20.1 第2课时 勾股定理的应用 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 第2课时 勾股定理的应用 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 勾股定理的简单实际应用 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 利用勾股定理解决几何问题 1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. 2. 能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 学习目标 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识回顾 勾股定理： 勾股定理的4种证明方法： 赵爽弦图 刘徽“青朱出入图” 加菲尔德总统拼图 毕达哥拉斯拼图 新课导入 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题. 波平如镜一湖面，3尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？ 新课讲解 知识点1 勾股定理的简单实际应用 问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？ 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题 新课讲解 例 1. 一个门框的尺寸如图所示. （1）一块长3m，宽1.5m的薄木板，能否从门框中通过？若能应该如何通过？ （2）一块长3m，宽2.2m的薄木板呢？ （3）一块长3m，宽2.7m的薄木板呢？ D A C B 1m 2m 如何判断呢？ 分析：可以看出，木板横着或者竖着都不能从门框内通过，只能尝试斜着能不能通过.门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度.求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过. 解：（1）在Rt△中，由勾股定理得，=5，解得 . 因为AC ＞1.5m，所以木板可以从门框中通过. 聪明的你，想到了吗？ （2）在Rt△中，由勾股定理得，=5，解得 . 因为AC ＞2.2m，所以木板可以从门框中通过. （3）在Rt△中，由勾股定理得，=5，解得 . 因为AC ＜2.7m，所以木板不可以从门框中通过. 新课讲解 例 2. 如图，一架长为 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7m.如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？ 解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C.可以看出，AC = OA - OC. 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理， OA² = AB² - OB² = 2.5² - 0.7² = 5.76， OA = 2.4. 在 Rt△COD 中，根据勾股定理， OC² = CD² - OD² = 2.5² - (0.7 + 0.8)² = 4， OC = 2. 所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4. 答：当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m. 新课讲解 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 一画：根据题意，画出相应图形； 二转：将问题和条件转化到直角三角形中； 三算：在直角三角形中利用勾股定理构建方程，进行计算. 归纳 新课讲解 练一练 1. 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 （米） ∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 新课讲解 练一练 2. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后他又将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子拉直后末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）. 解：如图，记旗杆顶端为点A，旗杆底端为点D，绳子末端为点C，过点C作CB⊥AD于点B. 设旗杆的高度为x m，则AC=AD=x m, AB=(x-2) m，BC=8 m. 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2, 即(x-2)2+82=x2，解得x=17. 答：旗杆的高度为17 m. 新课讲解 勾股定理应用的常见类型： 1. 已知直角三角形的任意两边长求第三边长； 2. 已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长； 3. 证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； 4. 求解几何体表面上的最短路程问题； 5. 构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题. 归纳 新课讲解 知识点2 利用勾股定理解决几何问题 例 A 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 3. 如图，在平面直角坐标系中有两点，求A，B两点间的距离. y O x 3 B C 解：如图，过点A作x轴的垂线，过点B作x， y轴的垂线.相交于点C，连接AB. ∴，， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴A，B两点间的距离为5. 两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点，，则 . 方法总结 新课讲解 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 已知：如图，在和中，，，． 求证：． A B C A B C′ ′ ′ 分析：根据勾股定理可以得出直角三角形的第三边也相等，然后利用“三边相等”来证明全等. 证明：在Rt△和Rt△中， ∠C=∠=90〫，根据勾股定理得， ∵=，=， ∴=. 所以△. 思考 新课讲解 例 4. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°, AB=3, BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上的点B'处，AE为折痕，则EB′=____. 解：在 Rt△ABC 中，AC = = 5. 由折叠的性质，得 AB' = AB，B'E = BE， ∠AB'E = ∠B = 90°. ∴ B'C = 5-3 = 2. 设 B'E = BE = x，则 CE = 4 - x. 在 Rt△B'CE 中，CE² = B'E² + B'C²， ∴ (4 - x)² = x² + 2²，解得 x = . 也可用面积法求解： ∵S△AEC = CE·AB = AC·EB， ∴ (4 - x) × 3 = 5x， 解得 x = . 新课讲解 归纳 折叠问题的求解技巧 1. 掌握折叠的本质：轴对称.由折叠前后的两个图形全等，得到对应边相等，对应角相等. 2. 折痕所在射线常作为角平分线使用. 3. 折叠后形成的新直角三角形的三边关系是利用勾股定理构建方程的关键. 新课讲解 练一练 1. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 8，正方形A，B，C 的面积分别是15，12，17，求正方形D 的面积. 解：根据勾股定理可知，S正方形A＋S正方形B＝S正方形P， S正方形C＋S正方形D＝S正方形Q，S正方形P＋S正方形Q＝S正方形M， ∴ S正方形A＋S正方形B＋S正方形C＋S正方形D＝S正方形M． ∵ S正方形M＝82＝64， ∴ S正方形A＋S正方形B＋S正方形C＋S正方形D＝64. 又∵正方形A，B，C的面积分别是15，12，17， ∴ S正方形D＝64－(15＋12＋17)＝20，即正方形D的面积为20． 新课讲解 练一练 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 求证：BP2＝BC2＋AP2. 证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB， ∴△BMP和△AMP均为直角三角形． ∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2. ∵∠C＝90°，∴BC2＋CM2＝BM2， ∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2. 又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2. ∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2. ∴BP2＝BC2＋AP2. 若所求线段不在直角三角形中，常作辅助线(如作三角形的高)构造直角三角形. 方法总结 课堂小结 勾股定理的实际应用 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 一画：根据题意，画出相应图形. 二转：将问题和条件转化到直角三角形中. 三算：在直角三角形中利用勾股定理构建方程，进行计算. 当堂小练 1.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题，大意是：如图，一根竹子原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地，抵地处离竹子底部的水平距离AC=2尺，已知AC⊥AB，问折断处离地面的高度AB是______尺． 4.8 解：由题意，知AB+BC=10尺，则BC=10-AB. ∵AC⊥AB，AC=2尺， ∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2=AB2+AC2， 即（10-AB）2=AB2+4， 解得AB=4.8. 当堂小练 A B C 2. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度： 位于地面上点A处的仪器先射向楼底端B，显示AB = 23.1m； 再射向楼顶端C，显示AC = 31.9m； 最后显示楼高BC = 22m. 你能说出其中的数学道理吗？ 解：能.道理如下： 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， BC² = AC² - AB² = 31.9² - 23.1² = 484. 所以 BC = 22 m. 当堂小练 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N. 求证：AN2－BN2＝AC2. 证明：∵ MN⊥AB， ∴∠MNA＝∠MNB＝90°， ∴在Rt△AMN中，AN2＋MN2＝AM2； 在Rt△BMN中，BN2＋MN2＝MB2. ∴AN2－BN2＝(AM2－MN2)－(MB2－MN2) ＝AM2－MB2. 在Rt△AMC中， ∵∠C＝90°， ∴ AM2－MC2＝AC2. 又∵AM是Rt △ABC的边BC上的中线， ∴ MC＝MB. ∴ AM2－MB2＝AC2. ∴ AN2－BN2＝AC2. 当堂小练 4. 如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离OB为1．5 m，梯子顶端到地面的距离AB为2 m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上，则梯子顶端到地面的距离CD为2．4 m，则小巷的宽度BD为(　　) A．0．7 m B．2．2 m C．2．5 m D．1．8 m B 当堂小练 5. 如图，一根木棍长18 cm，斜放在直径为5 cm的圆形水杯中，水杯的高AC为12 cm，则露出水杯外的部分AD的长至少为________cm． 5 当堂小练 6. 如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m，将它往前推送3 m(水平距离BC＝3 m)时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5 m，绳索始终拉得很直，则秋千的绳索AD的长为______m． 5 对接中考 1. 如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为________m． 2.4 对接中考 2. 如图①是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图②所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB＝BC＝CD＝60 cm，∠ABC＝∠BCD＝135，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门 与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM＝6°. (1) 在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为________，最大值为________； ②△CMN面积的变化情况是(　　) A．越来越大　 B．越来越小　 C．先增大后减小 0° 39° C 对接中考 (2) 当∠CMN＝30°时，求△CMN的面积． 解：如图，过点N作NG⊥BC，交BC的延长线于点G. 拓展与延伸 1. 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援．如图，云梯最多能伸长到25 m (即AB＝CD＝25 m)，消防车高4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m(即BE＝19 m)高的B处救人后，还要从24 m(即DE＝24 m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O，AO⊥DE，OE的长即为消防车的高) 拓展与延伸 2. 数学课上，老师提出如下问题：如图①是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，3，2．点A处有一只蚂蚁要沿着台阶爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长为______，就是最短路程． 25 (2)如图③是一个圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程为_____cm． 17 拓展与延伸 (3) 如图④是一个圆柱形玻璃杯，高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度忽略不计) 由题知MN＝BC＝60 cm. 当∠CMN＝30°时， NG＝MN＝30 cm，∴MG＝＝30 cm. ∵∠NCG＝180°－135°＝45°， ∴CG＝NG＝30 cm. ∴MC＝MG－CG＝(30－30) cm. ∴S△CMN＝CM·NG＝(30－30)×30＝(450－450)cm2. 解：在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝25 m，OB＝19－4＝15(m)， ∴AO＝＝＝20(m)． 在Rt△COD中，∵∠COD＝90°，CD＝25 m，OD＝24－4＝20(m)， ∴OC＝＝＝15(m)， ∴AC＝OA－OC＝20－15＝5(m)． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为5 m. 解：如图，作出玻璃杯侧面展开图的一半，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB′，交EF于点C，连接BC，易得BC＋CA＝AB′，则AB′的长即为最短路程．由题意得DE＝B′F＝BF＝1 cm，AE＝9－4＝5 cm， ∴AD＝AE＋DE＝6 cm. ∵底面周长为16 cm， ∴B′D＝×16＝8， ∴AB′＝＝10 cm， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为10 cm. $