专题09 二次函数综合（复习讲义）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 二次函数综合 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 二次函数综合（热考）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数解析式的求法 题型二 二次函数图象与性质 题型三 二次函数与一元二次方程综合 题型四 二次函数图像与各项系数间的关系 题型五 二次函数实际应用 题型六 二次函数与平行四边形存在性 必备知识 知识 1 二次函数的图像与性质 知识 2 二次函数图像与各项系数间的关系 知识 3 二次函数的平移、对称 知识 4 二次函数与方程、不等式 命题预测 考点二 二次函数综合（压轴）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一 二次函数与特殊三角形存在性 题型二 二次函数与特殊四边形存在性 题型三 二次函数与相似三角形综合 题型四 二次函数与线段和差最值 题型五 二次函数与角度问题 题型六 二次函数动点问题与面积定值 / 最值 题型七 二次函数新定义题型 命题预测 命题透视 二次函数是中考数学压轴核心考点，通常以试卷最后一题（12-14 分）形式出现，分层设问、梯度明显： 1）第 1 问（基础送分）：求抛物线解析式、顶点 / 交点等基础性质，是必拿分环节。 2）第 2 问（中档区分）：核心考线段 / 周长 / 面积最值、常规存在性问题，用铅垂高法、将军饮马、坐标法解决。 3）第 3 问（压轴拉分）：考复杂存在性（特殊三角形 / 四边形、相似）、动点轨迹、几何变换综合，核心是数形结合 + 分类讨论。 热考角度 考点 2025年 2024年 解析式与基础性质 T25（湖南省卷·解析式求法） T26（湖南省卷·性质应用） T25（湖南省卷·解析式确定） T25（长沙市卷·性质探究） 线段 / 周长最值 T26（湖南省卷·线段最值） T25（长沙市卷·周长最值） T25（湖南省卷·线段最值） T26（长沙市卷·周长最值） 面积最值 T26（湖南省卷·面积最值） T25（长沙市卷·面积最值） T25（湖南省卷·面积最值） T26（长沙市卷·面积最值） 特殊三角形存在性 T25（长沙市卷·等腰三角形存在性） T26（湖南省卷·直角三角形存在性） T25（湖南省卷·等腰三角形存在性） T26（长沙市卷·Rt△存在性） 特殊四边形存在性 T25（长沙市卷·平行四边形存在性） T26（湖南省卷·菱形存在性） T25（湖南省卷·平行四边形存在性） T26（长沙市卷·矩形存在性） 相似三角形存在性 T26（湖南省卷·相似存在性） T25（长沙市卷·相似存在性） T25（湖南省卷·相似存在性） T26（长沙市卷·相似存在性） 动点轨迹与几何变换 T26（湖南省卷·动点轨迹） T25（长沙市卷·几何变换综合） T25（湖南省卷·动点轨迹） T26（长沙市卷·变换综合） 命题预测 二次函数压轴题将延续分层设问、梯度明显的命题风格，第 1 问仍以求解析式、基础性质为送分题；第 2 问核心考查线段 / 面积最值、常规存在性问题，铅垂高法、将军饮马等经典模型仍是核心；第 3 问将以特殊三角形 / 四边形、相似三角形的存在性为核心，结合动点轨迹、几何变换（平移 / 旋转）综合考查，强化数形结合与分类讨论思想，同时会适度创新情境，突出对数学核心素养的考查。 考点一 二次函数综合（热考） 题型一 二次函数解析式的三种求法 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．    (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可． （2）先将二次函数变形为顶点式，求得顶点坐标，然后利用矩形、三角形的面积公式即可求得答案． （3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴设二次函数的表达式为 ∵， ∴，即的坐标为 则，得 ∴二次函数的表达式为； （2） ∴顶点的坐标为 过作于，作于， 四边形的面积 ；    （3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时， 连接，过作交于，过作于，    ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵， ∴， 即， ∴ 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴的坐标为 所以过的直线的解析式为 令 解得，或 所以直线与抛物线的两个交点为 即所求的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用． 2．（2022·湖南常德·中考真题）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标； (3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值 【答案】(1) (2) (3) 的最大值为 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可； （3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为： （2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限， 设 且 记OA与对称轴的交点为Q， 设直线为： 解得： 直线为： 解得：或 ∵ 则 （3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大， 设AB为： 代入A、B两点坐标， 解得： ∴AB为： 解得： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键． 3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 题型二  二次函数的图象与性质 1．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可． 【详解】解：对于y=（x-1）2+5， ∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为（1，5），故B错误； 该函数有最小值，最小值是5，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 2．（2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 3.（2021·湖南岳阳·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ） A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1 【答案】D 【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）； 若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况: 当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得：； 当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有， 解得：； 综上可得：的最大值和最小值分别是，． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等． 题型三 二次函数与一元二次方程综合 1．（2023·湖南·中考真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B．    【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义可得：， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点， ∴ ∵对于任意实数总成立， ∴ 整理得， ∴ ∴， ∴，或 当时，解得， 当时，此不等式组无解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键． 3．（2023·湖南郴州·中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． （2023·湖南·中考真题）已知二次函数． (1)若，且该二次函数的图像过点，求的值； (2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．    ①求证：． ②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可求解； ②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数解析式为， ∵该二次函数的图像过点， ∴ 解得：； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵该二次函数的图像与轴交于点，且， ∴，， ∵． ∴， ∵的半径长为线段的长度的倍 ∴， ∵， ∴， ∴， 即①， ∵该二次函数的图像与轴交于点， ∴是方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 即②， ①代入②，即， 即， 整理得， ∴， 解得：（正值舍去） ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5.（2022·湖南永州·中考真题）已知关于的函数． (1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； (2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． (3)阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)或，0 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值； （2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论； （3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可． 【详解】（1）根据题意，得 解之，得，所以 函数的表达式或，当时，的最小值是-8． （2）根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以． （3）函数的图象 图1： 即， 所以，的值不存在． 图2： 即的值. 图3： 即 所以的值不存在 图4：即 所以的值不存在． 图5： 即 所以的值为 图6：函数与轴的交点为 所以的值为0成立． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观． 题型四 二次函数图像与各项系数间的关系 1．（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当与时的函数值相等， ∴，故②符合题意； ∵当时函数值最大， ∴， ∴；故③不符合题意； ∵点和点在该图象上， 而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小， ∴．故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键． 2．（2023·湖南·中考真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（    ）    A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可． 【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴， ∴对称轴为直线， 当时，则， 当时，则， ∴a，b异号， 故选C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键． 题型五 二次函数实际应用 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【答案】(1)4万元 (2) (3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【分析】（1）把代入可得答案； （2）当时，可得，再解方程可得答案； （3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：， 当时，（万元）； （2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意）， ∴m的值为8． （3） 设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元， ∴ ， 而， ∴当时，（万元）； ∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 2.（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m (2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . 【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程． 题型六 二次函数与平行四边形存在性 1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F． (1)求抛物线和直线BC的函数表达式， (2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长． (3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为 (2)点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为 (3)存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5) 【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求解析式； （2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式，从而找出对应点P坐标，进而求出周长； （3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC是否为对角线分情况进行分析，设出点G的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解． 【详解】（1）解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得： ，解得 ， 所以抛物线解析式为，C(0，3) 设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得： ，解得 ， 所以直线BC的函数表达式为 （2） 解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得： 整理得 ，解得 ， 将代入，解得， 将代入得， 即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,) 将代入得， 则此时， 因为△PEF为等腰直角三角形， 则△PEF的周长最大为 （3）答：存在． 已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ(， )，N(1，n)， 当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，，则G点坐标为(2，3)； 当BC为平行四边形的边时，由题意可知： 或 ，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5) 故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论． 2．（2021·湖南郴州·中考真题）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； （3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或． 【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可； （2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解； （3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为，即为； （2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有， ∴， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠CAO=∠ACO=45°， ∵， ∴∠AED=∠CAO=45°， ∴∠AED=∠PEF=45°， ∵， ∴△PEF是等腰直角三角形， 过点F作FT⊥PD于点，如图所示： ∴， ∴， ∴要使面积最大则PE的值为最大即可， 设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 设点，则， ∴， ∵-1＜0，开口向下， ∴当时，PE有最大值，即为， ∴△PEF面积的最大值为； （3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线， ∴，∠CAO=∠ADQ=45°， ①当以AC为平行四边形的边时，如图所示： 过点P作PG⊥l于点G， ∵四边形APQC是平行四边形， ∴，AC∥PQ， ∴∠ADQ=∠PQG=45°， ∴△PQG是等腰直角三角形， ∴， ∴点P的横坐标为-4， ∴； ②当以AC为平行四边形的边时，如图所示： 同理①可得点P的横坐标为2， ∴； ③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示： ∵四边形AQCP是平行四边形， ∴， 设点， ∴由中点坐标公式可得：， ∴， ∴； 综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 知识1 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识2 二次函数图像与各项系数间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 知识3 二次函数的平移、对称 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 知识4 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1．（2025·湖南岳阳·一模）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小,据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对于抛物线的，开口向下，选项说法正确，符合题意； B、对于抛物线，开口向下，在时，函数的最大值是3，选项说法不正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法不正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 3．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象． 【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限 ∴ ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， ∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限 ∴， ∴ ∴ ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴一次函数的图象大致是： 4．（2026·湖南永州·一模）如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 【详解】解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 5．（2026·湖南·模拟）如图，抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图，则下面结论中： ；；；； 若点在此抛物线上，且，则． 所有正确结论的序号为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由，对称轴为，即，可得，，从而可判断，设抛物线与轴的交点为，且在正半轴上，由，对称轴是直线，则有，即，再通过，得，再结合时，即可判断；由，，所以，从而可判断；根据题意 ，所以从而可判断；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为，即， ∴，， ∴，；故错误；正确； 设抛物线与轴的交点为，且在正半轴上， ∵，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴时，， ∵， ∴， 故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴故正确； 根据题意， ， ∴； ∴， ∵， ∴， 解得或，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 6．（2026·湖南·模拟预测）定义：将抛物线（，）沿x轴向下翻折得到的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：①；②；③当或时y随x的增大而增大；④关于x的方程有三个实数根．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意判断出，，由对称轴为直线得到，即可判断①；然后根据图象经过点得到，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为，结合图象即可判断③；首先求出抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：①根据题意得，， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 根据题意得，抛物线经过点 ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴函数与x轴的另一个交点为， ∴由图象可得，当或时y随x的增大而增大，故③正确； 根据题意得，抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴抛物线沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为， ∴由图象可得，与直线有三个交点， ∴关于x的方程有三个实数根， ∴关于x的方程有三个实数根，故④正确． 综上所述，其中正确结论的个数为3． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 8．（2026·湖南·模拟）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 9．（2025·湖南常德·模拟）如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的_________． ①，②，③，④．    【答案】③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解决本题的关键是运用数形结合思想．由抛物线的开口判断a的符号，由对称轴判断b的符号及b与的关系，由一次函数的图象和性质可判断k的取值范围，由一次函数与二次函数的交点可判断k与的关系，进而得解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴是直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故①不正确； ，故②不正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，， ， ， ， ， 点A的坐标为． 当直线的时，， ， ． ，故③正确； 联立得， 整理得， 解得， 由图象知：， ， ，故④正确． 综上，正确的命题有③④． 故答案为：③④． 10．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答； （2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求解，再两种情况讨论即可； （3）过点作于点，作交于点，可得，求得点，再将沿翻折得到，延长交与点，求出另一个点即可． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点； （2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得或， 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意； ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在， 令， 解得， ， ， ∴直线l为直线， 作点关于直线l的对称点B， ， 如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点， 根据翻折可得， 过点作于点，延长交于点， 根据翻折可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，，， 可得， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点或时，． 11．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 12．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 13．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． (2)当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． (3)当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)1或8 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可先求得抛物线的解析式，从而得到顶点坐标，即可得到值； （2）分情况讨论：当轴时，点，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；当轴时，则，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案； （3）根据题意可知，求得的取值范围，然后用表示出点，的坐标，接着用表示出，，结合，得到关于的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 抛物线解析式为， 顶点坐标为， 点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为， ， 解得：. . （2）解：①轴， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， 当轴时，点，关于直线对称， ， ，则，， ，， 点与点的纵坐标的差为； ②轴 同理，当轴时，则，关于直线对称， ，，则， ，； 点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8； （3）解：如图所示， ，都在对称轴的左侧，则， ， ，，即， ；， ， ，即， 解得：或（舍去）， 的值为． 14．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 15．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 考点二 二次函数综合（压轴） 题型一 二次函数与特殊三角形存在性 1．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 2．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入，得 解得： ∴抛物线解析式为； （2）∵， 顶点坐标为， 当时， 解得： ∴，则 ∵，则 ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴到的距离等于到的距离， ∵，，设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，    设的解析式为，将点代入得， 解得： ∴直线的解析式为， 解得：或 ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形，且， 如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或； （3）①当时，如图所示，过点作交于点， 当点与点重合时，是直角三角形， 当时，是直角三角形，    设交于点， ∵直线的解析式为， 则， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则 ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ ∵是锐角三角形 ∴； 当时，如图所示， 同理可得 即∴ 解得：或（舍去） 由（2）可得时，    ∴ 综上所述，当是锐角三角形时，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2021·湖南怀化·中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程． （4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）点，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q为直角顶点的等腰时，点或，理由见详解． 【分析】（1）由题意易得，然后设二次函数的解析式为，进而代入求解即可； （2）由题意易得，要使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则可分①当时，②当时，进而分类求解即可； （3）由题意可得作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，最后求解即可； （4）由题意可分①当点Q在第二象限时，存在等腰，②当点Q在第一象限时，存在等腰，然后利用“k型”进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 设二次函数的解析式为，代入点C的坐标可得：，解得：， ∴二次函数的解析式为，即为； （2）存在以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下： 由（1）可得抛物线的解析式为，则有对称轴为直线， 设直线BC的解析式为，代入点B、C坐标可得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， ∴点，， ∴由两点距离公式可得， 若使以点P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有， ①当时，则有轴，如图所示： ∴点， ②当时，如图所示： ∴， ∴， ∴点； （3）由题意得：动点G从点D出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G走过的路程最短则有作点D关于x轴的对称点H，作点C关于抛物线的对称轴的对称点I，然后连接HI，分别与x轴、抛物线的对称轴交于点E、F，此时的点E、F即为所求，HI即为动点G所走过的最短路程，如图所示： ∵OC=8，点D为CO的中点， ∴OD=4， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设直线HI的解析式为，则把点H、I坐标代入得：， 解得：， ∴直线HI的解析式为， 当y=0时，则有，解得：， 当x=1时，则有， ∴点， ∴点G走过的最短路程为； （4）存在以点Q为直角顶点的等腰，理由如下： 设点，则有： ①当点Q在第二象限时，存在等腰时，如图所示： 过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，如图所示， ∴， ∴四边形COLK是矩形， ∴CK=OL， ∵等腰， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； ②当点Q在第一象限时，存在等腰时，如图所示： 同理①可得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述：当以点Q为直角顶点的等腰时，点或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定、轴对称的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 题型二 二次函数与特殊四边形存在性 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值． (3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点为或或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解； （3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧） 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为． 则，， ∴，当时，取得最大值为， ∵， ∴当取得最大值时，最大， ∴， ∴面积的最大值； （3）∵抛物线与轴交于点， ∴，当时，，即， ∵， ∴, ，， ①当为对角线时，，    ∴， 解得：， ∴， ∵的中点重合， ∴， 解得：， ∴， ②当为边时， 当四边形为菱形，    ∴， 解得：或， ∴或， ∴或， 由的中点重合， ∴或， 解得：或， ∴或， 当时； 如图所示，即四边形是菱形，    点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标， ∴点为或， 综上所述，点为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键． 2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．    (1)请求出抛物线的表达式． (2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或 【分析】（1）把代入，求出即可； （2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，证明可得故可得，； （3）先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点， ∴把代入，得， 解得， ∴解析式为：； （2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，    ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 同理可证明： ∴ ∴ ∴； （3）解：抛物线上存在点，使得． ， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点， ，， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接， 则，，，    ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即点与点重合时，， ； ，， ， ， 点与点关于直线对称， ； 综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 3．（2022·湖南湘潭·中考真题）已知抛物线． (1)如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围． 【答案】(1)①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析 (2)b<或b> 【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可； （2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围． 【详解】（1）①解：把，代入，得 ， 解得：， ∴ ②解：存在，理由如下， 设直线AB的解析式为y=kx+b，把， 代入，得 ， 解得， ∴直线AB的解析式为y=x-3， 设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3） 若点是线段的三等分点， 则或， 即或， 解得：m=2或m=或m=3， 经检验，m=3是原方程的增根，故舍去， ∴m=2或m= ∴点P坐标为(2，-3)或（，-） （2）解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4， ∴直线， 当x=0时，y=4，即点C（0，4） ∴CD==5， ∵四边形CDFE是菱形， ∴CE=EF=DF=CD=5， ∴点E（5，4） ∵点在抛物线上， ∴（-3）2-3b+c=0， ∴c=3b-9， ∴， ∵该抛物线与线段没有交点， 分情况讨论 当CE在抛物线内时 52+5b+3b-9<4 解得：b< 当CE在抛物线右侧时， 3b-9>4 解得：b> 综上所述，b<或b> 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论． 题型三 二次函数与相似三角形综合 1．（2022·湖南·中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值． 【答案】(1)；顶点为 (2)或 (3)见解析 【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得； （2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得； （3）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得． 【详解】（1）解：设二次函数表达式为：， 将、代入得： ， 解得，， 抛物线的函数表达式为：， 又，， 顶点为； （2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为． ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； 综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似； （3）解：点关于点的对称点为点， ， 直线与抛物线图像只有一个公共点， 只有一个实数解， △， 即：， 解得：， 利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：， 联立，结合已知， 解得：， 同理可得：， 则：，， ， 的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键． 2．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． (1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； (3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解； （3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可． 【详解】（1）解：由翻折可知：. 令，解得：，， ∴，， 设图象的解析式为，代入，解得， ∴对应函数关系式为=． （2）解：联立方程组， 整理，得：， 由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根， 由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点； （3）解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称， ∴点N的横坐标为1，∴； 如图2，当时，，此时，点纵坐标为2， 由，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图3，当时，，此时，直线的解析式为， 联立方程组：，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以， 因此，综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度． 3.（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的对称轴． （2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线． ①求抛物线的解析式． ②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或 【分析】（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴； （2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式； ②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m的值． 【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点， 这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,； （2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1， 根据交点式可求出C1二次函数表达式为； ②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0 由图像可知∠BOC=∠DEO=90°， 则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况， （i）当△ODE∽△BCO时， 则，即， 解得m=1或-2（舍）， （ii）当△ODE∽△CBO时， 则，即， 解得 所以满足条件的m的值为1或． 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键． 题型四 二次函数与线段和差最值 1．（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 题型五 二次函数与角度问题 1．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 2．（2021·湖南株洲·中考真题）已知二次函数． （1）若，，求方程的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x轴交于点、，且，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足 ，． ①求证：； ②连接BC，过点D作于点E，点在y轴的负半轴上，连接AF，且，求的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②=2 【分析】（1）根据判别式公式代入求解即可． （2）①通过条件，得到OC=OB，再根据ASA即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明，得到，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】解：（1）当，时，方程为：， ， （2）①证明：∵，且， ∴， ∴， 在与中，   ， ∴． ②解：，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴,， 在中，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， 即：， ∴=2或=-1（舍）， 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 . 题型六 二次函数动点问题与面积定值/最值 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 2.（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 题型七 二次函数新定义题型 新定义问题是数学考试中必考的题型，无论在哪个阶段，都会出现此类问题，但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义，“旧酒”就是学过的知识，然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力. 1．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2； (2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析； (3)能构成正方形，此时． 【分析】（1）根据题意得到即可解答； （2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可； （3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②，令，解得， ∴过定点，． 答：函数y2的图像过定点，． （3）解：由题意可知，， ∴， ∴， ， ∵且， ∴； ①若，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 2．（2021·湖南长沙·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由； （3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为． 【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得； （2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”； （3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称， ， ， ， 将点代入得：， 故答案为：； （2）由题意，分以下两种情况： ①当时， 假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”， 则， 解得，与相矛盾，假设不成立， 所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”； ②当时， 函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”； 综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”； （3）由题意，将代入得：， ， 设点与点是“函数”图象上的一对“点”， 则，解得， ， 联立得：， “函数”与直线交于点，， 是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ， ，即， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键． 3．（2021·湖南衡阳·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”． （1）求函数图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时． ①求c的取值范围； ②求的度数； （3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或 【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出 “雁点”坐标即可； （2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解； （3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标． 【详解】解：（1）联立， 解得或     即：函数上的雁点坐标为和． （2）① 联立 得 ∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根， ∴ ∵ ∵ ∴ ② 将代入，得 解得，∴ 对于，令 有 解得 ∴ 过E点向x轴作垂线，垂足为H点， EH=，MH= ∴ ∴ 为等腰直角三角形， （3）存在，理由如下： 如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H 设C（m，m），P（x，y） ∵ △CPB为等腰三角形， ∴PC=PB，∠CPB=90°， ∴∠KPB+∠HPC=90°， ∵∠HPC+∠HCP=90°， ∴∠KPB=∠HCP， ∵∠H=∠PKB=90°， ∴△CHP≌△PKB， ∴CH=PK，HP=KB， 即 ∴ 当时， ∴ 如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB ∴ KP=JB，KC=JP 设P（x，y），C（m，m） ∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x， 即 解得 令 解得 ∴或 如图3所示， ∵△RCP≌△TPB ∴RC=TP，RP=TB 设P（x，y），C（m，m） 即 解得 令 解得 ∴ 此时P与第②种情况重合 综上所述，符合题意P的坐标为或或 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键． 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）对于平面内任意一点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点．若点是线段的中点，则称为点关于这条抛物线的共轭点．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点关于抛物线的共轭点的纵坐标（用含的代数式表示）； (3)设点为平面内任意一点，其共轭点为．已知点在直线上运动，记点的横坐标为． ①当点落在轴上时，求此时的值； ②在①的条件下，若线段上存在一点，使得最小，直接写出点关于抛物线的共轭点的坐标． 【答案】(1) (2)点关于抛物线的共轭点的纵坐标为； (3)①或；②或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据共轭点的定义求解即可； （3）①由题意得，求得，再根据共轭点的定义求解即可； ②要两种情况讨论，根据共轭点的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作平行于y轴的直线， ∴， ∴点M的坐标为， ∵M是的中点， 设，根据中点坐标公式得， ∴， ∴点关于抛物线的共轭点的纵坐标为； （3）解：①∵点P在直线上，横坐标为n， ∴，过P作平行于y轴的直线， ∴， ∵M是的中点，且在x轴上， 根据中点坐标公式得， 整理得， 解得或； ②令，则， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为； 当时， ∴，即， 根据中点坐标公式得； ∵和，直线与轴交于点，此时最小， ∴点关于抛物线的共轭点； 当时， ∴，，根据中点坐标公式得； 作关于直线的对称点， 连接与交于点， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，解得， ∴点， 当时，， ∴， 由中点坐标公式得， 解得， ∴， 综上，点关于抛物线的共轭点的坐标为或． 2．（2026·湖南益阳·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于两点，开口向下的二次函数图象经过两点． (1)求两点的坐标； (2)如图1，图象关于轴对称，图象与轴交于点．点分别是图象上的两个动点，且点在直线的上方．过点作轴的垂线交于点，交轴于点．设和的面积分别为和，若（为常数，且），求证：； (3)如图2，图象的最低点与的最高点之间的距离等于12．点是图象上在对称轴右边的动点．过点作轴的平行线与图象的另一个交点为（点不重合），与图象的交点分别为（点不重合，且点在的左侧）．若，求的长． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)或 【分析】（1）令解一元二次方程，即可求得抛物线与轴交点坐标． （2） 先求出点坐标及直线、解析式，设点横坐标为，用表示、相关线段长，利用三角形面积公式分别表示、，化简后求比值． （3） 根据最低点与最高点距离为12求出参数的值，得到解析式；设点横坐标，利用对称性表示、、、，根据列方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得， 解得，， 在左侧， ，． （2）解：∵与关于 x 轴对称，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 直线的解析式为， 设 ，其中 ， ∵ 过点 E 作 轴的垂线，交于点 H，交x轴于点 D， ∴ H的坐标为 ，D的坐标为 ， ∴ ，， ∵ ，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：， 最低点为， 设， 开口向下且经过 、 两点， ， ， 最高点为， 由题意得， 解得， ， 对称轴为直线，且、关于对称轴对称， 设，则，，其中， 点、在上，轴， 点、的纵坐标为， 令， ， ， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， 又， ， ， ， ， 即， 当 时： ， ， ， ， ， ， ； 当 时： ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为或． 3．（2026·湖南郴州·一模）已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 【答案】(1)①，② (2)或 【分析】（1）①根据抛物线对称轴得，再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线得表达式； ②过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，先证得是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，推出，利用待定系数法求得直线的解析式，设，，表示出的长度表达式，此时该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果； （2）先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果． 【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴为， ∴， 又∵抛物线经过点， ∴将点A代入抛物线解析式，得：， 解得， ∴抛物线表达式为； ②如图，过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N， 令，则， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将点A，B代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴， 当时，， ∴． （2）解：∵二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 此时分情况讨论： ①如图， 若，则当时，y随x的增大而减小， ∴当时函数取得最大值，即， 解得，（舍去）； ②如图， 若，则函数y的最大值为0， ∴与函数y的最大值为矛盾， ∴此情况不符合题意； ③如图， 若，则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去）， 综上所述，或． 4．（2026·湖南张家界·一模）定义：与为“对偶点”，对于函数，若至少有一组对偶点在其图象上，且，则称该函数为“湖湘对偶函数”． (1)判断函数是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”； (2)若二次函数是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）； (3)已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)函数不是“湖湘对偶函数”，见解析 (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且，得到方程组，求解即可判断； （2）由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组，化简得，继续化简得，再代入， 整理为，再由求解即可； （3）点的“对偶点”为，代入，求出函数解析式为，然后求出，，，则，则，那么．设，则，得，求出，再代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且． 联立方程组 解得 此时，不满足． 故函数不是“湖湘对偶函数”． （2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组 化简得． 因为，两边除以，化简得 代入， 整理为， 因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解， 故判别式， 所以； （3）解：点的“对偶点”为，代入， 得，解得， 故函数解析式为． 令，得， 解得或． 故，， 所以． 令，得，故， 故， 由题意得． 设，则，得． 当时，，，无实根． 当时，，即， 解得， 所以点P的坐标为或． 5．（2026·湖南娄底·一模）如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 【答案】(1)， (2) (3)当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，可得，，，求出．过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q．得到，，根据，建立方程求解即可； （3）求出线段，分，即，，即，，即，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数， 得， 解得，； （2）解：设直线的表达式为， 将，两点代入，则， 解得， ∴直线的表达式为； 直线与图象，分别交于E，F两点，与线段交于点D． ，，， ，， ． 过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q． ，． ， ， 解得； （3）解：线段 ． 若t满足，且， ∴直线始终满足． i．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅱ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值为． 6．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，作直线． (1)求点B和点C的坐标； (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E．设点D的横坐标为m．请探究如下问题： ①当点E是线段的中点时，求线段的长； ②当四边形是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结交y轴于点P，若平分，求P点的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）分别令和进行计算即可； （2）①由题意求出直线解析式为，设，即可得到，根据点E是线段的中点得到，将代入，解得，即可得到答案； ②只需要，由①知，，得到，即可得到答案； ③根据角平分线定理，得到，设，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：令，， 解得， 点B在点A的右侧， ， 当时， ； （2）解：①，， 设直线解析式为：， 将，代入，得； ， 解得， ， ， 由题意可设， 过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F，与直线交于点E， ， 点E是线段的中点， ， ， 将代入， ∴， 解得， ， ， ； ②根据平行四边形的性质，， 只需要， 由①知，， ，四边形是平行四边形， 解得； ③，， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， 根据角平分线定理，得到， 设，则， ， 解得， 7．（2026·湖南邵阳·二模）某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数（为常数，且）上任意一点到点的距离与到直线的距离相等； (2)将函数的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到抛物线．若点，点是上的一个动点，试求的最小值； (3)在（2）的条件下，设与轴相交于A，B（点在点的右边）两点，顶点为点，点为的对称轴上的一点且平分，点是线段上的动点（点与A，C不重合），连接，将沿折叠得到，记与的重叠部分为．若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）在上任取点，计算出点到点的距离与到直线的距离即可证明结论； （2）根据平移可得抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等，可得的最小值即为点到直线的垂线段的长度，即可求解； （3）分，，三种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）证明：在上任取点， 则， ∵， ∴， ∵点到的距离， ∴上任意点到定点的距离与到定直线的距离相等． （2）解：由（1）知函数的图象上的任意点到点的距离与到直线的距离相等， ∵抛物线是由的图象向右平移1个单位，再向下平移个单位得到， ∴点平移到点，直线平移到直线， ∴抛物线上任意点到点的距离与到直线的距离相等， 过点作直线的垂线段，垂线段的长即为的最小值， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， 令时，， 解得，， ∴， ∴， 分三种情形讨论： 第一种情况：， ①如图（一）， ∵， ∴， 取点，则在中，，， ∴， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点为的中点，即． ②如图（二）， 当点在上从点到点的运动中，时， 由可知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， 由可知，， ∴， ∴． 第二种情况：， 如图（三）， 由可知，， ∴将沿折叠得到时，点与点重合， ∴此时与重合，即；   第三种情况：， ∵， ∴， 当将沿折叠得到， 若点在上，则， ∴， ∴， 若点在上，则， ∴，即， ∴不存在． 综上所述，满足题意的点的坐标为． 8．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果一个函数的图象与轴交于点，我们就说该函数是“点函数”． 例如：函数与轴相交于点，我们就说函数是“点函数”．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“点函数”（填“√”或“×”）． ① ；② ；③ ． (2)若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，求证：无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限． (3)已知二次函数是“点函数”，该函数的图象与轴相交于点，两点，与轴相交于点，且，点是该函数图象在第一象限内的动点，线段与线段相交于点，当点运动时，若满足时，试求点的坐标． 【答案】(1)√，×，× (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）先判断函数与轴交点坐标，进而由“点函数”定义判断即可； （2）由题意可知，整理得，进而得到无论取何值，该函数一定经过点，据此得证； （3）由题可得，再根据，以及可得点，，进而得出函数解析式为，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证，得到相关线段长度，设，则，由勾股定理列方程求解得到点的坐标，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式即可求出点坐标． 【详解】（1）解：①图象与轴交于点， ∴是“点函数”； ②图象与轴交于点， ∴不是“点函数”； ③图象与轴无交点， ∴不是“点函数”； （2）证明：若一次函数（其中是自变量，是的函数）是“点函数”，则， 整理得， 令，即时，， ∴无论取何值，该函数一定经过点， ∵点在第三象限， ∴无论取何值，该函数的图象一定经过第三象限； （3）解：∵二次函数是“点函数”， ， ， ∵该函数的图象与轴相交于点，两点， 则， ∴，， ， ∴， ∴点，，， ， ∴函数解析式为， 连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： 则， ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理可得， 在等腰中，，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， ， 则 解得或， 又，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式， 得，解得 ∴直线的解析式为， 联立得， 消去得，则， 解得或， 则或， 点是该函数图象在第一象限内的动点， ∴点的坐标为． 9．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 10．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 11．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：如果抛物线的顶点坐标满足条件，那么称抛物线为“同频”拋物线．如抛物线的顶点坐标为，此时，，满足条件，所以它是“同频”拋物线． (1)抛物线是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）． 当时，；（   ） 当时，；（   ） 抛物线与轴可能只有一个交点；（   ） (2)是否存在点，是“同频”拋物线上的点，其中，且，若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线的顶点为，它与直线交于，两点，若是等腰直角三角形，求代数式的值． 【答案】(1)√；√；×； (2)不存在，理由见解析 (3)代数式的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的关系，待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得，整理得，再结合已知条件分别判断； （2）由（1）得抛物线的顶点坐标为，，又，是“同频”拋物线上的点，则，得出，再结合，得，然后求出的值即可，再联立抛物线与直线，得出无交点，即可求解； （）先求出抛物线的顶点坐标为，又抛物线是“同频”拋物线，则，整理得，所以，根据题意得，解得，，所以，又是等腰直角三角形，所以顶点到的距离等于，得，整理得，求得，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， 根据“同频”拋物线可得：，整理得：， 当时，； ∵，， ∴； 由， ∴抛物线与轴没有交点， 故答案为：√；√；×； （2）解：不存在，理由如下： 由（1）可得抛物线，顶点坐标为，根据“同频”拋物线可得：，整理得： ∵，是“同频”拋物线上的点， ∴， 得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴该抛物线的解析式为； ∵， ∴在直线上， 联立 消去得， 即 ∴ ∴不在抛物线上，故不存在 （3）解：由抛物线， ∴顶点坐标为， ∵抛物线是“同频”拋物线， ∴，整理得：， ∴， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴， ， 解得：，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴顶点到的距离等于， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上可得：代数式的值为或． 12．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 13．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 14．（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D， 则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小． 设直线解析式为，（）， 把代入得，， 解得，， 即直线解析式为， 令得，， 解得，， 即点D的坐标为； （3）解：由（2）得，，， 设直线解析式为，（）， 将代入得，， 解得，， ∴直线解析式为． 如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S， 则，， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或． ∵， ∴或， ∴或， ∴点P的横坐标为或． 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或． 15．（2026·湖南永州·一模）如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，正确作出辅助线是解题的关键． 16．（2026·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定： 如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”； 如果满足，则称点与点是一对“平衡点”； 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”． (1)判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数是“完备函数”；（   ） ②函数上存在无数对“失衡点”；（   ） ③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（   ） (2)已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值． 【答案】(1)； ； (2)直线过定点 (3)最小值为 【分析】（1）根据“失衡点”和“平衡点”的定义进行判断； （2）设，，可得方程组：，整理得，由韦达定理得：，根据“失衡点”的定义可知：、中一个点坐标为，所以可知，可得直线过定点； （3）根据“失衡点”的定义，可知，根据、是抛物线上的一对“平衡点”，可得，所以当时，取得最小值为． 【详解】（1）解：①中，，无论取何值，都有， ， 不存在一对“失衡点”， 函数不是“完备函数”， 故①错误； ②函数中， 整理可得：， ， ， ， 整理得：， 当时，取任何值都有， 函数上存在无数对“失衡点”， 故②正确； ③若点与点是一对“平衡点”， 则有， 整理得：， 则有， 点与点一定不是一对“失衡点”， 故③错误； （2）解：设，， 根据题意可得：， 消整理得：， 由韦达定理得：， 又， ，， 、是抛物线上的一对“失衡点”， ， 解得：、中一个点坐标为， 将代入， 可得：， ， 直线过定点； （3）解：是等边三角形， 可得：， ， 函数是完备函数， ， 整理得：， 又， 解得：， 、是抛物线上的一对“平衡点”， 令， 整理得：， ， 又， ， ， ， 当时，取得最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09二次函数综合 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一 二次函数综合（热考)(Cm并单击鼠标可跟踪链接) 题型一二次函数解析式的求法 题型二 次函数图象与性质 题型三 真题动向 二次函数与一元二次方程综合 题型四二次函数图像与各项系数间的关系 题型五二次函数实际应用 题型六二次函数与平行四边形存在性 知识1二次函数的图像与性质 必备知识 知识2二次函数图像与各项系数间的关系 知识3二次函数的平移、对称 知识4二次函数与方程、不等式 命题预测 考点二 二次函数综合(（压轴)(C并单击鼠标可跟踪链接) 题型一二次函数与特殊三角形存在性 题型二 二次函数与特殊四边形存在性 题型三 二次函数与相似三角形综合 真题动向 题型四二次函数与线段和差最值 题型五二次函数与角度问题 题型六二次函数动点问题与面积定值/最值 题型七二次函数新定义题型 命题预测 01 析考情目标 1/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二次函数是中考数学压轴核心考点，通常以试卷最后一题(12-14分)形式出现，分层设问、梯度 明显： 命题 1)第1问（基础送分）：求抛物线解析式、顶点/交点等基础性质，是必拿分环节。 透视 2)第2问（中档区分）：核心考线段/周长/面积最值、常规存在性问题，用铅垂高法、将军 饮马、坐标法解决。 3)第3问（压轴拉分）：考复杂存在性（特殊三角形/四边形、相似）、动点轨迹、几何变换 综合，核心是数形结合+分类讨论。 考点 2025年 2024年 T25(湖南省卷解析式求法) T25(湖南省卷解析式确定) 解析式与基础性质 T26(湖南省卷性质应用) T25(长沙市卷性质探究) T26(湖南省卷线段最值) T25(湖南省卷线段最值) 线段/周长最值 T25(长沙市卷周长最值) T26(长沙市卷周长最值) T26(湖南省卷面积最值) T25(湖南省卷面积最值) 热考 面积最值 T25(长沙市卷面积最值) T26(长沙市卷面积最值) 角度 T25(长沙市卷等腰三角形存在性) T25(湖南省卷等腰三角形存在性) 特殊三角形存在性 T26(湖南省卷直角三角形存在性) T26(长沙市卷Rt△存在性) T25(长沙市卷平行四边形存在性) T25(湖南省卷平行四边形存在性) 特殊四边形存在性 T26(湖南省卷菱形存在性) T26(长沙市卷矩形存在性) T26(湖南省卷相似存在性) T25(湖南省卷相似存在性) 相似三角形存在性 T25(长沙市卷相似存在性) T26(长沙市卷相似存在性) T26(湖南省卷动点轨迹) T25(湖南省卷动点轨迹) 动点轨迹与几何变换 T25(长沙市卷几何变换综合) T26(长沙市卷变换综合) 二次函数压轴题将延续分层设问、梯度明显的命题风格，第1问仍以求解析式、基础性质为送分 命题 题；第2问核心考查线段/面积最值、常规存在性问题，铅垂高法、将军饮马等经典模型仍是核 心；第3问将以特殊三角形/四边形、相似三角形的存在性为核心，结合动点轨迹、几何变换（平 预测 移/旋转)综合考查，强化数形结合与分类讨论思想，同时会适度创新情境，突出对数学核心素 养的考查。 02 筑·专题框架 2/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 高频考点 核心关联一由的符号决定开口方向及增减性、最值 图像 a>0 开口向上的抛物线 ·开口特征一a越大，开口越窄 ·对称轴一直线x= (倾点式红=同 2a b 4ac-b2 a>0 顶点坐标一( 2a34a 顶点式为（亿，利 对称轴左侧(e< b )一y随x的增大而减小 图像与性质 增减性 对称轴右侧（红>-2 b y随x的增大而增大 最值一顶点纵坐标 4ac-62 4a一（有最小值） y 图像一 a<0 开口向下的抛物线 开口特征一a越大，开口越窄 次函数综合 对称轴一直线x=一 顺点式红=川 2a. b 4ac-62 a<0 顶点坐标一（一20 4a )(顶点式为（伍，） 对称轴左侧(：< b 2a )一y随x的增大而增大 增减性 对称轴右侧(：>- )一y随x的增大而减小 最值一顶点纵坐标4如c- 4a (有最大值) 若点(c1,小、(x2,)在抛物线上一对称轴为：=1十2 2 与x轴的两交点到原点的距离一x1,x2 学法指导一抛物线y=az2+bz+c(a≠0) 与y轴的交点到原点的距离一lc! 顶点到x轴距离一 4ac-b2 4a 五距 顶点到y轴距离一 b 公式适用条件一△≥0 与x轴的两交点的距离 1-2= b2-4ac 03 攻·重难考点 3/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点一 二次函数综合（热考） 真 题 动 向 ◆题型一二次函数解析式的三种求法 皮方法 1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a,b,c的三元一次方程组求解； 2)己知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的 一元一次方程； 3)当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它己知条件代 入，求出待定系数a,最后将解析式化成一般式； 4)己知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1.(2023湖南常德.中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C, 顶点为D.O为坐标原点，tanZACO=}】 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)求四边形ACDB的面积； (3P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠AC0=∠PBC,求P点的坐标. 2.(2022湖南常德.中考真题)如图，己经抛物线经过点0(0,0)，4A5,5),且它的对称轴为x=2. 4/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3X=2 (1)求此抛物线的解析式： (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△04B的面积为15时，求B的坐标： (3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA-PB的值最大时，求P的坐标以及PA-PB的最大值 3.（2023湖南湘西.中考真题)如图(1)，二次函数y=ax2-5x+c的图像与x轴交于A(-4,0),Bb,0两 点，与y轴交于点C(0,-4). A B\O 图(1) 图(2) (1)求二次函数的解析式和b的值. (2)在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M，使S△oM= SAx?若存在，请求出点M的坐标：若 3 不存在，请说明理由. (3)如图(2)，作点A关于原点O的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆.点E是圆在x轴上方圆弧上 的动点（点E不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE,使点E移动到点 E,线段AE的对应线段为AE,连接E'C,AA,AA的延长线交直线E'C于点N,求 V的值 ◆题型二二次函数的图象与性质 1.(2022湖南郴州.中考真题)关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是() 5/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是(-1,5 C.该函数有最大值，最大值是5 D.当x>1时，y随x的增大而增大 2.(2023湖南.中考真题)己知P(x,y),P2x2,2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的点， 现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2；②点(0,3在抛物线上；③若x>x2>-2,则 >y2;④若=y2,则x1+x2=-2其中，正确结论的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2021·湖南岳阳.中考真题)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函 数”.如图，在正方形0ABC中，点A0,2),点C(2,0),则互异二次函数y=(x-m-m与正方形0ABC有 交点时m的最大值和最小值分别是() A.4,-1 B.5-7,1 C.4,0 D.5+7,1 2 2 ，题型三二次函数与一元二次方程综合 点方法 1)与函数y=4r+么和二次函数y=a+x+c有关的交点问题 ①求交点，联立方程组)=4x+4 ·并代入求解. y=ax2+b,x+c ②求交点个数，联立方程组=ax+6 ，消云得到一元二次方程，看判别式情况. y=a,x+b,x+c @求交点关系，联立方程组=ax+ ·消云得到一元二次方程，先看判别式情况，再用韦达定理求解. y=ax+bx+c 1.(2023湖南中考真题)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x,2x1<x2).关于x 的方程x2+2x-3-n=0的解为xx(x<x).则下列结论正确的是（) A.x3<x<x2<x4B.x<3<x4<x2C.<x2<x<x4D.x3<x4<x1<x2 2.(2023湖南岳阳中考真题)若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x的 二次函数y=(t+1)x2+(1+2)x+s(s,1为常数，1≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是( 6/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.s<-1 B.s<0 C.0<s<1 D.-1<s<0 3.(2023湖南郴州.中考真题)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点，则C= (2023湖南.