天津市北辰区太行高级中学2026届高三下学期数学周练7

★2026年4月28日星期二 天津市北辰区太行高级中学2026届高三下学期数学周练7 总分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则 B．数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5 C．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强 3．函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 4．“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 7．太行某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积为（）. A． B． C． D． 8．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 9．设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．复数，则______. 11．的展开式中，的系数为30，则a的值为______． 12．设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________ . 13．随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________． 14．在中，，，，，，若，，则______（用，表示）；若是上一动点，过分别做交于，交于，则的最小值是______． 15．设是关于x的方程的正实根，记，其中，设数列的前n项的和为，则=______. 三、解答题 16．在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 17．如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 18．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 19．已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列； （ii）设数列满足，记数列的前项和，求证 20．已知曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)证明：除点外，曲线在直线的下方； (3)设，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月28日高三数学周练7》参考答案 一、选择题（共19小题，每小题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D D C A C B C B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 10． 11．6 12．1 3． 14． ； 15． 三、解答题（共5小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为，可得， 所以，即 因为，可得，所以，即，又因为，所以..………(4分) （2）解：①因为，所以，的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以；.…………………………（8分) ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则，， 又因为，所以..…………………(14分) 17．【详解】（1）取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面；.……………(5分) （2）（i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， 则． 设平面的法向量为，则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为， 则 ， 因为为锐角，所以；.……………………………(10分) （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离.…………………(15分) 18．【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过， 则，解得，，所以椭圆E的方程为：..………………(4分) （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到. 求得HN方程：，过点..……………………………………(6分) ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得 可得，，.…………………………………(9分) 且 即.…………….………………………………………………………………(11分) 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点…………….…………………………………………………………(15分) 19．【详解】（1）设数列的公差为， 因为，则解得故………………(3分) （2）(ⅰ)， ，所以，即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列.. 因为 所以=…………………………………………………(10分) (ⅱ) 则 . 故.…………….…………………………………………………………(15分) 20．【详解】（1）因为，所以， 所以直线的方程为：，即…………………………………………(4分) （2）令，则， 令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当等号成立， 所以除切点之外，曲线在直线的下方．………………………………………………(10分) （3）由，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 当时，．因为，则，不妨令． 因为曲线在点的切线方程为， 设点在切线上，有，故， 由（1）知时，， 则，即， 要证：，只要证：， 只要证：，又， 只要证：，令， 则，易证在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减，所以成立， 所以原命题成立．…………….…………………………………………………………(16分) 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $