易错10 统计与概率（6大易错陷阱）（易错专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错10统计与概率 目录导航 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例避坑攻略类题巩固 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错典例 【典例01】图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（    ） A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【错因分析】读图不仔细，看错组别、比例、数量；不会将图表信息转化为计算条件。 避坑攻略 【技巧点拨】 读图先看标题、横轴、纵轴；计算前先求总数，用“频数=总数×比例”统一数量；多个图表结合时，对应好同一组数据。 【知识链接】 条形图看数量、扇形图看比例、折线图看变化、频数分布表看分组与频数；计算时需结合总数、比例、频数之间的关系。 类题巩固 1．（2024·广东潮州·二模）目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值．树立明确具体的目标，能够帮助我们更好的自我认知，迅速成长．某班级A、B、C、D、E、F、G、H八位同学组成一个互助小组，如图是他们月初制定的目标跑步里程和月末实际完成情况绘制的统计图，有如下四个结论： ①同学E目标达成度是； ②目标完成量与实际完成量相差最多的是同学D； ③有四位同学超额完成了目标跑步量； ④实际跑步里程超过的有五位同学． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（2025·广东肇庆·一模）2019~2024年全国铁路、高铁营业里程情况如图所示.（说明：铁路营业里程=高铁营业里程十其他铁路营业里程） (1)年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的百分比为_____. (2)结合上述统计图，下列结论： ①年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增； ②年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里； ③年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里. 其中所有正确结论的序号是_____. (3)结合上图提供的信息，写出1个与全国铁路、高铁营业里程相关的新的结论. 3．（2025·广东梅州·二模）下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图． 阅读统计图并回答以下问题． (1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①年我国增长率逐年降低，但始终不低于； ②2020年我国比2019年低； ③年我国增长率的方差比年的方差小． (2)结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况． 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错典例 【典例02】一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【错因分析】概念认知偏差，忽略中位数“必须先排序”的核心步骤，直接按原始数据找中间位置；对众数“可多个”的特点不熟悉，误以为一组数据只有一个众数。 避坑攻略 【技巧点拨】 求中位数时，无论数据是否整齐，第一步一定排序；数清数据个数，判断奇偶再定位中间值；找众数时统计每个数据出现次数，避免漏看重复出现的数据。 【知识链接】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后，数据个数为奇数时取最中间的数，偶数时取最中间两个数的平均数；中位数必须先排序才能确定。 类题巩固 1．（2024·广东汕尾·期末）某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 3．（2025·广东河源·二模）一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则_____． 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错典例 【典例03】为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【错因分析】概念混淆，不区分数据是否有权重，一律用算术平均数计算；遇到频数、次数、百分比等权重信息时，不会套用加权平均数公式。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目中出现“次数、频数、比例、权重、占比”等关键词时，一定用加权平均数；计算时先算总权重，再算数据乘权重之和，最后相除；无权重信息时才用普通算术平均数。 【知识链接】 算术平均数是所有数据之和除以数据个数；加权平均数是不同重要程度的数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，权重体现数据的“占比”“次数”“频率”。 类题巩固 1．（2025·广东汕尾·二模）某次射击训练中，以小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为环，那么成绩为环的人数是（    ） 环数 人数 A．人 B．人 C．人 D．人 2．（2025·广东茂名·三模）为了解某篮球队队员身高，经调查结果如下：3人，2人，2人，3人，则该篮球队队员平均身高是__________． 3．（2024·广东揭阳·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错典例 【典例04】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【错因分析】公式记忆错误，漏算平方、忘记求平均数，或混淆方差与标准差的关系；理解偏差，搞反方差大小与稳定性的关系。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记方差计算三步“算平均→作差平方→再求平均”；判断稳定性时，直接看方差，方差小更稳定；计算完成后检查是否平方、是否求平均，避免步骤遗漏。 【知识链接】 方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据波动大小；方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定；标准差是方差的算术平方根。 类题巩固 1．（2025·广东珠海·期末）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 2．（2026·广东韶关·二模）某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了次射击，甲的成绩（环）为：，乙的成绩的平均数为环，方差为．据估计，如果成绩的平均数达到环就可能夺得金牌，下列说法中错误的是（    ） A．甲的成绩的平均数为环 B．甲的成绩的中位数是环 C．甲的成绩的方差为 D．应选派成绩较稳定的乙运动员参赛 3．（2024·广东汕头·二模）对某条路线的长度进行了6次测量，得到的结果为（单位：米），，，，，．如果用x作为这条长度的近似值，当___________米时．的值最小． 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错典例 【典例05】一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是_______． 【错因分析】思维片面，默认参数为某一固定值，不进行分类讨论；无法结合众数、中位数的定义分析参数可能的范围。 避坑攻略 【技巧点拨】 含参题目先圈出要求的统计量，众数按“出现次数最多”分类，中位数按“排序后位置”分类；列出参数所有可能情况，逐一验证是否符合定义，确保不丢解。 【知识链接】 当数据中含有字母参数时，众数、中位数、平均数会随参数取值不同而变化，必须按概念要求分类讨论参数的不同情况。 类题巩固 1．（2026·广东潮州·二模）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024·广东茂名·一模）如果一组数据，，，，，（为非负整数）的中位数为，则的值有几种可能（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·广东惠州·模拟预测）当五个正整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是_________． 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 易错典例 【典例06】已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【错因分析】 审题粗心，忽略“放回”“不放回”“一次性抽取”等关键条件；模型混淆，放回与不放回的计算方法混用，导致概率结果错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 做题先圈关键词，“放回”总数不变，“不放回”总数递减；不放回问题用树状图或列表法，不重复、不遗漏；计算前先确定样本空间总数是否变化。 【知识链接】 放回抽样，总数不变，每次概率相同，事件相互独立；不放回抽样，总数逐次减少，概率变化，可用树状图或列表法计算，不出现重复项。 类题巩固 1．（2025·广东韶关·一模）在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．下列说法正确的是（　　） A．任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同 B．有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次 C．有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和可能是30 D．有放回的连续摸6次，则一定能摸出2号球 2．（2025·广东惠州·二模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有，1，2．先从袋中任意摸出一个小球，记下数字后放回，得到的数字作为点M的横坐标x；放回后摇匀，再从袋中任意摸出一个小球，记下数字后放回，得到的数字作为点M的纵坐标y．试用列表或画树状图的方法求点在双曲线上的概率． 3．（2024·广东阳江·期末）王老师将1个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白色乒乓球有_____个； (3)甲乙二人相约打乒乓球，并约定：由甲从袋中连续两次摸球（每次摸出后均不放回），若两次都摸到白色乒乓球则甲先发球，否则乙先发球．请用画树状图或列表的方法说明这个约定对双方是否公平． 易●错●闯●关 1．（2024·广东河源·二模）若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为_________． 2．（2025·广东肇庆·二模）下面的折线图描述了某市5月份一天的气温变化情况． 根据图中信息，给出下列三个结论： ①这一天在时到达最低气温； ②这一天气温是的时刻有两个； ③这一天在这个时刻到这个时刻之间，气温逐渐升高． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 3．（2025·广东中山·三模）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．① D．②③ 4．（2025·广东韶关·三模）有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（    ） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球 5．（2024·广东中山·一模）若一组数据3，4，3，5，5，x的众数只有一个，则的值可能为______．（写出一个即可） 6．（2025·广东深圳·二模）某学校食堂有8元、9元和10元三种价格的午餐供师生选择（每人限购一份），4月份该食堂午餐的销售情况如图所示，则该月师生购买午餐的平均价格为______元． 7．（2025·广东珠海·模拟预测）一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（    ） A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5 8．（2025·广东东莞·二模）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ） A．48 B．50 C．64 D．68 9．（2024·广东深圳·模拟预测）某校为了解学生的睡眠情况，随机抽取10名学生的睡眠时间 （单位：小时）：7，8，7，6，9，7，8，7，10，8．下列说法正确的是（    ） A．平均数为7.5 B．中位数为7 C．众数为7 D．方差为1.2 10．（2024·广东珠海·一模）一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 11．（2025·广东珠海·一模）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ． (2)估算袋中白球的个数． (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 12．（2025·广东广州·模拟预测）为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上．某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 错题数（个） 甲班频数（人） 乙班频数（人） 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 (1)根据上述信息求出和的值． (2)你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错10统计与概率 目录导航 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例避坑攻略类题巩固 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错典例 【典例01】图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（    ） A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：该书店4月份的营业总额是：182- (30+ 40+ 25+ 42) = 45（万元），故①正确；5月份“党史”类书籍的营业额是42 ×25% = 10.5(万元)，故②正确；4月份“党史”类书籍的营业额是45 ×20% = 9(万元)，10.5＞9，故③错误；1一3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，而4月份“党史”类书籍的营业额又小于5月份“党史”类书籍的营业额，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了的是条形统计图和折线统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息． 【错因分析】读图不仔细，看错组别、比例、数量；不会将图表信息转化为计算条件。 避坑攻略 【技巧点拨】 读图先看标题、横轴、纵轴；计算前先求总数，用“频数=总数×比例”统一数量；多个图表结合时，对应好同一组数据。 【知识链接】 条形图看数量、扇形图看比例、折线图看变化、频数分布表看分组与频数；计算时需结合总数、比例、频数之间的关系。 类题巩固 1．（2024·广东潮州·二模）目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值．树立明确具体的目标，能够帮助我们更好的自我认知，迅速成长．某班级A、B、C、D、E、F、G、H八位同学组成一个互助小组，如图是他们月初制定的目标跑步里程和月末实际完成情况绘制的统计图，有如下四个结论： ①同学E目标达成度是； ②目标完成量与实际完成量相差最多的是同学D； ③有四位同学超额完成了目标跑步量； ④实际跑步里程超过的有五位同学． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】 【详解】解：由统计图得： ①同学月初制定的目标是30千米，月末实际完成30千米，完成了目标任务，正确； 同学月初制定的目标是20千米，月末实际完成大概35千米，相差15千米； 同学月初制定的目标是大概35千米，月末实际完成20千米，相差15千米； 同学月初制定的目标是50千米，月末实际完成30千米，相差20千米； 同学月初制定的目标是大概45千米，月末实际完成60千米，相差15千米； 同学月初制定的目标是大概80千米，月末实际完成83千米，相差3千米； 同学月初制定的目标是大概35千米，月末实际完成40千米，相差5千米； 同学月初制定的目标是60千米，月末实际完成50千米，相差10千米； ②目标完成量与实际完成量相差最多的是同学，故错误； ③有四位同学超额完成了目标跑步量，分别是，正确； ④实际跑步里程超过的有五位同学，分别是，正确； 故选：C． 2．（2025·广东肇庆·一模）2019~2024年全国铁路、高铁营业里程情况如图所示.（说明：铁路营业里程=高铁营业里程十其他铁路营业里程） (1)年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的百分比为_____. (2)结合上述统计图，下列结论： ①年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增； ②年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里； ③年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里. 其中所有正确结论的序号是_____. (3)结合上图提供的信息，写出1个与全国铁路、高铁营业里程相关的新的结论. 【答案】(1) (2)①②③ (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解： （2）①根据统计图可得：年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增，故①正确； ②, 年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；故②正确； ③， 年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里，故③正确； 故答案为：①②③； （3）本题答案不唯一，以下解答供参考 结论1：2020年全国铁路营业新增里程数为万公里， 2021年全国铁路营业新增里程数为万公里， 2022年全国铁路营业新增里程数为万公里， 2023年全国铁路营业新增里程数为万公里， 2024年全国铁路营业新增里程数为万公里， ∴2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势； 2020~2024年全国铁路营业新增里程数不少于万公里. 结论2：2020年全国高铁营业新增里程数为万公里， 2021年全国高铁营业新增里程数为万公里， 2022年全国高铁营业新增里程数为万公里， 2023年全国高铁营业新增里程数为万公里， 2024年全国高铁营业新增里程数为万公里， ∴2020~2024年全国高铁营业新增里程数不少于万公里. 结论3：2019年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的， 2020年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的， 2021年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的， 2022年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的， 2023年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的， 2024年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的， ∴2019~2024年全国高铁营业里程数在全国铁路营业里程数中的占比逐年增加. 3．（2025·广东梅州·二模）下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图． 阅读统计图并回答以下问题． (1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①年我国增长率逐年降低，但始终不低于； ②2020年我国比2019年低； ③年我国增长率的方差比年的方差小． (2)结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况． 【答案】(1)③ (2)答案不唯一，见解析 【分析】 【详解】（1）解：①年我国增长率，2017年略有增长，故①不正确； 2020年我国仍有的增长，故②不正确； 由折线统计图可以看出：年我国增长率的波动比年的波动小，故③正确． 故答案为：③； （2）答案不唯一． 比如： ， ∴这12年我国的平均增长率约为； ∵这组数据由小到大排列为：， ∴这12年我国的平均增长率的中位数为：， ∴这12年我国的平均增长率有一半年份超过． 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错典例 【典例02】一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 【错因分析】概念认知偏差，忽略中位数“必须先排序”的核心步骤，直接按原始数据找中间位置；对众数“可多个”的特点不熟悉，误以为一组数据只有一个众数。 避坑攻略 【技巧点拨】 求中位数时，无论数据是否整齐，第一步一定排序；数清数据个数，判断奇偶再定位中间值；找众数时统计每个数据出现次数，避免漏看重复出现的数据。 【知识链接】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后，数据个数为奇数时取最中间的数，偶数时取最中间两个数的平均数；中位数必须先排序才能确定。 类题巩固 1．（2024·广东汕尾·期末）某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______． 【答案】95 【详解】解：将位评委给出的分数从小到大排列为：， 数据个数为奇数，中位数为排列后位于中间位置的数， 因此中位数为． 2．（2026·广东佛山·模拟预测）若一组数据2， x， 4， 5， 6的中位数为4，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】 【详解】解：数据由5个数组成，排序后第三个数为中位数4， 已知数据中有2、4、5、6，其中2小于4，5和6大于4． 要保证4在第三位，需至少有两个数小于或等于4． 由于2已满足小于4，故x必须小于或等于4． 因此x的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025·广东河源·二模）一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则_____． 【答案】3或5 【详解】解：中位数可能是或5， 由于众数与中位数相等，故或5， 故答案为：3或5． 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错典例 【典例03】为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【分析】 【详解】（1）解：调查人数为：（人）， ∴ （人）， ∴， 故答案为：，； （2）解：补全频数分布直方图，如图， （3）解： ． 所以估计该小区65岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【错因分析】概念混淆，不区分数据是否有权重，一律用算术平均数计算；遇到频数、次数、百分比等权重信息时，不会套用加权平均数公式。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目中出现“次数、频数、比例、权重、占比”等关键词时，一定用加权平均数；计算时先算总权重，再算数据乘权重之和，最后相除；无权重信息时才用普通算术平均数。 【知识链接】 算术平均数是所有数据之和除以数据个数；加权平均数是不同重要程度的数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，权重体现数据的“占比”“次数”“频率”。 类题巩固 1．（2025·广东汕尾·二模）某次射击训练中，以小组的成绩如表所示：已知该小组的平均成绩为环，那么成绩为环的人数是（    ） 环数 人数 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【详解】解：设成绩为8环的人数为， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 成绩为8环的有5人， 故选：B． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 2．（2025·广东茂名·三模）为了解某篮球队队员身高，经调查结果如下：3人，2人，2人，3人，则该篮球队队员平均身高是__________． 【答案】173.5． 【详解】解：（172×3+173×2+174×2+175×3）÷（3+2+2+3） =（516+346+348+525）÷10 =1735÷10 =173.5（cm） 答：该篮球队队员平均身高是173.5cm． 故答案为：173.5． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键． 3．（2024·广东揭阳·二模）某校有两个兴趣小组，在一次测验中甲组人平均成绩是76分，乙组人平均成绩是90分．甲、乙两组合在一起时平均成绩为85分，则_____． 【答案】 【详解】解：依题意， ∴， ∴， 故答案为：． 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错典例 【典例04】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【答案】11 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为5，8，8，14，15，16， ∴这组数据的平均数． 【错因分析】公式记忆错误，漏算平方、忘记求平均数，或混淆方差与标准差的关系；理解偏差，搞反方差大小与稳定性的关系。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记方差计算三步“算平均→作差平方→再求平均”；判断稳定性时，直接看方差，方差小更稳定；计算完成后检查是否平方、是否求平均，避免步骤遗漏。 【知识链接】 方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据波动大小；方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定；标准差是方差的算术平方根。 类题巩固 1．（2025·广东珠海·期末）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 【答案】B 【详解】解：A、∵方差公式中共有6个数据项，∴中国队共有6名同学参赛，A选项正确，不符合题意； B、∵36和42都出现2次，均为出现次数最多的数，∴众数是36和42，B选项错误，符合题意； C、∵6个数据的中位数是第3个和第4个数据的平均数，即 ，∴中位数是38，C选项正确，不符合题意； D、∵平均数 ，∴平均数是38.5，D选项正确，不符合题意． 2．（2026·广东韶关·二模）某区要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了次射击，甲的成绩（环）为：，乙的成绩的平均数为环，方差为．据估计，如果成绩的平均数达到环就可能夺得金牌，下列说法中错误的是（    ） A．甲的成绩的平均数为环 B．甲的成绩的中位数是环 C．甲的成绩的方差为 D．应选派成绩较稳定的乙运动员参赛 【答案】D 【详解】解：甲的成绩（环）为：，则甲的成绩的平均数为，故A选项的说法正确； 按从小到大排列甲的成绩（环）为：，则甲的成绩的中位数是环，故B选项的说法正确； 由前面计算可知，甲的成绩的平均数是环，则甲的成绩的方差为，故C选项的说法正确； 由于甲、乙的平均成绩相等，，即甲的方差小于乙的方差，则甲的成绩更稳定，应选派甲运动员参赛，故D选项的说法错误． 3．（2024·广东汕头·二模）对某条路线的长度进行了6次测量，得到的结果为（单位：米），，，，，．如果用x作为这条长度的近似值，当___________米时．的值最小． 【答案】 【详解】解：当时， 的值最小． 故答案为：． 【点睛】此题考查了方差，关键是熟悉方差的计算公式． 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错典例 【典例05】一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是_______． 【答案】5或9/9或5 【详解】解：当时，中位数与平均数相等，则得到：，解得； 当时：，解得：； 当时：，解得，舍去． 所以x的值为5或9． 故答案为：5或9． 【点睛】本题考查中位数，算术平均数．掌握中位数和算术平均数的定义是解题的关键． 【错因分析】思维片面，默认参数为某一固定值，不进行分类讨论；无法结合众数、中位数的定义分析参数可能的范围。 避坑攻略 【技巧点拨】 含参题目先圈出要求的统计量，众数按“出现次数最多”分类，中位数按“排序后位置”分类；列出参数所有可能情况，逐一验证是否符合定义，确保不丢解。 【知识链接】 当数据中含有字母参数时，众数、中位数、平均数会随参数取值不同而变化，必须按概念要求分类讨论参数的不同情况。 类题巩固 1．（2026·广东潮州·二模）体育课上，某小组的五位同学测得“1分钟引体向上”个数的中位数是5，平均数是6，众数是4，该小组成绩最好的同学测得的个数不可能是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【详解】解：设五位同学测得的个数从小到大依次为， ∵共有个数据，中位数为， ∴第三个数， ∵众数是， ∴至少出现次， ∴， ∵平均数是， ∴五个数据的和为， ∴，整理得，即， ∵数据从小到大排列，且， ∴，且， 当和时，则数据中有两个4，两个5和两个，与众数是4不符合， ∴，且，即， 且， ∵， ∴，即， ∴， ∵是正整数， ∴可取， 则对应为， ∴成绩最好的同学测得的个数不可能是． 2．（2024·广东茂名·一模）如果一组数据，，，，，（为非负整数）的中位数为，则的值有几种可能（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：将除的数据从小到大排列为：，，，，，这组数据的中位数为， 加入后中位数为， 为非负整数， 的值可能为：，，，． 故选：C． 3．（2025·广东惠州·模拟预测）当五个正整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是_________． 【答案】21 【详解】解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是4，这组数据的唯一众数是6． 所以这5个数据分别是，，4，6，6，其中或2，或3． 这组数据可能的最大的和是． 故答案为：21． 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 易错典例 【典例06】已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 【错因分析】 审题粗心，忽略“放回”“不放回”“一次性抽取”等关键条件；模型混淆，放回与不放回的计算方法混用，导致概率结果错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 做题先圈关键词，“放回”总数不变，“不放回”总数递减；不放回问题用树状图或列表法，不重复、不遗漏；计算前先确定样本空间总数是否变化。 【知识链接】 放回抽样，总数不变，每次概率相同，事件相互独立；不放回抽样，总数逐次减少，概率变化，可用树状图或列表法计算，不出现重复项。 类题巩固 1．（2025·广东韶关·一模）在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．下列说法正确的是（　　） A．任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同 B．有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次 C．有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和可能是30 D．有放回的连续摸6次，则一定能摸出2号球 【答案】A 【详解】解：A. 任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同，故该选项正确，符合题意； B. 有放回的连续摸10次，不一定摸出2号球两次，故该选项不正确，不符合题意； C. 有放回的连续摸5次，每个球的数字都小于6，则摸出五个球标号数字之和不可能是30，故该选项不正确，不符合题意； D. 有放回的连续摸6次，不一定能摸出2号球，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的理解，掌握概率的意义是解题的关键． 2．（2025·广东惠州·二模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有，1，2．先从袋中任意摸出一个小球，记下数字后放回，得到的数字作为点M的横坐标x；放回后摇匀，再从袋中任意摸出一个小球，记下数字后放回，得到的数字作为点M的纵坐标y．试用列表或画树状图的方法求点在双曲线上的概率． 【答案】 【详解】列表格如下： y    x -1 1 2 -1 (-1,-1) (1,-1) (2,-1) 1 (-1,1) (1,1) (2,1) 2 (-1,2) (1,2) (2,2) 一共有9种情况，其中点M在双曲线上的有(1,-1),(-1,1)两个点． ∴在双曲线上的概率是． 【点睛】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是找出符合题意的M点，熟悉概率的计算方法． 3．（2024·广东阳江·期末）王老师将1个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 (1)根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是_____（保留2位小数）； (2)估计袋中白色乒乓球有_____个； (3)甲乙二人相约打乒乓球，并约定：由甲从袋中连续两次摸球（每次摸出后均不放回），若两次都摸到白色乒乓球则甲先发球，否则乙先发球．请用画树状图或列表的方法说明这个约定对双方是否公平． 【答案】(1)0.25 (2)3 (3)公平，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得：试验的次数越多，试验的频率就越接近概率； ∵摸球次摸到黄色乒乓球的频率为0.250， ∴根据表格数据从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是， 故答案为：； （2）解：总数， 白色乒乓球个数， 故答案为：； （3）解：由题意可列出表格为：   第一次第二次 黄 白 白 白 黄 黄白 黄白 黄白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 ∴一共有种可能性，其中两次都摸到白色乒乓球共有种情况， ∴， ∴这个约定对双方是公平的． 易●错●闯●关 1．（2024·广东河源·二模）若一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5，则这组数据的中位数为_________． 【答案】4.5 【详解】解： 一组数据3，4，4，x，5，5，7，8的平均数是5， ， 解得， 这组数据从小到大排列为3，4，4，4， 5，5，7，8， 这组数据的中位数为． 2．（2025·广东肇庆·二模）下面的折线图描述了某市5月份一天的气温变化情况． 根据图中信息，给出下列三个结论： ①这一天在时到达最低气温； ②这一天气温是的时刻有两个； ③这一天在这个时刻到这个时刻之间，气温逐渐升高． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】②③ 【分析】 【详解】解：①这一天在时到达最低气温， 故该选项错误，不符合题意； ②这一天气温是的时刻有两个， 该选项正确，符合题意； ③这一天在这个时刻到这个时刻之间，气温逐渐升高， 该选项正确，符合题意； 故答案为：②③． 3．（2025·广东中山·三模）三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．① D．②③ 【答案】B 【详解】解：从图可知以下信息： 上午送时间最短的是甲，①正确； 下午送件最多的是乙，②不正确； 一天中甲送了65件，乙送了75件，③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与点，统计的知识；能够从图中获取信息，针对性的统计是求解的关键． 4．（2025·广东韶关·三模）有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（    ） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球 【答案】A 【详解】解：观察树状图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球， 故选：A． 【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于利用树状图进行解答． 5．（2024·广东中山·一模）若一组数据3，4，3，5，5，x的众数只有一个，则的值可能为______．（写出一个即可） 【答案】3或5 【详解】解：由题意，众数为3或5中的一个， ∴或； 故答案为：3或5． 6．（2025·广东深圳·二模）某学校食堂有8元、9元和10元三种价格的午餐供师生选择（每人限购一份），4月份该食堂午餐的销售情况如图所示，则该月师生购买午餐的平均价格为______元． 【答案】 【详解】解：由题意，得该月师生购买午餐的平均价格为（元）． 7．（2025·广东珠海·模拟预测）一组数据，，，的平均数与中位数相同，则的值是（    ） A．1或3或7 B．1或3或5 C．或3或7 D．或3或5 【答案】C 【详解】解：由题意可得：平均数为， 分四种情况如下： ①将这组数据从小到大的顺序排列为，，，， ∵这组数据处于中间位置的数是3，5， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ②将这组数据从小到大的顺序排列为，，，， ∵这组数据处于中间位置的数是3，， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ③将这组数据从小到大的顺序排列为，，，， ∵这组数据处于中间位置的数是，3， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ④将这组数据从小到大的顺序排列为，1，，， ∵这组数据处于中间位置的数是1，3， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； 故的值是或3或7， 故选：C． 8．（2025·广东东莞·二模）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ） A．48 B．50 C．64 D．68 【答案】C 【详解】解：∵这组数据的平均数为8， ∴ ∴； ∵这组数据的方差为， ∴． ∴， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】要是主要考查了平均数计算公式和方差计算公式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）某校为了解学生的睡眠情况，随机抽取10名学生的睡眠时间 （单位：小时）：7，8，7，6，9，7，8，7，10，8．下列说法正确的是（    ） A．平均数为7.5 B．中位数为7 C．众数为7 D．方差为1.2 【答案】C 【详解】解：首先将题目给出的10个数据从小到大排序，得：． 计算平均数： A选项错误． 计算中位数： 10个数据的中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数，第5个是7，第6个是8，得中位数为 B选项错误． 计算众数： 7一共出现4次，出现次数最多，众数为7， ∴C选项正确． 计算方差： ， D选项错误． 10．（2024·广东珠海·一模）一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 【答案】5 【详解】解：一组数据：，，，，，共个数据，它的中位数是， 将数据从小到大排序后，第个数为中位数， ∵已知中位数为4，且已知数据中比4小的数有2和3，比4大的数有7和9， ， 这组数据的平均数是． 11．（2025·广东珠海·一模）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是 ． (2)估算袋中白球的个数． (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】 【详解】（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是． （2）解：设袋中白球有个，由黑球概率公式： ， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴袋中白球有个； （3）解：袋中球为1个黑球（记为）、3个白球（记为、、），无放回连续两次摸球的列表如下（第一列为第一次摸球结果，第一行为第二次摸球结果）： 第一次 \ 第二次 总结果数为12种（表格中“-”表示无放回时无法重复摸同个球，实际有效结果为12种），其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、）， 故概率为． 12．（2025·广东广州·模拟预测）为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上．某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下： 错题数（个） 甲班频数（人） 乙班频数（人） 统计量 平均数 中位数 众数 方差 甲班 乙班 (1)根据上述信息求出和的值． (2)你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由． 【答案】(1)，； (2)甲班，见解析． 【分析】 【详解】（1）解：， ∵甲班共有（人）， ∴中位数为第，个学生的错题数，为和， ∴； （2）解：甲班，理由， 虽然甲班的方差比乙班大，但相差不大，再从平均数，中位数，众数来看，甲班的收录错题数更多，表现更好． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $