20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理的综合应用，通过李叔叔检测雕塑底座垂直问题导入，先复习勾股定理及逆定理，搭建从性质到判定、理论到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合港口航行、校园铺草坪等实际案例，通过建模培养数学眼光（抽象、几何直观），推理过程强化数学思维（推理、运算），用数学语言表达现实问题（模型、应用）。教学中实例分析与知识对比小结结合，助力学生提升实际应用能力，也为教师提供清晰教学思路。

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 勾股定理及其逆定理 的综合应用 1．熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题．（重点） 2．进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识． 3．学会将实际问题构建成数学模型，并运用相关知识解决．（难点） 1．勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2． 2．勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？ 李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺． （1）你能替他想办法完成任务吗？ 连接对角线AC，BD，只要分别量出AB，BC，AC，AD和BD的长度即可． 若AB2＋BC2＝AC2， 则△ABC为直角三角形． 同理可得到△ABD为直角三角形． （2）李叔叔量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm． AD边垂直于AB边吗？ 解：因为AD2＋AB2＝302＋402＝2500＝BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A＝90°． 所以AD边垂直于AB边． （3）小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 当刻度尺较短时，有很多办法， 如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度， 或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边， 从而可根据勾股定理的逆定理得到结论． 数学思想 实际问题 数学问题 转化 建模 例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24， PR＝12×1.5＝18 ， QR＝30 ． ∵ 242＋182＝302， 即PQ2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°， 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°． 因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 如何有效解决实际问题： 1．构建对应几何图形． 2．标注有用信息（或添加必要的辅助线），明确已知和所求． 3．应用数学知识解决问题． 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ,DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由， A B D C 解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中,根据勾股定理， AC²=AB²-BC²=5²-3²=16.所以AC=4. 在△ACD中， AC²+AD²=4²+（）²=，CD=（）²= , 所以AC²+AD²=CD². 因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD. 勾股定理与勾股定理的逆定理的条件和结论相反．勾股定理是直角三角形的性质，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根据直角三角形探求边长的关系，体现了由形到数的转化；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化． 如图，某中学为迎接校庆50周年，拟对学校校园中的一块空地进行美化施工，已知AB＝3 m，BC＝4 m，∠ABC＝90°，AD＝12 m，CD＝13 m，学校欲在此空地上铺草坪，已知每平方米草坪80元，试问用草坪铺满这块空地共需花费多少元． 解：如图，连接AC，在Rt△ABC中， ∵AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25， ∴AC＝5 m． ∵AC2＋AD2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169， ∴AC2＋AD2＝CD2， ∴∠CAD＝90°， 该区域面积＝S△ACD－S△ABC＝30－6＝24（m2）， 铺满这块空地共需花费24×80＝1 920（元）． 答：用草坪铺满这块空地共需花费1 920元． A B C D M N 北 东 1.一艘轮船从 A 港向南偏西 48°方向航行 100 km 到达 B 岛，再从 B 岛沿BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM 的最短距离是 60 km． （1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间； 分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求得 BD的长度，则 CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，最后由“时间＝路程÷速度”求出所需的时间； 解：（1）由题意 AD＝60 km， 在 Rt△ABD 中，由 AD2＋BD2＝AB2 得 602＋BD2＝1002． ∴BD＝80（km）． ∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）． ∴AC=（km）． 75÷25＝3（h）． 答：从 C 岛沿 CA 方向返回 A 港所需的时间为 3 h． A B C D M N 北 东 （2）C 岛在 A 港的什么方向？ 分析：（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定义作答即可． （2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15 625， BC2＝1252＝15 625， 　　∴AB2＋AC2＝BC2， 　　∴∠BAC＝90°． 　　∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°． 　　∴C 岛在 A 港的北偏西 42°方向上．  A B C D M N 北 东 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10． 求四边形 ABCD 的面积． 分析：连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得四边形 ABCD 的面积. A B C D 解：连接 AC， 　　∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 　　∴ AC= 10． 　　∵CD＝10，AD＝10， 　　∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝(10)2＝200， 　　∴CD2＋AC2＝AD2， 　　∴△ACD是直角三角形， 　　∴四边形ABCD的面积是 ＝ ＝74， 　　即四边形ABCD的面积是 74． A B C D 3.拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶，已知点 C 为一所学校，且点 C 与直线AB 上两点 A，B 的距离分别为 150 m 和 200 m，AB＝250 m，拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域． （1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？ 分析：利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出 CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响. A B C D 　　解：学校 C 会受噪声影响． 　　理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， 　　∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m， 　　∴AC2＋BC2＝AB2，　　∴△ABC是直角三角形． 　　∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB， 　　∴150×200＝250CD， 　　∴CD＝＝120（m）， 　　∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域， 　　∴学校 C 会受噪声影响． A B C D （2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 分析：利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． E F A B C D 解：如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF 上时学校会受噪声影响． 　　∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502， 　　∴ED＝50（m）， 　 ∴EF＝100（m）． 　　∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min， 　　∴100÷50＝2（min）， 　　即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min． E F A B C D 实际问题 抽象 数学模型 勾股定理及其逆定理 答案 实际意义 $