专题09 圆柱和圆锥的体积（容积）（期末专项训练）数学青岛版（五四制）五年级下册

专题09 圆柱和圆锥的体积（容积） （9种类型45道） 目录 题型一、圆柱的体积 1 题型二、圆柱的容积 3 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 3 题型四、圆柱与圆锥体积的关系 4 题型五、圆锥的体积（容积） 5 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 6 题型七、立体图形的切拼（圆锥） 8 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 8 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 10 题型一、圆柱的体积 1．求出圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 2．求下面图形的体积。（单位：cm） 3．一个圆柱形容器的底面半径是1分米，高是2分米，里面盛满水。把水全部倒入一个棱长是2分米的正方体容器中，水深多少分米？ 4．用四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，表面积减少了300平方厘米，拼成的大圆柱的长是12厘米，求一个小圆柱体的体积是多少立方厘米？ 5．已知一个内直径是8cm的饮料瓶内还剩饮料的高度是6cm，要解决“这个瓶子的容积是多少”这个问题，可以怎么解决？把你想到的办法表达清楚。 题型二、圆柱的容积 6．一个圆柱形油桶，从里面量底面半径是20cm，高是60cm，这个油桶( )装80L油。（填“能”或“不能”） 7．如图是一个拧紧瓶盖的瓶子，里面装了一些水，瓶中水的体积占瓶子容积的( )。 8．一只水杯，从里面量底面直径是6厘米，高是10厘米，一瓶1.8升的果汁大约可以倒满________杯。 9．一个圆柱形蓄水池，从里面量底面直径为20米，深2米，在它的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是( )平方米。蓄水池水深1.5米，一共有( )立方米的水。 10．一个圆柱形的杯子，高是10cm，底面直径是8cm。丽丽想把一袋498mL的牛奶倒入杯子里面喝掉。这个杯子能装下这包牛奶吗？ 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 11．把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 12．一个圆柱的底面直径是8cm，高是10cm，把它平均分成若干等份，拼成近似的长方体，表面积增加了( )cm2。 13．把一个底面直径是8cm、高是20cm的圆柱按如图所示的方式分成若干等份，拼成一个近似的长方体，拼成的近似长方体的一个底面的面积是( )cm2，表面积比圆柱大( )cm2，圆柱的体积是( )cm3。 14．将两个底面半径之比是3∶2，高都是5厘米的圆柱底面圆心相对叠放在一起，表面积减少了25.12平方厘米。叠放后的立体图形体积是多少立方厘米？ 15．把一个圆柱沿底面直径切成形状、大小完全相同的两部分，切面是一个长8厘米、宽6厘米的长方形（如图）。原来这个圆柱的表面积是多少？ 题型四、圆柱与圆锥体积的关系 16．把一段体积是120立方厘米的圆柱形木块削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 17．等底等高的圆柱圆锥体积差是90cm3，那么圆柱的体积是( )cm3，则圆锥的体积是 ( )cm3。 18．一个圆柱的体积是132立方厘米，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 19．一个底面积是6平方厘米，高为5厘米的圆锥体积是________立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是________立方厘米。 20．将一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削掉部分的体积是3.6立方米。原来圆柱的体积是________立方米，削成的圆锥的体积是________立方米。 题型五、圆锥的体积（容积） 21．计算如图圆锥的体积。 22．看图按要求列式计算。（单位：厘米） （1）求环形的面积。 （2）求圆锥的体积。 23．一个圆锥形状的小麦堆，底面周长是3.14米，高是2米，每立方米小麦大约重750千克。这堆小麦大约重多少千克？（得数保留整数） 24．妈妈计划购买“五一”出游的帐篷，圆锥形帐篷的底面直径约6米、高约3.6米，帐篷的占地面积大约是多少平方米？内部空间大约是多少立方米？ 25．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是6米，用这堆沙在15米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？ 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 26．把一个体积是94.2立方厘米的圆柱，熔铸成一个底面半径是3厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少？ 27．一个圆锥形沙堆，底面积是，高是。把这堆沙子铺在一个长方体沙坑里，沙坑的长是，宽是，铺好后沙子的厚度是多少米？（得数保留两位小数） 28．有一个装有水的底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内完全浸没着一个底面直径是6厘米的圆锥形铁块（如下图）。当把圆锥形铁块从水里取出后，水面高度下降了0.3厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（铁块带出的水忽略不计。） 29．学校运动会三级跳远所用的沙坑是一个长方体，长8米、宽2.5米、深75厘米，工人叔叔想将一个底面周长是18.84米、高1.5米的圆锥形沙堆均匀填在这个沙坑里，大约能填多少米厚？这些沙子能填满这个沙坑吗？（得数保留两位小数） 30．一个圆柱形容器的底面半径为6厘米，高为18厘米，该容器中盛有一些水，水深为10厘米。现在将一个底面半径为3厘米、高为6厘米的圆锥形铁块放入这个容器中，这时容器中的水深为多少厘米？ 题型七、立体图形的切拼（圆锥） 31．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6m，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成完全相同的两部分，表面积增加了( )。 32．把一个圆锥沿着高平均分成两部分，表面积增加60平方厘米。已知圆锥的高是10厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 33．一根圆柱形木料的高是6dm，底面直径也是6dm，将它放在地上滚动一周，压过的面积是( )dm2，把它平均锯成3个圆柱，表面积增加了( )dm2，把其中的一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 34．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成完全相同的两部分，表面积增加了( )cm2，制作这个陀螺需要( )cm3木料。 35．如图，一个圆锥形钢材高是6厘米，如果将这个钢材从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是36平方厘米。原来圆锥形钢材的体积是多少立方厘米？ 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 36．计算下面图形的体积。 37．计算下面圆柱形钢管的体积。（单位：cm） 38．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，打陀螺可以锻炼人体的协调性和腕部力量。下图是某公司设计的一款新型玩具陀螺，它的体积是多少？ 39．一个粮仓，上面是圆锥形，下面是和圆锥同底的圆柱，已知底面半径1米，圆柱高3米，圆锥高1.5米，每立方米粮食重200千克。这个粮仓共可以盛粮多少千克？ 40．木制陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，其形状和大小如图所示。 (1)制作这个陀螺至少需要木料多少立方厘米？ (2)手工社团课上，同学们想给这款陀螺做一个精美的长方体包装盒，那么这个长方体包装盒的容积至少是多少立方厘米？ 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 41．一个圆柱形水桶，从里面量底面直径20厘米，桶中水面高度30厘米。当把一个铁球全部沉入水中后，桶中水面高度变成35厘米。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 42．一个底面积为300平方厘米圆柱形的容器，容器中装有一些水，水面离容器口2厘米。一个高为10厘米的圆锥形的铁块浸没在水中后，容器中的水刚好到达容器口，没有溢出。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π值取3） 43．打铁是我国一门古老的传统锻造工艺，大致流程如下图。 崔铁匠锻打出一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块，将其浸没在一个底面积为314平方厘米的长方体容器里淬火，水面上升了1.5厘米，且水未溢出。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 44．一个内底面直径为18厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为9厘米，高6厘米的圆锥形金属块，当金属块取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 45．要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面直径是20厘米，高是30厘米。 (1)至少需要多少平方分米的钢化玻璃？ (2)给鱼缸里倒入15厘米高的水，小军把一块石头放入鱼缸并完全浸没，水面升高了5厘米，石头的体积是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆柱和圆锥的体积（容积） （9种类型45道） 目录 题型一、圆柱的体积 1 题型二、圆柱的容积 5 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 7 题型四、圆柱与圆锥体积的关系 11 题型五、圆锥的体积（容积） 13 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 17 题型七、立体图形的切拼（圆锥） 21 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 25 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 30 题型一、圆柱的体积 1．求出圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】2669cm2；6280cm3 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高；圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】3.14×（10÷2）2×2＋3.14×10×80 ＝3.14×52×2＋2512 ＝3.14×25×2＋2512 ＝157＋2512 ＝2669（cm2） 3.14×（10÷2）2×80 ＝3.14×52×80 ＝3.14×25×80 ＝6280（cm3） 圆柱的表面积和体积分别是2669cm2、6280cm3。 2．求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】12.56cm3 【分析】观察图形可知，该图形的体积等于底面直径为2cm，高为（3＋5）cm的圆柱的体积的一半，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝25.12÷2 ＝12.56（cm3） 3．一个圆柱形容器的底面半径是1分米，高是2分米，里面盛满水。把水全部倒入一个棱长是2分米的正方体容器中，水深多少分米？ 【答案】1.57分米 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，求出圆柱的体积，求出水的体积，水的体积不变；形状变为以正方体底面为底的长方体，根据高＝体积÷底面积，进而解答。 【详解】3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（立方分米） 6.28÷（2×2） ＝6.28÷4 ＝1.57（分米） 答：水深1.57分米。 4．用四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，表面积减少了300平方厘米，拼成的大圆柱的长是12厘米，求一个小圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【分析】四个完全相同的小圆柱体拼接成一个大圆柱体，拼接的次数是 4－1＝3 次，每拼接一次，表面积就会减少2个圆柱的底面积，那么拼接3次，表面积一共减少了2×3＝6个圆柱的底面积；已知表面积减少了300平方厘米，也就是6个小圆柱的底面积是300平方厘米，那么一个小圆柱的底面积为300÷6＝50平方厘米；已知拼成的大圆柱的长是12厘米，大圆柱的长是由4个小圆柱的高组成的，所以小圆柱的高为12÷4＝3厘米；最后根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出小圆柱的体积即可。 【详解】2×（4－1） ＝2×3 ＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 12÷4＝3（厘米） 50×3＝150（立方厘米） 答：一个小圆柱体的体积是150立方厘米。 5．已知一个内直径是8cm的饮料瓶内还剩饮料的高度是6cm，要解决“这个瓶子的容积是多少”这个问题，可以怎么解决？把你想到的办法表达清楚。 【答案】把瓶盖拧紧倒置放平，无饮料部分为圆柱体，根据瓶子的容积＝无饮料部分圆柱的体积+饮料部分圆柱体体积计算，其中需要测量的是无饮料部分圆柱的高度，底面直径已知，由圆柱体积＝底面积×高，即可求出瓶子的容积。 【分析】瓶子的容积＝无饮料部分圆柱的体积+饮料部分圆柱体体积，饮料部分是一个圆柱体，代入体积公式圆柱体积＝底面积×高即可，而无饮料部分形状不规则，将其倒置放平即可转化为规则的圆柱体体积求解即可。 【详解】把瓶盖拧紧倒置放平，无饮料部分为圆柱体，根据瓶子的容积＝无饮料部分圆柱的体积+饮料部分圆柱体体积计算，其中需要测量的是无饮料部分圆柱的高度，底面直径已知，由圆柱体积＝底面积×高，即可求出瓶子的容积。 【点睛】本题考查变换思维解题，将不规则的无饮料部分转化为圆柱体，再利用体积公式求解。 题型二、圆柱的容积 6．一个圆柱形油桶，从里面量底面半径是20cm，高是60cm，这个油桶( )装80L油。（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据求出油桶的容积，再将单位换算成升数，最后与80L比较即可。 【详解】3.14×202×60 ＝3.14×400×60 ＝1256×60 ＝75360（cm3） 75360cm3＝75.36L 75.36L＜80L，则这个油桶不能装80L油。 7．如图是一个拧紧瓶盖的瓶子，里面装了一些水，瓶中水的体积占瓶子容积的( )。 【答案】 【分析】因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒置时的空白部分的容积相等；倒放时空白部分高（3－2.4）分米，将正放与倒放的空白部分交换一下位置，可以看出瓶子的容积相当于高为（3－2.4＋2）分米的圆柱的体积，瓶中水的体积相当于高为2分米的圆柱的体积，因为它们的底面积相等，所以求瓶中水的体积占瓶子容积的几分之几，也就是求瓶中水的高度占瓶子高度的几分之几，用除法计算。 【详解】2÷（3－2.4＋2） ＝2÷2.6 ＝ 瓶中水的体积占瓶子容积的。 8．一只水杯，从里面量底面直径是6厘米，高是10厘米，一瓶1.8升的果汁大约可以倒满________杯。 【答案】6 【分析】水杯可看作一个圆柱，根据圆柱的容积公式：V＝，代入数据求出这个水杯的容积，再把果汁的体积换算成1800立方厘米，除以水杯的容积，即可求出能够倒满的杯数。 【详解】3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方厘米） 1.8升＝1800立方厘米 1800÷282.6≈6（杯） 即一瓶1.8升的果汁大约可以倒满6杯。 【点睛】此题主要考查圆柱的容积的计算方法、单位之间的换算以及商的近似数。 9．一个圆柱形蓄水池，从里面量底面直径为20米，深2米，在它的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是( )平方米。蓄水池水深1.5米，一共有( )立方米的水。 【答案】 439.6 471 【分析】根据题意可知，在圆柱形蓄水池的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积＝底面积＋侧面积；要求蓄水池里水的体积，可根据圆柱的体积（容积），用蓄水池的底面积×水的深度即可求出水的体积。 【详解】20÷2＝10（米） 3.14×102＋3.14×20×2 ＝3.14×100＋3.14×20×2 ＝314＋125.6 ＝439.6（平方米） 3.14×102×1.5 ＝3.14×100×1.5 ＝314×1.5 ＝471（立方米） 所以抹水泥的面积是439.6平方米；一共有471立方米的水。 【点睛】在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。 10．一个圆柱形的杯子，高是10cm，底面直径是8cm。丽丽想把一袋498mL的牛奶倒入杯子里面喝掉。这个杯子能装下这包牛奶吗？ 【答案】能 【分析】根据圆柱的容积＝底面积×高，求出圆柱形杯子的容积，然后与498mL进行对比即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） ＝502.4（mL） 502.4＞498 答：这个杯子能装下这包牛奶。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 11．把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】50.24 【分析】由题意可知：把正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），即可求出圆柱的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×4 ＝3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方厘米） 12．一个圆柱的底面直径是8cm，高是10cm，把它平均分成若干等份，拼成近似的长方体，表面积增加了( )cm2。 【答案】80 【分析】把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，其表面积增加了2个以高为长，底面半径为宽的长方形的面积。长方形的面积＝长宽，据此回答即可。 【详解】 13．把一个底面直径是8cm、高是20cm的圆柱按如图所示的方式分成若干等份，拼成一个近似的长方体，拼成的近似长方体的一个底面的面积是( )cm2，表面积比圆柱大( )cm2，圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 50.24 160 1004.8 【分析】把一个圆柱切开后拼成一个近似长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，根据圆的面积公式S＝πr2，求出底面积； 拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【详解】圆柱的底面半径：8÷2＝4（cm） 拼成的近似长方体的一个底面的面积是： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 表面积比圆柱大： 20×4×2 ＝80×2 ＝160（cm2） 圆柱的体积是： 50.24×20＝1004.8（cm3） 14．将两个底面半径之比是3∶2，高都是5厘米的圆柱底面圆心相对叠放在一起，表面积减少了25.12平方厘米。叠放后的立体图形体积是多少立方厘米？ 【答案】204.1立方厘米 【分析】将两个圆柱叠放在一起，减少的表面积等于2个较小圆柱的底面积。据此用减少的表面积除以2，求出较小圆柱的底面积；进而求出较小圆柱的底面半径；再根据半径之比，用较小圆柱的底面半径除以对应的2份，求出一份的量，再用一份量乘较大圆柱底面半径的份数，求出较大圆柱的底面半径。叠放后的立体图形体积等于两个圆柱体积之和。利用圆柱体积公式V＝πr2h 分别计算后相加即可。 【详解】较小圆柱的底面面积为：（平方厘米） 较小圆柱底面半径的平方为：（厘米） 因为4＝2×2，所以较小圆柱的底面半径为2厘米。 一份量：（厘米） 较大圆柱底面半径：（厘米） 体积之和为： （立方厘米） 答：叠放后的立体图形体积是204.1立方厘米。 15．把一个圆柱沿底面直径切成形状、大小完全相同的两部分，切面是一个长8厘米、宽6厘米的长方形（如图）。原来这个圆柱的表面积是多少？ 【答案】207.24平方厘米 【分析】圆柱沿底面直径切开，得到的切面长方形的一组邻边分别对应圆柱的底面直径和高。先根据切面的长和宽确定圆柱的底面直径和高，再依据圆柱表面积公式计算，圆柱的表面积＝2个底面积＋侧面积，其中底面积＝π×半径2，侧面积＝π×底面直径×高，代入对应数值即可求出圆柱的表面积。 【详解】圆柱的底面直径：6厘米 圆柱的高：8厘米 底面半径：6÷2＝3（厘米） 两个底面积之和： 3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（平方厘米） 侧面积： 3.14×6×8 ＝18.84×8 ＝150.72（平方厘米） 表面积：56.52＋150.72＝207.24（平方厘米） 答：原来这个圆柱的表面积是207.24平方厘米。 题型四、圆柱与圆锥体积的关系 16．把一段体积是120立方厘米的圆柱形木块削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】40 【分析】圆柱形木块削成一个体积最大的圆锥，圆柱与圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆柱体积÷3＝圆锥体积。 【详解】120÷3＝40（立方厘米） 17．等底等高的圆柱圆锥体积差是90cm3，那么圆柱的体积是( )cm3，则圆锥的体积是 ( )cm3。 【答案】 135 45 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为3份，它们相差（）份，用相差的体积除以相差的份数即可求出1份的体积即圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】 （） （） 圆柱的体积是135，则圆锥的体积是45。 18．一个圆柱的体积是132立方厘米，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】44 【分析】由题意可知，圆柱里面最大的圆锥与圆柱等底等高，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，据此解答。 【详解】132×＝44（立方厘米） 所以，这个圆锥的体积是44立方厘米。 19．一个底面积是6平方厘米，高为5厘米的圆锥体积是________立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是________立方厘米。 【答案】 10 30 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出圆锥体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，直接用圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。 【详解】6×5÷3＝10（立方厘米） 10×3＝30（立方厘米） 圆锥体积是10立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是30立方厘米。 20．将一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削掉部分的体积是3.6立方米。原来圆柱的体积是________立方米，削成的圆锥的体积是________立方米。 【答案】 5.4 1.8 【分析】根据题意，把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，那么圆锥和圆柱等底等高；根据圆柱的体积公式V＝Sh和圆锥的体积公式V＝可知，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”未知，用除法计算，用3.6除以（1－）即可求出圆柱的体积。再用圆柱的体积乘即可求出削成圆锥的体积。 【详解】3.6÷（1－） ＝3.6÷ ＝3.6× ＝5.4（立方米） 5.4×＝1.8（立方米） 即原来圆柱的体积是5.4立方米，削成的圆锥的体积是1.8立方米。 【点睛】掌握等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的关系是解题的关键。 题型五、圆锥的体积（容积） 21．计算如图圆锥的体积。 【答案】62.8cm3 【分析】先用底面直径除以2算出底面半径，再根据圆锥的体积计算即可。 【详解】4÷2＝2（cm） ×3.14×22×15 ＝×3.14×4×15 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（cm3） 22．看图按要求列式计算。（单位：厘米） （1）求环形的面积。 （2）求圆锥的体积。 【答案】（1）50.24平方厘米 （2）29.4375立方厘米 【分析】圆环的面积：S＝πR2－πr2；圆锥的体积：V＝πr2h。代入数据解答即可。 【详解】（1）3.14×52－3.14×32 ＝3.14×25－3.14×9 ＝78.5－28.26 ＝50.24（平方厘米） 环形的面积是50.24平方厘米。 （2）×3.14×（5÷2）2×4.5 ＝3.14×（×4.5×2.52） ＝3.14×（1.5×6.25） ＝3.14×9.375 ＝29.4375（立方厘米） 圆锥的体积是29.4375立方厘米。 23．一个圆锥形状的小麦堆，底面周长是3.14米，高是2米，每立方米小麦大约重750千克。这堆小麦大约重多少千克？（得数保留整数） 【答案】393千克 【分析】已知底面周长是3.14米，根据圆的周长公式“”求出底面半径，再根据圆锥的体积公式“”求出圆锥的体积，最后根据每立方米小麦的质量求出总质量；根据“四舍五入”将结果按要求保留整数。 【详解】3.14÷3.14÷2＝0.5（米） ×3.14×0.52×2×750 ＝×3.14×0.25×2×750 ≈393（千克） 答：这堆小麦大约重393千克。 24．妈妈计划购买“五一”出游的帐篷，圆锥形帐篷的底面直径约6米、高约3.6米，帐篷的占地面积大约是多少平方米？内部空间大约是多少立方米？ 【答案】28.26 平方米；33.912 立方米 【分析】帐篷的“占地面积”是指圆锥底面的面积，“内部空间”是指圆锥的体积。先用直径除以2求出底面半径，再圆的面积公式S＝πr2（π取3.14）求出底面积，最后根据圆锥的体积公式V＝Sh求出体积。 【详解】底面半径：6÷2＝3（米） 占地面积（底面积）：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 内部空间（体积）：×28.26×3.6 ＝9.42×3.6 ＝33.912（立方米） 答：帐篷的占地面积大约是28.26平方米，内部空间大约是33.912立方米。 25．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是6米，用这堆沙在15米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？ 【答案】18.84米 【分析】根据圆的周长公式，先求出圆锥形沙堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式求这个圆锥形沙堆的体积，铺在路上，体积不变，换算单位后，最后利用长方体的体积公式即可求出能铺路的长度。 【详解】18.84÷2÷3.14＝3（米） ＝ ＝ ＝56.52（立方米） 20厘米＝0.2米 56.52÷15÷0.2 ＝3.768÷0.2 ＝18.84（米） 答：能铺18.84米长。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用圆锥和长方体的体积公式解决问题。 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 26．把一个体积是94.2立方厘米的圆柱，熔铸成一个底面半径是3厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少？ 【答案】10厘米 【分析】此题关键是熔铸前后的体积不变，即圆柱的体积等于圆锥的体积，圆锥的体积是94.2立方厘米。圆锥的体积＝底面积×高×，所以圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积。圆锥的底面积是。 【详解】94.2×3÷（） ＝94.2×3÷（9×3.14） ＝94.2×3÷28.26 ＝282.6÷28.26 ＝10（厘米） 答：这个圆锥的高是10厘米。 27．一个圆锥形沙堆，底面积是，高是。把这堆沙子铺在一个长方体沙坑里，沙坑的长是，宽是，铺好后沙子的厚度是多少米？（得数保留两位小数） 【答案】1.05米 【分析】沙堆的形状由圆锥变为长方体，沙子的总体积不变。圆锥的体积公式求出沙堆的体积，然后根据长方体的体积公式，用体积除以长方体沙坑的底面积（长乘宽），即可求出沙子的厚度。注意结果需保留两位小数。 【详解】28.26×2×÷（6×3） ＝56.52×÷18 ＝18.84÷18 ≈1.05（米） 答：铺好后沙子的厚度约为 1.05 米。 28．有一个装有水的底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内完全浸没着一个底面直径是6厘米的圆锥形铁块（如下图）。当把圆锥形铁块从水里取出后，水面高度下降了0.3厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（铁块带出的水忽略不计。） 【答案】10厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁块完全浸没在水中，取出铁块后水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积。首先根据圆柱的体积公式V＝Sh，计算出取出铁块后水面下降部分水的体积，即圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算即可求出圆锥形铁块的高。 【详解】 （立方厘米） （厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是10厘米。 29．学校运动会三级跳远所用的沙坑是一个长方体，长8米、宽2.5米、深75厘米，工人叔叔想将一个底面周长是18.84米、高1.5米的圆锥形沙堆均匀填在这个沙坑里，大约能填多少米厚？这些沙子能填满这个沙坑吗？（得数保留两位小数） 【答案】0.71米；不能 【分析】先根据“1米＝100厘米”把75厘米转化为0.75米，再根据“”求出圆锥的底面半径，然后根据“”求出沙堆的体积，根据“”求出沙坑的底面积，最后根据“”求出圆锥形沙堆可以填沙坑的厚度，并和沙坑的深度相比较得出结论。 【详解】75厘米＝0.75米 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） ＝ ＝ ＝ ＝4.5×3.14 ＝14.13（立方米） 8×2.5＝20（平方米） 14.13÷20＝0.7065（米） 0.7065米≈0.71米 因为0.7065米＜0.75米，所以这些沙子不能填满这个沙坑。 答：大约能填0.71米厚，这些沙子不能填满这个沙坑。 30．一个圆柱形容器的底面半径为6厘米，高为18厘米，该容器中盛有一些水，水深为10厘米。现在将一个底面半径为3厘米、高为6厘米的圆锥形铁块放入这个容器中，这时容器中的水深为多少厘米？ 【答案】10.5厘米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，求出圆锥形铁块的体积；水面上升部分体积＝圆锥形铁块体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出水面上升的高度，再加上原来水的高度，再和圆柱形容器的高度比较，小于圆柱的高，水没有溢出；大于圆柱的高，水溢出，水深为圆柱形容器的高，即可解答。 【详解】3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（立方厘米） 56.52÷（3.14×62）＋10 ＝56.52÷（3.14×36）＋10 ＝56.52÷113.04＋10 ＝0.5＋10 ＝10.5（厘米） 因为10.5厘米＜18厘米，所以水未溢出。 答：这时容器中的水深为10.5厘米。 题型七、立体图形的切拼（圆锥） 31．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6m，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成完全相同的两部分，表面积增加了( )。 【答案】2400 【分析】圆锥沿底面直径切开后，表面积增加了2个完全相同的等腰三角形截面，三角形的底为圆锥底面直径，高为圆锥的高，先统一单位后根据三角形的面积公式计算出一个三角形的面积后再乘2即可得到增加的面积。 【详解】6m＝6×100＝600cm （） 2×1200＝2400（） 32．把一个圆锥沿着高平均分成两部分，表面积增加60平方厘米。已知圆锥的高是10厘米，那么圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 94.2 【分析】一个圆锥沿着高平均分成两部分，会增加两个完全相同的等腰三角形的面。等腰三角形的底相当于圆锥的底面直径，高相当于圆锥的高；已知表面积增加60平方厘米，那么一个等腰三角形的面积为（60÷2）平方厘米。 根据三角形面积计算公式面积＝×底×高的变形：底＝面积÷÷高求得的底，也就是圆锥的底面直径。 根据圆锥的体积计算公式代入数据计算即可。 【详解】60÷2＝30（平方厘米） 30÷÷10 ＝30×2÷10 ＝60÷10 ＝6（厘米） ＝94.2（立方厘米） 33．一根圆柱形木料的高是6dm，底面直径也是6dm，将它放在地上滚动一周，压过的面积是( )dm2，把它平均锯成3个圆柱，表面积增加了( )dm2，把其中的一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 113.04 113.04 18.84 【分析】（1）圆柱滚动一周，压过的面积等于圆柱的侧面积。 圆柱侧面积＝底面周长×高 底面周长＝圆周长＝πd （2）将圆柱平均锯成3个圆柱，需要锯（3－1）次，每锯1次增加2个底面面积，共增加底面数量＝（3－1）×2个。底面半径＝底面直径÷2，底面面积＝πr²，求出1个底面面积，再乘共增加的底面数量，即为所求。 （3）锯后每个圆柱的高是（6÷3）dm，把其中一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积＝底面积×高×。 【详解】根据分析可知： （1）3.14×6＝18.84（dm） 18.84×6＝113.04（dm²），压过的面积是113.04dm2 （2）3－1＝2（次） 共增加的底面数量：2×2＝4（个） 底面半径：6÷2＝3（dm） 1个底面面积：3.14×3² ＝3.14×9 ＝28.26（dm²） 增加的表面积：28.26×4＝113.04（dm²） 所以，表面积增加了113.04dm2。 （3）已知底面积是28.26dm²。 锯后每个圆柱的高：6÷3＝2（dm） 圆锥体积：28.26×2× ＝18.84（dm³） 圆锥的体积是18.84dm3。 34．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成完全相同的两部分，表面积增加了( )cm2，制作这个陀螺需要( )cm3木料。 【答案】 24 37.68 【分析】根据题意，沿底面直径把陀螺切成完全相同的两部分，则表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出制作这个陀螺需要木料的体积。 【详解】表面积增加了：6×4÷2×2＝24（cm2） 圆锥形陀螺的体积： ×3.14×（6÷2）2×4 ＝×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝37.68（cm3） 35．如图，一个圆锥形钢材高是6厘米，如果将这个钢材从顶点向下垂直切开，纵切面的面积是36平方厘米。原来圆锥形钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】226.08立方厘米 【分析】观察可知，纵切面是一个三角形的面积，这个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，根据的逆运算，可求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（厘米） （厘米） （立方厘米） 答：原来圆锥形钢材的体积是226.08立方厘米。 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 36．计算下面图形的体积。 【答案】329.7cm3 【分析】观察图形可知：圆柱和圆锥的底面积相等，圆柱的体积加上圆锥的体积即组合物体的体积。 根据圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h，圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h，代入数据求解即可。 【详解】底面半径：6÷2＝3（cm） 图形的体积：3.14×32×10＋×3.14×32×5 ＝3.14×9×10＋×3.14×9×5 ＝3.14×9×10＋3.14×（×9）×5 ＝3.14×9×10＋3.14×3×5 ＝3.14×（9×10＋3×5） ＝3.14×（90＋15） ＝3.14×105 ＝329.7（cm3） 37．计算下面圆柱形钢管的体积。（单位：cm） 【答案】 【分析】首先根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），求出钢管的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】 （cm3） 38．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，打陀螺可以锻炼人体的协调性和腕部力量。下图是某公司设计的一款新型玩具陀螺，它的体积是多少？ 【答案】5.652立方分米 【分析】“”“”陀螺的体积＝上面圆锥的体积＋中间圆柱的体积＋下面圆锥的体积。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1.8×3.14 ＝5.652（立方分米） 答：它的体积是5.652立方分米。 39．一个粮仓，上面是圆锥形，下面是和圆锥同底的圆柱，已知底面半径1米，圆柱高3米，圆锥高1.5米，每立方米粮食重200千克。这个粮仓共可以盛粮多少千克？ 【答案】2198千克 【分析】圆柱的体积＝（为底面半径，为圆柱的高）；圆锥的体积＝（为底面半径，为圆锥的高）；粮仓的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；粮仓可盛的粮食总重量＝每立方米粮食的重量×粮仓的体积。 【详解】 （千克） 答：这个粮仓共可以盛粮2198千克。 40．木制陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，其形状和大小如图所示。 (1)制作这个陀螺至少需要木料多少立方厘米？ (2)手工社团课上，同学们想给这款陀螺做一个精美的长方体包装盒，那么这个长方体包装盒的容积至少是多少立方厘米？ 【答案】(1)197.82立方厘米 (2)324立方厘米 【分析】（1）这个陀螺是由一个底面直径为6厘米，高为6厘米的圆柱和一个底面直径为6厘米，高为3厘米的圆锥组成的，求制作这个陀螺至少需要木料多少立方厘米，就是求陀螺的体积，用圆柱的体积＋圆锥的体积即可。先用直径÷2算出半径，再根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，分别计算出圆柱和圆锥的体积后再相加即可得解。 （2）要容纳陀螺，长方体的长、宽需至少等于陀螺的底面直径（6厘米），高需至少等于圆柱高＋圆锥高，即6＋3＝9（厘米）。根据长方体的容积＝长×宽×高，代入计算即可。 【详解】（1）6÷2＝3（厘米） 3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（立方厘米） 3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26（立方厘米） 169.56＋28.26＝197.82（立方厘米） 答：制作这个陀螺至少需要木料197.82立方厘米。 （2）6＋3＝9（厘米） 6×6×9＝324（立方厘米） 答：这个长方体包装盒的容积至少是324立方厘米。 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 41．一个圆柱形水桶，从里面量底面直径20厘米，桶中水面高度30厘米。当把一个铁球全部沉入水中后，桶中水面高度变成35厘米。这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】 1570立方厘米 【分析】铁球全部沉入水中，铁球的体积等于水面上升部分水的体积。先根据底面直径求出底面半径；再根据放入铁球前后水面的高度求出水面上升的高度；最后“圆柱的体积＝（表示底面半径，表示水面上升的高）”计算出上升部分水的体积，即为铁球的体积。 【详解】 (立方厘米) 答：这个铁球的体积是1570立方厘米。 42．一个底面积为300平方厘米圆柱形的容器，容器中装有一些水，水面离容器口2厘米。一个高为10厘米的圆锥形的铁块浸没在水中后，容器中的水刚好到达容器口，没有溢出。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π值取3） 【答案】180平方厘米 【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积关系及排水法求体积。根据题意，圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积即为圆锥形铁块的体积。首先利用圆柱形容器的底面积乘水面上升的高度，求出上升水的体积（即圆锥体积）。然后根据圆锥的体积公式，通过体积乘3再除以高，逆推求出圆锥的底面积。题目中给出的值在此计算过程中不需要使用，因为已知的是底面积而非半径。 【详解】因为圆锥形铁块浸没在水中，所以水面上升的体积等于圆锥形铁块的体积。 300×2×3÷10 ＝600×3÷10 ＝1800÷10 ＝180（平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是180平方厘米。 43．打铁是我国一门古老的传统锻造工艺，大致流程如下图。 崔铁匠锻打出一个底面半径为10厘米的圆锥形铁块，将其浸没在一个底面积为314平方厘米的长方体容器里淬火，水面上升了1.5厘米，且水未溢出。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】4.5厘米 【分析】根据题意得，上升部分水的体积等于圆锥形铁块的体积，上升部分的水是一个长方体，底面积是314平方厘米，上升高度是1.5厘米，长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式计算，求得圆锥形铁块的体积，圆锥的体积V＝，＝3V÷（），把数据代入公式计算即可。 【详解】314×1.5＝471（立方厘米）      471×3÷（3.14×102） ＝1413÷（3.14×100） ＝1413÷314 ＝4.5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是4.5厘米。 44．一个内底面直径为18厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水中浸没着一个底面直径为9厘米，高6厘米的圆锥形金属块，当金属块取出后，杯里的水面下降多少厘米？ 【答案】 0.5厘米 【分析】当金属块取出后，水面下降部分的体积等于圆锥形金属块的体积。用圆锥的底面直径除以2算出底面半径，再根据圆锥的体积公式求出金属块的体积，即为下降部分水的体积。用圆柱的底面直径除以2算出底面半径，再根据圆的面积公式求出圆柱的底面积，圆柱的体积＝底面积×高，用下降部分水的体积除以圆柱的底面积，即可求出水面下降的高度。 【详解】9÷2＝4.5（厘米） （立方厘米） 18÷2＝9（厘米） （厘米） 答：杯里的水面下降0.5厘米。 45．要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面直径是20厘米，高是30厘米。 (1)至少需要多少平方分米的钢化玻璃？ (2)给鱼缸里倒入15厘米高的水，小军把一块石头放入鱼缸并完全浸没，水面升高了5厘米，石头的体积是多少？ 【答案】(1)21.98平方分米 (2)1570立方厘米 【分析】（1）无盖圆柱形鱼缸的表面积＝底面积＋侧面积＝πr2＋πdh，先算出半径，代入数值计算，最后将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 （2）石头的体积等于上升部分水的体积，上升部分的水可看作底面与鱼缸底面相同、高为5厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式计算即可。 【详解】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102＋3.14×20×30 ＝3.14×100＋62.8×30 ＝314＋1884 ＝2198（平方厘米） 2198平方厘米＝21.98平方分米 答：至少需要21.98平方分米的钢化玻璃。 （2）3.14×102×5 ＝3.14×100×5 ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 答：石头的体积是1570立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $