易错10 统计与概率（6大易错陷阱）（易错专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错10统计与概率 目录导航 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例避坑攻略类题巩固 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错典例 【典例01】图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（    ） A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【错因分析】读图不仔细，看错组别、比例、数量；不会将图表信息转化为计算条件。 避坑攻略 【技巧点拨】 读图先看标题、横轴、纵轴；计算前先求总数，用“频数=总数×比例”统一数量；多个图表结合时，对应好同一组数据。 【知识链接】 条形图看数量、扇形图看比例、折线图看变化、频数分布表看分组与频数；计算时需结合总数、比例、频数之间的关系。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）图1表示的是某书店去年月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： 图1                             图2 ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④2月份比3月份“党史”类书籍的营业额低，则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．（2025·浙江舟山·一模）旅游业是部分地区的产业支柱，下图为2011－2021中国旅游业市场规模统计图 (1)下列结论正确的是__________． ①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势； ②2019－2021时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑并无好转现象； ③2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多； ④2018－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多； (2)根据统计图，再写出两个不同类型的结论． 3．（2026·浙江台州·期末）图①是、两款新能源汽车在2024年6月到12月期间月销售量（单位：辆）的折线统计图，现网上随机调查网友对、两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． (1)下列结论中，所有正确结论的序号是_____； ①2024年6月到12月，款汽车月销售量呈上升趋势； ②2024年6月到12月，款汽车的月平均销售量高于款汽车； ③2024年6月到12月，款汽车月销售量的中位数小于款汽车； ④2024年6月到12月，款汽车的月销售量比款汽车的月销售量更稳定． (2)若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按：的比例计算平均得分，求出款汽车的平均得分． 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错典例 【典例02】一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【错因分析】概念认知偏差，忽略中位数“必须先排序”的核心步骤，直接按原始数据找中间位置；对众数“可多个”的特点不熟悉，误以为一组数据只有一个众数。 避坑攻略 【技巧点拨】 求中位数时，无论数据是否整齐，第一步一定排序；数清数据个数，判断奇偶再定位中间值；找众数时统计每个数据出现次数，避免漏看重复出现的数据。 【知识链接】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后，数据个数为奇数时取最中间的数，偶数时取最中间两个数的平均数；中位数必须先排序才能确定。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·期末）已知一组数据2，4，3，6，x的平均数是4，则这组数据的中位数是______． 2．（2025·浙江丽水·二模）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 3．（2024·浙江嘉兴·期末）已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的中位数是_______． 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错典例 【典例03】为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【错因分析】概念混淆，不区分数据是否有权重，一律用算术平均数计算；遇到频数、次数、百分比等权重信息时，不会套用加权平均数公式。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目中出现“次数、频数、比例、权重、占比”等关键词时，一定用加权平均数；计算时先算总权重，再算数据乘权重之和，最后相除；无权重信息时才用普通算术平均数。 【知识链接】 算术平均数是所有数据之和除以数据个数；加权平均数是不同重要程度的数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，权重体现数据的“占比”“次数”“频率”。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 2．（2025·浙江舟山·二模）若两组数据与的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：，，则这组新数据的众数为___________． 3．（2025·浙江台州·三模）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错典例 【典例04】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【错因分析】公式记忆错误，漏算平方、忘记求平均数，或混淆方差与标准差的关系；理解偏差，搞反方差大小与稳定性的关系。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记方差计算三步“算平均→作差平方→再求平均”；判断稳定性时，直接看方差，方差小更稳定；计算完成后检查是否平方、是否求平均，避免步骤遗漏。 【知识链接】 方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据波动大小；方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定；标准差是方差的算术平方根。 类题巩固 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 2．（2026·浙江舟山·二模）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（2025·浙江丽水·一模）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错典例 【典例05】一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是_______． 【错因分析】思维片面，默认参数为某一固定值，不进行分类讨论；无法结合众数、中位数的定义分析参数可能的范围。 避坑攻略 【技巧点拨】 含参题目先圈出要求的统计量，众数按“出现次数最多”分类，中位数按“排序后位置”分类；列出参数所有可能情况，逐一验证是否符合定义，确保不丢解。 【知识链接】 当数据中含有字母参数时，众数、中位数、平均数会随参数取值不同而变化，必须按概念要求分类讨论参数的不同情况。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·三模）已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．（2024·浙江丽水·模拟预测）数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________． 3．（2024·浙江丽水·二模）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4（x是正整数），唯一的众数是4，则数据x是_______． 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 易错典例 【典例06】已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【错因分析】 审题粗心，忽略“放回”“不放回”“一次性抽取”等关键条件；模型混淆，放回与不放回的计算方法混用，导致概率结果错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 做题先圈关键词，“放回”总数不变，“不放回”总数递减；不放回问题用树状图或列表法，不重复、不遗漏；计算前先确定样本空间总数是否变化。 【知识链接】 放回抽样，总数不变，每次概率相同，事件相互独立；不放回抽样，总数逐次减少，概率变化，可用树状图或列表法计算，不出现重复项。 类题巩固 1．（2025·浙江温州·三模）一个不透明的盒子里装有20个白球、5个红球，这些球除颜色外其他都相同．每次从盒内抽出一球，如果抽出白球，则将白球放回箱内，如果抽出红球，则不将红球放回箱内．已知小慧在规定时间内共抽出红球3次，记第一次抽到红球的概率为，第二次抽到红球的概率为，第三次抽到红球的概率为，则（   ） A． B． C． D．无法判断 2．（2024·浙江丽水·二模）数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； (2)在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 3．（2026·浙江丽水·期末）袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江湖州·期末）刘老师从全校名学生每天体育锻炼时长的问卷中随机抽取了部分学生的答卷，并将结果整理后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知抽取的答卷中每天锻炼时长为1小时的学生人数占抽取总人数的，则下列结论： ①抽取的学生答卷总数是； ②抽取的学生中每天锻炼时间为小时的学生最多； ③所抽取的学生每天体育锻炼时长是总体； ④所抽取的学生中每天锻炼时长不少于小时的学生占抽取总人数的． 其中正确的是______．（填所有正确结论的序号） 2．（2025·浙江丽水·期末）随着社会的发展，旅游业已成为全球经济中发展势头最强劲的产业之一．阅读以下统计图，并回答问题． (1)在2016～2023年这8年中，农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是_____． (2)下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和多； ②2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长； ③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率． (3)请结合上图提供的信息，写出一个与我国国内旅游花费相关的正确结论． 3．（2025·浙江舟山·期中）李老师统计全班学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），并绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是______． 4．（2025·浙江丽水·期中）若一组数据，，，，，，它们的众数是，则这组数据的中位数为___________． 5．（2024·浙江丽水·模拟预测）某兴趣小组开展“党史知识竞赛，满分10分，某小组10名同学的成绩统计如下表所示．若这组成绩的平均数是9.1分，则这组成绩的中位数是_________分． 成绩/分 8 9 10 人数 2 m 3 6．（2025·浙江绍兴·模拟预测）下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则x＝_____． 7．（2024·浙江台州·三模）若一组数据2，3，4，的方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（2024·浙江丽水·二模）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：    已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝________． 9．（2025·浙江舟山·一模）一组数据，1，，5，7，2中，若中位数恰好是，则整数的值可能为______． 10．（2024·浙江台州·三模）有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c，已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为 _____． 11．（2025·浙江嘉兴·一模）在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 12．（2025·浙江金华·期中）一个不透明的布袋中装有6个只有颜色不同的球，其中1个黄球、3个蓝球、2个红球． (1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率；（要求画树状图或列表） (2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错10统计与概率 目录导航 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例避坑攻略类题巩固 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错典例 【典例01】图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（    ） A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：该书店4月份的营业总额是：182- (30+ 40+ 25+ 42) = 45（万元），故①正确；5月份“党史”类书籍的营业额是42 ×25% = 10.5(万元)，故②正确；4月份“党史”类书籍的营业额是45 ×20% = 9(万元)，10.5＞9，故③错误；1一3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，而4月份“党史”类书籍的营业额又小于5月份“党史”类书籍的营业额，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了的是条形统计图和折线统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息． 【错因分析】读图不仔细，看错组别、比例、数量；不会将图表信息转化为计算条件。 避坑攻略 【技巧点拨】 读图先看标题、横轴、纵轴；计算前先求总数，用“频数=总数×比例”统一数量；多个图表结合时，对应好同一组数据。 【知识链接】 条形图看数量、扇形图看比例、折线图看变化、频数分布表看分组与频数；计算时需结合总数、比例、频数之间的关系。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）图1表示的是某书店去年月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： 图1                             图2 ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④2月份比3月份“党史”类书籍的营业额低，则上述结论中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【详解】解：该书店4月份的营业总额为万元；故①正确； 5月份“党史”类书籍的营业额为万元；故②正确； 4月份“党史”类书籍的营业额为万元，小于5月份；故③错误； 2月份“党史”类书籍的营业额为万元，3月份“党史”类书籍的营业额为万元，故2月份比3月份“党史”类书籍的营业额高；故④错误； 故选A． 2．（2025·浙江舟山·一模）旅游业是部分地区的产业支柱，下图为2011－2021中国旅游业市场规模统计图 (1)下列结论正确的是__________． ①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势； ②2019－2021时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑并无好转现象； ③2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多； ④2018－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多； (2)根据统计图，再写出两个不同类型的结论． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】 【详解】（1）①由2011－2019时间段，旅游总收入与总人数都呈上升趋势；正确； ②2019－2020时间段，因疫情原因旅游总人数与总收入直线下滑，2021现象好转，不正确； ③旅游总人数上升数： 2016：（亿人次）；    2017：（亿人次）； 2018：（亿人次）；    2019：（亿人次）； ∴2017－2018时间段，旅游总人数在2011－2021所有年份中上升最多，正确； ④应为2016－2019时间段，旅游总收入在2011－2021所有年份中上升最多，不正确． 正确的是①③． 故答案为：①③． （2）①2011－2019时间段，旅游总收入与总人数逐年上升越来越快； ②2020旅游总收入与总人数还是比2011多． 3．（2026·浙江台州·期末）图①是、两款新能源汽车在2024年6月到12月期间月销售量（单位：辆）的折线统计图，现网上随机调查网友对、两款汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务四个项目进行评分（单位：分），整理评分数据，绘制成条形统计图（图②）． (1)下列结论中，所有正确结论的序号是_____； ①2024年6月到12月，款汽车月销售量呈上升趋势； ②2024年6月到12月，款汽车的月平均销售量高于款汽车； ③2024年6月到12月，款汽车月销售量的中位数小于款汽车； ④2024年6月到12月，款汽车的月销售量比款汽车的月销售量更稳定． (2)若将汽车的外观造型、舒适程度、操控性能和售后服务这四个项目的评分按：的比例计算平均得分，求出款汽车的平均得分． 【答案】(1)①③④ (2)分 【分析】 【详解】（1）解：①由折线统计图可知，2024年6月到12月，B款汽车月销量呈上升趋势；故①正确； ②2024年6月到12月，A 款汽车的月平均销量稳定，但不高于 B 款汽车的月平均销量：故②不正确； ③2024年6月到12月，观察图①，排在中间位置的数都是在9月份，即A 款汽车和B汽车月销量中位数都是在9月份，由图可知，A 款汽车月销量中位数小于 B款汽车：故③正确； ④2024年6月到12月，A 款汽车的月销量比B款汽车的月销量更稳定，故④正确． 故答案为：①③④ （2）解：B 款汽车的平均得分为（分）， 答：B 款汽车的平均得分为分． 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错典例 【典例02】一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 【错因分析】概念认知偏差，忽略中位数“必须先排序”的核心步骤，直接按原始数据找中间位置；对众数“可多个”的特点不熟悉，误以为一组数据只有一个众数。 避坑攻略 【技巧点拨】 求中位数时，无论数据是否整齐，第一步一定排序；数清数据个数，判断奇偶再定位中间值；找众数时统计每个数据出现次数，避免漏看重复出现的数据。 【知识链接】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后，数据个数为奇数时取最中间的数，偶数时取最中间两个数的平均数；中位数必须先排序才能确定。 类题巩固 1．（2025·浙江台州·期末）已知一组数据2，4，3，6，x的平均数是4，则这组数据的中位数是______． 【答案】4 【详解】解：∵一组数据2，4，3，6，x的平均数是4， ∴， ∴， 将数据从小到大排列：2，3，4，5，6． ∵数据个数为5，是奇数， ∴中位数是第3个数据，即4． 2．（2025·浙江丽水·二模）一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：∵1，2，的平均数为3， ∴， 解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为， 故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4， 按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 3．（2024·浙江嘉兴·期末）已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的中位数是_______． 【答案】3.5 【详解】解：∵3、a、4、6的众数为3， ∴， ∴这组数据3、3、4、6的中位数为. 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错典例 【典例03】为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【分析】 【详解】（1）解：调查人数为：（人）， ∴ （人）， ∴， 故答案为：，； （2）解：补全频数分布直方图，如图， （3）解： ． 所以估计该小区65岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【错因分析】概念混淆，不区分数据是否有权重，一律用算术平均数计算；遇到频数、次数、百分比等权重信息时，不会套用加权平均数公式。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目中出现“次数、频数、比例、权重、占比”等关键词时，一定用加权平均数；计算时先算总权重，再算数据乘权重之和，最后相除；无权重信息时才用普通算术平均数。 【知识链接】 算术平均数是所有数据之和除以数据个数；加权平均数是不同重要程度的数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，权重体现数据的“占比”“次数”“频率”。 类题巩固 1．（2025·浙江丽水·一模）有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】 【详解】解：设7个数之和为，则， 前4个数之和为， 后4个数之和为， ∵， ∴， 即， ∴ ， 故中位数为34． 故答案为：B． 2．（2025·浙江舟山·二模）若两组数据与的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：，，则这组新数据的众数为___________． 【答案】10 【分析】 【详解】解：第一组数据的平均数为6，则，即； 第二组数据的平均数为6，则，即； 可得：， 解得， 则第一组数据为3，10，1，10，第二组数据为10，6，2， 合并后新数据为3，10，1，10，10，6，2， 其中10出现3次，其他数均出现1次，故众数为10． 故答案为：10． 3．（2025·浙江台州·三模）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：， ． 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错典例 【典例04】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【答案】11 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为5，8，8，14，15，16， ∴这组数据的平均数． 【错因分析】公式记忆错误，漏算平方、忘记求平均数，或混淆方差与标准差的关系；理解偏差，搞反方差大小与稳定性的关系。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记方差计算三步“算平均→作差平方→再求平均”；判断稳定性时，直接看方差，方差小更稳定；计算完成后检查是否平方、是否求平均，避免步骤遗漏。 【知识链接】 方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据波动大小；方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定；标准差是方差的算术平方根。 类题巩固 1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 2．（2026·浙江舟山·二模）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致， ∴若或时，两组数据方差相等， 当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小， 当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大， 则的值不可能是10． 故选：A． 3．（2025·浙江丽水·一模）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【分析】 【详解】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错典例 【典例05】一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是_______． 【答案】5或9/9或5 【详解】解：当时，中位数与平均数相等，则得到：，解得； 当时：，解得：； 当时：，解得，舍去． 所以x的值为5或9． 故答案为：5或9． 【点睛】本题考查中位数，算术平均数．掌握中位数和算术平均数的定义是解题的关键． 【错因分析】思维片面，默认参数为某一固定值，不进行分类讨论；无法结合众数、中位数的定义分析参数可能的范围。 避坑攻略 【技巧点拨】 含参题目先圈出要求的统计量，众数按“出现次数最多”分类，中位数按“排序后位置”分类；列出参数所有可能情况，逐一验证是否符合定义，确保不丢解。 【知识链接】 当数据中含有字母参数时，众数、中位数、平均数会随参数取值不同而变化，必须按概念要求分类讨论参数的不同情况。 类题巩固 1．（2024·浙江丽水·三模）已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 2．（2024·浙江丽水·模拟预测）数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________． 【答案】任何不小于16的数 【分析】 【详解】解：一共6个数，且中位数为， 按大小排列，第三个数字和第四个数字之和为， 当时，第四个数为，第三个数不大于，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为或，和等于，符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和等于，符合题目要求； 综上所述，可知． 故答案为：任何不小于的数． 3．（2024·浙江丽水·二模）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4（x是正整数），唯一的众数是4，则数据x是_______． 【答案】1或2/2或1 【详解】∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4（x是正整数），唯一的众数是4， ∵唯一的众数是4， ∴ ∵是从小到大排列， ∴或2． 故答案为：1或2． 4. 【点睛】本题考查了众数，解题关键掌握众数的概念． 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 易错典例 【典例06】已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 【错因分析】 审题粗心，忽略“放回”“不放回”“一次性抽取”等关键条件；模型混淆，放回与不放回的计算方法混用，导致概率结果错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 做题先圈关键词，“放回”总数不变，“不放回”总数递减；不放回问题用树状图或列表法，不重复、不遗漏；计算前先确定样本空间总数是否变化。 【知识链接】 放回抽样，总数不变，每次概率相同，事件相互独立；不放回抽样，总数逐次减少，概率变化，可用树状图或列表法计算，不出现重复项。 类题巩固 1．（2025·浙江温州·三模）一个不透明的盒子里装有20个白球、5个红球，这些球除颜色外其他都相同．每次从盒内抽出一球，如果抽出白球，则将白球放回箱内，如果抽出红球，则不将红球放回箱内．已知小慧在规定时间内共抽出红球3次，记第一次抽到红球的概率为，第二次抽到红球的概率为，第三次抽到红球的概率为，则（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【详解】解：由题意：第一次抽到红球的概率为， 第二次抽到红球的概率为， 第三次抽到红球的概率为， ∴， 故选：B． 2．（2024·浙江丽水·二模）数学课上郑老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.207 0.300 0.260 0.254 0.251 (1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，估计袋中白球的个数为 个； (2)在（1）的条件下，若小明有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.25，； (2) 【分析】 【详解】（1）解：观察表格得，通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 设袋子中白球的个数为x， 根据题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 估计袋中白球的个数为3； 故答案为：0.25，； （2）列表如下： 颜色 黑球 白球 白球 白球 黑球 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 白球 （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中恰好两个都是白球的结果有9种， ∴P（恰好两个都是白球的概率）＝． 3．（2026·浙江丽水·期末）袋子里有2个红球，8个白球，每个球除颜色外都相同． (1)如果第一次摸出一个球不放回，第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，那么“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球”这个事件是什么事件？ (2)如果第一次摸出一个球不放回，再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率． 【答案】(1)不确定事件 (2)或 【分析】 【详解】（1）因为第一次摸出一个球不放回，可能是红球，也可能是白球；第二次从剩下的球中摸出一个球也不放回，可能是红球，也可能是白球；故“第三次再从剩下的球中摸出一个，摸到红球可能是红球，也可能是白球； 故这个事件是随机事件或不确定事件． （2）当第一次摸到的是红球时，还余下9个球，其中白球为8个， 故第二次摸到白球的概率为； 当第一次摸到的是白球时，还余下9个球，其中白球为7个， 故第二次摸到白球的概率为； 再从剩下的球中摸出一个，直接写出摸到白球的概率为或． 【点睛】本题考查了随机事件即不确定事件，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 易●错●闯●关 1．（2024·浙江湖州·期末）刘老师从全校名学生每天体育锻炼时长的问卷中随机抽取了部分学生的答卷，并将结果整理后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖．已知抽取的答卷中每天锻炼时长为1小时的学生人数占抽取总人数的，则下列结论： ①抽取的学生答卷总数是； ②抽取的学生中每天锻炼时间为小时的学生最多； ③所抽取的学生每天体育锻炼时长是总体； ④所抽取的学生中每天锻炼时长不少于小时的学生占抽取总人数的． 其中正确的是______．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】 【详解】解：每天锻炼时长为1小时的学生人数有人，占抽取总人数的， ∴抽取的总人数为（人）， ∴抽取的学生答卷总数是，故①正确； ∴每天锻炼时间为小时的学生人数为（人）， ∴抽取的学生中每天锻炼时间为小时的学生最多，故②正确； 全校名学生每天体育锻炼时长是总体，故③错误； 每天锻炼时长不少于小时的学生人数为（人）， ∴， ∴所抽取的学生中每天锻炼时长不少于小时的学生占抽取总人数的，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 2．（2025·浙江丽水·期末）随着社会的发展，旅游业已成为全球经济中发展势头最强劲的产业之一．阅读以下统计图，并回答问题． (1)在2016～2023年这8年中，农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是_____． (2)下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和多； ②2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长； ③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率． (3)请结合上图提供的信息，写出一个与我国国内旅游花费相关的正确结论． 【答案】(1) (2)②③ (3)2016至2019年中国城镇和农民居民国内旅游总花费稳步增长，后因疫情原因有所下降，到2023年中国城镇和农民居民国内旅游总花费再呈大幅度增长，已超过2016年的水平 【分析】 【详解】（1）解：∵农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份有：， ∴农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是：， 故答案为：； （2）解：由条形图可知： 2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和：（亿元）， 2020年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和：（亿元）， ∵， ∴①不正确， ∵2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费分别为： （亿元），（亿元），（亿元），（亿元）， ∵， ∴2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长，即②正确， ∵2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率： 2023年中国农村居民旅游总花费的年增长率： ∵， ∴2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率， 即③正确， 故答案为：②③； （3）解：通过条形图可知： 2016至2019年中国城镇和农民居民国内旅游总花费稳步增长，后因疫情原因有所下降，到2023年中国城镇和农民居民国内旅游总花费再呈大幅度增长，已超过2016年的水平． 3．（2025·浙江舟山·期中）李老师统计全班学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），并绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是______． 【答案】8 【详解】解：∵每周参加体育锻炼的时间为的人数最多， ∴全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是． 4．（2025·浙江丽水·期中）若一组数据，，，，，，它们的众数是，则这组数据的中位数为___________． 【答案】 【分析】 【详解】解：由于这组数据的众数是， ∵、均已出现次，要使众数是，需， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，为，，，，，， 根据中位数的定义，中位数为， 故中位数为． 故答案为：． 5．（2024·浙江丽水·模拟预测）某兴趣小组开展“党史知识竞赛，满分10分，某小组10名同学的成绩统计如下表所示．若这组成绩的平均数是9.1分，则这组成绩的中位数是_________分． 成绩/分 8 9 10 人数 2 m 3 【答案】9 【详解】解：∵总人数10人， ∴， 解得， ∴平均数为，符合条件， ∴成绩从小到大排列：8，8，9，9，9，9，9，10，10，10， ∴第5和第6个数据均为9， ∴中位数为分， 故答案为：9． 6．（2025·浙江绍兴·模拟预测）下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则x＝_____． 【答案】3 【详解】解：由题意，得70+80×3+90x+100＝85×(1+3+x+1)， 解得x＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程． 7．（2024·浙江台州·三模）若一组数据2，3，4，的方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】解：数据5，6，7，8，每2个数相差1；数据2，3，4， x的前3个数据也相差1，若或，两组数据方差相等， 而数据2，3，4，的方差比另一组数5，6，7，8的方差大，说明2，3，4，的波动大，则x的值可能是7， 故D正确． 故选D． 8．（2024·浙江丽水·二模）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：    已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝________． 【答案】46或56 【详解】解：∵这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等， ∴数据174，176，178，180，182都减去128后为：46，48，50，52，54， 数据174，176，178，180，182都减去126后为：48，50，52，54，56， 即这组数据可能是46，48，50，52，54或48，50，52，54，56， ∴或， 故答案为：46或56． 【点睛】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据，，…，与数据，，…，的方差相同解决问题，属于中考常考题型． 9．（2025·浙江舟山·一模）一组数据，1，，5，7，2中，若中位数恰好是，则整数的值可能为______． 【答案】2或3或4或5 【分析】 【详解】解：数据，，，，，中，若中位数恰好是， 则数据按大小排序为：，，，，，， 则，且为整数， ∴整数可能是，，，， 故答案为：或或或． 10．（2024·浙江台州·三模）有一个数据样本为：3，4，5，5，a，b，c，已知这个样本的众数为4，则这组数据的中位数为 _____． 【答案】4 【详解】解：众数的定义可知a，b，c中有2个4，或3个都为4， 设，， 则或， ∴这组数据为3，c，a，b，4，5，5，或3，a，b，4，5，5，c， 则中位数为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了众数的定义，中位数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键． 11．（2025·浙江嘉兴·一模）在一个不透明的盒子里，放进了8个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下球的颜色后又把它放回．不断地摸出放回后，统计得到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中白球个数为__________． 【答案】 【分析】 【详解】解：设盒子中大约有白球x个，根据题意得： 解得: 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 12．（2025·浙江金华·期中）一个不透明的布袋中装有6个只有颜色不同的球，其中1个黄球、3个蓝球、2个红球． (1)任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率；（要求画树状图或列表） (2)现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有30种等可能性的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果数有2种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $