江苏南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷

南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 84 D. 3. 某市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据（），经过分析、计算，得，，，之间的经验回归方程是：，则相应于点的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. 事件A与相互独立 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为正方形内的动点，则（ ） A. 平面 B. C. 二面角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角的正切值为时，点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 13. 甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 14. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 （1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； （2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点． （1）证明：BD⊥PF； （2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值； 17. 已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． （1）设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； （2）求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． （3）求甲队赢得最终胜利的概率． 18. 马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概率，在天气预报中具有重要的应用．在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况．某城市准备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天．根据以往的天气状态数据得到如下转移概率矩阵： 第天 第天 晴天 阴天 雨天 晴天 阴天 雨天 （1）假设第1天是晴天的概率为，求第2天是雨天的概率； （2）假设第1天是晴天的概率为，求第4天是晴天的概率； （3）在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关．在这个天气预报问题中，不论第1天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，试证明该结论，并求出这三个常数． 19. 在信息论中，熵（）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵．若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量所有取值为，则定义信息熵，，． （1）若，求随机变量的信息熵关于的解析式； （2）若，，求此时的信息熵； （3）设和是两个独立的随机变量，求证：． 南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 0 1 2 （2）有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 【16题答案】 【答案】（1） 连接AC，因为在△ADC中，E，F分别是AD，CD的中点，所以EF//AC， 又因为在菱形ABCD中AC⊥BD，所以BD⊥EF； 因为△PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE⊥AD； 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，平面， 所以PE⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD； 因为PE∩EF=E，平面PEF，所以BD⊥平面PEF， 又PF⊂平面PEF，所以BD⊥PF； （2） 【17题答案】 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 当时，由（2）知数列是公比为的等比数列， 所以， 因此． 根据（2）可知， 又， 所以，得， 所以， 因此． 所以． 因为单调递减，且，当时，， 所以当时，， ，． 当时，易知，，． 综上，不论的取值如何变化，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，且第天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于，，． 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 由题意， ，且，，， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $