专题05 圆（复习讲义）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 与圆有关的热考题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：垂径定理及其推论综合 题型二：圆周角定理与圆内接四边形综合 题型三：切线的判定与性质 题型四：相交弦与割线模型综合计算 题型五：中点弧模型应用 题型六：双切线模型（双切图）计算 题型七：弧长与扇形面积的实际应用 题型八：圆锥的侧面展开图计算 必备知识 知识1 圆的基本性质 知识2 切线相关 知识3 与圆有关的计算 命题预测 考点二 与圆有关的压轴题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 圆与三角形的综合 题型二 圆与四边形的综合 题型三 圆与函数的综合 命题预测 命题透视 1）从命题形式上看，呈现出“模型化、综合化、情境化”的特点，载体多以典型几何图形（垂径图、切割图、双切图）或实际生活场景（摩天轮、拱桥、扇形工件）为主，凸显对圆核心模型迁移能力的考查，兼顾几何直观与逻辑推理的双重素养。 2）从命题内容上看，切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、圆与相似/三角函数的综合是历年中考命题的核心区域，圆与坐标系、动点最值的结合则成为区分度拉满的压轴命题热点。 热考角度 考点 2025年 2024年 垂径定理及其推论 T14（长沙市卷·垂径定理求弦长） T16（湖南省卷·垂径定理应用） T9（长沙市卷·垂径定理求半径） T16（湖南省卷·垂径定理求弦长） 切线的判定与性质 T25（长沙市卷·切线判定与性质） T25（湖南省卷·切线综合） T26（湖南省卷·切线判定） T24（长沙市卷·切线性质） 圆周角定理与圆内接四边形 T8（长沙市卷·圆周角定理） T24（长沙市卷·圆内接四边形） T7（湖南省卷·圆周角定理） T24（长沙市卷·圆内接四边形） 圆与相似三角形综合 T25（长沙市卷·圆中相似） T25（湖南省卷·圆切线与相似） T26（湖南省卷·圆与相似） T24（长沙市卷·圆内接四边形与相似） 圆与三角函数综合 T14（长沙市卷·圆中三角函数） T25（长沙市卷·圆与三角函数） T26（湖南省卷·圆与三角函数） T23（长沙市卷·测量与三角函数） 命题预测 圆的二轮复习，核心是抓基础、练模型、破综合： · 基础题围绕垂径定理、圆周角、切线判定、圆内接四边形展开，是必拿分点； · 中档题聚焦双切图、中点弧、多结论判断，侧重模型迁移与计算能力； · 压轴题则以圆与相似/三角函数/坐标系/函数的综合为核心，结合动点最值、存在性问题，是拉开差距的关键。 整体命题趋势是淡化偏难怪定理，突出核心性质+基本模型，强调几何直观与逻辑推理的双重素养。 考点一 与圆有关的热考题型 题型一 垂径定理及其推论综合 1．1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 2．2．（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____． 【答案】1 【分析】连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键． 3．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．    （1）若，则的长是_________（结果保留）； （2）若，则_________． 【答案】 【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解； （2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，    ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，连接，    ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 4．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 【答案】7 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 5.（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数） 【答案】0.1 【分析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵C是弦的中点，D在上，， ∴延长可得O在上， ∴， ∴， ， ∴． 6.（2023·湖南·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．    (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【详解】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 题型二 圆周角定理与圆内接四边形综合 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 3．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．（2023·湖南·中考真题）如图所示，点A、B、C是上不同的三点，点O在的内部，连接、，并延长线段交线段于点D．若，则_______度．    【答案】 【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据三角形的外角定理即可得出结果． 【详解】解：在中， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键． 5.（2023·湖南常德·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，． 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可， （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解． 【详解】（1）连接    ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，为半径， ∴为的切线， （2）∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，   在中，由勾股定理得： ． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 6.12．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证； （2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；    （2）如图，连接， ∵的平分线交于点B， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型三 切线的判定与性质 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 【详解】解：连接、、，交于，如图，   ，与相切，切点分别为，， ，，平分， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵PA，PB是的切线， ∴， ， ， 则， 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键． 3．（2023·湖南怀化·中考真题）如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．    (1)求证：为的切线； (2)延长与的延长线交于点D，求证：； (3)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）根据，即可得证； （3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴ 如图所示，连接    在与中， ∴ ∵为上的一点． ∴是的切线； （2）∵是的切线； ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4.（2023·湖南张家界·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 5.（2022·湖南常德·中考真题）如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于． (1)求证：CD是的切线； (2)若，，求、的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接OD，由可以推出，从而证明即可； （2）作交BC于点M，根据勾股定理求出BC的长，然后再根据平行得到即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD，如图所示： OD为经过圆心的半径 CD是的切线． （2）如图所示：作交BC于点M ，， 令， 在 ，解得： 【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． (1)直线与⊙相切吗？并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2) 【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案； （2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， 且， ∴， 在与中； ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切． （2）设半径为； 则：，得； 在直角三角形中，， ，解得 【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7.（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知． (1)求证：直线是⊙的切线； (2)若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求⊙的半径的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求证； （2）①根据∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求证；②根据，可得，即，再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明∶∵∠BAC=45°， ∴∠BOD=2∠BAC=90°， ∴OD⊥OB， ∵OD∥BC， ∴CB⊥OB， ∵OB为半径， ∴直线是⊙的切线； （2）解：①∵∠BAC=45°， ∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD， ∴∠ODB=45°， ∴∠BAC=∠ODB， ∵∠ABD=∠DBE， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）． 即⊙的半径的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型四 相交弦与割线模型综合计算 1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证： (1)AC＝BD； (2)△ABE∽△DCE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似． 【详解】（1）∵＝ ∴＝ ∴ ∴BD=AC （2）∵∠B=∠C ∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DCE 【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键． 2.（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，在⊙中，直径与弦相交于点，连接、． (1)求证：； (2)连接，若，，求⊙的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)⊙的半径为3 【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明； （2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径． 【详解】（1）证明：在⊙中， ∵， ∴， 又∵, ∴． （2）解：∵， 由（1）可知，， ∵直径， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， 即⊙的半径为3． 【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 3.（2023·湖南永州·中考真题）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证； （2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长； （3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或3， 当时，， 当时，， ∵，即， ∴； （3）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型五 中点弧模型应用 1．（2023·湖南·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．    (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到,得到即可得证． （2）根据，设，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，在中，利用勾股定理计算x即可． 【详解】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．    (1)求证：； (2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由． ②当，时，试用含m，n，p的式子表示． 【答案】(1)见解析 (2)0，1，0 (3)①等腰三角形，理由见解析，② 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证； （2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得，即可得出0，根据已知条件可得，，即可得出根据相似三角形的性质可得，根据恒等式变形，进而即可求解． （3）①记的面积为，则，，根据已知条件可得，进而可得，得出，结合同弧所对的圆周角相等即可证明是等腰三角形； ②证明，，根据相似三角形的性质，得出，则，，计算即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 又， ； （2）， ， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：0，1，0 （3）①记的面积为， 则， ， ① ， 即， ② 由①②可得， 即， ， ， 即， ∴点D和点C到的距离相等， ， ， ， ， 都为等腰三角形； ②， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 则， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键． 题型六 双切线模型（双切图）计算 （2023·湖南娄底·中考真题）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析； (2)①直线是的切线；②见解析． 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得⟂，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴⟂，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵⟂， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型七 弧长与扇形面积的实际应用 当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式；当已知弧长l、半径R求扇形的面积时，选用公式 1．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 2.（2023·湖南娄底·中考真题）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，      ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 4．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．      (1)求证：∠ACO＝∠BCP； (2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 【答案】(1)见解析 (2)30° (3)2π﹣2 【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP； （2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°； （3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题． 【详解】（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CP是半圆O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∴∠ACB＝∠OCP， ∴∠ACO＝∠BCP； （2）由（1）知∠ACO＝∠BCP， ∵∠ABC＝2∠BCP， ∴∠ABC＝2∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A， ∴∠ABC＝2∠A， ∵∠ABC+∠A＝90°， ∴∠A＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠ACO＝∠BCP＝30°， ∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°， 答：∠P的度数是30°； （3）由（2）知∠A＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2， ∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2， ∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2， 答：阴影部分的面积是2π﹣2． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大． 题型八 圆锥的侧面展开图计算 1）混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念． 注意：圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，不是圆锥的底面圆的半径. 2）在扇形的两个面积公式和圆锥的侧面积公式中，同一个字母的含义可能不同(如1可以表示扇形的弧长，也可以表示圆锥的母线长)，要做好区分. 1．（2023·湖南·中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为__________．（结果保留）    【答案】 【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积． 【详解】解：帽子底面圆周长为：， 则扇形弧长为， 扇形面积 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键． 2.（2023·湖南·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：依题意，的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为______．    【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，可得圆锥的侧面积公式，再根据题干数据进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥， ∵边上的高， ∴底面圆的周长为：， ∵，， ∴几何体的表面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，几何体的形成，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键． 知识1 圆的基本性质 1.垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE，. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.. 【小技巧】一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 示例：如下图，两 3.圆周角定理及其推论 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形及其性质 1）圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 2）圆内接四边形的性质： 1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. 如图，∠1=∠2 知识2 切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定 1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； 2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3）判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识3 与圆有关的计算 1.弧长与扇形的面积计算 1）弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 2）扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 2.圆锥的相关计算 圆锥的侧面展开图及有关计算 （1）沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形. （2）圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，为的直径，弦与交于点，若，，则的度数为（   　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出 的度数，再利用圆的半径相等得到 ，进而求出 的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.（2026·湖南益阳·二模）如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，为圆形拱门的最高点，测得，点是圆形拱门左边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在 中，， ， 与 都是弧所对的圆周角， . 3.（2026·湖南·模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，理解垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答关键． 连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接OC， ，， ，． ， ，， ， ． 故选：C． 4.（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 5.（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 6.（2026·湖南株洲·一模）如图，是的直径，与相切于点B，D是的中点，连接．已知，则的度数为________． 【答案】40 【分析】首先根据切线的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数；然后根据三角形中位线定理证明，利用平行线的性质求出的度数；最后三角形的外角求出的度数，通过角的和差关系即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， . 在中，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 7.（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质得到，结合求出的长度，再分别计算的面积和扇形的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ， ． 故答案为： 8.（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 【答案】 【分析】首先得到此几何体为圆锥，再根据圆锥全面积等于侧面积加底面积求解即可． 【详解】解：根据三视图得，此几何体为圆锥， ∵直径为，母线长为， ∴半径为， ∴这个几何体的全面积为． 9.（2026·湖南益阳·二模）如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 【答案】米 【详解】解：由题意可知，旋转木马旋转一周的时间为240秒，对应的圆心角为， 秒旋转的圆心角度数为， 根据弧长公式，其中，， 该木马旋转的路径长为（米）． 10.（2026·湖南长沙·一模）如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． (1)求证：是该半圆的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，利用等腰三角形的性质得到，进而得到，易证明，进而得到，从而得到，进而得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，由（1）知，根据含角的直角三角形的性质求出、长，根据证明，进而得到，从而得到． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半圆的直径 是该半圆的切线； （2）解：在中，， ， 由（1）知，， ， 在中，， ， 在中，， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 11.（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线长定理易得，则可得，即可得证； （2）先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，然后根据扇形的面积公式计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵分别与相切于三点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12.（2026·湖南怀化·一模）如图，已知点P是外的一点，直线交于点．①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧有两个交点，过这两个交点作直线，交于点T；②以T为圆心，长为半径画弧，交于点C，作射线．连接，作，垂足为D． (1)由作图过程可知：点T是线段的__________； __________°； (2)在（1）的条件下，求证：平分； (3)如果，，求的半径． 【答案】(1)中点，90 (2)见解析 (3)半径为2.5 【分析】（1）由作图可得点是的中点，连接，则，则，根据三角形内角和定理可得 ； （2）证明，得，由得，推出； （3）连结，证明，运用相似三角形的性质列式可得结论． 【详解】（1）解：由作图可得点是的中点， 连接，则， 则， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ， 又， ， ， ， ， ， ∴平分； （3）解：连接， 是的直径， 又 又 ，即 ∴的半径为2.5． 13.（2026·湖南永州·一模）如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． (1)当时，______； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径对应的圆周角等于得，，即可求解； （2）连接，由得，则结合已知可推出，再根据得，即可得出结论； （3）设交于，连接，，由切线长定理得到垂直平分，则，则，设，则，，根据，解得，再根据是中位线，得到，最后证明，，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：设交于，连接，， ∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∴是中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 14.（2026·湖南郴州·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，过点A作直线交的延长线于点D，使得________，请从“①；②”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： (1)题干横线上所填序号为：_______ (2)求证：为的切线； (3)若，，求的长度（结果保留）． 【答案】(1)①（或②） (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）任选其中一个条件即可； （2）选择条件①：利用直径所对的圆周角是直角这一性质，结合等腰三角形的性质进行角度转换，从而证明半径与直径垂直，从而得证结论；选择条件②：根据圆周角定理可得，从而得到，从而得证结论； （3）利用解直角三角形求出圆的半径，进而计算出弧长． 【详解】（1）①（或②） （2）证明：选择条件①： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 选择条件②：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3）解：在中，，， ∴，即， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，，且， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 15.（2026·湖南张家界·一模）如图，四边形内接于，的延长线相交于点E，相交于点F，G是上一点，交于点H，且，． (1)请直接写出与，的数量关系：_________； (2)求证：； (3)若，，，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ． （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ． （3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及、勾股定理求出的长，即周长为 ． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． ， ； （2）证明：， ． ， ， ， ， ，， ， ， ． ． ， ． ， ， ， ， ． ， ． （3）解：连接并延长交于点M，如图， ， ， ，， ． 设，则，， ． ， 设，则， ． ，， ， ， ， ， ， ， ，． 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 由（2）知，， 周长 ． 16.（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 17.（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由、求解出、的等量关系，然后代入计算即可； （3）①先证明，得到点与点重合，根据垂径定理得到，设，则，由勾股定理得，根据得到； ②在中，，在中，，由①知，，则，代入整理得，由得，，结合，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， ， 为公共角， ， 根据已知得， ， ， 解得或（舍）， ； （3）解：①， ， ， ， 为直径， ， ，即点与点重合， 如图， ， ∴， ，设，则， 由勾股定理得， ， ， ， ； ②在中，， 在中，， 由①知，， ， ， 整理得， ， ， ， 又， ． 18.（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形的外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 20.（2026·湖南·模拟预测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用寒假时间进行测量活动． 活动主题 摩天轮每个座舱的运行速度 测量工具 测距仪、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某广场有一座摩天轮（如实物图），其轮盘呈圆形，其示意图如下： 为轮盘的圆心，是支撑架，是轮盘的最低点，垂直于地面，每个座舱（大小忽略不计）都在轮盘的圆周上匀速运行． 测绘过程与数据信息 ①在地面取一点，使得在同一条直线上，过点作，连接交于点； ②用测距仪测得的长为的长为； ③在点处用测角仪测得，在点处用测角仪测得； ④用计算器计算得：，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求轮盘最低点离地面的高度； (2)若此摩天轮旋转一周需要26分钟，求此摩天轮每个座舱的运行速度．（结果保留） 【答案】(1)轮盘最低点离地面的高度为 (2)此摩天轮每个座舱的运行速度为 【分析】该题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的周长，解题的关键是解直角三角形． （1）根据等腰三角形的性质得出，在中，解直角三角形求出即可． （2）设，在中，表示出，求出，再求出此摩天轮旋转一周的路径长，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ， 在中，， 则轮盘最低点离地面的高度为． （2）解：由题意得：，，，， 设， 在中，， 解得：， ， 则， 又， ， 则此摩天轮每个座舱的运行速度为． 考点二 与圆有关的压轴题型 题型一 圆与三角形的综合 1.（2022·湖南永州·中考真题）如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点， (1)求证：； (2)求证：； (3)若的面积，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)18 【分析】（1）根据圆切线的性质即可求解； （2）根据圆的性质证，即可证明； （3）由得，进而得，所以，由即可求解； 【详解】（1）证明∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∴． （2）证明∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质、三角形的全等、相似三角形的判定与性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 2.（2021·湖南娄底·中考真题）如图，点A在以为直径的⊙上，的角平分线与相交于点E，与⊙相交于点D，延长至M，连结，使得，过点A作的平行线与的延长线交于点N． （1）求证：与⊙相切； （2）试给出之间的数量关系，并予以证明． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°，，以及是的角平分线，推导出各个角度之间的关系，等量代换即可证出； （2）由圆周角相等推导出所对应的弧相等进一步得到弦相等，据此得出为等腰三角形，再根据以及（1）中的，进一步通过推导角度关系得到，为等腰三角形，再根据子母型相似得到∽，最终根据相似三角形的性质即可得出． 【详解】（1）如图所示， ∵,是的角平分线， ∴，， 又∵为直径， ∴， ∴ , ∴， 即与⊙相切． （2）∵， ∴ ， ∴, ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴， ∴， 又∵，且由（1）可得，， ∴， 即， ∴为等腰三角形， 在和中， ， ∴∽， ∴， ∴， 又∵， 故：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，切线的证明，等腰三角形的性质，直角三角形的性质及判定以及相似三角形的性质及判定等知识点，综合运用以上性质定理是解题的关键． 3.（2021·湖南株洲·中考真题）如图所示，是的直径，点、是上不同的两点，直线交线段于点，交过点的直线于点，若，且． （1）求证：直线是的切线； （2）连接、、、，若． ①求证：； ②过点作，交线段于点，点为线段的中点，若，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1 【分析】（1）先将转化为，再利用勾股定理逆定理证明即可； （2）①利用同一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半和同一条弧所对的圆周角相等分别得到与，再利用两角分别相等的两三角形相似即可完成求证； ②分别利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理的推论求出AC的长和CG的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：（1）证：因为，且， ∴， ∴, ∴， ∴直线是的切线； （2）①∵， 又∵， ∴， ∵, ∴．； ②∵， ∴， 设圆的半径为r， ∵， ， ∴， ∴； ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴, ∴线段的长度为1． 【点睛】本题综合考查了切线的判定定理、圆周角定理及其推论、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是牢记相关概念，能根据题意建立相等关系等，本题考查内容较多，综合性较强，对学生的综合分析能力有较高要求． 题型二 圆与四边形的综合 1.（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（    ） (2)如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． (3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆；②见解析 (3)，， 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论； ②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可． 【详解】（1）解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确， 故答案为：①×；②√；③√； （2）解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾， ∴四边形无内切圆， 又∵该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． （3）①证明：如图，连接、、、、， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接、、、， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得， 解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战． 2.（2024·湖南·中考真题）【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， ； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立： ②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值． 【答案】（1）；①证明见解析；②补全图形见解析，， 【分析】（1）可证是等边三角形，则，由直线l是的切线，得到，故； （2）①根据矩形的性质与切线的性质证明，则，而，由，得到； ②过点O作于点G，于点H，在中，先证明点E在线段上，，由等腰三角形的性质得，根据互余关系可得，可求，解，求得，可证明，故在中，． 【详解】解：（1）由题意得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线l是的切线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②补全图形如图： 过点O作于点G，于点H， 在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴点E在线段上， ∴在，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴在中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 题型三 圆与函数的综合 1.（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 2.（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．    (1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； (2)记的面积分别为，若，求的值； (3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)是的切线，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出，从而，然后根据，可以得解； （2）由题意，据得，再由，进而进行变形利用方程的思想可以得解； （3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解． 【详解】（1）解：是的切线． 证明：如图，在中，， ∴． 又点A，B，C在上， ∴是的直径． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴是的切线． （2）由题意得，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 由题意，设， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （3）设， ∵， ∴． 如图，连接．   ∴在中，． ∴，． ∴在中，，． 在中，．（∵，∴） ． 在中，，． ∴ ． 即． ∵， ∴最大值为F与O重合时，即为1． ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用． 3.（2021·湖南长沙·中考真题）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求的值； （2）求的值； （3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）连接，先利用定理证出，从而可得，再在中，解直角三角形即可得； （2）在（1）的基础上，利用求出的长，由此即可得； （3）如图（见解析），先解直角三角形可得，再根据圆周角定理、相似三角形的判定可得，从而可得，由此即可得出关于的函数解析式，然后连接，交于点，根据相似三角形的判定与性质可得，由此可求出，最后根据可得自变量的取值范围． 【详解】解：（1）如图，连接，则， 四边形为正方形， ， 在和中，， ， ， 设，则， 在中，， 则； （2）设，则，， ， ， ； （3）， ， ， ，解得， ， ，， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 解得， 如图，连接，交于点， ，， ， 四边形为正方形， ， ， ，即， 解得， 点在上运动（点与点不重合）， 点在线段上运动（点与点不重合）， ，即， 综上，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），正确找出相似三角形是解题关键． 1.（2026·湖南株洲·一模）已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接．          (1)【基础感悟】如图1，若，求的长； (2)【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； (3)【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）设，则，先证明是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补得出，，根据平行四边形的性质得出，则，即可得出，则； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点，在线段上截取线段，连接，则，证明，再根据平行线的性质，即可得证； ②根据得出是的直径，则，即可得出，进而证明，则，设，则，，分别解直角三角形，求得，代入比例式，求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的运动速度是点的运动速度的倍 ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点， 在线段上截取线段，连接，则， ， 设 ，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ∵ ②∵， ∴是的直径 ∴， 又∵ ∴ 设，则， ∵ ∴ ，，， ， 解得：（舍去）， 2.（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】(1)； (2)①或；②； (3) 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为． 3.（2026·湖南长沙·一模）已知为的直径，，点在上．连接，过点作，交于点．，垂足为． (1)如图1，连接，当的延长线恰好交于点时，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，交半径于点，当时，求线段的长； (3)如图3，连接，，，设面积为，四边形的面积为，，如果，求关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先推导出，，得到，则，推导出四边形为平行四边形，再由，得到四边形为菱形，即可解答； （2）①利用平行线的性质，圆周角定理和垂径定理得到，则，，即可得出结论； （3）先推导出得到，即，进而推导出，，得到，即，再由，推导出，得到，解得，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：如图1 ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图2 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， 解得． （3）解：如图3 ∵，为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ， 即， ， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ， ∴． 4.（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形是内接四边形，对角线与相交于点，对角线平分．点 在线段上，满足，连接，． (1)求证：； (2)若 ，求 的值； (3)若，的半径为，记 ，，试求出关于的函数解析式，并直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，的最大值为 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，即可得证； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据得出，进而证明得出则，根据角平分线的性质以及三角形的面积关系，得出，进而可得，证明得出，即可求解； （3）连接，设交于点，，，导角得出，进而可得即平分，则是的内心，求得，则，根据圆内接四边形得出，进而求得得出是等边三角形，则，，证明，可得，证明，可得，证明，可得，代入得出的关系式，进而求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴到的距离相等，设到的距离为，到的距离为， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， （3）解：如图，连接，设交于点 ∵平分 ∴， ∴ ∴ 设， ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴即平分 ∴是的内心， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵四边形是的内接四边形 ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∵的半径为， ∴， ∵，， ∴ ∴ 由（2）可得 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ∴当时，的最大值为． 5.（2026·湖南长沙·二模）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线．如图1，在四边形中，若，则四边形为和谐四边形，为四边形的和谐对角线． (1)①判断：平行四边形______和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点O，求证：； (2)如图3，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点E，．猜想并证明与的数量关系； (3)如图4，中，，以为直径的分别交于点N，M，已知四边形是和谐四边形，连接交于点D，求的面积． 【答案】(1)①是；②见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①根据和谐四边形的定义进行判断即可； ②过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证； （2）在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论； （3）连接，，，设交于，由，得，故，可知和谐四边形中，和谐对角线，即，而，，有，从而，知，，设，由，有，可得，，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形是和谐四边形； ②证明：过点作于点，过点作于点， 则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图中，在上取一点T，使得，连接． ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线， 由（2）可知：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，，，设交于，如图： 为的直径， ， ， ， ， 和谐四边形中，是和谐对角线，即， ，， ， ， ，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 同理， ∴， ∴的面积． 6.（2026·湖南·一模）如图1，在中，，，点 D 为边 上一点，且，经过D，B，C三点的圆交边AC 于点E，连接，交于点F，连接． (1)当 时，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得到是直径，从而得到，证明即可得证； （2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，则、、是等腰直角三角形，先证明点O即为这个圆的圆心，从而利用等腰直角三角形的性质求出半径和，继而求出，再利用是等腰直角三角形求出，得到，继而得到，从而得解； （3）过点C作于G，过点E作于G，则结合得到，从而证明，求出，得到，则，，继而得解． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， ∴是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形； （2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H， ∵，， ∴圆心在直线上，， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上， ∴圆心是的垂直平分线和直线的交点， ∴点O即为这个圆的圆心， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过点C作于G，过点E作交于点， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 7.（2026·湖南长沙·一模）如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，连接交直径于，若，，． (1)求证：与相切； (2)若平分，求的值； (3)设，记，若，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】（1）连接，由，得，结合得到，再根据互余关系即可证明； （2）先证明，结合，得到，可求，然后证明为等腰直角三角形，由勾股定理求出，，再证明，得到①，证明，得到②，由①÷②求出，的值； （3）先证明，得到，则，过作于，过作于，由得到，由面积法可得，则，再证明，则，然后计算出，则，由勾股定理求得，则，再化简求解函数解析式即可． 【详解】（1）证明： 如图，连接， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， , 是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是的直径， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 解得：， , ∴设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，① ∵， ∴， ， ，② ∴①÷②得，， ； （3）解：在中，， ， ， ， ， 过作于，过作于， 则， 在中，， ， 在Rt中，， ， ∵， ∴ ∴， ∴ 由（2）知：， ， ， 在中，， ， ， ∴ ， ， ∴， ∴由题意可得，的范围是：． 8.（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 【答案】(1) (2)2 (3)①；② 【分析】（1）先由圆周角定理得到，然后证明，再由勾股定理可得，，则；证明，则，证明，则，即可求解和； （2）先证明，则，设，，则，则，解得在中，，在中，，再由即可得到答案； （3）①设点到的距离为，边上的高为，先证明，则①，然后在中由勾股定理得到②．联立①②解得，，再证明，则得到； ②连接，先证明，由，求出．在中有，在中有，那么，由，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 为的平分线， ， ，， ∴， ； ，， ，， ； ，， ， ， ，， ， ， ，． 故答案为： ； （2）解：，， ， ∵， ， ， ， ， 设，，则， ， 整理得：， 解得：或（负数舍去）， 在中，， 在中，， 即； （3）解：①设点到的距离为，边上的高为， 在中，平分， ， ∴， ①， ， 在中，②． 联立①②解得，， 又，， ， ， 即； ②连接， 点I是的内心， ，， ， 即， ． ，，， ， ． 在中，， 在中，， ． ∵， ∴， ， ， ． 9.（2026·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是上一点，连接，延长至点，连接交于点，过点作于点，连接，___________． 请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：与相切； (2)若，求的值； (3)若，设的面积为，四边形的面积为，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查切线的判定定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）连接，得，由，可得结论； （2）证明得，再证明是等边三角形，，，可得结论； （3）证明是的中位线，得且，延长交于点，得四边形CFEK是矩形，得出，由得出，再证明，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：选① 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ∵， ∴，即， 又是半径， 与相切； （2）解：∵是的直径， ∴，则， ∴， 又，， ∴， ∴， 又是直径 ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， （3）解：，， 垂直平分， ， 是的中位线， 且， 延长交于点， ， ， 又且， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 由（1）知， ， ， 又， ， ，则， ． 10.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图1，已知抛物线经过和两点，直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作轴交直线l于点C，以为直径作，当与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，把向上平移，使圆心落在x轴上，得到，过点作轴，交直线l于点F，连接，问在上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，则，根据与y轴相切圆的直径等于点D横坐标的2倍列方程求解即可； （3）先求出，，，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大．证明求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设， ∵轴， ∴， ∴． ∵与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵以为直径作，， ∴， ∵把向上平移，使圆心落在x轴上，得到， ∴， ∵过点作轴， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴． 如图2，过点作，交直线于点G，交于点，连接，则此时的面积最大． ∵，与y轴相切， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即面积的最大值为． 11.（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 12.（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 13.（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05圆 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 与圆有关的热考题型(C1并单击鼠标可跟踪链接) 题型一：垂径定理及其推论综合 题型二：圆周角定理与圆内接四边形综合 题型三： 切线的判定与性质 真题动向 题型四：相交弦与割线模型综合计算 题型五：中点弧模型应用 题型六：双切线模型（双切图）计算 题型七：弧长与扇形面积的实际应用 题型八：圆锥的侧面展开图计算 知识1圆的基本性质 必备知识 知识2切线相关 知识3与圆有关的计算 命题预测 考点二 与圆有关的压轴题型(Cl并单击鼠标可跟踪链接）》 题型一圆与三角形的综合 真题动向 题型二圆与四边形的综合 题型三 圆与函数的综合 命题预测 01 析•考情目标 1)从命题形式上看，呈现出“模型化、综合化、情境化的特点，载体多以典型几何图形（垂径图、 命题 切割图、双切图)或实际生活场景（摩天轮、拱桥、扇形工件）为主，凸显对圆核心模型迁移能 力的考查，兼顾几何直观与逻辑推理的双重素养。 透视 2)从命题内容上看，切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、圆与相似以三角函数的综合是历年 中考命题的核心区域，圆与坐标系、动点最值的结合则成为区分度拉满的压轴命题热点。 热考 考点 2025年 2024年 1/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 角度 T14(长沙市卷垂径定理求弦长) T9(长沙市卷垂径定理求半径) 垂径定理及其推论 T16(湖南省卷垂径定理应用) T16(湖南省卷垂径定理求弦长) T25(长沙市卷切线判定与性质) T26(湖南省卷切线判定) 切线的判定与性质 T25(湖南省卷切线综合) T24(长沙市卷切线性质) 圆周角定理与圆内接 T8(长沙市卷圆周角定理) T7(湖南省卷圆周角定理) 四边形 T24(长沙市卷圆内接四边形) T24(长沙市卷圆内接四边形) T25(长沙市卷圆中相似) T26(湖南省卷圆与相似) 圆与相似三角形综合 T25(湖南省卷圆切线与相似) T24(长沙市卷圆内接四边形与相似) T14(长沙市卷圆中三角函数) T26(湖南省卷圆与三角函数) 圆与三角函数综合 T25(长沙市卷圆与三角函数) T23(长沙市卷测量与三角函数) 圆的二轮复习，核心是抓基础、练模型、破综合： 基础题围绕垂径定理、圆周角、切线判定、圆内接四边形展开，是必拿分点； 命题 中档题聚焦双切图、中点弧、多结论判断，侧重模型迁移与计算能力； 预测 压轴题则以圆与相似以三角函数/坐标系/函数的综合为核心，结合动点最值、存在性问题， 是拉开差距的关键。 整体命题趋势是淡化偏难怪定理，突出核心性质+基本模型，强调几何直观与逻辑推理的双重素养。 02 筑•专题框架 2/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 热门考点 平分弦 0 垂径定理一 垂直于弦的直径 弦不能为直径 且平分弦所对的两条弧 圆 定理 条弧所对圆周角=所对圆心角的一半 7 相关性质 圆周角定理 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 推论 90的圆周角所对的弦是直径 对角互补 圆内接四边形一性质 任意一个外角等于它的内对角 性质一圆的切线垂直过切点的半径 热考 经过半径外端目垂直于这条半径的直线，是圆的切线 有明确交点，连半径，证直线与半径垂直 判定 证明直线与圆相切 切线 无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径 圆 有切线，作过切点的半径 常作的辅助线 有切线，作过切点的半径 圆外一点引圆的2条切线，切线长相等 切线长定理 切线长 点与圆心的连线平分切线夹角 常作的辅助线一有切饯长，作切线、过切，点的半径、圆心与圆外点连线组成的t△ nAr I= 弧长公式一公式 180 L,n,三个变量，知二推 nmR2 R 面积一5= S- IR 360 ·扇形 周长-C=2R+1=2R+nm 与圆有关的计算扇()形缅积 180 示例图 圆锥的侧面积和全面积 侧面积一S侧=rl 全面积一S全=S侧+S底=πrl+Tm2=r(U+r) 圆锥母线、高、底面半径的关系一2=h2十r2 03 攻·重难考点 3/38 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点一 与圆有关的热考题型 题 动 可 ●●● 题型一垂径定理及其推论综合 皮方法 条件：①AB过圆心O;②CDLAB;③AB平分CD(CD不是直径)④AB平分CAD或CBD 解题策略：类比等腰三角形三线合一 ①②→③④ HL ②③→①④ SAS ①③→②④ SSSe ②④→①③ ASA ①④→②3 SAS ③④→①② AAS+HLO 模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二推二”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅线做法（考点）： 1)有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用沟股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD,孩距OE,弦长CD,拱高BE四个量知二推二， 2)有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 1.1.(2024湖南长沙.中考真题)如图，在⊙0中，弦AB的长为8，圆心0到AB的距离0E=4,则⊙0的 半径长为() B A.4 B.4W2 c.5 D.5N2 2.2.(2023湖南中考真题)如图，点A,B,C在半径为2的00上，∠ACB=60°，0D1AB,垂足为 E,交⊙0于点D,连接OA,则OE的长度为 (2023·湖南岳阳.中考真题)如图，在O0中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点 4/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的切线与AB的延长线交于点E, (1)若LA=30°，AB=6,则BD的长是 (结果保留π)； 2)架有则笼 AE 4.（2022湖南长沙.中考真题)如图，A、B、C是⊙0上的点，0C⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点， 若OA=7,则BC的长为 0 D B C 5.(2023湖南常德.中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度 的“会圆术”，如图.AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会 圆术”给出B长1的i近似值s计算公式：s=AB+CD,当0A=2,∠40B=90°时，上-= OA (结果保留一位小数) 6.(2023湖南.中考真题)如图，AB是⊙0的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE上AB于点E,交 AC于点F,交OO于点H,DB交AC于点G. 5/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D F ■ A B E H (1)求证：AF=DF. 2)若4F= 2,sin∠ABD=V ,求00的半径. 5 ◆题型二圆周角定理与圆内接四边形综合 1.(2025湖南长沙.中考真题)如图，AC,BC为O0的弦，连接OA,OB,0C·若 LA0B=40°，L0CA=30°，则∠BC0的度数为() B A A.40° B.45° C.50° D.550 2.(2024湖南中考真题)如图，AB,AC为⊙0的两条弦，连接OB,0C,若∠A=45°，则∠B0C的 度数为() B A.60° B.75 C.90° D.135° 3.(2022湖南株洲.中考真题)如图所示，等边ABC的顶点A在⊙0上，边AB、AC与⊙0分别交于点 D、E,点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF,则∠DFE的度数为() 6/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E *0 D B A.115 B.118° C.120° D.125° 4.(2023湖南中考真题)如图所示，点A、B、C是⊙0上不同的三点，点O在ABC的内部，连接B0、 C0,并延长线段B0交线段AC于点D.若∠A=60°，∠0CD=40°，则∠0DC=度. A D 0 B 5.(2023湖南常德.中考真题)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过 点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E, C B (1)求证：CE是⊙0的切线： (2)若BC=6,AC=8,求CE,DE的长， 6.12.(2023湖南湘西.中考真题)如图，点D,E在以AC为直径的00上，∠ADC的平分线交00于点B ,连接BA,EC,EA,过点E作EH⊥AC,垂足为H,交AD于点F. 7/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D F A H B (1)求证：AE2=AF·AD; 2洁∠a0-25B=5,求HD的长 ，题型三切线的判定与性质 点方法 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该 公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据 “若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等 1. (2023湖南湘西中考真题)如图，AB为00的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙0相切， 切点分别为C,D.若AB=10,PC=I2,则sin∠CAD等于() B D A. 5 B.13 12 c号 D.12 3 2.(2022湖南长沙.中考真题)如图，PA,PB是⊙0的切线，A、B为切点，若LA0B=128°，则∠P的度 数为() 0 8/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.32° B.52° C.64° D.72° 3.(2023湖南怀化中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙0外一点，PA与⊙0相切于点A,点C 为O0上的一点，连接PC、AC、OC,且PC=PA. B (1)求证：PC为⊙0的切线； (2)延长PC与AB的延长线交于点D,求证：PDOC=PAOD; (3)若∠CAB=30°，0D=8,求阴影部分的面积. 4.(2023湖南张家界中考真题)如图，⊙0是ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，F是AD延长线上一点， 连接CD,CF,且∠DCF=∠CAD. F B (1)求证：CF是⊙0的切线； 3 (2)若AD=10,cosB= ,求FD的长. 5.(2022湖南常德.中考真题)如图，已知AB是⊙0的直径，BC⊥AB于B,E是OA上的一点，ED∥BC交 OO于D,OC∥AD,连接AC交ED于F. A E D F 0 B (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若AB=8,AE=1,求ED、EF的长. 6.(2022湖南衡阳中考真题)如图，AB为⊙0的直径，过圆上一点D作⊙0的切线CD交BA的延长线与 9/38 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C,过点O作OEI∥AD交CD于点E,连接BE. D B (1)直线BE与⊙0相切吗？并说明理由： (2)若CA=2,CD=4,求DE的长。 7.(2022湖南株洲.中考真题)如图所示，ABC的顶点A、B在⊙0上，顶点C在⊙0外，边AC与⊙0相 交于点D,∠BAC=45°，连接OB、OD,已知OD∥BC. D B (1)求证：直线BC是⊙O的切线； (2)若线段0D与线段AB相交于点E,连接BD. ①求证：△ABD∽△DBE; ②若AB·BE=6,求⊙O的半径的长度 ◆题型四相交弦与割线模型综合计算 1.(2022湖南怀化中考真题)如图，点A,B,C,D在oO上，AB=CD.求证： D 0 E B (1)4C=BD; 10/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)△ABE~△DCE. 2.(2022湖南湘潭中考真题)如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC、BD 0 A C 0 (1)求证：△AEC∽△DEB; (2)连接AD,若AD=3,∠C=30°，求⊙0的半径. 3.(2023湖南永州中考真题)如图，以AB为直径的O0是ABC的外接圆，延长BC到点D.使得 LBAC=∠BDA,点E在DA的延长线上，点A在线段AC上，CE交BM于N,CE交AB于G B G D A (1)求证：ED是⊙0的切线： (2)若AC=√6，BD=5,AC>CD,求BC的长； (3)若DE·AM=AC·AD,求证：BM⊥CE. ◆题型五中点弧模型应用 点方法 11/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：点c为BC的中点 D C 图示： 0 结论：∠DAC=∠CAB,∠DOC=∠COB,BC=CD 小结：在同圆中，已知弧中点是最常见的给等弧的方式.· 1. (2023·湖南中考真题)如图，AB是OO的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E, 交AC于点F,交OO于点H,DB交AC于点G. D B E H (1)求证：AF=DF. 2)若AF=5 )m∠ABD5求⊙0的半径 2.(2022湖南长沙.中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，对角线AC,BD相交于点E,点F在边 AD上，连接EF. D E B (1)求证：△ABE∽△DCE; 2)当DC=CB,LDFE=2∠CDB时，则EDE AF FE BE CE AB AD 1,11 (直接将结果填写在相应的横线上) AB AD AF 12/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)①记四边形ABCD,△ABE,△CDE的面积依次为S,S,S,若满足√S=√S+√S,,试判断， △ABE,△CDE的形状，并说明理由. ②当DC=CB,AB=m,AD=nCD=p时，试用含m,n,p的式子表示AECE, ◆题型六双切线模型（双切图）计算 点方法 条件e 图示 结论 点D为⊙0外一点， 1)△A0≌△B0DL),△A0C2△BOC(SAS); AD,AB是⊙0的切 △ACD2△BCD: 线，切点分别为A,B 2)∠A0B+∠ADB=180°；∥ 3)OD平分∠AOB,∠ADB; 4)0D垂直平分AB. 5)两个等腰三角形（△DAB,△0AB) (2023湖南娄底中考真题)如图1，点G为等边ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点 O,使得DO=DG,连接GB,GC,OB,OC A A G M D B B 图1 图2① 图2② (1)求证：四边形B0CG为菱形， (2)如图2，以0点为圆心，0G为半径作00 ①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明。 ②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E,连接CM并延长交 AB于点F,求证：AE+AF为定值. 2.(2025湖南长沙.中考真题)如图1，点0是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C ,D均为直径AB上方的动点，连接CD,且始终满足CD=AD十BC, 13/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求证：CD与该半圆相切： (2)当半径r=V2时，令AD=a,BC=b,m=异十希，n=是十品，比较m与n的大小，并说明 理由； 3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G,连接 EG并延长交AB于点F,连接AB,BB,令EG=x,AEE十元十CD=y,求y关于x的函数解析式. (不考虑自变量x的取值范围) ◆题型七弧长与扇形面积的实际应用 点方法 当已知半径R与圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S扇形= nπR2 ;当己知弧长1、半径R求扇形 360 的面时、选用公式。方以 1. (2025湖南中考真题)如图，北京市某处A位于北纬40·（即∠A0C=40°），东经116°，三沙市 海域某处B位于北纬15·（即∠B0C=15·),东经116°；设地球的半径约为R千米，则在东经116°所 在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为() 北极 地轴 A(北纬40°，东经116) 地心O: 赤道 B(北纬15°，东经116) 南极 A.亮πR(千米) B.πR(千米) C.磊πR(千米) D.号πR(千米) 2.(2023·湖南娄底.中考真题)如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙0的半径为2，过圆心O的两条直线4、 的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为() 14/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 60° D 12 A. 3π-v D.2-5 二π- 3 2 c-5 2 3.(2024湖南长沙.中考真题)半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 (结果保留). 4.(2022湖南益阳中考真题)如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB 的延长线于点P,连接CA,CO,CB. B (1)求证：∠ACO=∠BCP; (2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数： (3)在(2)的条件下，若AB=4,求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）· ◆题型八圆锥的侧面展开图计算 辩易绪 1)混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念 注意：圆锥侧面展开图中扇形的半径是圆锥的母线长，不是圆锥的底面圆的半径， 2)在扇形的两个面积公式和圆锥的侧面积公式中，同一个字母的含义可能不同（如1可以表示扇形的弧 长，也可以表示圆锥的母线长)，要做好区分 1.(2023湖南中考真题)如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接 缝忽略不计)，如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm,那么这张扇形纸板的面积为 cm2.(结 果保留π) 15/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 30cm 2.(2023湖南中考真题)如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中A4的长为() A.4元 B.67t C.8π D.16π 3.(2023·湖南娄底.中考真题)如图，在ABC中，AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将ABC绕 着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为一· B 核 提 炼 ●●。 。知识1 圆的基本性质 1.垂径定理及推论 1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 示例：如图，CD是⊙0的直径，AB为弦，CDLAB于点E,则AE=BE,AC=BC,AD=BD 16/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)垂径定理的推论 (1)平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 示例：如图，CD是⊙0的直径，AE=BE,则CDLAB,AC=BC,AD=BD. (2)平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. (3)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 【小技巧】一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平 分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其 它三个结论，简称“知二推三” 2弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量都分别相等 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对 的弧、弦也不一定相等 示例：如下图，两 3.圆周角定理及推论 )圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角专圆心角） 2)圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90·的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形及其性质 1)圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.这个 圆叫做这个四边形的外接圆， 2)圆内接四边形的性质：1)圆内接四边形对角互补 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=1809 2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角). 如图，∠1=∠2 《。知识2 切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点. 2.性质与判定： 17/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径， 判定 1)定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切： 2) 数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切： 3)判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA, PB两条线段的长为点P到⊙0切线长(PA,PB与⊙0相切) 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角 《。知识3 与圆有关的计算 1.弧长与扇形的面积计算 1D弧长公式：1=πR血为圆心角的度数，R为圆的半径。 180 2)扇形的面积公式：S扇形= nπR2 1 (n为圆心角的度数，R为圆的半径)=二lR(1是n°的圆心角所对的弧 360 长) 2.圆锥的相关计算 圆锥的侧面展开图及有关计算 (1)沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形. (2)圆锥常见量之间的关系（如图） 设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r,高为h (1)这个扇形的弧长为2r; (2)r2+h=12: (3) (4)S拉全=1+2=m(1+r）》 (5)圆锥侧面展开图的圆心角度数为n=)·360←2，= 360 1. (2026湖南长沙.模如图，AB为00的直径，弦CD与4B交于点E,若E0=EC,∠C0E=50°， 则∠BOD的度数为() 18/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.150° B.130° C.90° D.70 2.(2026湖南益阳·二模)如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段AB位于地面之上，D为圆形拱 门的最高点，测得∠DAB=∠DBA=65°，点C是圆形拱门左边上的一点，则∠ACB=() A.65 B.50 C.35 D.25 3.(2026湖南模拟)如图，四边形ACBD是O0的内接四边形，连接对角线AB,CD交于点E,且 AB⊥CD,AB为OO的直径，若AB=I2,BE=3,则CD的长为() B D A.35 B.9 C.6W3 D.65 4.(2026湖南长沙.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接0B,OD,若LBCD=115°，则∠BOD的 度数是() D A.650 B.1150 C.130° D.140° 5.(2026湖南长沙.二模)如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其 正下方的路面AB长度为100m,如果这些钢索中最长的一根的长度为10m,则该圆弧的半径为 m. 19/38 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B路面 桥拱 6.(2026·湖南株洲.一模)如图，AB是00的直径，BC与O0相切于点B,D是BC的中点，连接0D.已 知∠ACB=50,则∠DOE的度数为 D 7.(2026湖南娄底一模)如图，∠CAB=30°，点0是AB上一点，半径长为6的⊙0与AC相切于点D,交 A0于点E.则图中阴影部分的面积为 ·(结果保留根号和π) B 8.（2026湖南模拟预测)一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为 主视图 左视图 2cm 俯视图 9.(2026湖南益阳·二模)如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米.旋转时，一木 马某时刻在点A处，80秒后旋转到点B,则该木马旋转的路径长（即弧AB的长）为 (结果保 留刀) B 20/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(2026湖南长沙.一模)如图，ABC的三个顶点都在以BD为直径的半圆上，AB=AC,连接DA并延 长至点E,交BC于点F,且AE=AF,连接BE. E B (1)求证：BE是该半圆的切线： (2)若BD=12,∠AFB=60°，求CF的长. 11.(2026湖南长沙.模拟预测)如图，AB,BC,CD分别与O0相切于E,F,G三点，且AB∥CD, B0=6,C0=8. E D G (1)求证：0B⊥0C; (2)求图中阴影部分的面积. 12.(2026湖南怀化一模)如图，已知点P是00外的一点，直线P0交⊙0于点A,B.①分别以点P,O为 圆心，大于P0的长为半径画弧，两弧有两个交点，过这两个交点作直线，交P0于点T:②以T为圆心， PT长为半径画弧，交⊙O于点C,作射线PC.连接OC,BC,作BD⊥PC,垂足为D. B 米 (1)由作图过程可知：点T是线段P0的 ;∠PCO= (2)在(1)的条件下，求证：BC平分∠ABD; (3)如果PC=6,PA=4,求⊙0的半径. 13.(2026湖南永州一模)如图，在00中，已知PA是⊙0的切线，A为切点，连接P0并延长与⊙0交于 C,D两点，B是OO上一点，弦AB与CD交于点E,PBC=LBDC.连接AO并延长，交PB的延长线于 点Q. 21/38 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 (1)当∠D=30°时，∠BCD=°； (2)求证：PB是00的切线； ③若an∠APE)CE=V5-1,求B0的长 14.(2026湖南郴州.一模)如图，ABC是⊙0的内接三角形，BC是O0的直径，过点A作直线AD交BC 的延长线于点D,使得 请从“①∠DAC=∠B;②2∠B=90°-∠D"中任选一个条件填在横线上（填 序号“①”或“②”)，并解决下列问题： A D (1)题干横线上所填序号为： (2)求证：AD为00的切线； (3)若∠B=30°，AC=2,求AC的长度（结果保留)· 15.(2026湖南张家界.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相交 于点F,G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. G B E (1)请直接写出∠ABC与∠DBE,∠E的数量关系： (2)求证：AH2=HF2+HF.FC; (3)若tan∠ABC=√5，AD=2DE,CD=√6，求△AGH的周长， 16.(2025山东德州中考真题)如图，点D是ABC的内心，连接BD并延长交ABC的外接圆于点E, BE与AC交于点F,连接AE. 22/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)设∠ABC=Q,则LEAC=-；(用含C的式子表示) (2)求证：AE=DE; (3)若DE=2,BD=1,求EF的长 17.(2026湖南长沙.模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作ABC的外接圆，圆心为0，点E 为BC上一个动点（不与B,C重合），过点E作DE⊥BC交OO于点D,且点D在点E上方，DE交AB于 点Q,连接CD交AB于点P,连接AD,DB, D A E B 图1 图2 (1)求证：△ACPn△QDP; 2将DP0,△DOB,ADPB的面积分别记为S,S,S,若SS=2S,求D的值； DB (3)若∠CAB=2LACD. 巴的值 ①当4AC=3BC时，求B ②设∠BDE为a,圆O的半径为R,请用含R和sina的式子表示AC的长.（提示：(sina)2+(cosa)2=1) 18.(2026湖南娄底一模)如图1，已知AE是⊙0的直径，D是⊙0上一点，过D作直线DB与AE的延长 线交于B点，过点A作AC⊥BD于C点，连结AD、DE,且∠DAE=∠EDB. D 图1 图2 (1)求证：直线BC是⊙0的切线： 23/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若AE=10,sin☑ADC=,求BE:BD的值 (3)如图2，在(2)的条件下，若F为AE上的一动点，且F在直线AB上方，连结AF、DF、EF,当四边 形ADEF面积最大时，求DF的长度. 19.(2025黑龙江大庆.中考真题)如图，DE为ADE外接圆O0的直径，点C为线段D0上一点（不与D, O重合)，点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M,满足LCAE=LMAE, M D (1)求证：AD平分∠BAC; (2)证明：OE2=OB·OC; (3)若射线BM与O0相切于点A,DC=3,BD:0C=10:9,求tan∠AED的值. 20.(2026湖南模拟预测)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用寒假时间进行测量活动. 活动主题 摩天轮每个座舱的运行速度 测量工具 测距仪、测角仪、计算器等 某广场有一座摩天轮（如实物图)，其 轮盘呈圆形，其示意图如下： 0为轮盘的圆心，OA、OB是支撑架， 0A=0B,C是轮盘的最低点，0C垂直于 地面，每个座舱（大小忽略不计）都在 模型抽象 轮盘的圆周上匀速运行， 活动过程 D. ①在地面取一点D,使得D、A、B在同 测绘过程与数据信息 条直线上，过点C作CE⊥AB,连接 24/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D0交O0于点F: ②用测距仪测得AB的长为24m,DF的 长为50m; ③在点A处用测角仪测得LCAB=60°， 在点D处用测角仪测得∠ODA=45°； ④用计算器计算得：√2≈1.41， V5≈1.73，√6≈2.45. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： (1)求轮盘最低点C离地面的高度； (2)若此摩天轮旋转一周需要26分钟，求此摩天轮每个座舱的运行速度.（结果保留π） 考点二 与圆有关的压轴题型 真 题 ●●● ◆题型一圆与三角形的综合 1.(2022湖南永州中考真题)如图，已知AB,CE是O0的直径，BM是O0的切线，点D在EA的延长线 上，AC,OD交于点F,LMBC=LACD E A B M (1)求证：∠MBC=∠BAC; (2)求证：AE=AD; (3)若△0FC的面积S,=4,求四边形AOCD的面积S. 2.(2021湖南娄底.中考真题)如图，点A在以BC为直径的⊙0上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E, 与⊙O相交于点D,延长CA至M,连结BM,使得MB=ME,过点A作BM的平行线与CD的延长线交于 点N 25/38 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M (1)求证：BM与⊙O相切； (2)试给出AC,AD,CN之间的数量关系，并予以证明. 3.(2021湖南株洲.中考真题)如图所示，AB是00的直径，点C、D是O0上不同的两点，直线BD交线 段0C于点E,交过点C的直线CF于点F,若0C=3CE,且9EF2-CF2)=OC2. D G 0 B (1)求证：直线CF是00的切线： (2)连接0D、AD、AC、DC,若LC0D=2LB0C. ①求证：△ACD∽△OBE; ②过点E作EG/1AB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点，若AD=4,求线段MG的长度， ◆题型二圆与四边形的综合 1.(2024湖南长沙.中考真题)对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四 条边都与同一个圆相切)， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 26/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形： 只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形： 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形. 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； () ②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； () ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R,内切圆半径为，则有 R=2r.() (2)如图1，己知四边形ABCD内接于O0,四条边长满足：AB+CD≠BC+AD. ①该四边形ABCD是””四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若∠BAD的平分线AE交OO于点E,LBCD的平分线CF交OO于点F,连接EF,求证：EF是OO的 直径. A E B 0. E B F 图1 图2 图3 (3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O0与AB,BC,CD,AD分别相切于点E,F,G, H. ①如图2.连接EG,FH交于点P.求证：EG⊥FH. ②如图3，连接0A,0B,0C,0D,若0A=2,0B=6,0C=3,求内切圆O0的半径r及0D的长. 2.(2024湖南.中考真题)【问题背景】 已知点A是半径为r的⊙0上的定点，连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转(0°<a<90)得到 OE,连接AE,过点A作⊙O的切线1，在直线1上取点C,使得∠CAE为锐角. 【初步感知】 (1)如图1，当a=60°时，∠CAE=-°； 27/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 a E 图1 【问题探究】 (2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC，BD相交于点F. ①如图2，当AC=2r时，求证：无论在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立： a A B 图2 ②如图，当4C-亭，8能-号时，补全图形，并求aa及能的值， BC 图3 ◆题型三圆与函数的综合 1.(2023湖南湘西.中考真题)如图(1)，二次函数y=ax2-5x+c的图像与x轴交于A-4,0),B(b,0)两 点，与y轴交于点C(0,-4). 28/38 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 图(1) 图(2) (1)求二次函数的解析式和b的值 2在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M,使SM-Sc?若存在，请求出点M的坐标；若 3 不存在，请说明理由. 3)如图(2)，作点A关于原点O的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆，点E是圆在x轴上方圆弧上 的动点（点E不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE,使点E移动到点 E,线段AE的对应线段为4"E,连接E'C,AA,AA的延长线交直线E'C于点N,求 V的值. 2.(2023湖南中考真题)如图，点A,B,C在O0上运动，满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点D,使得 ∠DBC=∠CAB,点E是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F,交 BC的延长线于点N,交OO于点M(点M在劣弧AC上). B E (1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； (2)记aBDC,4ABC,aADB的面积分别为S,S,S,若S,·S=(S2),求(tanD)的值； (3)若⊙0的半径为1，设FM=x,FE·FN· V BC.BN十AEAC=y,试求y关于x的函数解析式，并写出 1 自变量x的取值范围. 29/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 0 E .在Rt△OFM中，OF=VOM2-FM2=V-x2. M ∴BF=B0+0F=1+-x,AF=0A-0F=1--x. 在Rta4FE中，EF=AF:tana=--）ana,AE=4F-l-- cosa cosa 在Rt△ABC中，BC=AB.sina=2sina.(r=l,.AB=2) AC AB.cosa =2cosa. 在Rt△BFW中，BN-C-+-之，FW-B即1+F sina sina tana tand 1 1 .y=FE·FN VBC.BN+AE·AC x2. 1 1 V2+2W1-x22-2V1-x =x2 2-2W1-x2+2+2V1-x2 1 4-41-x2） =x2.1 =x. 即y=x. ,FM⊥AB, 3.(2021湖南长沙.中考真题)如图，点0为以AB为直径的半圆的圆心，点M,N在直径AB上，点P, Q在AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在OP上运动（点C与点P,Q不重合），连接BC并延长交 MQ的延长线于点D,连接AC交MQ于点E,连接OQ. 30/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D Q B (1)求sin ZA00的值； （2)求4M的值； MN (3)令ME=x,QD=y,直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量 x的取值范围. 命 题 测 1.(2026湖南株洲.一 模)己知四边形ABCD是平行四边形，AB=2AD,LA=60°.点P从点B出发沿BC边 向点C运动(P不与B、C重合)，同时点E从点A出发沿AB边向点B运动，点E的运动速度是点P的运 动速度的2倍.连接PE,DE,作△PEB的外接圆O与射线DE相交于另一个点F,连接PF. D(F 0 图1 图2 图3 (1)【基础感悟】如图1，若AE=8,求BP的长； (2)【初步探索】如图2，当点P运动到线段BC的中点时，求证：PF∥AB; 3)【深度探索】如图3，随着点P的运动，点F的位置也在变化，当点F与D重合时，连接BD,①求证： ∠CBD=90°；②求BP的值. BC 2.(24-25九年级上江苏盐城期中)如图1，在⊙0中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧C0D与直线AB相 切于点C,且0C=10. 31/38 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B A AP 图1 图2 图3 (1)求点D到直线AB的距离. (2)如图2，优弧C0D上存在一动点M，0M从0C出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间 为t秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线1川OC,直线1与优弧COD交于另一点N. ①当直线1与优弧C0D相切时，t的值为一· ②当t=2时，求阴影部分面积. (3)在(2)的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD,与直线AB交于点P,则在转动过程中，CP的 最大值为 3.(2026湖南长沙.一模)己知AB为00的直径，AB=2,点C在00上.连接OC,BC,过点0作 OD∥BC,交OO于点D.DE⊥OB,垂足为E D D E 图1 图2 图3 (1)如图1，连接BD,当DE的延长线恰好交O0于点C时，求证：四边形OCBD是菱形； (2)如图2，连接4C,DC,DC交半径OB于点F,当∠OCD=∠CAB时，求线段EF的长， )如图3，连接4C,AD,DB,设a0DE面积为S,四边形ACBD的面积为S,A OE=y,如果 S2=x·S,(x>6),求y关于x的函数解析式. 4.(2026湖南长沙.一模)如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点E,对角线 AC平分∠BAD.点F在线段AC上，满足CF=CD,连接FB,FD. D E F 32/38 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：△ABE∽△ACD; 2若Sc0=S.n,求4B+D的值， BD (3)若∠BFD=∠BCD,⊙O的半径为1，记DE=x, ABVCE+CE:AD-Y,试求出y关于x的函数解析 式，并直接写出二的最大值， 5.(2026湖南长沙.二模)定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么 这个四边形叫作和谐四边形，这条对角线叫作四边形的和谐对角线.如图1，在四边形ABCD中，若 S△ABC=S△4CD,则四边形ABCD为和谐四边形，AC为四边形ABCD的和谐对角线. 图1 图2 图3 图4 (1)①判断：平行四边形 和谐四边形（填“是”或者“不是”）； ②如图2，已知四边形ABCD是和谐四边形，和谐对角线AC与对角线BD交于点O,求证：BO=DO; (2)如图3，已知四边形ABCD是和谐四边形，和谐对角线AC与对角线BD交于点E,AC-2CE=BC·猜 想并证明∠BCE与∠DAC的数量关系； (3)如图4，ABC中，AB=BC=3,以BC为直径的OO分别交AB,AC于点N,M,已知四边形BCMN是 和谐四边形，连接BM,CN交于点D,求△NDM的面积. 6.(2026湖南一模)如图1，在ABC中，∠A=45°，AB=8,点D为边AB上一点，且AD=2,经过 D,B,C三点的圆交边AC于点E,连接BE,DC交于点F,连接DE· 图1 图2 图3 (1)当DE⊥AB时，求证：ABC是等腰直角三角形； (2)如图2，当BE=BC时，求cos∠CDB的值： (3)如图3，当BE⊥CD时，求AE的长. 33/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2026湖南长沙.一模)如图，四边形ACPD是⊙0的内接四边形，点B是DC延长线上一点，连接 4B、A0、1B1P交直径CD于E,若∠B1C=∠4DB,am∠ADB=号AB=20. E (1)求证：AB与⊙0相切： 2若AP平分∠CAD,求PE的值； AP (3)设CE=x,记a CPPD,b=ABEP,若y=4C.4D+h,求y关于的函数解析式，并求自变量X的 PE 取值范围。 8.(2026·湖南长沙.一模)如图1，AC是⊙0的直径，AD是0的弦，∠ADC的平分线DB交O0于点B, 交AC于M,连接AB、CB. C M B B B 图1 图2 图3 (1)填空： AD2 CD2 AD CD DMDM (直接将结果写 BDBD AD CD 在相应的横线上) (2)如图2，过点D作DN1AC,垂足为N,若AD=25CN,求tanZABD的值； (3)如图3，记DC=m,DA=n, ①试用含m,n的式子表示DM.MB; ②若点I是△ACD的内心，试用含m,n的式子表示 IM D 9.(2026湖南模拟预测)如图，AB是O0的直径，C是O0上一点，连接AC、BC,延长CB至点D,连 接AD交OO于点E,过点E作EF⊥CD于点F,连接BE、CE, 34/38 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B F D 请从"①∠ABE=∠DBE;②AB=BD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解 决下列问题： (1)求证：EF与00相切； 2若4B1CE,求Cg的值： AB B若AB=5,设△BEF的面积为S,四边形4CBE的面积为S,当=】时，求BE的长. S2111 10.(25-26九年级上江苏盐城期末)如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过(1，-2)和(2，-3两点，直线 2x+2交x轴于点4，交y轴于点B. B 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线1的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线1于点C,以 CD为直径作OE,当OE与y轴相切时，求点D的坐标； (3)如图2，在(2)的条件下，把0E向上平移，使圆心落在x轴上，得到oE',过点H(-2,0)作HF⊥x轴， 交直线1于点F,连接OF,问在⊙E'上是否存在一点P,使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积 的最大值，若不存在，请说明理由， 11.(2025江苏扬州.中考真题)材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡，“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部， 这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质. 35/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心 的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N)所作的气-液界线的切线与固-液 界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角. 空气（气相） 气-液界线 →水滴（液相） 固-液界线 N彐材料（固相） 图1 图2 图3 (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图 痕迹，写出必要的文字说明) (2)材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”"不变"“变弱”). 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC),求出∠BAC的度数，进而 求出接触角∠CAD的度数（如图3）， (3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由 【创新思考】 (4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出 一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化， 12.(2025青海西宁，中考真题)综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） b 如图1，在锐角ABC中，探究 sin∠BAC'sin∠ABC'sin∠ACB 之间的关系. 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： C b O B a D a B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，过点A作AD⊥BC,垂足为D,过点B作BE⊥AC,垂足为E 36/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△ABD中，si∠ABC=AD AD=csin∠ABC, 在Rt4DC中，sin∠ACB=AD , .AD=b·sin∠ACB, 六csin∠ABC=b.sin LACB,即，b 'sin∠4BC sin∠ACB 同理，在Rt△AEB中，BE=_, 在RtABEC中，BE=—, 即 sin∠BAC sin∠ACB' b sin /BAC sin ZABC sin ZACB 【结论应用】 (2)如图2，在ABC中，AB=2√3，∠A=70°，∠B=50°.求AC,BC的长.（结果保留小数点后一位； 参考数据：sin50°≈0.77，sin70°≈0.94.) 【深度探究】 (3)如图3，⊙0是锐角ABC的外接圆，半径为R· b 求证： =2R. sin∠BAC sin∠4BC sin∠ACB 【拓展应用】 (4)如图4，在ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直 径的OO分别交AB,AC于点E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值是 13.(2025江苏淮安.中考真题)探究与应用 【问题初探】(1)在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P(不与端点重合)，连接4AP,线段 AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1)，过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中，：∠ADB=90°，AB2=AD2+BD2. D 图(1) ① 37/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtAAPD中，：∠ADP=90°，AP2=-· ② 由①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=(BD+PDBD-PD. :AB=AC,AD⊥BC, :BD=- .BD-PD CD -PD=CP … 根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是- 【简单应用】(2)如图(2)，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，AD=AC=2, 以CD为边构造正方形CDEF,利用(1)中的结论求正方形CDEF的面积. 4 D P D B B (图2) (图3) (图4) 【灵活应用】(3)如图(3)，O0是ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D,连接OB、OD,若 08=9,0=5,82-求BD的长 【深度思考】(4)如图(4)，在ABC中，C=120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足 4D=DE=E,4、gD交于点R若m∠CE=分则阳2的值为- PA-PE 38/38