专题07 圆的综合证明与计算8大题型（解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题07 圆的综合证明与计算（解答压轴题） 命题预测 圆的综合证明与计算是初中几何核心压轴必考模块，稳居中考解答题中档及压轴位置，也常出现在选择、填空压轴中，分值高、设问角度灵活、综合性强，常融合三角形、四边形、勾股定理、相似、三角函数等知识综合考查。掌握常见模型、证明套路与计算答题模板，对几何提分、冲刺高分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕切线证明、圆中角度计算、线段长度求解、阴影面积、圆与几何综合存在性等核心题型展开，延续 “基础考性质、中档考证明、压轴考综合” 的命题规律，重点考查几何推理、数形结合与运算求解能力。 高频考法 题型01 切线的判定与性质证明 题型02 圆中角度、弧、弦、圆周角圆心角综合计算 题型03 圆中线段长度综合计算 题型04 扇形弧长、阴影部分面积计算 题型05 隐圆（定弦定角、定点定长）最值与路径长 题型06 圆与相似、三角函数综合压轴 题型07 圆与特殊四边形、几何存在性综合 题型08 圆与函数综合 典例·靶向·突破 题型01 切线的判定与性质证明 1．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，垂径定理得出，垂直平分线的性质得，则，根据，得，根据是半圆O的切线，得出，则，即，即可证明为圆O的切线； （2）作于M，如图2，根据垂径定理和，求出，，根据，得出，则，则，求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线． （2）解：作于M，如图2， ∵半圆O的直径为10，为半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴设， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 2．（2026·宁夏银川·一模）如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，作的平分线交于，交于，连接、，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质结合已知证得，然后根据切线的判定可证得结论； （2）先证明，由相似三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出点P到直线和点P到直线的距离相等进而可求出． 【详解】（1）证明：连接，    ∵是的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵为的平分线， 故设点P到直线和点P到直线的距离相等都为h， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 3．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在常数，，使等式成立，且，，理由见解析 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； （2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明； （3）连接，，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下： 连接，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ，． 4．（2026·广西·一模）如图，在中，，是的角平分线，以点为圆心，为半径作，交于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若与的切点为，连接交于点，已知，设的半径为5，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，证明即可． （2）先证明，可得，连接交于点，由平分，可得，连接，在中，由，可得，，在中，由等面积法可得的长，即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图①，过点作于点， 平分， ，， ， 是的切线． （2）解：由（1）可知，是的切线，则， 在和中， ， ∴， ， 如图②，连接交于点， ∵平分， ，垂足为， ， 连接， 是的直径，的半径为5， ， 在中，， 设，， 在中，，即， 或（不合题意，舍去） ，， ， ， ． 5．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02 圆中角度、弧、弦、圆周角圆心角综合计算 6．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)Ⅰ．；Ⅱ． 【分析】（1）根据，证明，则点为的中点，再根据点为的中点，可得，则，，，即可得证； （2）Ⅰ．设，则，．，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可求解；Ⅱ．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求出的长． 【详解】（1）解：为半圆的直径， ． ． ， ． ． ． 点为的中点， ． ． ，，． ，． 四边形是等腰梯形． （2）解：Ⅰ．设， 为的中点， ． ． ． ，， ． ， ∴四边形是平行四边形． ． ， ． ． ． Ⅱ．如图，当时， 设，则， 由（1）可得四边形是平行四边形， ，． ，， ． , ． ． ， ，． ． ． ． ． ． ，解得（舍），． ． 如图，当时， ，， ． ， ． 此时点与点重合，此种情况不存在． 当时， ， ∴此种情况不存在． 综上所述，． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为直径，弦交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为弧上一点，连接，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，弦交于点，，在上取一点，连接，，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据切线的性质可求出，结合已知，根据余角的性质得出，然后根据三线合一的性质即可得证； （2）根据和，导角可得出，结合可得出，根据圆心角、弧线的关系可得出，结合即可得证； （3）设，则，取的中点N，连接，，，过D作于Q，根据直角三角形的性质得出，根据等边对等角得出，则，根据等边对等角和三角形内角和定理并结合可得出，根据余角的性质得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得出，求出得，则，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得出，则，在中，求出，解求出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ∵是切线， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， 取的中点N，连接，，，过D作于Q， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 8．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知四边形内接于，为的直径．N是延长线上一点，连接． (1)如图①，若交于点M，，，，求的度数； (2)如图②，若与相切于点D，延长交于点P，，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出，再由圆周角定理得到，最后根据三角形的外角性质求解即可； （2）连接，与交于点，根据圆周角定理，圆的切线的性质以及垂径定理的推论先证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得，再由求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：连接，与交于点， ∵与相切于点D， ∴， ∴ ∵为的直径 ∴， ∵，是半径， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：内接于，交于点D，点E为垂足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上．延长至，使，过作交的延长线于，交射线于点，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作直径．连接，根据直径所对圆周角等于，可得，再由同弧所对圆周角相等即可得出，根据等角的余角相等即可得出结论； （2）连接，，证明，进而可得，由圆心角相等，所对弦也相等即可得出结论； （3）作交于，利用中点模型构造，得，从而证明、都是等腰直角三角形，得出，再结合，作于，作于，易得，，从而可得，，利用平行线分线段成比例可得，由此可得，作交延长线于W，作于S，可得，，利用角的关系证明，可得，，建立方程求出，，可得直径，由此求出半径 【详解】（1）证明：作直径．连接， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：连接，， 由（1）可得， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （3）解：作交于， ∵， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由（2）可得． ∴， ∴， ∴ ∴． 作于，作于， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 作交延长线于W，作于S， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 解得：，（舍） ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 作直径，连接， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解三角形等知识．利用中点模型构造全等三角形，转化线段证明、都是等腰直角三角形，得出，再构造解三角形求出是解题关键． 10．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G． (1)如图2，若经过点O． ①求证：． ②若，，求的半径． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 【答案】(1)①见解析；②2.5 (2)或 【分析】（1）①证明，运用证明可得结论； ②连结，得到，证明得出，由得，．求出．令，则．，由勾股定理得，求出． （2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，证明和均为等腰直角三角形．分别求出和,即可求出． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ②连结， ∵，经过点O， ∴． ∴垂直平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴在中，． ∴． 令，则．． ∴在中，． 解得． （2）解：①当点E靠近点D时， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴和均为等腰直角三角形． ∴． 由①得． ∵， ∴． ∴， 设，则， ∴． ∴． ∴． ∴． ②当点E靠近点B时， 同理可证和均为等腰直角三角形， 令， ∴，， ∴， ∴． ∴综合所述可得：或． 题型03 圆中线段长度综合计算 11．（2026·四川绵阳·一模）四边形是的内接四边形，是对角线，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由圆的基本性质得，即可得证； （2）由等腰三角形的性质得可设，，可得，由圆的内接四边形的性质，即可得证； （3）连接，延长使，连接，由正方形的判定方法得矩形是正方形，由圆的基本性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． （3）解：； 证明：连接，延长使，连接，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ∵， ∴ ∴， ∴． 12．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，是等边的外接圆，点是延长线上一点，连接，点是上一点，且平分，连接，点是线段上一点，． (1)求的度数； (2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (3)若线段的长为，线段的长为，线段的长为，线段的长为，则是否成立？并说明理由． 【答案】(1) (2)与相切，证明见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】由等边三角形性质可知，进而根据同弧所对圆周角相等即可得出， 连接，再根据等边三角形性质和已知可以证明，进而可得，由此证明，即可得出结论， （3）由已知结合三角形外角的性质、等边三角形的性质，证明，进而可得，从而可得，即，从而可得，由，可得，则，进而可得，从而，利用比例式相加可得，再由变形可得结论成立． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴； （2）与相切． 证明：如解图，连接，则是的半径． ∵是等边三角形， ∴，平分， ∴． 由（1）知， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴与相切； （3）成立． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 由，可得， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆周角性质、切线的判定，等边三角形三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法． 13．（22-23九年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．    已知点，点． (1)中，是线段的“二倍点”的是__________； (2)直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； (3)的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)线段的最小值为，线段的最大值为． 【分析】（1）由、，画出线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，即可得到答案； （2）由线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，直线过定点，当直线过时，可得，当过时，，观察图形即得或； （3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，证明，可得，故的运动轨迹是以为圆心，为半径的，的“二倍点”是及其内部和及其内部，过作于，交于，最小，由是等腰直角三角形，即可得，故线段的最小值为；连接并延长交于，此时若与重合，则最大，求出，即得线段的最大值为． 【详解】（1）如图：   、， 线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部， 在，，，中，，是线段的“二倍点”， 故答案为：，； （2）如图：   、， 线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部， 直线过定点， 当直线过时， ， 解得， 当过时， ， ， 观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或； （3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：   ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部， 过作于，交于，如图：   此时最小， 由得，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 线段的最小值为； 连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：   在中， ， ； 线段的最大值为． 综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及新定义“二倍点”，解题的关键是读懂题意，画出图形，用数形结合的思想解决问题． 14．