易错06 四边形（7大易错陷阱）（易错专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错06 四边形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：多边形内角和计算错误 易错02：多边形截角问题忽略分类讨论 易错03：平行四边形性质与判定混淆 易错04：对角线性质乱用 易错05：几何题缺少分类讨论 易错06：特殊平行四边形判定与性质混淆 易错07：动点问题找不到定量关系 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 多边形内角和计算错误 易错典例 【典例01】如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】概念混淆，把顶点数、边数、对角线数混用；公式记忆错误，漏乘或忘记减2；计算粗心导致结果偏差。 避坑攻略 【技巧点拨】 先明确边数n，直接代入公式；做完后用外角和反向验证；遇到“截角、拼接”等变形题，先确定新图形边数再计算。 【知识链接】 n边形内角和公式为，n为边数且；任意多边形外角和恒为，与边数无关。 类题巩固 1．（2024·广东揭阳·一模）若n边形共有35条对角线，则该多边形内角和为______． 2．（2024·广东韶关·一模）如图，一张四边形纸片，，．若将其沿折叠后，恰好使，，则_____度． 3．（2024·广东云浮·二模）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 易错02 多边形截角问题忽略分类讨论 易错典例 【典例02】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【错因分析】认知偏差，默认截角后边数只增不减，缺少分类意识；画图不全面，只考虑一种情况导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“剪去一个角”立刻分三类讨论：边数不变、加1、减1；先画草图确定边数，再代入内角和公式计算；题目无图时必须写出三种情况的分析过程。 【知识链接】 n边形截去1个角，边数会出现三种情况：过一顶点一边得n边形；过两条邻边得n+1边形；过两个相邻顶点得n-1边形。 类题巩固 1．（2024·广东云浮·期末）一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2．（2026·广东清远·二模）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 3．（2025·广东湛江·模拟预测）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 易错03 平行四边形性质与判定混淆 易错典例 【典例03】已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【错因分析】概念混淆，把性质当判定、把判定当性质使用；条件识别错误，把邻边、邻角当成对边、对角使用。 避坑攻略 【技巧点拨】 明确逻辑方向：已知平行四边形用性质，要证平行四边形用判定；做题先圈关键词“对边/对角/邻边/邻角”；判定时必须满足对应定理条件，不凭直观下结论。 【知识链接】 平行四边形性质：两组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分。 平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 类题巩固 1．（2025·广东江门·一模）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 3．（2025·广东云浮·一模）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求证：经过点O． 易错04 ：对角线性质乱用 易错典例 【典例04】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【错因分析】直接用“对角线相等”证平行四边形；用“对角线垂直”判定矩形。 避坑攻略 【技巧点拨】 对角线判定必须先看基础图形：平分→平行四边形；平分且相等→矩形；平分且垂直→菱形；平分、相等、垂直→正方形。 【知识链接】 平行四边形：对角线互相平分。矩形：对角线相等且平分。菱形：对角线垂直平分且平分内角。 正方形：对角线相等、垂直、平分、平分内角。 类题巩固 1．（2024·广东阳江·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点O，菱形的周长为20，，点P是线段的中点，则的周长为_________． 易错05 几何题缺少分类讨论 易错典例 【典例05】在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为_______． 【错因分析】思维定式，只画一种图形；审题不细，忽略“直线/射线/延长线”等关键词。 避坑攻略 【技巧点拨】 无图题必须先标关键词：高、交点、距离、垂直、平行；按位置分情况画图：同侧/异侧、线段上/延长线上；计算或证明后检查是否有第二种情况。 【知识链接】 四边形的高、位置、形状、交点位置不确定时，图形不唯一；点在线段上、延长线上会导致结果不同。 类题巩固 1．（2025·广东湛江·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________． 2．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，现将绕着点B旋转得到线段，连接，，若为等腰三角形，则该等腰三角形边上的高为______． 3．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点均在格点上，且的坐标分别为． (1)证明：是直角三角形； (2)若以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 易错06 特殊平行四边形判定与性质混淆 易错典例 【典例06】如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【错因分析】概念张冠李戴，把矩形对角线相等套用到菱形上；判定条件缺失，用“对角线垂直”证矩形、用“对角线相等”证菱形。 避坑攻略 【技巧点拨】 按层级判定：先证平行四边形，再补直角/邻边相等；记忆口诀：矩等菱垂方正兼具；性质与判定一一对应，不跨层级乱用条件。 【知识链接】矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等且平分。 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直平分。 正方形：矩形+邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+直角+邻边相等。 逻辑链：平行四边形→矩形/菱形→正方形。 类题巩固 1．（2025·广东梅州·一模）定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（    ） A．内角等于130°的菱形的接近度 B．接近度越大的菱形越接近于正方形 C．当时，该菱形是正方形 D．菱形的接近度的取值范围是 2．（2024·广东清远·期末）已知矩形，，，将它绕着点B按顺时针方向旋转度得到矩形，此时，这两边所在的直线分别与边所在的直线相交于点E，F，当时，则（1）_______；（2）______． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 易错07 动点问题找不到定量关系 易错典例 【典例07】如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【错因分析】被“动”迷惑，找不到静态不变关系；不会画关键位置图形，无法建立等式。 避坑攻略 【技巧点拨】 动点问题先找不变量：定点、定长、定角、定垂直；画特殊位置：起点、终点、垂直、中点；把动态问题转化为静态证明或计算。 【知识链接】 动点问题本质是找不变量：定长、定角、定直线、定点、定垂直、定平行；轨迹为线段→距离不变；轨迹为圆弧→到定点距离不变。 类题巩固 1．（2025·广东中山·一模）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东中山·二模）如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 3．（2025·广东云浮·二模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①__________，__________； ②若t为何值时，四边形为矩形（写出过程）？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为__________时，三角形为直角三角形（直接写出答案）． 易●错●闯●关 1．（2024·广东惠州·二模）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 2．（2024·广东江门·期末）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（2025·广东中山·模拟预测）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 4．（2025·广东广州·模拟预测）我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 5．（2025·广东梅州·二模）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 6．（2024·广东韶关·期末）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，上，且，，E为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点C恰好落在直线上时，的长为________． 7．（2025·广东茂名·二模）将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，则这张矩形纸片的较长边的长度为______． 8．（2025·广东佛山·一模）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 9．（2025·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，． （1）当时，t的值为8 （2）当时，面积最大且最大面积为16 （3）t有三个不同的值，满足面积为9 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2025·广东中山·二模）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 11．（2025·广东惠州·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 12．（2025·广东中山·二模）如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 13．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 14．（2025·广东潮州·三模）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错06 四边形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：多边形内角和计算错误 易错02：多边形截角问题忽略分类讨论 易错03：平行四边形性质与判定混淆 易错04：对角线性质乱用 易错05：几何题缺少分类讨论 易错06：特殊平行四边形判定与性质混淆 易错07：动点问题找不到定量关系 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 多边形内角和计算错误 易错典例 【典例01】如图，在正六边形中，点M、N分别为边上的点，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【错因分析】概念混淆，把顶点数、边数、对角线数混用；公式记忆错误，漏乘或忘记减2；计算粗心导致结果偏差。 避坑攻略 【技巧点拨】 先明确边数n，直接代入公式；做完后用外角和反向验证；遇到“截角、拼接”等变形题，先确定新图形边数再计算。 【知识链接】 n边形内角和公式为，n为边数且；任意多边形外角和恒为，与边数无关。 类题巩固 1．（2024·广东揭阳·一模）若n边形共有35条对角线，则该多边形内角和为______． 【答案】 【详解】解：∵n边形共有35条对角线， ∴， 解得或（舍去）， 故这个多边形是十边形，内角和为： ． 故答案为：． 2．（2024·广东韶关·一模）如图，一张四边形纸片，，．若将其沿折叠后，恰好使，，则_____度． 【答案】60 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·广东云浮·二模）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 易错02 多边形截角问题忽略分类讨论 易错典例 【典例02】一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【答案】6或7或8 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 【错因分析】认知偏差，默认截角后边数只增不减，缺少分类意识；画图不全面，只考虑一种情况导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到“剪去一个角”立刻分三类讨论：边数不变、加1、减1；先画草图确定边数，再代入内角和公式计算；题目无图时必须写出三种情况的分析过程。 【知识链接】 n边形截去1个角，边数会出现三种情况：过一顶点一边得n边形；过两条邻边得n+1边形；过两个相邻顶点得n-1边形。 类题巩固 1．（2024·广东云浮·期末）一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 2．（2026·广东清远·二模）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为______ 【答案】、、 【分析】 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 3．（2025·广东湛江·模拟预测）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 易错03 平行四边形性质与判定混淆 易错典例 【典例03】已知：如图，在四边形中，，点在边上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结交于点，联结．如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵ ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴即 又 ∴． 【错因分析】概念混淆，把性质当判定、把判定当性质使用；条件识别错误，把邻边、邻角当成对边、对角使用。 避坑攻略 【技巧点拨】 明确逻辑方向：已知平行四边形用性质，要证平行四边形用判定；做题先圈关键词“对边/对角/邻边/邻角”；判定时必须满足对应定理条件，不凭直观下结论。 【知识链接】 平行四边形性质：两组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分。 平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。 类题巩固 1．（2025·广东江门·一模）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中， 为的中点，， ． 又∵四边形是平行四边形， ． 2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ，， ． 3．（2025·广东云浮·一模）已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F 分别是和上的点， 且． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求证：经过点O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：连接， ∵点O是平行四边形的对角线的中点， ∴，即点是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即经过点O． 易错04 ：对角线性质乱用 易错典例 【典例04】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【错因分析】直接用“对角线相等”证平行四边形；用“对角线垂直”判定矩形。 避坑攻略 【技巧点拨】 对角线判定必须先看基础图形：平分→平行四边形；平分且相等→矩形；平分且垂直→菱形；平分、相等、垂直→正方形。 【知识链接】 平行四边形：对角线互相平分。矩形：对角线相等且平分。菱形：对角线垂直平分且平分内角。 正方形：对角线相等、垂直、平分、平分内角。 类题巩固 1．（2024·广东阳江·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2025·广东深圳·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点O，菱形的周长为20，，点P是线段的中点，则的周长为_________． 【答案】9 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为20， ∴，， ∵， 在中，， ∵P是的中点，， 在中，，， ∴． 易错05 几何题缺少分类讨论 易错典例 【典例05】在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为_______． 【答案】或 【分析】 【详解】解：第一种情况：过点作于点，如答图1所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 第二种情况：过点作于点，如答图2所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ， ∴． 故答案为：或． 【错因分析】思维定式，只画一种图形；审题不细，忽略“直线/射线/延长线”等关键词。 避坑攻略 【技巧点拨】 无图题必须先标关键词：高、交点、距离、垂直、平行；按位置分情况画图：同侧/异侧、线段上/延长线上；计算或证明后检查是否有第二种情况。 【知识链接】 四边形的高、位置、形状、交点位置不确定时，图形不唯一；点在线段上、延长线上会导致结果不同。 类题巩固 1．（2025·广东湛江·一模）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在对角线所在的直线上，，直线与直线交于点G，直线与直线交于点H，若，则的长为________． 【答案】3或7 【分析】 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 设， 当在线段上时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，过作于， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，或， 故答案为：3或7． 2．（2026·广东广州·模拟预测）如图，在矩形中，，，现将绕着点B旋转得到线段，连接，，若为等腰三角形，则该等腰三角形边上的高为______． 【答案】2或或 【详解】解：如图1所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为2， 此时，满足为等腰三角形， ∴此时边上的高为的长，即为2； 当三点不共线时，， ∴当为等腰三角形，只存在这种情况， ∴点在线段的垂直平分线上； 如图2所示，当点在矩形内部时，过点作分别交于点F，点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时边上的高为； 如图3所示，当点在矩形外部时，过点作分别交于点F，点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时边上的高为； 综上所述，该等腰三角形边上的高为2或或； 故答案为：2或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形三边的关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点均在格点上，且的坐标分别为． (1)证明：是直角三角形； (2)若以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】 【详解】（1）证明：∵点的坐标分别为， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， 解得， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， 解得， ∴点D的坐标为 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 易错06 特殊平行四边形判定与性质混淆 易错典例 【典例06】如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图： ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 【错因分析】概念张冠李戴，把矩形对角线相等套用到菱形上；判定条件缺失，用“对角线垂直”证矩形、用“对角线相等”证菱形。 避坑攻略 【技巧点拨】 按层级判定：先证平行四边形，再补直角/邻边相等；记忆口诀：矩等菱垂方正兼具；性质与判定一一对应，不跨层级乱用条件。 【知识链接】矩形：平行四边形+一个直角；对角线相等且平分。 菱形：平行四边形+一组邻边相等；对角线垂直平分。 正方形：矩形+邻边相等；菱形+一个直角；平行四边形+直角+邻边相等。 逻辑链：平行四边形→矩形/菱形→正方形。 类题巩固 1．（2025·广东梅州·一模）定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（    ） A．内角等于130°的菱形的接近度 B．接近度越大的菱形越接近于正方形 C．当时，该菱形是正方形 D．菱形的接近度的取值范围是 【答案】D 【详解】解：∵菱形对边平行，∴菱形相邻内角满足， 对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为， ，A正确； 对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确； 对选项C：当时，，即，结合得，此时菱形是正方形，C正确； 对选项D：∵菱形的内角满足，， ，可得，的最大值为， 因此的取值范围是，不包含，D错误. 2．（2024·广东清远·期末）已知矩形，，，将它绕着点B按顺时针方向旋转度得到矩形，此时，这两边所在的直线分别与边所在的直线相交于点E，F，当时，则（1）_______；（2）______． 【答案】 3 【分析】 【详解】解：（1）在矩形中，，， ， 设，则， 由勾股定理得： ，， ∵， ∴， 则， 整理得， 解得， 即； （2）由（1）知， 如图，延长交于点H， ∵， ∴， 根据旋转可得， ∴四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在菱形中，对角线，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错07 动点问题找不到定量关系 易错典例 【典例07】如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、，，延长交于点，交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）证明：连接， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴， 即， ∵， ∴， ∵由（）知 ，即， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，由内角和定理： ， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，即，代入， 得：． 【错因分析】被“动”迷惑，找不到静态不变关系；不会画关键位置图形，无法建立等式。 避坑攻略 【技巧点拨】 动点问题先找不变量：定点、定长、定角、定垂直；画特殊位置：起点、终点、垂直、中点；把动态问题转化为静态证明或计算。 【知识链接】 动点问题本质是找不变量：定长、定角、定直线、定点、定垂直、定平行；轨迹为线段→距离不变；轨迹为圆弧→到定点距离不变。 类题巩固 1．（2025·广东中山·一模）如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图1，当时，点在上，连接，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵运动时间为秒， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线，最大值为， 如图2，当时，点在上， ∵，， ∴， ∴图象为一次函数，且最大值为， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分．只有A选项符合题意． 2．（2025·广东中山·二模）如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：， ∴，， ∴； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 综上所述，或． 3．（2025·广东云浮·二模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以/秒的速度向点B运动；点Q从点C出发，以/秒的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设Q点运动的时间为t秒． (1)若P，Q两点同时出发． ①__________，__________； ②若t为何值时，四边形为矩形（写出过程）？ (2)若P点先运动3秒后停止运动．此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为__________时，三角形为直角三角形（直接写出答案）． 【答案】(1)①，；②5 (2)6或 【分析】 【详解】（1）解：①由题意知，， 则， 故答案为：，； ②∵， ∴； 当时，四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形为矩形； 即当时，四边形为矩形； ∵，， ∴， 解得：； 当t的值为5时，四边形为矩形； （2）解：P点先运动3秒后停止运动，此时； 当时，，不可能是直角； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点Q作于M，则； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，当t为6或时，三角形为直角三角形． 故答案为：6或． 易●错●闯●关 1．（2024·广东惠州·二模）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 2．（2024·广东江门·期末）一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 3．（2025·广东中山·模拟预测）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【答案】200 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 5．（2025·广东梅州·二模）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是32，，则四边形的周长为__________ 【答案】22 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中， ， ， ，， 平行四边形的周长为32， ， 四边形的周长 6．（2024·广东韶关·期末）如图，在矩形中，，，点M，N分别在，上，且，，E为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点C恰好落在直线上时，的长为________． 【答案】或10 【详解】解：设，则， 如图1，当点E在线段上时， ∵矩形中，，， ∴， ∵点M，N分别在，上，且，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，即； 如图2，当点E在的延长线上时， ∵矩形中，，， ∴， ∵点M，N分别在，上，且，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 由折叠知，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得，即． 综上，或10． 【点睛】灵活利用分类讨论思想，不漏答案是解题的关键． 7．（2025·广东茂名·二模）将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，则这张矩形纸片的较长边的长度为______． 【答案】或或6或 【详解】解：如下图所示，延长、，过点B作的垂线，交的延长线于点F，过点F作的垂线于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是较长的边． 延长，过点B作的垂线，过点C作的垂线，分别交和的垂线于点E、F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时较长的边为； 延长，过点B作的垂线，过点A作交延长线于点E，交的垂线于点F，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时较长的边为6； 延长，过点B作的垂线，交过的延长线于点E，过点E作垂足为 F，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时较长的边为， 故答案为：或或6或． 8．（2025·广东佛山·一模）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 9．（2025·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，． （1）当时，t的值为8 （2）当时，面积最大且最大面积为16 （3）t有三个不同的值，满足面积为9 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 【详解】解：（1）当时，有两种情况： 当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）； 当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）， 则当时，t的值为4或8，故原结论错误； （2）①当点P在上时，，如图所示： 则，，， ， ∵， ∴当时，面积最大且最大面积为16； ②点P在时，，如图所示： 同理得， 则， ∴； ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， ∴， 综上所述，当时，面积最大且最大面积为16，故原结论正确； （3）当时，由得：，（舍去）； 当时，由得：； 当时，由得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或，故原结论错误． 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 10．（2025·广东中山·二模）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 11．（2025·广东惠州·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 12．（2025·广东中山·二模）如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中：， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵ 平行四边形对角线互相平分，， ， ∵的周长为，即， ∴，即， 又， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得：，即：， 展开化简：， 解得：． 13．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·广东潮州·三模）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $