热点18 圆压轴综合4大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点18 圆压轴综合 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 圆与三角形四边形综合 题型02 高阶切线证明、线段求值 题型03 圆内折叠、旋转、动点（含隐圆） 题型04 扇形/弧长与实际应用压轴 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆压轴综合是江苏中考数学的几何压轴核心模块，是区分中上游学生的关键考点，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题或填空压轴题形式出现，侧重考查圆的性质、几何变换与综合推理能力。 1.高频考点分布： · 圆与三角形四边形综合：基础压轴题高频考点，考查圆与常规几何图形的结合，占3-4分； · 高阶切线证明、线段求值：核心设问，考查切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的综合应用，占3-4分； · 圆内折叠、旋转、动点（含隐圆）：高区分度设问，考查图形变换与圆的性质结合，占3-4分； · 扇形/弧长与实际应用压轴：情境化创新考点，占2-3分。 2.命题特点： · 以圆为载体，结合三角形、四边形、相似三角形，层层递进设问； · 设问梯度明显，前两问为切线证明、基础线段求值，后两问为图形变换、动点探究； · 江苏中考常以 “切线 + 相似 + 折叠 / 旋转 + 隐圆” 的组合形式命题，综合性极强； · 对圆的性质、模型识别能力要求高，如圆周角定理、垂径定理、切线长定理是解题关键。 3.高频失分点： · 切线证明时条件不充分，或线段求值时相似三角形对应边找错； · 圆内折叠、旋转问题中，无法利用折叠 / 旋转的性质转化线段； · 隐圆问题中，无法识别轨迹圆，无法利用圆的性质求最值； · 实际应用问题中，无法将实际情境转化为圆的相关问题。 预测2026年：2026年本模块将继续保持压轴题的高区分度命题风格： 1.切线证明与线段求值仍是核心设问，背景更灵活，可能结合特殊三角形、四边形； 2.圆内折叠、旋转、隐圆问题的区分度增强，侧重考查图形分析与转化思想； 3.扇形/弧长实际应用压轴题的情境更丰富，侧重考查建模与应用能力； 4.圆与相似三角形、三角函数的结合更紧密，对综合应用能力要求更高。 题型01 圆与三角形四边形综合 解｜题｜策｜略 ① 核心解题思想：将圆的性质与三角形、四边形的性质结合，利用圆周角定理、垂径定理、切线性质转化边与角的关系。 ② 通用解题步骤： · 标记圆上的点、弧、圆心角、圆周角，利用圆周角定理转化角度； · 结合三角形、四边形的性质（如等腰、直角、平行、矩形、菱形），寻找相等的边或角； · 利用全等三角形、相似三角形、勾股定理，证明线段相等或求解线段长度； · 完成证明或计算，注意步骤的规范性。 ③ 解题技巧： · 看到直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形； · 看到弧相等，优先考虑对应的圆心角、圆周角、弦相等； · 四边形与圆结合时，优先考虑圆内接四边形的对角互补性质。 ④ 易错点：圆周角定理应用时，忽略 “同弧或等弧” 的前提条件；或相似三角形的对应边找错，导致比例式列错。 例1（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】先求出，，则可判断点在的外接圆上，设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于，可求，利用等腰三角形的三线合一性质求出，，利用正弦定义求出，求出，可得，利用勾股定理求出，由，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 点在的外接圆上， 设圆心为，在优弧取点，连接，，，，，过作于， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． 【点睛】本题以半圆为载体，融合圆周角定理、动点轨迹、最值问题，通过确定的轨迹圆，利用“点到圆的最短距离为圆心距减半径”求解，体现转化化归、数形结合的核心数学思想． 例2（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵与正方形均为中心对称图形，且正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点． (1)求证：． (2)若，，求和半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）由，得，，由，得，即可求证； （2）由圆周角定理得，由垂径定理得，设，由，得，，，由勾股定理得，根据，可求出的值，即可得出半径的长；证明，即可求出的长． 【详解】（1）证明：， ，． 又， ． ． （2）如图，连接， 为直径， ，． 又， ． 设与交点为， ． 设， ， ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ． ， ，解得． ． ， ． ． ． ． 半径的长为． ， ． ． ． ． 【变式2】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 题型02 高阶切线证明、线段求值 解｜题｜策｜略 ① 切线证明的核心方法： · 有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直（需证明角为 90°，可通过全等、相似、等腰三角形三线合一等方法）； · 无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 ② 线段求值的常用方法： · 勾股定理：在圆中构造直角三角形，直接求解； · 相似三角形：利用圆周角定理找到相等的角，证明三角形相似，列比例式求解； · 三角函数：利用特殊角的三角函数值，结合直角三角形求解； · 垂径定理：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理求弦长或半径。 ③ 通用解题步骤： · 完成切线证明，确定切线与圆的位置关系； · 结合已知条件，构造直角三角形或相似三角形； · 列方程或比例式，求解线段长度； · 回代验证，确定结果的合理性。 ④ 解题技巧： · 切线证明后，优先连接圆心与切点，利用切线垂直于半径的性质，得到直角； · 线段求值时，优先利用圆的对称性，构造等腰三角形或全等三角形； · 涉及多条线段时，可利用切割线定理（PA2=PB⋅PC）或相交弦定理简化计算。 ⑤ 易错点：切线证明时条件不充分；或线段求值时，勾股定理的直角边判断错误。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论； （2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：与相切； 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如（1）图，， ∵的半径为3， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设，， 在中，， ∴ 解得： ∴． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由题意可得，即，从而可得，由等边对等角并结合对顶角相等得出，即，即可得证； （2）由题意可得，则，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图：连接，， ∵D为所对的下半圆中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为10， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：过点作，垂足为点， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ， 的半径为． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由为的直径，得，由，得点为的中点，由点为的中点，得为的中位线，然后证明即可； （2）根据题意得， 由(1)知， 得，进而得，将数据代入后，得，，再求得，最后，得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ 点为的中点， ∵ 点为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴，   ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，∵ ，，， ∴由勾股定理，得， 由(1)知， ∴， ∴， ∵， ，， ∴ ，解得，， ∴， 在中，， ∵为的直径， ∴， ∴． 【点睛】解题的关键是熟练运用圆的性质，等腰三角形的“三线合一”，切线的判定方法，证得，进而得出 ，解得，，求出． 题型03 圆内折叠、旋转、动点（隐圆） 解｜题｜策｜略 ① 圆内折叠问题： · 核心性质：折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； · 解题技巧：设未知数，利用勾股定理列方程；利用圆周角定理转化角度，构造相似三角形。 ② 圆内旋转问题： · 核心性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角相等，旋转角等于圆心角； · 解题技巧：利用旋转的性质，将分散的线段集中到同一三角形中；利用圆周角定理，证明三角形全等或相似。 ③ 圆内动点问题： · 核心方法：设动点的位置，构造直角三角形或相似三角形，列方程求解； · 解题技巧：利用圆的对称性，分析动点的特殊位置（如直径端点、切点）；利用垂线段最短或两点之间线段最短求最值。 ④ 通用解题步骤： · 分析图形变换的性质，标记对应边、对应角； · 设未知数，表示相关线段的长度； · 利用圆的性质、勾股定理、相似三角形列方程求解； · 结合自变量的取值范围，舍去不符合题意的解。 ⑤ 易错点：折叠、旋转中的对应边、对应角找错；动点问题中，无法构造合适的三角形列方程。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】作交于点，作交于点，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合的值，可得出当取最大值时，取最小值，根据度的圆周角所对的弦是直径得出点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上，当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，根据相似三角形的判定和性质求出的最大值，求出；当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，求出，即可求解． 【详解】如图，作交于点，作交于点， 在中，， 在中，， 即， 解得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， 故当取最大值时，取最小值． ∵ ∴ ∴点在以的中点为圆心，的长为半径的半圆上， 当点在弧上时，点，，共线，此时的值最大，如图： ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 此时，即的最大值为， 故． 当点在弧上时，点与点重合，点与点重合，此时的值最大，如图： 即的最大值为， 故． 综上所述，的最小值是． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 例3（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 【答案】 【分析】 首先根据菱形性质得出和是等边三角形，从而，说明 A，B，C 在以 D 为圆心的圆上． 然后利用轴对称和等腰三角形性质计算角度，得出 ，确定 P 点轨迹． 最后确定 M 在起点 C 和终点 N 时 P 的位置，计算圆心角和弧长． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴点A，B，C在以D为圆心，6为半径的圆上， 由对称性可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴点P在以D为圆心，6为半径的圆上． 当点M在点C时，点P与点C重合．当点M在点N时，N为中点，为等边三角形， ∴，，此时，， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点与点D重合，此时射线即为射线， ∵点P在上， ∴， ∴点P在的延长线上， ∵A，D，P共线，， ∴， ∴点P的运动路径长为． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可． 【详解】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动． ，且是绕点旋转， 点是以点为圆心，以为半径的圆上运动． ， 当最大时，最大，即最小，最大． 如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大． ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为． 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点，分别落在点，处，点为上一点，且，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】连接与交于点O，过点作于点G，连接，确定点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，解答即可． 【详解】解：连接与交于点O， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴，， ∵沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处， ∴， ∴点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，，再证明，求出，再结合，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， 连接， ∵， ∴； 连接， ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到； （2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形； （3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：证明：在菱形中，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵的外接圆交边于点， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点， 则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部， ①由（1）的， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)， ∴当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)； ②由（2）得， ∴， ∴当时，点P与点重合， 又∵当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)； 综上所述：当或时，点在内部． 题型04 扇形/弧长与实际应用压轴 解｜题｜策｜略 ① 核心公式速记： · 弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数，r为半径）； · 扇形面积公式：S=nπr2/360=1/2lr（l为弧长）； · 圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）。 ② 实际应用问题解题步骤： · 分析实际情境，提取关键数据，将问题转化为圆的相关问题； · 明确问题对应的弧长、扇形面积或圆锥侧面积公式； · 代入数据计算，注意单位的统一； · 结合实际意义，解释结果。 ③ 解题技巧： · 实际应用问题中，优先将实际情境转化为几何图形，如车轮转动、扇形零件、圆锥模型等； · 涉及扇形与圆锥的转化问题，利用 “底面周长等于侧面展开图的弧长” 建立等式； · 阴影面积问题，利用割补法转化为规则图形的面积和或差。 ④ 易错点：记错弧长、扇形面积公式，或圆心角单位未统一；实际应用问题中，无法将情境转化为数学问题。 例1（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． 【答案】［探究]（1），，（2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致［发现] 更换不同齿数的从动轮或主动轮 【分析】本题主要考查了圆的性质，旋转的性质，比的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系． ［探究]（1）根据题意，列出代数式，根据等式求出比值即可； （2）借助（1）的结论，根据齿数相等，进行求解即可，观察图中圆旋转的方向，可得“惰轮”的作用； ［发现]根据齿数相等，可选择更换不同齿数的从动轮或主动轮进行变速． 【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个， ∵ ∴， 故答案为：，，； （2）从动轮的转速为（圈/分钟）， “惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致， ∴从动轮的转速为每分钟160圈； ［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接． ①点E在的内部； ②的长为； ③若P与C重合，则； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是． 则正确的选项为（    ） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】①，可知点E在上，答案可求；②由题意，，利用勾股定理可求，故，结论可得；③由锐角三角函数可求，利用平行线和等腰三角形的性质可求，结论可得；④连接，过点A作于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得，则，结论可得；⑤连接，则，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长． 【详解】解：∵， ∴顶点． ∴． 令，则． ∴． ∴． 令，则． 解得：或． ∴． ∴，． ∴． ∴的半径为2． ①，， ∴的半径为2， ∴E点在上．故①不正确； ②连接，则，如图： 在中，， ∴． ∴， ．故②不正确； ③连接，如图： 由②知：． ∵， ∴， ， ， ． ∵P与C重合， ∴．故③正确； ④如图，连接，过点A作于K， ∵， ∴E点在上． ∴． ∵是圆的直径， ∴． ∴． ∴， ． ∵， ∴． ． ∵， ． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴．故④正确； ⑤如图，连接，设的中点分别为G，F，连接交于点R． ∵G，F为的中点， ∴为的中位线． ∴． 连接， ∵N为的中点，M为圆心， ∴． ∴点N的运动轨迹为以为直径的半圆． 即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆． ∴点N运动的路径长是．故⑤正确； 综上，正确的选项为③④⑤． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，，根据正六边形的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上，再利用圆外一点到圆上的点距离最小即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，， ∵六边形是边长等于4的正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点、、分别为、、的中点， ∴是等边三角形，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为定值， ∴， ∴， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当，，共线时，的最小值． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接， ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 4．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据垂径定理可得，再由，可得，从而得到，即可得出结论； （2）由，可得，进而可得，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理可求出即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是直径， ∴， ∴， ∴ 即的半径为． 5．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查圆的性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，根据切线得到，证明，再根据平行的性质得到，由于，得到，证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，设半径为，则，根据平行得到，得到，求出，连接，根据圆周角定理以及平行线的判定证明，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， 平分； （2）解：， ， 设半径为， 则， ， ， ， ， ， ， 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)证明见解析， (4)点的运动路径是直线；运动路径的长度为10 【分析】（1）证明，再利用相似三角形对应边成比例即可求解； （2）作，交于点，则点D即为所求： （3）利用勾股定理求出，证明，再利用相似三角形的性质即可证明以及求出线段的长； （4）连接、、，由为的直径，得到，根据“等角对应点”的定义得到，则，点的轨迹为过且垂直于的直线；再讨论点分别在点以及弧中点时，对应的点的位置，即可求出点的运动路径的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，点D即为所求： （3）证明：∵，，， ∴， 由（2）作图可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴，； （4）解：连接、、， ∵为的直径， ∴， ∵点为点关于线段的等角对应点， ∴，点在射线上， ∴，点的轨迹为过且垂直于的直线， ∴点的运动路径是直线； 当点与点重合时，点恰好与点重合， 当点运动到弧中点时， 如图3，连接， ∵点运动到弧中点，的半径为5， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径的长度为10． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点18 圆压轴综合 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 圆与三角形四边形综合 题型02 高阶切线证明、线段求值 题型03 圆内折叠、旋转、动点（含隐圆） 题型04 扇形/弧长与实际应用压轴 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：圆压轴综合是江苏中考数学的几何压轴核心模块，是区分中上游学生的关键考点，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以解答压轴题或填空压轴题形式出现，侧重考查圆的性质、几何变换与综合推理能力。 1.高频考点分布： · 圆与三角形四边形综合：基础压轴题高频考点，考查圆与常规几何图形的结合，占3-4分； · 高阶切线证明、线段求值：核心设问，考查切线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的综合应用，占3-4分； · 圆内折叠、旋转、动点（含隐圆）：高区分度设问，考查图形变换与圆的性质结合，占3-4分； · 扇形/弧长与实际应用压轴：情境化创新考点，占2-3分。 2.命题特点： · 以圆为载体，结合三角形、四边形、相似三角形，层层递进设问； · 设问梯度明显，前两问为切线证明、基础线段求值，后两问为图形变换、动点探究； · 江苏中考常以 “切线 + 相似 + 折叠 / 旋转 + 隐圆” 的组合形式命题，综合性极强； · 对圆的性质、模型识别能力要求高，如圆周角定理、垂径定理、切线长定理是解题关键。 3.高频失分点： · 切线证明时条件不充分，或线段求值时相似三角形对应边找错； · 圆内折叠、旋转问题中，无法利用折叠 / 旋转的性质转化线段； · 隐圆问题中，无法识别轨迹圆，无法利用圆的性质求最值； · 实际应用问题中，无法将实际情境转化为圆的相关问题。 预测2026年：2026年本模块将继续保持压轴题的高区分度命题风格： 1.切线证明与线段求值仍是核心设问，背景更灵活，可能结合特殊三角形、四边形； 2.圆内折叠、旋转、隐圆问题的区分度增强，侧重考查图形分析与转化思想； 3.扇形/弧长实际应用压轴题的情境更丰富，侧重考查建模与应用能力； 4.圆与相似三角形、三角函数的结合更紧密，对综合应用能力要求更高。 题型01 圆与三角形四边形综合 解｜题｜策｜略 ① 核心解题思想：将圆的性质与三角形、四边形的性质结合，利用圆周角定理、垂径定理、切线性质转化边与角的关系。 ② 通用解题步骤： · 标记圆上的点、弧、圆心角、圆周角，利用圆周角定理转化角度； · 结合三角形、四边形的性质（如等腰、直角、平行、矩形、菱形），寻找相等的边或角； · 利用全等三角形、相似三角形、勾股定理，证明线段相等或求解线段长度； · 完成证明或计算，注意步骤的规范性。 ③ 解题技巧： · 看到直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，构造直角三角形； · 看到弧相等，优先考虑对应的圆心角、圆周角、弦相等； · 四边形与圆结合时，优先考虑圆内接四边形的对角互补性质。 ④ 易错点：圆周角定理应用时，忽略 “同弧或等弧” 的前提条件；或相似三角形的对应边找错，导致比例式列错。 例1（2026·江苏连云港·一模）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为___________． 例2（2026·河南郑州·一模）如图，正方形的对角线交于点O，为正方形的外接圆，为直径．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，，为圆上两点，，弦，相交于点，连接交边于点． (1)求证：． (2)若，，求和半径的长． 【变式2】（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 题型02 高阶切线证明、线段求值 解｜题｜策｜略 ① 切线证明的核心方法： · 有公共点：连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直（需证明角为 90°，可通过全等、相似、等腰三角形三线合一等方法）； · 无公共点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于半径。 ② 线段求值的常用方法： · 勾股定理：在圆中构造直角三角形，直接求解； · 相似三角形：利用圆周角定理找到相等的角，证明三角形相似，列比例式求解； · 三角函数：利用特殊角的三角函数值，结合直角三角形求解； · 垂径定理：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理求弦长或半径。 ③ 通用解题步骤： · 完成切线证明，确定切线与圆的位置关系； · 结合已知条件，构造直角三角形或相似三角形； · 列方程或比例式，求解线段长度； · 回代验证，确定结果的合理性。 ④ 解题技巧： · 切线证明后，优先连接圆心与切点，利用切线垂直于半径的性质，得到直角； · 线段求值时，优先利用圆的对称性，构造等腰三角形或全等三角形； · 涉及多条线段时，可利用切割线定理（PA2=PB⋅PC）或相交弦定理简化计算。 ⑤ 易错点：切线证明时条件不充分；或线段求值时，勾股定理的直角边判断错误。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，，求的长． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 题型03 圆内折叠、旋转、动点（隐圆） 解｜题｜策｜略 ① 圆内折叠问题： · 核心性质：折叠前后的图形全等，对应边、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； · 解题技巧：设未知数，利用勾股定理列方程；利用圆周角定理转化角度，构造相似三角形。 ② 圆内旋转问题： · 核心性质：旋转前后的图形全等，对应边、对应角相等，旋转角等于圆心角； · 解题技巧：利用旋转的性质，将分散的线段集中到同一三角形中；利用圆周角定理，证明三角形全等或相似。 ③ 圆内动点问题： · 核心方法：设动点的位置，构造直角三角形或相似三角形，列方程求解； · 解题技巧：利用圆的对称性，分析动点的特殊位置（如直径端点、切点）；利用垂线段最短或两点之间线段最短求最值。 ④ 通用解题步骤： · 分析图形变换的性质，标记对应边、对应角； · 设未知数，表示相关线段的长度； · 利用圆的性质、勾股定理、相似三角形列方程求解； · 结合自变量的取值范围，舍去不符合题意的解。 ⑤ 易错点：折叠、旋转中的对应边、对应角找错；动点问题中，无法构造合适的三角形列方程。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 例3（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点，分别落在点，处，点为上一点，且，则的最大值为______． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 【变式4】（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 题型04 扇形/弧长与实际应用压轴 解｜题｜策｜略 ① 核心公式速记： · 弧长公式：l=nπr/180（n为圆心角度数，r为半径）； · 扇形面积公式：S=nπr2/360=1/2lr（l为弧长）； · 圆锥侧面积：侧（r为底面半径，l为母线长）。 ② 实际应用问题解题步骤： · 分析实际情境，提取关键数据，将问题转化为圆的相关问题； · 明确问题对应的弧长、扇形面积或圆锥侧面积公式； · 代入数据计算，注意单位的统一； · 结合实际意义，解释结果。 ③ 解题技巧： · 实际应用问题中，优先将实际情境转化为几何图形，如车轮转动、扇形零件、圆锥模型等； · 涉及扇形与圆锥的转化问题，利用 “底面周长等于侧面展开图的弧长” 建立等式； · 阴影面积问题，利用割补法转化为规则图形的面积和或差。 ④ 易错点：记错弧长、扇形面积公式，或圆心角单位未统一；实际应用问题中，无法将情境转化为数学问题。 例1（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？ 变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮． ［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等． （1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____． （2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿． 若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？ ［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接． ①点E在的内部； ②的长为； ③若P与C重合，则； ④在P的运动过程中，若，则； ⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是． 则正确的选项为（    ） A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图，扬州市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点，的两条切线相交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为________． 4．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，弦于点F，连接，以为边在的左侧作，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．（2026·江苏南通·一模）如图，在中，，点O在上，以O为圆心，长为半径的圆与相切于点D，与，分别相交于点E，F． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径及的长． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $