精品解析：福建厦门市松柏中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

松柏中学2025—2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则=（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的定义判断. 【详解】的共轭复数是. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 3. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知. 4. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，，则或，A错误； 对于B，，则或，B错误； 对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误； 对于D，由线面平行的性质知，D正确. 故选：D 5. 的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用余弦定理得出边长，再应用同角三角函数关系得出正弦值，最后应用正弦定理得出外接圆直径即可. 【详解】设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为， 则由余弦定理得， ，． 由，得． ． 故选：B. 6. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的周长公式求底面半径，由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高. 【详解】由题设，底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 故选：B 7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选:D. 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角余弦值为 C. 与的夹角是锐角 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据向量共线的坐标表示即可判断；对B，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对C，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对D，根据向量的几何意义即可判断. 【详解】对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误； 对B，由题意知，所以，故B正确 对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误； 对D，向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于B，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可；对于D，分别求出将正方形沿着展在平面，及将沿着展开到与平面重合两种情况分别求解，即可比较大小. 【详解】对于A，由中位线可得，在正方体中，，所以， 所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故C正确； 对于D，记的中点为Q，如图所示， 若正方形沿着展在平面， 在直角中，可得， 若沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，综上，最短距离为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法计算得到结果. 【详解】依题意，， 所以. 13. 某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 【答案】20 【解析】 【分析】根据正弦定理计算求解. 【详解】如图； 由题意得：，，，则． 由正弦定理， 得，所以乙船的航行速度是． 故答案为：20. 14. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共小题，共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，是边的中线，求长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先结合正弦定理边化角，然后利用余弦定理解三角形即可； （2）法一：结合中线公式求出，然后借助平面向量的运算求出，进而求出的模长，即长度；法二：在中利用余弦定理求出，结合得到，然后在和结合余弦定理可得，解方程即可求出结果. 【详解】解：因为，即 即，所以，故 法一：中线公式：由，故 又，则 故，故 法二：，则，故， 又 即 17. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）证明：连接，交于，连接 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，内角对应的边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式、诱导公式求解； （2）由余弦定理求得，再用三角形面积公式计算； （3）利用诱导公式、两角和的正弦公式化简，再由锐角三角形确定角范围，然后由正弦函数性质得取值范围. 【小问1详解】 因为中，，由正弦定理得， 所以，即， 又，，则，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 解得（舍去）， 所以； 【小问3详解】 , ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）16 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 设的夹角为，由，可得，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则，， 设的夹角为，则， ， 所以， 又， 所以. 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松柏中学2025—2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则=（     ） A. B. C. D. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 3. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 12 D. 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角余弦值为 C. 与的夹角是锐角 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12. __________. 13. 某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 14. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 四、解答题：本题共小题，共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，是边的中线，求长度. 17. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 18. 在中，内角对应的边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $