专题05 几何折叠与动点问题11大题型（选择、填空、解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题05 几何折叠与动点问题（选择、填空、解答专练） 命题预测 几何折叠 + 动点是全国中考必考、高分值、高区分度模块，覆盖选择题压轴、填空题压轴、解答题几何压轴三大位置，总分占比约8–14 分，是拉开分数差距的核心板块。折叠性质稳定、动点变化灵活，两者结合后设问角度多、综合性强，掌握题型规律与答题模板，对快速提分至关重要。预计2026 年中考命题仍将围绕以上核心题型展开，延续 “基础送分、中档稳定、压轴综合” 的命题思路，重点考查折叠不变性、动点轨迹、分类讨论、方程与最值四大能力。 高频考法 题型01 动点运动与函数图象判断 题型02 矩形折叠求线段长度 题型03 折叠后动点轨迹（隐圆）与线段最值 题型04 折叠中的等腰三角形存在性问题 题型05 折叠中的直角三角形存在性问题 题型06 折叠背景下的线段和最小值 题型07 折叠+动点轨迹与最值 题型08 折叠+ 动点求面积最值 题型09 折叠+特殊平行四边形存在性 题型10 折叠后点落在边上的分类讨论 题型11 折叠中的勾股定理方程应用 典例·靶向·突破 题型01 动点运动与函数图象判断 1．（2026·安徽滁州·一模）如图，在菱形中，，点从点匀速运动到点，，交于点，将菱形沿折叠，记折叠的部分与原菱形重叠部分面积为，，则关于的图像大致是（    ） A．B．C． D． 2．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 3．（2025·福建福州·三模）如图，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E，设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A．B．C． D． 4．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 题型02 矩形折叠求线段长度 5．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南·模拟预测）如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 8．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图所示，长宽比为的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则 ______ ． 题型03 折叠后动点轨迹（隐圆）与线段最值 9．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 12．（2026·陕西西安·三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的中点，为线段上的一个动点，连接，将沿折叠得到，过点作直线的垂线交直线于点，连接和，则的最小值为____________ 题型04 折叠中的等腰三角形存在性问题 13．（2026·江西南昌·一模）如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 14．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 15．（2026·河南周口·二模）如图，在矩形中，，．E为上的一个定点，．F为上的一个动点，将沿折叠得，折叠后点B的对应点为点G，当是以为底边的等腰三角形时，的长为______． 16．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为_______．    题型05 折叠中的直角三角形存在性问题 17．（2026·山西晋中·一模）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，若是直角三角形，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2026·河南·一模）如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 19．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 题型06 折叠背景下的线段和最小值 20．（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 21．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 22．（2026·贵州·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为 ____． 23．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 24．（2026·黑龙江·一模）如图，在Rt中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的最小值为_____． 25．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 题型07 折叠+动点轨迹与最值 26．（2026·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿着向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，且，若其中一个动点到达终点，则两点同时停止运动．连接，将四边形以直线为对称轴进行翻折，得到四边形，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若点在边上，则 C．若直线经过点，则线段、互相平分 D．点、两点间距离最小为 27．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 28．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 29．（2025·四川泸州·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点M是线段的中点，连结，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 30．（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为________ 题型08 折叠+ 动点求面积最值 31．（2025·河南郑州·二模）如图，等边三角形的顶点，，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在边长为的正方形中，是边上一动点（不与，两点重合），将沿直线翻折，点落在点处；在上取一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． （1）的周长为_______； （2）当在边上运动时，的面积的最小值为_______． 33．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 题型09 折叠+特殊平行四边形存在性 34．（2024·四川雅安·模拟预测）将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段． (2)如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T． ①求证：； ②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．       35．（2023·山东青岛·一模）如图，在中，．点E从A出发，沿方向向B匀速运动，速度是；同时，点F从B出发，沿方向向C匀速运动，速度是．将沿折叠，E的对称点为G．设运动时间为（），请回答下列问题： (1)t为何值时， (2)设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得点G落在线段上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使得四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型10 折叠后点落在边上的分类讨论 36．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”．若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，则“落边折痕”的长__________；若是等腰三角形，其中，，则其“落边折痕”的长度__________． 37．（2023安徽中考【抓分卷】原创模拟试卷数学2023安徽中考抓分卷六）在矩形中，，点在上，将沿翻折，若点的对应点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长为（    ） A． B． C．或 D．或 38．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，已知扇形，，，点C为弧的中点，D是线段上一动点（D不与点O，点B重合）．将沿边翻折得到，若点E落在扇形的边界上，此时的值为_______． 题型11 折叠中的勾股定理方程应用 39．（2026·安徽池州·二模）如图，在中，，为上一点，，为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 40．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 41．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 1．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 3．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 4．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 5（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 6．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 7．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            8．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何折叠与动点问题（选择、填空、解答专练） 命题预测 几何折叠 + 动点是全国中考必考、高分值、高区分度模块，覆盖选择题压轴、填空题压轴、解答题几何压轴三大位置，总分占比约8–14 分，是拉开分数差距的核心板块。折叠性质稳定、动点变化灵活，两者结合后设问角度多、综合性强，掌握题型规律与答题模板，对快速提分至关重要。预计2026 年中考命题仍将围绕以上核心题型展开，延续 “基础送分、中档稳定、压轴综合” 的命题思路，重点考查折叠不变性、动点轨迹、分类讨论、方程与最值四大能力。 高频考法 题型01 动点运动与函数图象判断 题型02 矩形折叠求线段长度 题型03 折叠后动点轨迹（隐圆）与线段最值 题型04 折叠中的等腰三角形存在性问题 题型05 折叠中的直角三角形存在性问题 题型06 折叠背景下的线段和最小值 题型07 折叠+动点轨迹与最值 题型08 折叠+ 动点求面积最值 题型09 折叠+特殊平行四边形存在性 题型10 折叠后点落在边上的分类讨论 题型11 折叠中的勾股定理方程应用 典例·靶向·突破 题型01 动点运动与函数图象判断 1．（2026·安徽滁州·一模）如图，在菱形中，，点从点匀速运动到点，，交于点，将菱形沿折叠，记折叠的部分与原菱形重叠部分面积为，，则关于的图像大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况分别求出阴影部分的面积，根据函数解析式判断图像即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴,, ∴， 当点与点重合时, 点与点重合，此时点与点重合， 可分两种情况讨论， 当时，如图所示，重叠部分为， ， ， ， ， 这是一个开口向上的抛物线，当时，； 当时，重叠部分如图所示，过点作于点， 此时，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵重叠部分面积， ∴， 这是一个开口向下的抛物线，当时，， 当时，， 综上所述： 其函数图像如图所示： 2．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意知：， ∴， 由折叠的性质可得：， 当点P与AB中点重合时，则有， 当点P在AB中点的左侧时，即， ∴与重叠部分的面积为； 当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示： 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积为； 综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键． 3．（2025·福建福州·三模）如图，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E，设，，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质等；结合矩形的性质和折叠的性质可判定，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 图象大致为： 故选：C． 4．（22-23九年级上·江苏·期末）如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 分两种情况讨论，当时，由，得到，求得y与x之间函数关系；当时，同理求得，求得y与x之间函数关系，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 当D是边的中点时， ∴， 当时， 由题意得，则， ∴， ∴， ∵，开口向上，当时，y有最大值为； 当时， 由题意得，，， ，则， ∴， ∴， ∵，开口向下，当时，y有最大值为2； 综上，图象经过点和两点，且图象分别是开口先向上后向下的两段抛物线， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 题型02 矩形折叠求线段长度 5．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为，由折叠得，推出，进而得．证等腰，得，在中，由内角和算出，等角对等边得．用对角线长度求：由正方形对角线，得，计算比值并有理化得最终结果． 【详解】解：设正方形边长为， ∴，对角线，，． 由折叠性质：， ∴，， ∴ 在中，，， ∴ ∴， ∴ 在中： ，， ∴ ∴， ∴ ∵，且， ∴ ∴． 6．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 7．（2026·湖南·模拟预测）如图，点E在正方形的边上，将沿折叠，点D落在点F处，延长交于点G，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，正切的定义及勾股定理．连接，根据折叠的性质得到，，，证明，从而得出，再由设，则，从而得到相关线段的表达式，设，则，，，利用勾股定理求得x的值，进而得到的值，最终可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 由折叠性质可知，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图所示，长宽比为的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则 ______ ． 【答案】 【分析】过点作于点，设与交于点，设，则，根据折叠的性质，可得，根据勾股定理列方程，求出的长，可得的长，再证，根据相似三角形的性质可得，可得的长和的长，再证明，根据全等三角形的性质可得的长，进一步可得的长，根据，可知四边形是矩形，可得，进一步求出的长，根据求解即可． 【详解】解：过点作于点，设与交于点，如图所示： 则， 长宽比为的矩形， 设， ， 是的中点， ， 根据折叠的性质，可知， 设，则， 在矩形中，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 根据折叠的性质可得，， ， ， ， ， ， ， 、， 根据折叠的性质可得，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型03 折叠后动点轨迹（隐圆）与线段最值 9．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 10．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了点到圆的最值，勾股定理，解直角三角形，三角形边长关系，相似三角形的判定和性质，运用上述性质逐一判断即可，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点， ，当点，，共线时，的值最小， 点到直线距离的最小值为2，选项A正确； 如图，连接，， 当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确； 当角度最大时，的值最大， 当与相切时，最大， 的最大值为，选项C正确； 如图，在上取点，使，连接，， ， ， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误． 故选：D． 11．（2026·安徽铜陵·二模）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为的正方形纸片，点为的中点，点为上任意一点，将沿所在的直线折叠得到，连接． （1）的最小值为________； （2）当取最小值时，________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、圆上点到定点的最短距离问题、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的计算，熟练掌握相关图形的性质与判定定理是解答本题的关键． （1）根据折叠的性质得到，结合点为定点，判断出点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆弧，再根据 “圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，结合勾股定理求出的长度，进而得到的最小值； （2）当取最小值时，点在线段上，由折叠性质得到，从而推出，利用相似三角形的性质求出的长度，再结合正方形边长求出的长度，最后根据正切的定义计算． 【详解】（1）解：点为的中点，正方形的边长为， ， 由折叠知，如图1， 点在以点为圆心，以为半径的圆弧上运动，连接DE， ，，， 中，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）如图，当取最小值时，点在线段上，由折叠知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 12．（2026·陕西西安·三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的中点，为线段上的一个动点，连接，将沿折叠得到，过点作直线的垂线交直线于点，连接和，则的最小值为____________ 【答案】 【分析】先由，得到四点共圆，则，，根据定角对定长可得点在以为圆心，半径为的圆上运动；连接交于点，在上取一点，使，连接，过作于，根据，，可得，则，得到，当在上时，最小，再求出的长度即可． 【详解】解：连接，，，延长至，使于， ∵为等腰直角三角形，，，为的中点， ∴，，，， 由折叠可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴根据定角对定长可得点在以为圆心，半径为的圆上运动； 连接交于点，在上取一点，使，连接，过作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴当在上时，最小． 题型04 折叠中的等腰三角形存在性问题 13．（2026·江西南昌·一模）如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知，，，然后分三种情况讨论：、、，再根据直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，连接，交于点M，如图所示， ∵将线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图所示， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴； 当时，此时交的延长线于点M，如图所示， 此时点E与点C重合，， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，A选项符合题意． 14．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 【答案】D 【分析】由翻折的性质，结合等角的余角相等，可判断A；与的交点记作点，延长，交于点，由平行线的性质，结合翻折的性质，可证明，可得，可判断B；证明，可得，证明，，设，证明，可得，证明，，可得，，由勾股定理可得，可判断C；当是等腰三角形时，，或，或，分类讨论，用勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，可得，可判断D． 【详解】解：由翻折可得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴A正确，不符合题意； 当时， 与的交点记作点，延长，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴B正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴， ∴C正确，不符合题意 当是等腰三角形时， 若， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 若， 作于点，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若， 作，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴方程在实数范围内无解， ∴， ∴当是等腰三角形时，的长或， ∴D不正确，符合题意. 15．（2026·河南周口·二模）如图，在矩形中，，．E为上的一个定点，．F为上的一个动点，将沿折叠得，折叠后点B的对应点为点G，当是以为底边的等腰三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】根据是以为底边的等腰三角形，得到点落在的中垂线上，作的中垂线，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴点落在的中垂线上， 作的中垂线，则四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， 当点在点下方时，如图，作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点上方时，则， ∴； 综上：或． 16．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为_______．    【答案】或 【分析】分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】解：当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图1所示：作于，    则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ②当时，如图2所示：      由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③当时，连接，如图3所示：    由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 题型05 折叠中的直角三角形存在性问题 17．（2026·山西晋中·一模）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，若是直角三角形，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先确定点F的位置，设长为x，求出，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】解：若，则， 由翻折可知，，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，此时点F在上，则不满足点落在矩形内； 若，则点F在上， 又∵， ∴点F不可能在上，即此情况不存在； ∴只有当时满足是直角三角形， 由翻折可知， ∴此时三点共线，如图， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 18．（2026·河南·一模）如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 【答案】或 【分析】先根据折叠证明四边形是菱形，然后分类讨论，根据平行证明，再通过相似三角形的性质设未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴， 当时，如图： ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵ ∴； 当时，如图： 同理可设，则 ∴， 解得， ∵ ∴， 综上：当是直角三角形时，的长为或． 19．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 【答案】或 【分析】分情况讨论：当时，当时，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图1，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ，， ， ， 解得， ； 如图2，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 四边形是正方形， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 题型06 折叠背景下的线段和最小值 20．（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【答案】C 【分析】当时，有最小值，利用等积法求解即可判断选项A；当B、E、C三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项B；根据三角形中位线定理，推出当A、B、E三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项C；作点B关于的对称点，当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为，据此计算即可判断选项D． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为， 选项A正确，不符合题意； ∵点E在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当B、E、C三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项B正确，不符合题意； 连接， ∵点为边中点，点为边中点， ∴根据三角形中位线定理，， ∴当A、B、E三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项C错误，符合题意； 作点B关于的对称点，连接，,，， ∵，∴， ∴当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为， 记交于点，作交的延长线于点， 由对称的性质和选项A的结论，得，，， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∴， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 21．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，利用全等三角形得出，得到当点共线时，的值最小，即为线段的长度，然后解直角三角形即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴ 根据翻折的性质可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，的值最小，即为线段的长度， ∵， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴， 即的最小值为． 22．（2026·贵州·模拟预测）如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为 ____． 【答案】11 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，作点关于的对称点，连接，．由，推出，根据是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，解题的关键是运用轴对称，根据两点之间线段最短解决线路最短问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图作点关于的对称点，连接，． 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中， 点与点关于对称， ， ， ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，最小值， 的最小值为11． 23．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 24．（2026·黑龙江·一模）如图，在Rt中，，，，点在边上，，是边上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，由翻折得到．在上取点G，使得，连接，，证明可得，因此，从而．过点G作于点H，通过解直角三角形求出，即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴． 如图，在上取点G，使得，连接，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长． 过点G作于点H， ∵，， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴在中，． ∴的最小值为． 25．（2026·山东济南·一模）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作，证明，得到，则，则，当A、G、R共线时，有最小值，此时G为的中点，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作， 由对称性可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值， ∵此时， ∴， ∴ ∴在中，设，， ， 解得， ∴的长为． 题型07 折叠+动点轨迹与最值 26．（2026·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿着向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，且，若其中一个动点到达终点，则两点同时停止运动．连接，将四边形以直线为对称轴进行翻折，得到四边形，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若点在边上，则 C．若直线经过点，则线段、互相平分 D．点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】A.结合矩形的判定方法和折叠的性质可判定四边形是矩形，由矩形的性质得，，设，则，即可求解； B. 同理可证四边形、是矩形，由矩形的性质得，，即可求解； C. 由等腰三角形的判定方法得，设，则，，由勾股定理得，，可求得，由判定，由全等三角形的性质即可判断； D.连接交于，连接、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，是定点，，当运动到的中点时，运动到停止，的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆，过作，当运动到时，取得最小值，结合相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：A.如图，当时， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理可证， 设，则， ， ， 解得， ， 故此项正确，不符合题意； B. 点在边上时，如图， 同理可证四边是矩形， ， ， ， 故此项正确，不符合题意； C. 当经过点时，如图， 由折叠得， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， 解得（负值已舍去） ， ， ， ， ， ， （）， ，， 线段、互相平分， 故此项正确，不符合题意； D.如图，连接交于，连接、， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是定点， ，当运动到的中点时，运动到停止， 的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆， 过作， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，当运动到时，取得最小值， 此时（）， 故此项错误，符合题意． 【点睛】根据具体运动情况画出图形，能利用矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆外一点到圆上一点的距离最值进行求解是解题的关键． 27．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，再根据矩形的性质以及勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图：作点关于的对称点，连接，． ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，且为 ，，点在边上，且． ，， ， ∴最小值， 的最小值为． 故选：C． 28．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 29．（2025·四川泸州·二模）如图，在矩形中，，，点E是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点M是线段的中点，连结，则的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与翻折，三角形中位线定理，勾股定理，通过构造三角形中位线得到是解决问题的关键．结合矩形的性质，由折叠可知，，取中点，连接，，则，可得，，由三角形三边关系可知，，当在上时取等号，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，， 取中点，连接，，则， ∴， 又∵点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取等号， ∴的最小值为， 故选：D． 30．（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为________ 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正切的定义，勾股定理，二次函数的性质，根据题意得出，设，则，根据得出，根据勾股定理可得，则当取得最小值时，取得最小值，进而根据二次函数的性质求得的最小值，即可求解． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵点恰好落在射线上， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∵ ∴当时，取得最小值为 ∴的最小值为 故答案为：． 题型08 折叠+ 动点求面积最值 31．（2025·河南郑州·二模）如图，等边三角形的顶点，，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质，由等边三角形的性质可得，，求出，由折叠的性质可得，推出点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，此时最小，得出的面积最小，解直角三角形得出，，，由勾股定理可得，作交于，则，，求出，即可得解． 【详解】解：∵等边三角形的顶点，， ∴，， ∵， ∴， ∵点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到， ∴， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，如图， ， 此时最小， ∵， ∴此时的面积最小， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 作交于， ∴，， ∴， ∴，即点的坐标为， 故选：C． 32．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在边长为的正方形中，是边上一动点（不与，两点重合），将沿直线翻折，点落在点处；在上取一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，． （1）的周长为_______； （2）当在边上运动时，的面积的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，添加常用辅助线． （1）利用翻折的性质和正方形的性质证明，得出，进而即可得出的周长； （2）证明，进而证明，设，则，得出，作于G，所以最小时的面积最小，构建二次函数，求得的最小值，进而根据三角形的面积公式进行计算． 【详解】解：（1）∵将沿直线翻折，点B落在点E处， ∴，，，且四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴的周长为：； 故答案为：． （2）∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∴， 设，则， ∴， 过点作于G， ∴最小时的面积最小， ∵， ∴时，最小值， ∴的面积的最小值为 故答案为：． 33．（2026·四川绵阳·一模）如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 【答案】 【分析】过点作于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合题意可得点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长、交于点，过点作于点，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点， 即当最小时，面积最小， ∵是线段的中点，， ， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长、交于点， 过点作于点，则， ∴， ，， ， ∵， ， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ，， ， ∵， ，即， ∴， ， ， ∴面积的最小值为． 题型09 折叠+特殊平行四边形存在性 34．（2024·四川雅安·模拟预测）将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，． (1)如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段． (2)如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T． ①求证：； ②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示． (3)在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①见解析；② (3)存在，或或 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）①由折叠的性质可知，，，证明，四边形是矩形，则，，，可得，进而可证；②由，可得，，由勾股定理得，，即，整理作答即可； （3）当时，，即，，则，，以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分当为对角线时，，如图1，，重合；当为边，为对角线时，，如图1，，重合；当为边，为边时，，如图1，，三种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴线段的长为4． （2）①证明：由折叠的性质可知，，， ∵，， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴，， 由勾股定理得，，即， 整理得，； （3）解：当时，， ∴，， ∴，， ∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，，如图1，，重合，       ∴， 由平移的性质可得，； 当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则， 由平移的性质可得，； 当为边，为边时，，如图1，， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴ 直线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴； 综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等角对等边，平行四边形的性质，一次函数解析式，平移的性质是解题的关键． 35．（2023·山东青岛·一模）如图，在中，．点E从A出发，沿方向向B匀速运动，速度是；同时，点F从B出发，沿方向向C匀速运动，速度是．将沿折叠，E的对称点为G．设运动时间为（），请回答下列问题： (1)t为何值时， (2)设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得点G落在线段上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使得四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t为时，； (2)S关于t的函数关系式为； (3)存在某一时刻t，使得点G落在线段上，此时； (4)不存在时刻t，使得四边形为菱形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求得，利用折叠的性质表示出线段列出关于t的方程即可求得结论； （2）过点F作于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论； （3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程，即可得出结论； （4）利用反证法解答，假设四边形为菱形，则，过点E作于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段，在中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程可得，原方程无解，则结论可得． 【详解】（1）． 由题意得：，， ∴. ∵， ∴， 解得． 当t为时，； （2）过点F作于点H，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 由题意：， ∴． ∵ ∴． ∴S关于t的函数关系式为； （3）存在某一时刻t，使得点G落在线段上，理由： 由题意：， ∵点G落在线段上， ∴. 由（2）知， ∴， 即， 解得. ∴存在某一时刻t，使得点G落在线段上，此时； （4）不存在时刻t，使得四边形为菱形，理由： 若四边形为菱形， ∴， 过点E作于点M，如图， ∵ ∴ ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 整理得：， ∵Δ， ∴此方程无解， ∴不存在时刻t，使得四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，本题是动点问题，利用已知条件用t的代数式 表示出相应线段的长度是解题的关键. 题型10 折叠后点落在边上的分类讨论 36．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”．若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，则“落边折痕”的长__________；若是等腰三角形，其中，，则其“落边折痕”的长度__________． 【答案】 或 【分析】根据折叠的性质可知，，则，即可求解； 分情况讨论：当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据折叠的性质可知，， ，， ； 根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）． 在等腰中， ，，， 只能是点向下折叠，若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义， 分情况讨论： ①如图②，当沿折叠，点落在边上的点处时，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 由折叠得， ∴ ∴， ， ， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ，即， ，， ， ， ∴在中，； ②如解图③，当沿折叠，点落在边上的点处时， 同①可得，； ③如解图④，当沿折叠，点落在边上的点处时， ∴， ∴为的垂直平分线，即， 由①可知， ， ； ④如解图⑤，当沿折叠，点落在边上的点处时，为的垂直平分线， 同③可得，． 综上所述，“落边折痕”的长度为或． 37．（2023安徽中考【抓分卷】原创模拟试卷数学2023安徽中考抓分卷六）在矩形中，，点在上，将沿翻折，若点的对应点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由于矩形有两条对称轴，分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：①如图1，当点落在中垂线这条对称轴上时，．      图1 ， ， ， ． ②如图2，当点落在中垂线这条对称轴上时，      图2 ， ， ． 设， ∴ 在中，，解得， ． 综上所述，折痕的长为或． 【点睛】本题考查翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键． 38．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，已知扇形，，，点C为弧的中点，D是线段上一动点（D不与点O，点B重合）．将沿边翻折得到，若点E落在扇形的边界上，此时的值为_______． 【答案】或 【分析】根据为半径上一动点（点不与点重合），分类讨论，当点在半径上和当点落在半径上，由特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：点落在半径，，围成的封闭图形的边界上， ①如图所示，当点在半径上时，连接， ∵关于直线对称的图形为， ∴， ∵，为的中点，的半径为， ∴，， ∴； ②如图所示，当点落在半径上，连接，，过点作于， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ 由折叠得， ∴ ∴ ∴． 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，折叠的性质，解直角三角形等知识，掌握折叠的性质，特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 题型11 折叠中的勾股定理方程应用 39．（2026·安徽池州·二模）如图，在中，，为上一点，，为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边中线性质得，作构造相似三角形推出且，设，在中通过勾股定理列方程求出长度，再依次计算、，最终用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点G， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，． 40．（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 41．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． (1)当时，的长是__________； (2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，是边上两点，，，求的长． 【答案】(1) (2)；理由见详解 (3) 【分析】（1）取正方形边的中点F，连接，由正方形的性质得出，，再根据三角形中位线的判定和性质得出，，最后根据勾股定理求解即可． （2）同（1）取正方形边的中点F，连接，则，，，设，则，利用勾股定理得出，再求出，即可求解． （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理求出y的值，再结合（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：取正方形边的中点F，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵O为与的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ． （2）解：；理由如下： 同（1）取正方形边的中点F，连接， 则，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴． （3）解：如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，． 由（2）知， ∴， ∴． 1．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 3．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 4．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_________ 【答案】或或 【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, , , ; 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 5（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【答案】(1)①，理由略；② (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）①由翻折得，，利用四边形是平行四边形，可证明，，再证明，即可求证； ②由，得，过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形性质得，求出，可得，利用勾股定理求出，即可求解； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，由翻折的性质得，同（2）可得，利用，求出，可得，证明，得出，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，    由翻折的性质得， 同（2）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 6．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 7．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形是平行四边形；[探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $