ C.容器 B 的高度是容器A 的高度的3倍 D.注水速度 v为20 cm³/s 3.[2025 黄冈模拟] DeepSeek 训练 AI模型时,记录GPU的温度y(℃)与运行时间x(h)的关系如图所示,当运行到第 10 h时,GPU 的温度是 . 4.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费实行阶梯收费.居民每月应交水费y(单位：元)与用水量x(单位：t)之间的函数关系如图所示. (1)求居民每月应交水费y(单位：元)关于用水量x(单位：t)的函数解析式. (2)某户居民5月份共交水费65元，则该户居民5月份共用水多少吨? 综合应用题 5.如图①，在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数 F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图②(温馨提示：当石块位于水面上方时， 当石块入水后， G重力—F浮力)，则以下说法正确的是 ( ) A.当石块下降3c m时，石块在水里 B.当6≤x≤10时,F拉力(N)与x(cm)之间的函数解析式为 C.当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离水底 cm D.当石块下降的高度为 10 cm时，石块所受浮力是1 N 6.某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y(cm)与观察时间x(天)之间的关系如图所示(AC是线段，射线CD平行于x轴).现有下列结论：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②线段AC的函数解析式为 ③观察第40 天时，该植物的高度为14 cm；④该植物最高为16 cm.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家 0.6km，公园离家1.8k m.小华从家出发，先匀速步行了 6 min到书店,在书店停留了 12 min,之后匀速步行了 12 min到公园,在公园停留 25 min后,再用 15 min匀速跑步返回家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表: 小华离开家的时间/min I 6 18 50. 小华离家的距离/km 0.6 ②小华从公园返回家的速度为 km/min； ③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式. (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为 y₁，小华的妈妈离家的距离为 y₂，当y₁<y₂ 时，求x的取值范围(直接写出结果即可). 创新拓展题 8.5 月 12 日是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素.通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 y₁(人)与时间 x(min)满足关系: 八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y₂(人)与时间x(min)满足如图的关系.已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人就会发生拥堵. (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y₂(人)与时间x(min)之间的函数解析式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵? (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5 min放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效. 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 方案问题 基础提优题目 1.如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象.则下列说法错误的是 ( ) A.当买2件产品时，甲、乙两家的销售价一样 B.当买1件产品时，买乙家的合算 C.当买3件产品时，买甲家的合算 D.甲家的1件产品的销售价约为2.5元 2.[2025沧州期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B两种品牌的共享电动车，图象反映了收费y(元)与骑行时间x(min)之间的关系，其中 A 品牌共享电动车的收费方式对应 y₁，B品牌共享电动车的收费方式对应 y₂，当x= 时，两种品牌共享电动车收费相差4元. 3.某校积极筹备“阳光体育”活动，决定购买一批篮球和足球共30个.在某体育用品店，每个篮球80元，每个足球60元，在该校购买期间，足球打八折促销.设该校要购买m(0<m<30)个篮球，购买篮球和足球的总费用为ω元. (1)ω与m之间的函数解析式为 ； (2)若该校要求购买篮球的个数不得少于足球的2倍，则当学校购买 个篮球时总费用最少，ω的最小值为 . 4.母题教材P132探究1某游泳池普通票价30元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价500元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价200元/张，每次凭卡另收15元. 暑假普通票正常销售，两种优惠卡仅限暑假使用，每人一次一张票. (1)分别写出选择普通票、银卡消费时，所需费用y₁，y₂与次数x之间的函数解析式. (2)小明打算暑假游泳30次，则选择哪种消费方式更合算?说明理由. 综合应用题 5.已知某租车公司有 A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按0.5元/km收费；B方案直接按1元/km收费.已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是( ) A.600 km B.700 km C.800 km D.900 km 6.某电信运营商推出甲、乙、丙三种移动电话套餐的月收费金额 y甲(元)，yz(元)，y丙(元)与月通话时间x(min)之间的对应关系如图所示，下列结论正确的有 .(填序号) ①若月通话时间不足 200 min，则选择套餐甲最划算； ②对于套餐乙，若月通话时间在 600 min 以内，则月收费金额为30元； ③当月通话时间恰好为 400 min 时，套餐甲和套餐乙的收费金额相同； ④对于套餐乙，若月通话时间超出 600 min，则超出的时间每分钟收费0.15元. 7.某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1 950元，销售8台A型和10台 B型空调的利润为2300元. (1)求每台A 型空调和 B 型空调的销售利润. (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共 99 台，其中 B 型空调的进货量不超过 A 型空调的2倍，设购进A型空调x台，这99台空调的销售总利润为 y元，则该商店购进 A 型、B型空调各多少台时销售总利润最大?最大利润为多少元? (3)实际进货时，厂家对 A 型空调出厂价下调 m(50<m<90)元，且限定商店最多可购进A 型空调66台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这99台空调销售总利润最大的进货方案. 创新拓展题 8.[2025濮阳二模]某物流A公司规定：基础运费覆盖0—300 km,超出 300 km的部分按每千米单价收费.已知两次运输记录如下： 运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离 320 km，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离 460 km，总运费1 260元 (1)求该物流A公司的基础运费和超程单价(超过300 km后每千米运费). (2)某物流 B公司报价如下： 为吸引长途客户，推出分段优惠：0—500 km，统一价1200元;超500 km后,每千米加收2.5元. ①分别写出两家公司总运费ωA(元)和 ωB(元)关于运输距离d(km)(d>300)的函数解析式. ②一客户运送货物的距离为 d km(d>300),该客户选择哪家物流公司更合算?请直接写出你的结论. 23.4实际问题与一次函数 第1课时 分段问题 1. C 2. D 3.45℃ 【点拨】设函数的解析式为 y= kx+b(0≤x≤20),由图象过点(0,25),(20,65),得 解得 ∴函数的解析式为 y=2x+25(0≤x≤20).当x=10 时,y=2×10+25=45,即此时 GPU 的温度是45℃. 4.【解】(1)当0≤x≤10时,设y关于x的函数解析式为y= kx,∴25=10k,解得k=2.5, 当x>10时,设y关于x的函数解析式为y= ax+b,则 解得 综上所述,y关于 x 的函数解析式为 y = (2)∵65>25, ∴将y=65代入y=4x-15,解得x=20. ∴该户居民5月份共用水20 t. 5. C 6. C【点拨】设 AC所在直线的函数解析式为y=kx+b(k≠0). ∵ 直线经过点 A (0, 6), B (30, 12), 解得 ∴线段AC的函数解析式为 故②正确.当x=40时,y= 故③正确.当x=50时, 6=16,即C(50,16).∵射线 CD 平行于x轴,∴D(60,16)，∴从开始观察起，50天后该植物停止长高，最高为16cm，故①错误，④正确.综上所述，正确的有②③④，共3个. 7.【解】(1)①0.1;0.6;1.8 ②0.12 (2)12<x<24. 【点拨】如图所示,y₂ 为小华的妈妈离家的距离与时间之间的对应关系的图象，根据题意可知，小华妈妈的速度为0.05 km/min，所以其函数解析式为y₂=0.05x,当y₁=y₂时,令0.05x=0.6,解得x=12,经验证6<12<18,符合题意;令0.05x=0.1x-1.2,解得x=24,经验证18<24<30,符合题意;结合图象,可知当y₁<y₂时,12<x<24. 8.【解】(1)当0≤x≤5时,设函数解析式为 y₂= kx,将(5,40)代人,得40=5k,解得k=8,∴y₂=8x;当5<x≤15时,设函数解析式为y₂= ax+b,则 解得 综上， (2)设楼梯口的总人数为 y人，当0≤x≤5时,y=10x+8x=18x,令y>70,则18x>70,解得 答： min后楼梯口开始拥堵. (3)由题意得 即 即 画出图象如图， 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵，这一举措有效。 第2课时方案问题 1. D 2.5或40 【点拨】设 由图象可得 8=20k₂,解得 ①当0≤x≤10时,6-0.4x=4,解得x=5;②当10<x≤20时,0,2x+4-0.4x=4,解得x=0,不符合题意,舍去;③当x>20时,0.4x-(0.2x+4)=4,解得x=40.综上可知,当x=5或40时,两种品牌共享电动车收费相差4元. 3.(1)w=32m+1440 (2)20;2080 【点拨】(1)根据题意可得 w=80m+0.8×60(30-m)=80m+48(30-m)=80m+1440-48m=32m+1440,即w与m之间的函数解析式为 w=32m+1440. (2)由题意得 m≥2(30-m),解得 m≥20.对于 w=32m+1440,∵k=32>0,∴w随着m的增大而增大.∴当m=20时,w有最小值,此时w=32×20+1440=2080,即当学校购买 20 个篮球时总费用最少，w的最小值为2 080. 4.【解】(1)普通票所需费用y₁ 与次数x之间的函数解析式为 银卡所需费用 y₂ 与次数x之间的函数解析式为 15x+200. (2)选择金卡更合算.理由如下： 当x=30时,y₁=30×30=900, y₂=15×30+200=650. ∵900>650>500,∴选择金卡更合算. 5. C【点拨】设小明的行驶里程是 xkm，需要花费y元， A方案:y=0.5x+500;B方案:y=x.若选择A方案,则0.5x+500=800,解得x=600;若选择 B方案,则x=800.∵600<800,∴选择 B方案是最优租车方案,行驶里程为800 km. 6.①②④ 【点拨】∵当x<200时,y甲值最小,∴选择套餐甲最划算.故①正确.∵当x<600时, yz=30.故②正确.∵当x=400时,y甲=60, yz=30,∴套餐甲和套餐乙的收费金额不相同,故③错误.∵当x=600时, yz=30;当x=800 时, (元/ min),∴对于套餐乙，若月通话时间超出600分钟，则超出的时间每分钟收费0.15元.故④正确. 7.【解】(1)设每台 A 型空调的销售利润是 n元，每台 B型空调的销售利润是t元， 根据题意，得 答：每台 A 型空调的销售利润是 100 元，每台 B 型空调的销售利润是150元. (2)由题意,得y=100x+150(99-x)=-50x+14850. ∵99-x≤2x,∴x≥33. ∵-50<0,∴y随x的增大而减小, ∴当x=33时,ymx=-50×33+14 850=13 200,99-x=66. 答：该商店购进33台 A 型空调和66台 B 型空调时销售总利润最大，最大利润为13 200元. (3)由题意,得y=(100+m)x+150(99-x)=(m-50)x+14 850. ∵当50<m<90时,m-50>0,∴y随x的增大而增大. ∵33≤x≤66,∴当x=66 时,y取得最大值,99-x=33. ∴商店购进66台 A 型空调和33 台 B 型空调的销售总利润最大. 8.【解】(1)设该物流A公司的基础运费为a元，超程单价(超过300 km后每千米运费)为b元. 由题意得 解得 答：该物流A公司的基础运费为780元，超程单价(超过300 km后每千米运费)为3元. (2)①A公司:当d>300时, 120,∴wA=3d-120(d>300). B公司:当300<d≤500时, 当d>500时,ωB=1200+2.5(d-500)=2.5d-50, ②当300<d<440时,选择物流A公司合算;当d=440时，选择两家公司一样合算；当d>440时，选择物流B公司合算. 【点拨】①当 300<d≤500 时,令 得 3d-120=1200,解得d=440. ∴当300<d<440时,ωA<ωB,选择物流A公司合算;当d=440时,ωA=ωB,两家公司一样合算; 当440<d≤500时,ωA>ωB,选择物流 B公司合算. ②当d>500时,令 ,得3d-120=2.5d-50,解得d=140(舍去) ∴当 d>500时,选择物流 B公司合算. $