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0). (1)若a=1,c=-1,且该二次函数的图像过点(2,0)，求b的值； (2)如图所示，在平面直角坐标系Oy中，该二次函数的图像与x轴交于点A(x,0),B(x2,0),且x<0<2, 点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE,且线段DE交y轴正半轴于点F, ∠D0F=∠DEO,OF=3DF. ①求证：D0-2 E0-3 ②当点E在线段OB上，且BE=1.⊙0的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac=-a2-b2,求2a+b的值. 5.(2022湖南永州中考真题)已知关于x的函数y=ax2+bx+c. (1)若a=1,函数的图象经过点1，-4)和点(2，，求该函数的表达式和最小值： (2)若a=1,b=-2,c=m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围. (3)阅读下面材料： 设a>0,函数图象与x轴有两个不同的交点A,B,若A,B两点均在原点左侧，探究系数a,b,C应满 足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以△=b2-4ac>0; ②因为A,B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即C>0: ③上述两个条件还不能确保A,B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物 线的位置：即需名<0。 7/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a>0 △=b2-4ac>0 综上所述，系数a,b,C应满足的条件可归纳为： c>0 b20 2a 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围. ◆题型四二次函数图像与各项系数间的关系 1.(2023湖南娄底.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc<0; ②4a-2b+c>0;③a-b>m(am+b)(m为任意实数)；④若点(-3，)和点(3y2)在该图象上，则y,>y2 ,其中正确的结论是() A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 2.(2023湖南中考真题)如图所示，直线1为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说 法正确的是() L: A.b恒大于0 B.a,b同号 C.a,b异号 D.以上说法都不对 ◆题型五二次函数实际应用 点方法 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标， 如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论. 1.(2023湖南益阳中考真题)某企业准备对A,B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况 等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益y4(万元)与投入资金x(万元)的函数表达式为： 8/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,，投资项目一年后的收益万元与投人资金x万元D的函数表达式为：+2 (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A,B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ 3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共 计32万元，全部投入到A,B两个项目中，当A,B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之 和最大？最大值是多少万元？ 2.(2022湖南湘潭.中考真题)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在 校园里利用围墙（墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成I、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计 了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： A B H E I区 Ⅱ区 I区 Ⅱ区 G 图① 图② (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积 为32m,试分别确定CG、DG的长： (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ ◆题型六二次函数与平行四边形存在性 1.(2022湖南怀化中考真题)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=x2+2x+c经过点A(-1,0)、 B(3,O),与y轴交于点C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PE⊥BC于 点E,作PF∥AB交BC于点F. 9/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 图一 备用图 (1)求抛物线和直线BC的函数表达式， (2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长 (3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点 的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由 2.(2021湖南郴州.中考真题)将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到 抛物线H:y=a(x-h)2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,O),点P是抛物线 H上的一个动点. 0 图1 图2 图3 (1)求抛物线H的表达式； (2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A,C重合），过点P作PD⊥AB,垂足为D, PD交AC于点E.作PF⊥AC,垂足为F,求PEF的面积的最大值； (3)如图2，点Q是抛物线H的对称轴1上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P,使得以点A,P, 10/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. 核 炼 ◇知识1 二次函数的图像与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c a>0 图 像 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点坐标 (0,0) (0,k) h,0) (h,k) (-， 4ac-b) 4a a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值： 最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值 值 【小结】二次函数最小值（或最大值）为0(k或4b) 4a 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. 减 性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. ◇知识2 二次函数图像与各项系数间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的 11/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a<0 开口向下 大小(a越大，开口越小) b=0 对称轴是y轴，即一 0 b a,b同号 对称轴在y轴左侧，即一会<0 左同右异中间0 a,b异号 对称轴在y轴右侧，即-会>0 c=0 图像过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置. c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 b2-4ac<0 与x轴没有交点 今知识3二次函数的平移、对称 1.二次函数图像的平移 平移方式(n>0) 般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b (x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2.二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 -y=ax2+bx+c=y=-ax2-bx-c x不变，y变-y 关于y轴对称 y=a(-x)2+b(-x)+c=y=ax2-bx+c y不变，x变-x 关于原点对称 -y=a(-x)'+b(-x)+c=y=-ax2+bx-c x变-x,y变-y 《。知识4二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 12/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △=b2-4ac 抛物线y=ax2+bx+C与x轴的交点个数 方程ax2+bx+c=0根的情况 △>0 两个 两个不相等的实数根 △=0 一个 两个相等的实数根 △<0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 ax2+bx+c>0(a>0) 抛物线y=ar2+bx+c在x轴上方的部分对应的 自变量的取值范围，即x<m或x>n a2+bx+c>0(a<0) 抛物线y=ax+bx+C在x轴下方的部分对应的 自变量的取值范围，即m<x<n 题 ●。。 1. (2025满南岳阳.一模)对于抛物线y=一x-5°+3，下列说法正确的是（） A.开口向下 B.函数的最大值是5 C.顶点坐标(-5，-3) D,当x>5时，y随x的增大而增大 2.(2025湖南株洲模拟预测)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x=-1,x2=3, 则抛物线y=x2+br+c的对称轴为直线() A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=3 3.(2026安徽模拟预测)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=(k≠0)与二次函数 y=ax2+bx(a≠0)的图象如图，则一次函数y=abx+k的图象大致是() 13/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B. D 4.(2026湖南永州一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-1,0)，(3,0)，(0，-2)三点，则下列 说法正确的是() 3 A.c=-2 B.当x<1时，函数值y随自变量x的增大而增大 C.当y>0时，x的取值范围是-1<x<3 D.方程3ax2+3bx+3c+8=0有两个不相等的实数解 5.（2026湖南模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图，则下面 结论中： y◆ ix=] ①bc<0;②2a+b=0;③3a+c>0:④4a+b>4ac; ⑤若点P(m,n在此抛物线上，且n<c,则m<0. 所有正确结论的序号为() A.①② B.②④ C.②③ D.④⑤ 14/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2026湖南模拟预测)定义：将抛物线y=ax2+bx+c（a<0,b2-4ac>0)沿x轴向下翻折得到 y=-ax2+bx+c的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条"逆翻折曲线”，则下列结论：①abc<0;②a+c>0 ;③当x<-2或<x<1时y随x的增大而增大；④关于x的方程ax2+bx+d+?a=0有三个实数根.其中 9 2 4 正确结论的个数为() m A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.。(25-26九年级上海南省直缩县级单位期中)若点4-小，8行为， C(4,y3)在抛物线 y=(x-2)+k上，则片，，从小到大的大小关系为 (用“<”连接) 8.(2026湖南模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-1,0)，(3,0)，与y轴的交点在(0，-2)与 (0,-3)之间（不包括这两点）下列结论： ①bc<0:②4a-2b+c>0:③若x<,x+5<2,则y>,:④<a<1:⑤若m为任意实数，则 3 am2 +bm a+b 其中正确的结论序号有 9.(2025湖南常德模拟)如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c都经过y轴上的点D,抛物线与x 轴交于A,B两点，其对称轴为直线x=1,且OA=OD,直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B的右 侧)，则下列命题中正确的 ①abc>0,②a+b>0,③-1<k<0,④k>a+b. BC 10.(2026湖南岳阳.一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-2与x轴交于点4，与y轴交于点C, 与抛物线L:y= 2r+br+c交于点7(5，)和点Q(6,1. 15/35 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r(r>0)个单位，得到抛物线L,若抛物线L经过点 》 且点D在抛物线L的对称轴左侧，求抛物线L的函数表达式； (3)在(2)的条件下，记抛物线L的对称轴为直线1，作点C(0,-2)关于直线1的对称点B,连接AB,在直 线AB上是否存在点P,满足∠ADP=∠CAO?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 11.(2026湖南长沙.一模)我们约定：一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)与一元二次方程 cx2+bx+a=0(c≠0)互为“轮转对称方程”.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与二次函数 y2=cx2+bx+a(c≠0)互为“轮转对称函数”. (1)直接写出3x2-2x-1=0的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m,n,点Pm,t)与点9(n,)(m≠n始终在关于x的函数y,=x2+mx+n的图象上运动， 函数与互为“轮转对称函数” ①求函数的图象的对称轴： ②函数y的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由： (3)若关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中三个象限，a+c>0且c≥a,其"轮转 对称函数"的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D,与y轴交于点C,点M是AB的中点，点O是坐标 保点已知020B2,试求： 2-2a的最大值. 12.（2025·福建.中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx-2的图象过点A(1,),B(2,). 1)求的值； a 已知三次函数y=ar2+bx-2的最大值为10 ①求该二次函数的表达式： ②若M(,m,N(,m为该二次函数图象上的不同两点，且m+0,求证：国-_专-2 m x-2 13.(2025湖南模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-xX2+2x+C经过点A(0,).点P,Q在 16/35 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0),连接AP,AQ. 备用图 (1)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值. (2)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差. (3)当P,Q都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P)的最高点与最低点 的纵坐标的差为h，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h,·当 h,-h=m时，直接写出m的值. 14.(2026湖南湘潭.一模)已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点（点A在 点B的左边)，与y轴交于点C. A 0 图1 图2 (1)求这个二次函数的表达式： (2)如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB,点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点， 连接BF、FE,求BF+EF的最小值； (3)如图2，连接BC,点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP,OP交BC于点Q.设点P的横 坐标为1，Sacg=S,Sscoo=S,y=三 ①求y与t的函数关系式，并写出的取值范围； ②当y的值取最大时，求点P的坐标. 15.(2026湖南永州一模)如图1，已知二次函数y=-x2+br+c的图象与x轴交于点4-4,0，B3,0).与 6 y轴交于点C,连接AC. 17/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 备用图 备用图 (1)求该二次函数的表达式： (2)若点P是二次函数图象上的一点，且∠CAB=LABP,求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点P在x轴下方时，在直线PB上任取一点D(不与点B重合)，当直线AD与直线 CB相交于点E时，过点E作EF∥AC交x轴于点F. ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时BD的长： ②随着点D位置的变化，试探究AC,EF和BD三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出 它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由， 考点二二次函数综合（压轴） 题 动 向 ●●● 。题型一二次函数与特殊三角形存在性 1.(2023湖南娄底中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0)、点B(5,0),交y轴于点C VA (1)求b,c的值. (2)点P(x,y,)(0<x,<5)是抛物线上的动点 ①当x取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E,再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F,连接EF,问：是否存在点 P,使PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 2.(2023湖南中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点， 其中B(1,0),C(0,3). 18/35 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 (备用图) (1)求这个二次函数的表达式： (2)在二次函数图象上是否存在点P,使得SAP4c=S。Bc？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q是对称轴1上一点，且点Q的纵坐标为a,当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围. 3.(2021湖南怀化中考真题)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且0A=2, OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N. (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出 点P的坐标，若不存在，请说明理由， (3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最 后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程， (4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰R1△CQR? 若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 1 M D B 0 备用图N 备用图 。题型二二次函数与特殊四边形存在性 1.(2023湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A(-2,0)和点B(4,0), 且与直线I:y=-x-1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线1上的一动点，设点M的横坐标 为t. 19/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=-x-1 y=-X】 B A B M 备用图 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N,若0<t<4,求aNED面积的最大值. (3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请 求出所有满足条件的点R的坐标. 2.(2023·湖南岳阳.中考真题)已知抛物线Q:y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点，交y轴于点 C(0,3). y个 y个 B B H H D 图1 图2 备用图 (1)请求出抛物线g的表达式. (2)如图1，在y轴上有一点D(0,-1),点E在抛物线9上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得 四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，将抛物线2向右平移2个单位，得到抛物线2，抛物线2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H ,抛物线☑上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK?若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 3.(2022湖南湘潭.中考真题)己知抛物线y=x2+bx+c. 20/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H A E M B D F 图① 图② (1)如图①，若抛物线图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交点B(0,-3).连接AB. ①求该抛物线所表示的二次函数表达式： ②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H,与线段AB交于点M·是否存 在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 2如图2②，直线y-号r+n与y轴交于点C,同时与抛物线y=+x+e交于点D(-3,0,以线段CD为边 作菱形CDFE,使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围. >题型三二次函数与相似三角形综合 1.(2022-湖南.中考真题)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图像与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点， 与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标： 21/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若四边形BCEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每 秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止，当以M、E、N为顶点的 三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点P,点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图像上的动点.若 过点Q的直线1：y=:+m(kK?与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K,求证： GH+GK为定值. 2.（2022湖南衡阳中考真题)如图，己知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴 下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”,图象W交y轴于点C. B (1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； (2)若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； (3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,交图象W于点N,是否存在这样的点 P,使aCMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 3.(2021湖南邵阳.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax2+bx+ca≠0)经过点(1,1)和 (4,1. (1)求抛物线C的对称轴. (2)当a=-1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C, ①求抛物线C的解析式 ②设抛物线C与x轴交于A,B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,连接BC.点D为第一象限 内抛物线C上一动点，过点D作DE⊥OA于点E.设点D的横坐标为m.是否存在点D,使得以点O,D ,E为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 22/35 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y C D 备用图 ，题型四二次函数与线段和差最值 1.(2025湖南中考真题)如图，己知二次函数y=axx-4)(a≠0)的图象过点A2,2),连接0A点 P(x,),Q(x2,y2),R(x3,y3),是此二次函数图象上的三个动点，且0<x<x,<x2<2,过点P作 PB∥y轴交线段OA于点B. R B 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、D都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解 答： ①当PB>QC时，求证：x1+x>2; ②当PB>RD时，求证：+x<2; 3 1 )如图，若x=,为2，延长PB交x轴于点7，射线QT、TR分别与y轴交于点2，R,连接4P, 分别在射线AT、x轴上取点M、N(点N在点T的右侧)，且LAMN=∠PAO,MN=2√2.记 23/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t=R2,-ON,试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值. 2.(2024湖南.中考真题)己知二次函数y=-x2+c的图像经过点A-2,5),点P(x,乃)，Q(x2,y2)是此二 次函数的图像上的两个动点. M B 图1 图2 (1)求此二次函数的表达式： (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C, 交AB于点D,连接4C,DO,P0.若5=+3，求证△的值为定值： SAADC (3)如图2，点P在第二象限，x2=-2x1,若点M在直线PQ上，且横坐标为x-1,过点M作MN⊥x轴于 点N,求线段MN长度的最大值. ◆题型五二次函数与角度问题 1.(2023湖南郴州.中考真题)己知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0,B(4,0),与y轴相交于 点C. VA C B B B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2)如图1，点P是抛物线的对称轴1上的一个动点，当sPAC的周长最小时，求A的值： 24/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)如图2，取线段0c的中点D,在抛物线上是否存在点Q,使tan∠QDB=号？若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由， 2.(2021湖南株洲.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0). (1)若a= 2,6=c=-2,求方程am2+bx+c=0的根的判别式的值； (2)如图所示，该二次函数的图像与×轴交于点A(x,0)、B(x2,0),且x1<0<x2,与y轴的负半轴交于点 C,点D在线段OC上，连接AC、BD,满足∠ACO=∠ABD,-b+c=X: a ①求证：△A0C=△D0B; ②连接BC,过点D作DE⊥BC于点E,点F(0,x-x,)在y轴的负半轴上，连接AF,且 ∠4C0=∠CAF+LCBD,求C的值， ◆题型六二次函数动点问题与面积定值/最值 1.(2023湖南张家界.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴 交于点A-2,0)和点B6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点. D B 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，求△A0D周长的最小值： (3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和 为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值 25/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2023湖南娄底中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0)、点B(5,0),交y轴于点C. B (1)求b,c的值. (2)点P(x,y)(0<x。<5是抛物线上的动点 ①当x,取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E,再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F,连接EF,问：是否存在点 P,使PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 题型七二次函数新定义题型 皮方法 新定义问题是数学考试中必考的题型，无论在哪个阶段，都会出现此类问题，但究其本质都是“新瓶装 旧酒”“新瓶”就是新的定义，“旧酒”就是学过的知识，然后设计出具有针对性的考题来考查学生的 知识迁移应用能力， 1.(2023湖南中考真题)我们约定：若关于x的二次函数y,=a,x2+b,x+c与y2=a2x2+b2x+c2同时满足 √a2-G+(b,+么)尸+6，-a=0.(么-b,)22≠0，则称函数片与函数为互为“美美与共"函数.根据该约定，解 答下列问题： (1)若关于x的二次函数y=2x2+kx+3与y2=mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k,m,n的值； (2)对于任意非零实数”，S,点P(,与点Q(s,t)(r≠s始终在关于x的函数y1=x2+2x+s的图像上运动， 函数与互为“美美与共”函数. ①求函数的图像的对称轴： ②函数y2的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由： (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y=ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y的图像顶点分别 为点A,点B,函数y的图像与x轴交于不同两点C,D,函数的图像与x轴交于不同两点E,F.当 CD=EF时，以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不 请说明理由 26/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2021湖南长沙.中考真题)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两 点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该 约定，完成下列各题 [4 (1)若点A1,r)与点B(s,4是关于x的“T函数”y= -(x<0), 的图象上的一对“T点”，则 x2(x≥0，t≠0，是常数) r=S=t= (将正确答案填在相应的横线上)； (2)关于x的函数y=x+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是， 请说明理由； (3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0,且a,b,c是常数)经过坐标原点0，且与直线 :y=mx+n（m≠0，n>0,且m,n是常数)交于Mx,y),N(x2,y2）两点，当x,x2满足 (1-x)尸+x2=1时，直线I是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由 3.(2021湖南衡阳.中考真题)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁 点”.例如1,1，(2021,2021…都是“雁点”. (1)求函数y=4图象上的“雁点坐标； (2)若抛物线y=ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的 左侧).当a>1时. ①求c的取值范围； ②求LEMN的度数； (3)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y=-x2+2x+3上 一点，连接BP,以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰好为“雁点”？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 27/35 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 命 题 1.(2026湖南衡阳模拟预测)对于平面内任意一点P,过点P作平行于y轴的直线，交抛物线于点M.若 点M是线段PP'的中点，则称P为点P关于这条抛物线的共轭点，如图，在平面直角坐标系中，抛物线 L:y=ax2-4x+c(a>0)与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若P(-2,),求点P关于抛物线L的共轭点P的纵坐标（用含t的代数式表示）； (3)设点P为平面内任意一点，其共轭点为P.已知点P在直线y=x+2上运动，记点P的横坐标为n. ①当点P落在x轴上时，求此时的值； ②在①的条件下，若线段BC上存在一点Q,使得AQ+PQ最小，直接写出点Q关于抛物线L的共轭点Q的 坐标. 2.（2026湖南益阳·二模)如图，二次函数y=x2+2x-3的图象C与x轴相交于A,B两点，开口向下的二 次函数图象C经过A,B两点. 28/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)求A,B两点的坐标： (2)如图1，图象C,C,关于x轴对称，图象C2与y轴交于点C.点E(x,),F(x2,y2)分别是图象C2上的两个 动点，且点E,F在直线AC的上方.过点E作x轴的垂线交AC于点H,交x轴于点D.设△EFH和△DCH 的面积分别为S和S,若x,=-a(a为常数，且a>0),求证： Sa (3)如图2，图象G的最低点与C,的最高点之间的距离等于12.点M(x,3)是图象CG上在对称轴右边的动点， 过点M作x轴的平行线l,I与图象C的另一个交点为N(点M,N不重合)，与图象C,的交点分别为2，P(点 2,P不重合，且点Q在P的左侧)·若QP=2(MP+NQ),求MN的长 3.(2026-湖南郴州.一模)己知抛物线y=a(x-h)2(a,h为常数且a≠0)· 图1 图2 备用图 (1)抛物线的对称轴为x=1,且经过点A(3,4). ①求抛物线的表达式： ②如图1，抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上一动点，且在直线AB的下方，过点P作PQ⊥AB于点 Q,请问线段PQ的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由： (2)如图2，在二次函数y=-(x-h)2(h为常数)中，当1≤x≤4时，函数y有最大值为-4，求h的值。 4.(2026湖南张家界.一模)定义：P(x,y)与Q(,x为“对偶点”，对于函数y=∫(x),若至少有一组对偶 29/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点在其图象上，且x≠y,则称该函数为“湖湘对偶函数”. (1)判断函数y=2x+1是不是湖湘对偶函数”，若是，求出一组"对偶点”"； (2)若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m,n的关系式（请用含m的式子 表示n); (3)已知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A,B两点(A在B左侧)，与y轴交于C,且点H9,2 的“对偶点”在函数图像上，点P是函数图像上一动点，当△PAB的面积是ABC面积的2倍时，求点P的坐 标 5.(2026湖南娄底一模)如图，函数y=x2-1的图象C与函数y=-x2+bx+c的图象C,相交于A(-1,0), B(2,3)两点.直线x=(-1<t<2)与图象C,C,分别交于E,F两点. (1)求b,c的值. (2)设直线x=(-1<t<2)与线段AB交于点D,记BDF和ADE的面积分别为S,S2,当S,=S,时，求t 的值 (3)若t满足a≤t≤a+1,且-1<a<1,试问t取何值时，线段EF的长度最大？并求出这个最大长度. (2026湖南娄底一模)如图1，已知揽物线+5，与x抽交于A,B两点（点B在点4 4 的右侧)，与y轴交于点C,作直线BC. 图1 图2 图3 (1)求点B和点C的坐标： (2)如图2，点D是第二象限抛物线上的一个动点，过点D作y轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点F, 与直线BC交于点E.设点D的横坐标为m.请探究如下问题： 30/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当点E是线段DF的中点时，求线段DF的长； ②当四边形DOBF是平行四边形时，求m的值； ③如图3，连结BD交y轴于点P,若BD平分∠ABC,求P点的坐标. 7.(2026湖南邵阳二模)某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与 到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题： (1)证明：函数y=上x(a为常数，且a>0)上任意一点H到点F(0,a)的距离与到直线y=-a的距离相等： 4a 2将函数y=5x的图象向右平移1个单位，再向下平移3V5个单位得到抛物线L, 113 若点M 3 点N P是L上的一个动点，试求PM+PN的最小值； (3)在(2)的条件下，设L与x轴相交于A,B(点B在点A的右边)两点，顶点为点C,点D为L的对称轴 上的一点且AD平分∠BAC,点E是线段AC上的动点（点E与A,C不重合），连接DE,将△DEC沿 DE折叠得到△DEC',记△DEC'与△ACD的重叠部分为△DEG.若△DEG为直角三角形，请求出所有满 足条件的点G的坐标. 8.(2026湖南长沙.一模)我们约定：如果一个函数的图象与y轴交于点(0，C,我们就说该函数是“c点函 数” 例如：函数y=x+2026与y轴相交于点(0,2026)，我们就说函数y=x+2026是“2026点函数”.根据约定， 解答下列问题： (1)判断下列函数是否一定是“3点函数”（填“V"或“×”）. ①y=-+2x+3@1=2x-3i@y-}- ②诺一次函数y=+片（其中x是自变量，y是的函数）是“1点函数，求证：无论取值，该函数 的图象一定经过第三象限 (3)己知二次函数y=ax2+bx+c是“2点函数”，该函数的图象与x轴相交于点A(-m,0),B(2m,0)两点，与 y轴相交于点C,且m=b2+a+1,点P是该函数图象在第一象限内的动点，线段AP与线段BC相交于点Q ,当点P运动时，若满足tan∠AQC=c时，试求点P的坐标 9.(2026湖南邵阳.一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-5,0),B（点A在 点B的左侧)，与y轴交于点C(0,5). 31/35 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求该抛物线的解析式： (2)在对称轴上找一点Q,使△BCQ的周长最小，求点Q的坐标； (3)若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由 10.（25-26九年级上江苏徐州期末)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的 左边)，点A、B的坐标分别是(-1,0)、(3,0)，与y轴交于点C,点C的坐标是(0,3)，点D和点C关于抛 物线的对称轴对称. 备用图1 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大值： (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形是 以AM为边的矩形，求点P的坐标 11.（2026湖南长沙.一模)我们约定：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标满足条件(，a2）,那么 称抛物线为“同频"抛物线.如抛物线y=3x2-6r+6的顶点坐标为1,3)，此时t=1,a=3,满足条件(t,a2) ,所以它是“同频”抛物线， (1)抛物线y=ax2-4x+ca≠0)是“同频”拋物线，请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确 的打“”，错误的打“×”). ①当a=1时，c=8;() ②当a<0时，c<0;() 32/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③抛物线与x轴可能只有一个交点；() (2)是否存在点P(m,n,Qn,m是“同频"抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)上的点，其中m≠n,且m+n=6, 若存在，请求该抛物线的解析式，若不存在，请说明理由； (3)“同频”抛物线y=ax2+bx+c(a≠0且b≠0)的顶点为M,它与直线y=C交于A,B两点，若△ABM是等 腰直角三角形，求代数式1+b+2的值。 a+1 c+2 12.(2025西藏中考真题)己知抛物线y=ax2+bx-4过点A(-1,0),B(m,0),与y轴交于点C.点B是x 轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC,AF,且AF交y轴于点D,交BC 于点E. VA 图1 图2 (1)当m=3时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在(1)的条件下，若∠CDE=∠CED,求直线AF的解析式： (3)要使得∠DCE=∠DEC成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，∠DCE=∠DEC,当m为何值时，0D的长度等于1？ 13.(2026湖南湘潭.一模)已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点（点A在 点B的左边)，与y轴交于点C. B 图1 图2 (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB,点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点， 33/35 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 连接BF、FE,求BF+EF的最小值： (3)如图2，连接BC,点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP,OP交BC于点Q.设点P的横 坐标为t,Sac0=S,Saco0=S,y= ①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当y的值取最大时，求点P的坐标。 14.(2026福建.一模)如图，抛物线y=x2+x+c与y轴交于点A(0,2,对称轴为直线x=-2,平行于x 轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6. YA 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)已知在x轴上存在一点D,使得△ABD的周长最小，则点D的坐标为 (3)若点P在直线AB上，直线CP将ABC的面积分成2：3两部分，求点P坐标. 15.2026衡南水州一梭)如图，抛物线y--6与直线=+m交于86,01和C10,-6两点，抛 物线与x轴的另一个交点为A,连接AC,BC,P是直线BC下方抛物线上一点. 图1 图2 图3 (1)求m的值： (2)如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N,求PN最大值； 如图2莲接P,交8C于点D,若，求点P的坐标： S.ABC 34/35 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4如图3，将OA绕点O旋转至0A',连接BA',CA,试求出CA+二BA的最小值 16.(2026湖南长沙.一模)在平面直角坐标系中，对于抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图 象上两个不同的点P(x,),Qx2,y2),我们不妨约定： 如果满足a2+a(y,+y2)+yy2=0,且y≠y2,则称点P与点0是一对“失衡点”； 如果满足2a2-2ay,+y)+y,2+y,2=0,则称点P与点0是一对“平衡点”： 若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”"和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”. (1)判断下列说法是否正确（正确的打”，错误的打“×”)： ①函数y=x2+1是“完备函数”；() ②函数y=-x2+2x上存在无数对“失衡点”；() ③若点P与点Q是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”.（) (2)已知抛物线y=ax2-a(a≠0)与一次函数y=kx+m相交于两点P、Q,且P、Q恰好是该抛物线上的一对“失 衡点”.若x,=4-x,,直线PQ是否经过定点？若经过，求出定点的坐标否则，请说明理由： (3)若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)是“完备函数”，点A、B是一对“平衡点”.抛物线的顶点为E,它与x轴交 S 于C、D两点.当aCDE是等边三角形时，记aABE的面积为S,试求3+a的最小值. 35/35