（2026·河南周口·一模）如图，线段，，点为线段上一动点，以为边作矩形中，沿对角线翻折得到，连接与交于点． (1)如图1，求证：． (2)如图1，当时，求的值． (3)如图2，若，在点从点向点的运动过程中，当中有一个角是时，直接写出此时线段中点运动的路径长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由对折可得： 是的垂直平分线，可得，，如图，记的交点为，结合矩形的性质，等腰三角形的性质证明，可得，而，可得； （2）如图，连接交于，结合矩形，可得，证明，设，再进一步求解即可； （3）如图，当时， 求解，，记的中点为，过作交的延长线于，证明在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，如图，结合（1）得：，求解，，当不符合题意，舍去；进一步结合弧长公式计算即可． 【详解】（1）证明：由对折可得：，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， 如图，记的交点为， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． （2）解：如图，连接交于，结合矩形， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， 结合翻折可得：，，， ∴，， 记的中点为，过作交的延长线于， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴， ∴线段中点运动的路径长为； 当时，如图， 结合（1）得：， 同理：， ∴，， ∴线段中点运动的路径长为； 当不符合题意，舍去； 综上：线段中点运动的路径长为或． 15．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． (2)如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解； （2）如图，延长到点H，使，连接，，，证明出，得到，，然后证明四边形是平行四边形，过点H作交延长线于点I，再证明，得到，然后证明出点A，C，B，E四点共圆，得到，最后证明出是等边三角形，进而求解即可； （3）首先证明出，得到，点E在射线上运动，当时，的长度最小，过点B作交的延长线于点M，然后证明出，得到，，求出，得到点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动，在上取点N，使，连接，，证明出，得到，，判断出当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R，然后利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长到点H，使，连接，，， ∴， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图，过点H作交延长线于点I， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴点A，C，B，E四点共圆， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点C逆时针旋转到， ∴是等边三角形，， ∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴如图，当时，的长度最小， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点B作交的延长线于点M， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动， 如图，在上取点N，使，连接，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在线段上时，取得最小值，即的长度，如图，过点C作于点J，过点Q作于点K，过点B作于点R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴的面积． 题型04 扇形弧长、阴影部分面积计算 16．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形性质，平行线分线段成比例等知识点． （1）根据的长与的长相等和扇形弧长公式，求出，再利用扇形面积公式求解． （2）①记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，关键是表示出各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得，再利用等腰三角形求出，根据平行线分线段成比例知． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， ， ， 解得，故， ∴ ． （2）①如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接， 由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，， 且， 再由对称性可知， 同样是等腰直角三角形，，， ， ， Q是中点也是中点， 由已知得， ， ， 且， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得或， 由题可知， 故 ． ②如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H， 由于所在的圆与所在的圆内切于点F， ， 由①知， ， ， ， ， ， ，再由知是等腰直角三角形， ， ， ， ， 由是等腰三角形， ， ． 17．（2026·青海·模拟预测）综合与探究 在凸多边形（以下简称为“多边形”）的各个顶点处作半径为1的圆且两两不相交，我们把这样的圆叫做多边形的“顶点圆”．现探索多边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和与多边形边数之间的关系． 探索任务： (1)任务1：如图①，三角形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． (2)任务2：如图②，四边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． (3)任务3：如图③，求五边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和．请写出过程（提示：五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，）． (4)任务4：如图④，六边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和__________． 归纳： (5)推广到边形（）中，边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设，对应的阴影部分面积为， 根据三角形内角和，扇形面积公式求解即可． （2）仿照（1）求解即可． （3）仿照前面的求解解答即可． （4）仿照前面的求解解答即可． （5）仿照全面的求解解答即可． 【详解】（1）解：设，对应的阴影部分面积为， 根据题意，得， 由， 故； （2）解：设，对应的阴影部分面积为， 根据题意，得， 由， 故； （3）解：设五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得，由， 故 ． （4）解：设六边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得， 由 ， 故 ． （5）解：设n边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，， 根据题意，得， 由 ， 故 ． 18．（2026·河北邯郸·一模）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． (1)若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 【答案】(1)①，的长；② (2)此时点比②中点的位置升高的距离为 【分析】（1）①根据题意，运用勾股定理得到，由即可得到，根据题意得到是等边三角形，，运用弧长公式即可得到的长为； ②延长交桌面于点，过点A作于点，结合题意得到，根据解直角三角形的计算即可求解； （2）根据题意算出②中点到的距离为，再结合图形算出当时，点到的距离为，由此即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵为半圆的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， 如图所示，过点作于点，作于点，已知，， ∴，四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴当时，点到的距离为， 当时， 如图所示， 同理，四边形是矩形， 在中，， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点比②中点的位置升高的距离为． 19．（2026·山东济宁·一模）如图（1），工人师傅想在这张直径为的半圆的铁皮上裁剪出如阴影部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点，若时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】连接，，求出，作于点，得，，，根据求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， 由旋转得，, 又， ∴， ∴， 连接，则， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 20．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 【答案】(1)见解析 (2)①裁出的两块木料的周长之和为；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积． （1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，． ，， ， ，， ，即， 又， ， ， ； （2）解：①如图2，连接， 由题意得， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， 由图可知，， ， 裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ， ， ， 又， 在中，，即， 解得（负值舍去），， ， 由①知，， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 ． 题型05 隐圆（定弦定角、定点定长）最值与路径长 21．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时的长度为 【分析】（1）利用轴对称性质，将点关于对称，把转化为两点间线段，结合直角三角形中位线与勾股定理计算最小值； （2）先通过全等三角形证明，确定点的运动轨迹为一段圆弧，再利用圆外一点到圆上点的最短距离（即−半径）求出的最小值； （3）通过平移变换将转化为，结合轴对称将转化为，把转化为，利用圆的轨迹（，在以为直径的半圆上），结合勾股定理与中位线性质，求出的最小值及此时的长度． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，此时的最小值为 取的中点，连接， ∵点是的中点， ， ， ； （2）解：如图，是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 其中， 过点作于点， 由垂径定理，，， 在中，， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值； （3）解：如左图，连接，，作，为垂足． 如图，平移线段至，点与点重合，以为对称轴作点的对称点，交于点． 根据线段平移的性质，四边形为平行四边形， ∴，， 设的中点为，由于点，的相对位置固定不变，动点的轨迹是以为直径的半圆，此时半径， 且点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接、， ，即， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 的最小值为， 的最小值为，即为的最小值， 在如图中，半圆形餐厅的半径，， ， ，， 根据平移的性质，点移至点，相当于先向左平移了长度，再向上平移了长度， ， 根据轴对称的性质，， 由平移得：， 过点作的平行线交的延长线于，得四边形为矩形， ，， ， 在中，， 最小值为：， 即的最小值为， 设和的交点， ，， 为中位线，， 当取最小值时，动点位置为和的交点， 故的最小值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路径、等边三角形性质与全等三角形、圆的轨迹与最值、平移与轴对称变换及勾股定理等核心知识点，通过几何变换将复杂的线段和最值问题转化为可计算的几何模型，是解答本题的关键． 22．（2026·山东·一模）如图，在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点在边上(点不与点，重合)，将射线绕点顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点，连接，使得，过点作于点，过点作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在直线下方，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到四边形所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线定义得到等角，推出，再利用含角的直角三角形的性质求出，通过勾股定理计算，最后再次利用含角的直角三角形性质求出． （2）作辅助线，先证明得到，推出是等边三角形；再结合含角的直角三角形性质得到，证明得到，最终结合推导线段的数量关系． （3）通过旋转构造全等三角形，将四边形的面积转化为等边的面积减去的面积，得到四边形面积最小时的面积最大；利用定角定弦确定点的轨迹，找到面积最大时的位置；结合翻折的性质确定的轨迹，找到取最小值时的位置，最终通过面积的和差计算的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， 在中，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴，即是的中线， 在中，，， ∴，， ∴， ∵射线绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：将绕点逆时针旋转得，连接，， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为定值， ∴要使四边形的面积最小，需使最大， 在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为定角， 如图，作的外接圆， ∵， ∴劣弧所对的圆周角为， ∴圆心角， ∵，， ∴，即是定圆， 当时，点到的距离最大，此时最大，记此时为， ∵，， ∴垂直平分， ∴点，，三点共线，记与的交点为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵等边中，， ∴， ∴，即点在直线上， 当时，取最小值，此时垂足为的中点， ∵等边中，， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴是的中位线， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ∴ ， 即的面积为． 23．（2025·江苏宿迁·一模）在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动． (1)探究一： A小组选择矩形纸片，操作步骤如下： 第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示； 第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角． 问题一：请证明 (2)探究二： 小组选择正方形纸片，操作步骤如下： 第一步：对折纸片，使与重合，折痕为； 第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，； 由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出. 问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出 (3)综合运用： 如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到． ①当时，______． ②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①；②． 【分析】（1）由折叠的性质得到，再利用特殊角的三角函数值，求解即可； （2）设，由折叠的性质得，，在中，由勾股定理可求得，为正三角形，求得，由折叠的性质得，再根据正切函数的定义求解即可； （3）①利用角的正切函数的定义求解即可； ②求得点在以G为圆心为半径的圆上运动，当D、、G共线时，的值最小，据此可求得的最小值；设，利用勾股定理得到，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，，，，， ∴， 在中，， ∴，即； （2）解：由折叠的性质得，，， ∴， ∴， 设， 由折叠的性质得，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得，即， ∵为正三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴； （3）解：①∵，是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得：， ∴，， ∴点在以G为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、G共线时，的值最小， ∵， ∴， 设，则，，连接， ∵，由勾股定理得，即，解得，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 【答案】(1) (2)①， ②， ③ 【分析】（1）作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E，由圆周角定理得，由垂径定理得，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）①先证明，可得，从而得到，即可求证； ②根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； ③根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴     ∴ （2）①证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：； ②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为，即点G经过的路径为； 连接，在中 所以当O、C、G三点共线时取最小值为 ③解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型06 圆与相似、三角函数综合压轴 26．（2026·北京·一模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径的长为，的长为 【分析】（1）连接并延长，交于点，易得垂直平分，结合切线的性质可证，故可得，即可证出结果； （2）连接，令，则，得表达式，证明，得，，，再证，得，可解出的值，得半径的长，再证明，求得 ，进而证明，，即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点，如下图所示： ∵， 由垂径定理得垂直平分，， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，作图如下： ∵为的直径， ∴，， 令，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ，， ∵， ， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ， ． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知四边形内接于，对角线、交于点，连接，； (1)如图1，求证：； (2)如图2，若恰好为的直径，连接，过点作的切线交的延长线于点F，点为上一点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交、于点、，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，由圆周角定理可得，可得，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角是直角，可得，设，由同角的余角相等，可得，由切线的性质，可得，，由垂径定理，可得，证明，可得，可得，即可证得结论； （3）延长交于，连接，，设交于，由同弧所对的圆周角相等，可得，结合圆周角定理可得，由等角对等边，结合同圆半径相等，可得，证明，可得，可得，由等腰三角形三线合一，可得，证明，可得，可得，由勾股定理可得，可得，由勾股定理可得，可得，可得，，由勾股定理可得，即可得线段的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵是的直径， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为的直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：延长交于，连接，， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 设交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 28．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴正半轴上有一点，当最大时，点的坐标为______． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形为水鸟园的建设用地，其中，，，，．根据修建要求，四边形内部为水鸟戏水区，为游客观测点，在边上要修建一段长为的水岸（在上，在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸，使得？如果存在，求出此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在； 【分析】（1）过点A、B作，且与y轴相切于点N，连接，，，，作于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接，，交于点D，连接，先根据同弧所对的圆周角相等得出，根据三角形外角的性质得出，从而得出，说明当点P在点N处时最大，求出此时点N的坐标，即可得出点P的坐标； （2）过点A作，交于点E，过点E作于点F，过点A作于点G，证明四边形为矩形，得出，，，解直角三角形求出，然后再求出，说明点A到的距离为，作的外接圆，圆心为O，过点O作于点，连接，，，求出，说明当时，点在点E处，且点O在上，延长，，交于点P，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，再解直角三角形求出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）过点A、B作，且与y轴相切于点N，连接，，，，作于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接，，交于点D，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， ∴当点P在点N处时，最大， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵与轴相切于点N， ∴轴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 即当最大时，点的坐标为； （2）存在； 过点A作，交于点E，过点E作于点F，过点A作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∴点A到的距离为， 作的外接圆，圆心为O，过点O作于点，连接，，，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A到的距离为， ∴当时，点在点E处，且点O在上， 延长，，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 29．（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求解即可； （2）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，则，即可证明结论； （3）连接、、、．延长、交于点，根据垂直平分线的判定定理，推出是的直径，证明，得到，再证明，得到，证明，设，，，，得出，进而得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是四边形的外接圆， ， ， ； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， ， ∵为半径， ∴直线是的切线； （3）解：如图，连接、、、．延长、交于点， ∵点是劣弧的中点， ∴劣弧劣弧， ∴， ∵，， ∴、、三点都在的垂直平分线上， ∴是的直径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵、为直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，，，， ， ， ， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 30．（2025·云南昆明·模拟预测）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一，如图1，已知为的直径，过点A作，使得，连接交于D，过点D作于E，且，以为直角边构造直角三角形，，． (1)求线段的长． (2)证明：为的切线． (3)如图2，若P为弧上一个动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，得到，再根据三角函数，解得，即可解答． （2）连接、，由是的直径，得到，再由等腰三角形的性质得到是的边的中线，再根据为的中点，得到 ，再由垂直定理得到，即可解答． （3）如图，连接、，在上取一点，使，连接，根据（1）得、、三点共线，在由，，得到且，证得，再由相似三角形的性质得到，过点作，垂直为，由三角函数， ，，得到，，，再根据勾股定，得，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，，， ， （2）如图，连接、， 是的直径， ， ， 又为等腰三角形， 是的边的中线，即， 又为的中点， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线 （3）如图，连接、，在上取一点，使，连接， 由（1）知，且， ， 、、三点共线， ，，则， ， ， 在中，， ， ， 且， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取最小值， 过点作，垂直为， 在中，， 则在中，，， ∴，，， ∴， ， 的最小值即为． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合应用，等腰三角形的判断与性质，切线的定理，三角函数，垂直定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 题型07 圆与特殊四边形、几何存在性综合 31．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 32．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 【详解】（1）解：点是的费马点，， ， ， ， ∽， ， 已知，， ， 解得（负值舍去）； 证明：连接，过点A作，于点，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中，， ≌， ，，， ， 又，， ， 又， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图， 根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且， 延长交于点，则，连接，如图， 又， ， ， ， 点为外接圆的圆心， ，即， 的值最小为， ， 即圆的半径为． 33．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展] 【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； [问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论； [问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 34．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型08 圆与函数综合 35．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值是定值，为； (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）设圆心点为，利用、的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出的长，求得点，然后利用轴的交点式代入点的坐标得到函数的解析式即可求解； （2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出是一个定值； （3）根据题意，分为点在轴上或点在轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求点的坐标. 【详解】（1）解：设圆心为点， ，， ，的半径为， ， ， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， ， ， ，， ； （2）的值是定值，为， 理由：点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 令时，， ， ， ； （3）点是圆与抛物线的交点与、、不重合，， ，即：， 当点在轴上时，如图，设点的坐标为， ，，， ，，， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ， 或②， ， ， ， 当点在轴上时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ，， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ∴ 或②， ， ， ∴ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合问题，包括勾股定理，利用待定系数法确定函数解析式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点进行分类讨论是解题关键． 36．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，可证明是等腰直角三角形，，据此利用两点距离计算公式建立方程求解即可； （3）分点D在点A左侧和点D在点A右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接，设， ∵以为直径的圆与直线的一个交点为C， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； 如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ； 综上所述，的值为或． 37．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，，结合已知，确定点D坐标为，解答即可； （2）过C作轴于T，过D作于K，设，可得，证明，得到，据此求解即可； （3）根据直线经过的圆心，结合，判定直线是的切线，利用勾股定理，三角函数，确定点C的坐标，再利用待定系数法确定解析式，利用圆的对称性，确定另一切线的解析式即可． 【详解】（1）解：当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，， 又， 故点D坐标为， 故答案为：． （2）解：过C作轴于T，过D作于K，如图； 设， ∵，， ∴， ∴， 由图可知，点C在轴上方， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴点C的坐标为； （3）解：∵直线经过的圆心， ， ∴直线是的切线， ∴以为直径作圆与交于C，两点，连接，， 则, ∴，， ∴，， 过点C作于点E， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据圆的对称性，得 ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 故直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，待定系数法求解析式，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 38．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值．弦的长为6 (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用，垂径定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，垂足为，连接，设点的坐标为，则，利用垂径定理结合勾股定理求出的长，进而求出的长，进行判断即可； （3）求出直线的解析式，设，则且，求出，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）弦的长度是定值．理由如下： 如图1所示，过点作轴，垂足为，连接，则：， 设点的坐标为，则． ， ∴． ， ． ， ， ∴弦的长度为定值． （3）证明：设直线的解析式为， 直线过点， ，解得：， ∴； 设，则且， ， ， ． ①当时，点在对称轴左侧，如图2， ． ， 的坐标为， ，又， 三角形是等边三角形． ②当时，在对称轴右侧，如图3， ， ， 的坐标为， ， ，又， 三角形是等边三角形． 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键． （1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可； （2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可； （3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴， 又， ∴， ∴， ∵和都是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴在中，， ∴， ∴． 3．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等得出两角相等，从而得出两边相等； （2）利用圆的性质及矩形的性质与判定来论证线段的关系； （3）先通过全等三角形得到线段长度，再结合已知条件求出相关线段长度，最后求三角形面积． 【详解】（1）证明：为的直径， ． 设． ， ， ， ． ． ． ． （2）证明：连接，，并延长交于点． ， 垂直平分， ，， 是的切线， ． 是的直径， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，连接，，并延长交于点， 为的中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴≌， ， ， 设，则． 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ，， ，　　　 ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数及三角形的面积等知识点，关键是灵活应用知识点解决问题． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆的综合证明与计算（解答压轴题） 命题预测 圆的综合证明与计算是初中几何核心压轴必考模块，稳居中考解答题中档及压轴位置，也常出现在选择、填空压轴中，分值高、设问角度灵活、综合性强，常融合三角形、四边形、勾股定理、相似、三角函数等知识综合考查。掌握常见模型、证明套路与计算答题模板，对几何提分、冲刺高分至关重要。预计 2026 年中考命题仍将围绕切线证明、圆中角度计算、线段长度求解、阴影面积、圆与几何综合存在性等核心题型展开，延续 “基础考性质、中档考证明、压轴考综合” 的命题规律，重点考查几何推理、数形结合与运算求解能力。 高频考法 题型01 切线的判定与性质证明 题型02 圆中角度、弧、弦、圆周角圆心角综合计算 题型03 圆中线段长度综合计算 题型04 扇形弧长、阴影部分面积计算 题型05 隐圆（定弦定角、定点定长）最值与路径长 题型06 圆与相似、三角函数综合压轴 题型07 圆与特殊四边形、几何存在性综合 题型08 圆与函数综合 典例·靶向·突破 题型01 切线的判定与性质证明 1．（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 2．（2026·宁夏银川·一模）如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，作的平分线交于，交于，连接、，求的值． 3．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 4．（2026·广西·一模）如图，在中，，是的角平分线，以点为圆心，为半径作，交于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若与的切点为，连接交于点，已知，设的半径为5，求的长． 5．（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 题型02 圆中角度、弧、弦、圆周角圆心角综合计算 6．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：为直径，弦交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为弧上一点，连接，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，弦交于点，，在上取一点，连接，，若，，求的长． 8．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知四边形内接于，为的直径．N是延长线上一点，连接． (1)如图①，若交于点M，，，，求的度数； (2)如图②，若与相切于点D，延长交于点P，，，，求的长度． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：内接于，交于点D，点E为垂足． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上．延长至，使，过作交的延长线于，交射线于点，若，，，求的长． 10．（2026·浙江衢州·一模）如图1，点E是的弦上一动点，过点E作交于点A，C，连接，过点B作于点F，交于点G． (1)如图2，若经过点O． ①求证：． ②若，，求的半径． (2)若，，，求y关于x的函数表达式． 题型03 圆中线段长度综合计算 11．（2026·四川绵阳·一模）四边形是的内接四边形，是对角线，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在线段上，连接，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作交于点H，交线段于点F，连接，请你探究线段、线段的数量关系，并证明你的结论． 12．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，是等边的外接圆，点是延长线上一点，连接，点是上一点，且平分，连接，点是线段上一点，． (1)求的度数； (2)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (3)若线段的长为，线段的长为，线段的长为，线段的长为，则是否成立？并说明理由． 13．（22-23九年级下·北京·月考）在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．    已知点，点． (1)中，是线段的“二倍点”的是__________； (2)直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； (3)的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值． 14．（2026·河南周口·一模）如图，线段，，点为线段上一动点，以为边作矩形中，沿对角线翻折得到，连接与交于点． (1)如图1，求证：． (2)如图1，当时，求的值． (3)如图2，若，在点从点向点的运动过程中，当中有一个角是时，直接写出此时线段中点运动的路径长． 15．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为边上一点，连接． (1)如图1，若，过作交其延长线于点，，，求线段的长． (2)如图2，若，延长至点，连接使，连接，点为线段上一点，连接，取中点，连接，若，猜想与之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得线段，连接，在直线上取一点，连接，当最小时，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当最小时，请直接写出的面积． 题型04 扇形弧长、阴影部分面积计算 16．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 17．（2026·青海·模拟预测）综合与探究 在凸多边形（以下简称为“多边形”）的各个顶点处作半径为1的圆且两两不相交，我们把这样的圆叫做多边形的“顶点圆”．现探索多边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和与多边形边数之间的关系． 探索任务： (1)任务1：如图①，三角形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． (2)任务2：如图②，四边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________． (3)任务3：如图③，求五边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和．请写出过程（提示：五边形各内角度数分别记为，，，，，各顶点处扇形的面积分别记为，，，，）． (4)任务4：如图④，六边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和__________． 归纳： (5)推广到边形（）中，边形与其顶点圆所形成的阴影部分面积之和为__________（用含的式子表示）． 18．（2026·河北邯郸·一模）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． (1)若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 19．（2026·山东济宁·一模）如图（1），工人师傅想在这张直径为的半圆的铁皮上裁剪出如阴影部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点，若时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图中阴影部分的面积． 20．（2026·安徽阜阳·一模）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点，，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点． (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得所对的圆心角为． ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，求裁出的两块木料的面积之和． 题型05 隐圆（定弦定角、定点定长）最值与路径长 21．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 22．（2026·山东·一模）如图，在中，，点是所在平面内一点，连接． (1)如图1，若，点在边上，平分，，求的长； (2)如图2，若，点在边上(点不与点，重合)，将射线绕点顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点，连接，使得，过点作于点，过点作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若点在直线下方，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到四边形所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 23．（2025·江苏宿迁·一模）在一堂数学实践课上，老师提供正方形与矩形两种纸片，让同学们以“用纸片折出角”为主题开展活动． (1)探究一： A小组选择矩形纸片，操作步骤如下： 第一步：将矩形纸片对折两次，展开平铺后如图1所示； 第二步：折叠纸片，使得的对应点落在折痕上，折痕为，即可得到角． 问题一：请证明 (2)探究二： 小组选择正方形纸片，操作步骤如下： 第一步：对折纸片，使与重合，折痕为； 第二步：折叠纸片，使、的对应点落在上，折痕分别为，； 由折叠性质可知：，，又因为正方形四边相等，可以得到：，即为正三角形，因此可得到角．小组对图2进一步研究，惊喜地发现利用下图还可以求出. 问题二：当正方形边长为4时，请你帮小组求出 (3)综合运用： 如图3，矩形中，，，是中点，是边上的动点，将沿折叠得到． ①当时，______． ②连接，当在上运动时，是否存在最小值？若有，请直接写出最小值及此时的长；若无，请说明理由． 24．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 25．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 (1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． ①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 题型06 圆与相似、三角函数综合压轴 26．（2026·北京·一模）如图，中，，是的外接圆，过点作的切线． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点，交于点，交于点．若，，求半径和的长． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知四边形内接于，对角线、交于点，连接，； (1)如图1，求证：； (2)如图2，若恰好为的直径，连接，过点作的切线交的延长线于点F，点为上一点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交、于点、，若，，求线段的长． 28．（2026·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴正半轴上有一点，当最大时，点的坐标为______． 问题解决 （2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形为水鸟园的建设用地，其中，，，，．根据修建要求，四边形内部为水鸟戏水区，为游客观测点，在边上要修建一段长为的水岸（在上，在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸，使得？如果存在，求出此时的长；如果不存在，请说明理由． 29．（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 30．（2025·云南昆明·模拟预测）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一，如图1，已知为的直径，过点A作，使得，连接交于D，过点D作于E，且，以为直角边构造直角三角形，，． (1)求线段的长． (2)证明：为的切线． (3)如图2，若P为弧上一个动点，连接，，求的最小值． 题型07 圆与特殊四边形、几何存在性综合 31．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 32．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 33．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 34．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 题型08 圆与函数综合 35．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 37．（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 38．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：三角形是等边三角形． 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． 4．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 8．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 9．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $