热点17 新定义阅读探究4大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点17 新定义阅读探究 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 代数类新定义 题型02 几何类新定义 题型03 情境化、跨学科新题型 题型04 江苏独创创新探究压轴 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：新定义阅读探究是江苏中考数学的压轴创新模块，是考查学生信息提取、迁移应用与创新思维的核心题型，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以压轴解答题形式出现，是区分顶尖学生的关键考点。 1.高频考点分布： · 代数类新定义：基础创新题型，考查对新运算、新概念的理解与应用，占2-3分； · 几何类新定义：中档创新题型，考查新定义图形的性质探究，占3-4分； · 情境化、跨学科新题型：结合生活、科技背景的创新题，占2-3分； · 江苏独创创新探究压轴：高区分度压轴题，考查综合探究与推理能力，占3-4分。 2.命题特点： · 题目形式新颖，通过定义新运算、新图形、新规则，创设陌生情境； · 设问层层递进，由浅入深，前两问为概念理解，后两问为综合探究； · 江苏中考常以 “新定义+代数/几何综合” 的形式命题，强调知识迁移与应用； · 对阅读理解、信息提取与转化能力要求极高，需快速理解新定义并应用。 3.高频失分点： · 无法准确理解新定义的规则，导致后续解题全错； · 对新定义的限制条件忽略，如取值范围、特殊情况； · 知识迁移能力不足，无法将新定义转化为熟悉的代数/几何问题； · 探究过程中逻辑不严谨，无法完成综合推理。 预测2026年：2026年本模块将继续保持创新命题风格，更突出核心素养与跨学科应用： 1.代数类、几何类新定义仍是基础设问，背景更贴近生活实际； 2.情境化、跨学科新题型占比提升，可能结合科技、环保、传统文化背景； 3.江苏独创创新探究压轴题的区分度进一步增强，侧重考查探究与推理能力； 4.对阅读理解与信息转化能力的要求进一步提高，题目篇幅可能更长，信息更隐蔽。 题型01 代数类新定义 解｜题｜策｜略 ① 解题核心：准确理解新定义的运算规则，将新运算转化为熟悉的代数运算。② 通用解题步骤： · 精读题目，提取新定义的运算规则，明确运算顺序和限制条件； · 将题目中的数或代数式代入新定义的运算规则，转化为常规代数运算； · 按代数运算规则（加减乘除、乘方开方、分式、根式）计算； · 验证结果是否符合新定义的限制条件，如取值范围、特殊要求。 ③ 解题技巧： · 优先用具体数值代入新定义，理解运算规则，再处理代数式； · 注意新定义中的特殊符号，避免与常规运算符号混淆； · 涉及含参数的新定义问题，按规则列方程或不等式求解，注意参数的取值范围。 ④ 易错点：误解新定义的运算顺序或规则；忽略新定义中的限制条件，导致结果不符合要求。 例1（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 例2（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 例3（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为______． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 题型02 几何类新定义 解｜题｜策｜略 ① 解题核心：理解新定义图形的性质，将其转化为熟悉的几何图形问题。 ② 通用解题步骤： · 精读题目，提取新定义图形的特征（边、角、对称性、判定条件）； · 结合图形，标记新定义图形的关键性质； · 将新定义图形的问题转化为常规几何问题（如全等、相似、勾股定理、面积计算）； · 利用几何知识推理计算，解决问题。 ③ 解题技巧： · 优先画出符合新定义的图形，标注关键边和角，直观理解图形特征； · 寻找新定义图形与熟悉图形的联系，如等腰三角形、平行四边形、特殊三角形； · 涉及存在性问题时，按几何图形的性质分情况讨论，避免漏解。 ④ 易错点：误解新定义图形的性质；无法将新定义图形转化为熟悉的几何模型，无从下手。 例1（2026·江苏无锡·一模）定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是_________（填①或②或①②）．如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，则的面积为_________． 例2（2026·江苏盐城·模拟预测）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【变式1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，记为线段的长度，．下列结论： ①若点与点关于轴对称，则； ②若，则点与点关于轴对称； ③若动点满足，则点的运动路径所围成的图形面积为2； ④若，则． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点（且），若（是常数），则称线段是一条“倍率线段”．下列说法中正确的有（   ） ①若，则线段是一条3倍率线段； ②若，在函数的图像上，则有且只有一条2倍率线段； ③若，在函数图像上，且是1倍率线段，则长为或； ④二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在该二次函数位于第一象限内的图像上，且线段是倍率线段，当的长度最大时，点的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型03 情境化、跨学科新题型 解｜题｜策｜略 ：① 解题核心：从情境中提取数学信息，排除无关干扰，转化为纯数学问题。 ② 通用解题步骤： · 阅读情境材料，提取关键数学信息，明确问题的数学本质； · 忽略情境中的非数学描述，将问题转化为代数或几何问题； · 利用常规数学知识（方程、函数、几何）解决问题； · 将结果放回情境中，验证是否符合实际意义。 ③ 解题技巧： · 优先圈出情境中的关键数据、条件和问题，排除无关文字； · 跨学科问题中，利用其他学科的背景理解题意，但解决问题仍用数学知识； · 情境化问题常涉及实际应用，需注意结果的实际意义，如取整、取值范围。 ④ 易错点：被情境中的无关信息干扰，无法提取数学问题；忽略实际意义，导致结果不符合题意。 例1材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【变式1】伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到水面的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得． 数据 ，． 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 题型04 江苏独创创新探究压轴 解｜题｜策｜略 ① 解题核心：分步探究，由浅入深，利用前两问的结论解决后续问题。 ② 通用解题步骤： · 完成前两问的基础探究，理解新定义或新模型的基本性质； · 利用前两问的结论，推导更复杂的性质或规律； · 结合代数、几何、函数等知识，进行综合探究与推理； · 按题目要求，写出探究过程和结论，注意逻辑严谨。 ③ 解题技巧： · 前两问的结论往往是后续问题的基础，务必保证前两问的正确性； · 探究过程中，可通过特殊值、特殊位置验证猜想，再推广到一般情况； · 涉及存在性、最值问题时，结合分类讨论、数形结合思想求解； · 注意书写规范，探究过程需清晰、严谨，结论明确。 ④ 易错点：忽略前两问的结论，重新解题导致复杂；探究过程逻辑不严谨，结论不成立。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 例2（2026·江苏泰州·一模）【阅读材料】 在平面内，取一个定点O，对于平面内任意一点A（点A不与点O重合），可以在射线上找到唯一的点，使得（k为正实数），我们把这种变换叫做反演变换，点叫做点A的反演点，点O称为反演中心，k称为反演幂． 例如：如图1，点在射线上，，，则点是点A关于点O的反演点，反演幂为12；反之，点A也是点关于点O的反演点，反演幂为12． 【基础理解】 (1)如图1，点O为反演中心，点是点A关于点O的反演点，反演幂为24．若，则_______； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以点A为反演中心，利用无刻度的直尺和圆规作出点B的反演点D，反演幂为9．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 (3)如图3，为的直径，弦于点E．P，M为弦上两点，分别延长，交于Q，N，若点Q，N分别是点P，M关于点A的反演点，反演幂分别为，，试判断与的数量关系，并说明理由． (4)如图4，已知的半径为5，点A为上一定点，点P为上的动点（不与点A重合），若点Q为点P关于点A的反演点，反演幂为40，则点Q不在外部的路径是_______（填“线段”或“圆弧”），请说明理由，并直接写出此路径的长． 【变式1】（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）项目背景：扬州某物流园区引入智能分拣系统，该系统通过摄像头识别货物轮廓，并借助直角坐标系确定货物形状“最小包围矩形”（即目标矩形）的尺寸．该系统中目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于坐标轴，货物形状近似图形的所有点都在矩形内部或边上，且矩形面积最小．设目标矩形的竖直边长与水平边长的比为k，称k为目标矩形的形态比． 例如：某货物形状近似图形为圆形，识别后如图1，则其目标矩形形态比为． (1)如图2，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为线段，端点坐标为，，则其目标矩形的形态比 ． (2)如图3，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为抛物线，其表达式为，该抛物线经过点，且其目标矩形的形态比，水平边长为8个单位．求该抛物线的表达式，并求出目标矩形的面积． (3)如图4，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为反比例函数的一支．过曲线上两点、分别作坐标轴的平行线，围成目标矩形．设该目标矩形的面积为S． 求证：该目标矩形形态比； 若，是否存在目标矩形，使其同时满足面积且形态比？若存在，请直接求出满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由． （60分钟限时练） 1．（2025·江苏宿迁·二模）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点为“新奇点”．若点是“新奇点”，则点在第________象限． 2．（2026·江苏无锡·一模）已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（   ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 3．（2025·江苏无锡·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是________；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为________． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 5．（2026·江苏无锡·一模）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 6．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 7．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点既在函数的图像上，又在函数的图像上，且满足，则称点为这两个函数的一个“非负公共点”．例如，点就是函数和函数的一个“非负公共点”．现有函数和．已知它们存在“非负公共点”．下列说法： ①的值可以是3； ②的值可以是1； ③若仅存在一个“非负公共点”，则； ④若存在两个“非负公共点”，则． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为r，点P是上一点．对平面内的一点Q，先将点Q关于点O作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径r的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点Q关于半径的反射平移点． 如图，已知点． (1)点P是上的动点，当时，在中，可能是点A关于半径的反射平移点的是 ． (2)设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线l经过A． ①在上述条件下， ； ②当P的坐标为时，如果线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部．直接写出点B的横坐标的取值范围； ③当P在y轴的正半轴上时，如果线段上存在点C，使点C关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径r的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点17 新定义阅读探究 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 代数类新定义 题型02 几何类新定义 题型03 情境化、跨学科新题型 题型04 江苏独创创新探究压轴 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：新定义阅读探究是江苏中考数学的压轴创新模块，是考查学生信息提取、迁移应用与创新思维的核心题型，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在8-12分，以压轴解答题形式出现，是区分顶尖学生的关键考点。 1.高频考点分布： · 代数类新定义：基础创新题型，考查对新运算、新概念的理解与应用，占2-3分； · 几何类新定义：中档创新题型，考查新定义图形的性质探究，占3-4分； · 情境化、跨学科新题型：结合生活、科技背景的创新题，占2-3分； · 江苏独创创新探究压轴：高区分度压轴题，考查综合探究与推理能力，占3-4分。 2.命题特点： · 题目形式新颖，通过定义新运算、新图形、新规则，创设陌生情境； · 设问层层递进，由浅入深，前两问为概念理解，后两问为综合探究； · 江苏中考常以 “新定义+代数/几何综合” 的形式命题，强调知识迁移与应用； · 对阅读理解、信息提取与转化能力要求极高，需快速理解新定义并应用。 3.高频失分点： · 无法准确理解新定义的规则，导致后续解题全错； · 对新定义的限制条件忽略，如取值范围、特殊情况； · 知识迁移能力不足，无法将新定义转化为熟悉的代数/几何问题； · 探究过程中逻辑不严谨，无法完成综合推理。 预测2026年：2026年本模块将继续保持创新命题风格，更突出核心素养与跨学科应用： 1.代数类、几何类新定义仍是基础设问，背景更贴近生活实际； 2.情境化、跨学科新题型占比提升，可能结合科技、环保、传统文化背景； 3.江苏独创创新探究压轴题的区分度进一步增强，侧重考查探究与推理能力； 4.对阅读理解与信息转化能力的要求进一步提高，题目篇幅可能更长，信息更隐蔽。 题型01 代数类新定义 解｜题｜策｜略 ① 解题核心：准确理解新定义的运算规则，将新运算转化为熟悉的代数运算。② 通用解题步骤： · 精读题目，提取新定义的运算规则，明确运算顺序和限制条件； · 将题目中的数或代数式代入新定义的运算规则，转化为常规代数运算； · 按代数运算规则（加减乘除、乘方开方、分式、根式）计算； · 验证结果是否符合新定义的限制条件，如取值范围、特殊要求。 ③ 解题技巧： · 优先用具体数值代入新定义，理解运算规则，再处理代数式； · 注意新定义中的特殊符号，避免与常规运算符号混淆； · 涉及含参数的新定义问题，按规则列方程或不等式求解，注意参数的取值范围。 ④ 易错点：误解新定义的运算顺序或规则；忽略新定义中的限制条件，导致结果不符合要求。 例1（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 例2（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 例3（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为，，或 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； （2）解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； （3）解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）已知，，且（t是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：且， 综上，的取值范围是且． 【变式2】（2025·江苏扬州·一模）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的新定义运算，设，且，根据定义可得，即得，，进而由得，再根据、都是正整数解答即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、都是正整数， ∴（不合）或或（不合）或， ∴，或，， ∴或， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数 ，随增大而增大 时，；时，，即，， 又，满足 ①正确； ②对于一次函数，是“1型闭函数”，则 当时，随增大而增大，，得 当时，随增大而减小，，得 故或 ②错误； ③对于反比例函数 ，随增大而减小， ， ∴ 函数是“k型闭函数”， ，约去得 ， ③正确； ④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即 当时，函数在上，随着的增大而减小， ∴， 解得 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵，， ∴在上的值随着的增大而减小， ∴ ∴； 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵， ∴在上，的值随着的增大而增大， ∴ ∴； 当时，函数在上，随着的增大而增大， ∴， 解得 综上，， ④正确． 综上，正确结论为①③④． 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，； ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得； （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴． 题型02 几何类新定义 解｜题｜策｜略 ① 解题核心：理解新定义图形的性质，将其转化为熟悉的几何图形问题。 ② 通用解题步骤： · 精读题目，提取新定义图形的特征（边、角、对称性、判定条件）； · 结合图形，标记新定义图形的关键性质； · 将新定义图形的问题转化为常规几何问题（如全等、相似、勾股定理、面积计算）； · 利用几何知识推理计算，解决问题。 ③ 解题技巧： · 优先画出符合新定义的图形，标注关键边和角，直观理解图形特征； · 寻找新定义图形与熟悉图形的联系，如等腰三角形、平行四边形、特殊三角形； · 涉及存在性问题时，按几何图形的性质分情况讨论，避免漏解。 ④ 易错点：误解新定义图形的性质；无法将新定义图形转化为熟悉的几何模型，无从下手。 例1（2026·江苏无锡·一模）定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是_________（填①或②或①②）．如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，则的面积为_________． 【答案】 【分析】对于等边三角形：由等边三角形的性质可得，则，符合定义；对于直角三角形：可以进行举例，如边长为、、的直角三角形，无论如何组合都得不到，因此不符合要求．延长交于点，结合折叠的性质和“方倍三角形”的定义可判断是等边三角形，则．容易证明是等腰直角三角形，利用三角函数可计算出，，．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解：在等边三角形中，， ∴，符合题意， ∴等边三角形一定是“方倍三角形”， 对于直角三角形，举例边长为、、的直角三角形， ∵，，，不符合题意， ∴直角三角形不一定是“方倍三角形”； 由折叠的性质可知，，，， ∵为“方倍三角形”， ∴或或， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴， 同理，当时，则， 综上，是等边三角形， 如图，延长交于点， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 例2（2026·江苏盐城·模拟预测）平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②或 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6． （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 【变式1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，记为线段的长度，．下列结论： ①若点与点关于轴对称，则； ②若，则点与点关于轴对称； ③若动点满足，则点的运动路径所围成的图形面积为2； ④若，则． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式和新定义，逐个验证四个结论，即可得到答案. 【详解】解：由定义得 ，. ①∵ 点与点关于轴对称， ∴ ，， ∴ ， ， ∴，①正确； ②取，，此时 ，，满足，但不关于轴对称． ②错误； ③设，由 得， 该图形是以为顶点的菱形，两条对角线长分别为和， ∴ 图形面积 ，③正确； ④取， ， 则 ， ，满足， ， ，， ④错误. 综上，①③正确． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点（且），若（是常数），则称线段是一条“倍率线段”．下列说法中正确的有（   ） ①若，则线段是一条3倍率线段； ②若，在函数的图像上，则有且只有一条2倍率线段； ③若，在函数图像上，且是1倍率线段，则长为或； ④二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在该二次函数位于第一象限内的图像上，且线段是倍率线段，当的长度最大时，点的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了“倍率线段”新定义、两点间距离公式、一次函数与反比例函数的性质、二次函数的性质，逐个验证四个结论的正误，即可得到答案． 【详解】① 对于， ，， ， 故正确； ② 设， 由是2倍率线段得：， 化简得， 即或， 当时， 方程无解； 当时， 解得， 只有一个解， 只有一条， 故正确； ③ 设， 由是1倍率线段得：， 即或， 当时， 解得：； 当时， 解得：或； ， 当时，， 当时，， 当时，， 则长度为或， 故错误； ④ 令， 得， 即， 令， 得， 解得：或， 由于图像与轴正半轴交于点， 则， 设线段表达式为：， 将代入得：， 解得：， 故线段表达式为：， 设，则 ∴， 由是倍率线段得：， 化简得：或， 当时， ， 令， 当对称轴时，取最小值， 故此时的最大值为， 此时； 当时， ∵ ∴ ， ∵在上的长度随着的增大而增大， ∴时，的最大值为， 此时， 而，故最大时，； 故④错误； 综上，①②正确． 题型03 情境化、跨学科新题型 解｜题｜策｜略 ：① 解题核心：从情境中提取数学信息，排除无关干扰，转化为纯数学问题。 ② 通用解题步骤： · 阅读情境材料，提取关键数学信息，明确问题的数学本质； · 忽略情境中的非数学描述，将问题转化为代数或几何问题； · 利用常规数学知识（方程、函数、几何）解决问题； · 将结果放回情境中，验证是否符合实际意义。 ③ 解题技巧： · 优先圈出情境中的关键数据、条件和问题，排除无关文字； · 跨学科问题中，利用其他学科的背景理解题意，但解决问题仍用数学知识； · 情境化问题常涉及实际应用，需注意结果的实际意义，如取整、取值范围。 ④ 易错点：被情境中的无关信息干扰，无法提取数学问题；忽略实际意义，导致结果不符合题意。 例1材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 【变式1】伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到水面的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得． 数据 ，． 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，求出，然后结合即可求解； （2）先求出，在中，利用正切定义求出，在中，，利用正切定义求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 题型04 江苏独创创新探究压轴 解｜题｜策｜略 ① 解题核心：分步探究，由浅入深，利用前两问的结论解决后续问题。 ② 通用解题步骤： · 完成前两问的基础探究，理解新定义或新模型的基本性质； · 利用前两问的结论，推导更复杂的性质或规律； · 结合代数、几何、函数等知识，进行综合探究与推理； · 按题目要求，写出探究过程和结论，注意逻辑严谨。 ③ 解题技巧： · 前两问的结论往往是后续问题的基础，务必保证前两问的正确性； · 探究过程中，可通过特殊值、特殊位置验证猜想，再推广到一般情况； · 涉及存在性、最值问题时，结合分类讨论、数形结合思想求解； · 注意书写规范，探究过程需清晰、严谨，结论明确。 ④ 易错点：忽略前两问的结论，重新解题导致复杂；探究过程逻辑不严谨，结论不成立。 例1（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 【答案】概念理解：；探究性质：①见解析；②线段可由线段通过旋转变换得到，画图见解析；运用性质： 【分析】概念理解：根据概念代入即可解答； 探究性质：①根据概念代入求得，画出图形即可； ②根据旋转的性质，画出旋转中心即可； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点，可得，再由在反比例函数图象上，求得，直线与曲线的交点为， ，则，求出的面积，设点到的距离为，利用等积法求出，再求的面积，求出的面积的面积，根据对称性可求． 【详解】解：概念理解： ， ； 探究性质：①根据概念理解可得， ， ， 故点、对应的“变换”点、如下图， ②线段经过一次平移或轴对称，不能得到， 线段可由线段通过旋转变换得到， 旋转中心如图所示， ，， 旋转中心为点， ， 为等边三角形， ， 线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到， ； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点， ， ， 在反比例函数图象上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，解得或， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ，， 的面积， 的面积， 设点到的距离为， ， ， 解得， 的面积 的面积的面积， 的面积的面积，的面积的面积， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数值，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，准确从探究性质中得出线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到是解题的关键． 例2（2026·江苏泰州·一模）【阅读材料】 在平面内，取一个定点O，对于平面内任意一点A（点A不与点O重合），可以在射线上找到唯一的点，使得（k为正实数），我们把这种变换叫做反演变换，点叫做点A的反演点，点O称为反演中心，k称为反演幂． 例如：如图1，点在射线上，，，则点是点A关于点O的反演点，反演幂为12；反之，点A也是点关于点O的反演点，反演幂为12． 【基础理解】 (1)如图1，点O为反演中心，点是点A关于点O的反演点，反演幂为24．若，则_______； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以点A为反演中心，利用无刻度的直尺和圆规作出点B的反演点D，反演幂为9．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 (3)如图3，为的直径，弦于点E．P，M为弦上两点，分别延长，交于Q，N，若点Q，N分别是点P，M关于点A的反演点，反演幂分别为，，试判断与的数量关系，并说明理由． (4)如图4，已知的半径为5，点A为上一定点，点P为上的动点（不与点A重合），若点Q为点P关于点A的反演点，反演幂为40，则点Q不在外部的路径是_______（填“线段”或“圆弧”），请说明理由，并直接写出此路径的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)线段，理由见解析， 【分析】（1）根据题意得到，即可求出答案； （2）以点和分别为圆心，大于为半径画弧，交于，两点连接，交于点，以点为圆心为直径作圆，交于点； （3）连接，，证明，得到，再根据点是点关于点的反演点，得到，同理得到，即可得到结论； （4）连接，作直径，在上取一点，使得，连接，，证明，得到，点在过点且垂直于直径的直线上，路径不在圆外的部分是线段． 【详解】（1）解：反演幂为24， ， ， ； （2）解：以为直径作圆，交于点； ∴点即为所求作的点； 由尺规作图可知，， ，，， ， ， ， 在中， ， ； （3）解：． 理由如下：连接，， ， ， 是直径， ， ，又， ， ， 即， ∵点是点关于点的反演点， ， ． 同理，． ． （4）解：线段． 理由如下： 连接，作直径，在上取一点，使得，连接，， 点为点关于点的反演点，反演幂为40， ， ， ， ， 又， ， ， 是直径， ， ， ， 点在过点且垂直于直径的直线上， 路径不在圆外的部分是线段． 路径的长为． 【点睛】 【变式1】（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 【答案】(1)；；； (2)，证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合勾股定理求出的值，即可求解；连接，根据直角三角形的性质得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，，根据平行线的性质和等角对等边得出，根据勾股定理求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据勾股定理推得，据此即可证明； （3）连接，交于点，与交于点，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据平行线的性质得出，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，求得，根据平行四边形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据中线的定义得出，分别是的中线，结合（2）的结论，即可求解； （4）过点作轴于点，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，等量代换得出，即可证明． 【详解】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， 故 ∵ 故． 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，，； ，， ∴， ∴， 在中，， 故， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， ，， ， 故， 在中，， ， 在中，， 在中，， 故，， 即，，． （2）猜想：， 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，， 即，， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， 则， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 故， ， 整理，得． （3）如图所示，连接，交于点，与交于点， ∵点、G分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵点，分别是，的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ∴， ． （4）如图所示，过点作轴于点，连接， 即， 根据题意可得， ∴． 在中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 又， 故． ∴点为线段的黄金分割点． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）项目背景：扬州某物流园区引入智能分拣系统，该系统通过摄像头识别货物轮廓，并借助直角坐标系确定货物形状“最小包围矩形”（即目标矩形）的尺寸．该系统中目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于坐标轴，货物形状近似图形的所有点都在矩形内部或边上，且矩形面积最小．设目标矩形的竖直边长与水平边长的比为k，称k为目标矩形的形态比． 例如：某货物形状近似图形为圆形，识别后如图1，则其目标矩形形态比为． (1)如图2，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为线段，端点坐标为，，则其目标矩形的形态比 ． (2)如图3，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为抛物线，其表达式为，该抛物线经过点，且其目标矩形的形态比，水平边长为8个单位．求该抛物线的表达式，并求出目标矩形的面积． (3)如图4，智能分拣系统识别了某货物形状近似图形为反比例函数的一支．过曲线上两点、分别作坐标轴的平行线，围成目标矩形．设该目标矩形的面积为S． 求证：该目标矩形形态比； 若，是否存在目标矩形，使其同时满足面积且形态比？若存在，请直接求出满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)见解析，存在；， 【分析】（1）根据目标矩形的形态比的定义即可求解； （2）由目标矩形定义可得点是抛物线的顶点，即可求解； （3）根据目标矩形的形态比的定义即可求解； 由目标矩形的面积且形态比，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：将代入，得， ∴抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴结合目标矩形定义可得，点是抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴， 解得， ∴抛物线表达式为：， 矩形面积． （3）① 证明：∵、，， ∴， ， ∴， ∴． ② 存在． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 把代入，得， ∵， ∴， 联立， 由得， 把代入得，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去） ∴， ∴，． （60分钟限时练） 1．（2025·江苏宿迁·二模）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点为“新奇点”．若点是“新奇点”，则点在第________象限． 【答案】三/3 【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义． 根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出的值，从而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点是“新奇点”， ∴． 解得：． ∴． ∴点M的坐标为． ∵， ∴点在第三象限， 故答案为：三． 2．（2026·江苏无锡·一模）已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（   ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】  对于每个函数，需要计算，并与进行比较，看是否满足． 【详解】解： 设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 判断结论① ：已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确；   判断结论②：  对于函数， ∴，， ∴， 当时，，，而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误； 判断结论③：  已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． 由于， ∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确； 判断结论④：  已知函数，当时， ∴，， ∴，整理，得， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确． 综上，正确的是①③④，答案选D． 3．（2025·江苏无锡·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是________；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为________． 【答案】 8 或 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据题意得到，由此即可可得满足条件的“智惠数”中最大的数，设，（是正整数），由此列举判定即可． 【详解】解：，叫做“智惠数”，若， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值， ∵， ∴当时，， ∴满足条件的“智惠数”中最大的数是； 已知， ∴，， ∴是完全平方数， 能被整除， 设，（是正整数）， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴符合条件的：或，对应的“智惠数”的值为或； 故答案为：①；②或 ． 4．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 5．（2026·江苏无锡·一模）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（   ） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据“奇对称点”定义，若在上，在上，则有解即存在奇对称点，奇对称值为，逐个验证四个结论即可． 【详解】解：设在上，由关于原点对称得在上，因此满足，，即，奇对称值为． ① 对，，代入得： ， 解得，方程有解，存在奇对称点，①正确． ② 对，， 代入得：， 整理得， 解得或． 当时，，奇对称值为； 当时，，奇对称值为， 因此奇对称值为或，②错误． ③ 奇对称值为，因此， ，得， 代入得：， 整理得， 解得或． 由，得 ， 当时，； 当时，， 因此或，③正确． ④ ，， 因此，，得 ， 代入条件得：， 整理得． ， 当时，， 当时，， 因此，④正确． 综上所述，①③④正确． 6．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据“级和值点”的定义将问题转化为二次函数与直线在范围内有两个不同交点，结合一元二次方程根的判别式和端点值分析即可求解． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，由定义得，整理得， 在的范围内，二次函数的图象上存在两个“级和值点”， 二次函数的图象与直线在的范围内有两个不同交点， 联立方程， 消去整理得， 当直线与抛物线相切时，只有一个交点，此时一元二次方程的判别式， 解得， 此时交点横坐标为， 当直线经过二次函数的端点时，将代入得， 解得， 此时方程的根为，，均满足，此时存在两个交点； 当时，方程的较大根大于，只有一个根满足，不符合题意， 当时，只有一个交点或无交点，不符合题意； 因此的取值范围为． 7．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点既在函数的图像上，又在函数的图像上，且满足，则称点为这两个函数的一个“非负公共点”．例如，点就是函数和函数的一个“非负公共点”．现有函数和．已知它们存在“非负公共点”．下列说法： ①的值可以是3； ②的值可以是1； ③若仅存在一个“非负公共点”，则； ④若存在两个“非负公共点”，则． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据“非负公共点”的定义，联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的问题，结合得交点横坐标，再分别判断四个说法的正误． 【详解】解：∴联立 整理得 ∵点是两个函数的非负公共点， ∴，且，即； 对于一元二次方程，判别式 ①当时，， ∴方程的解为 由方程的两根都满足，存在非负公共点，故①正确； ②当时，，方程无实根，不存在公共点，故②错误； ③仅存在一个非负公共点分两种情况： 当，则， ∴，此时方程根为，满足条件； 当，则 即， 则方程一个根大于2，一个根小于等于2， 设，开口向上， 则，那么 解得，此时也仅一个非负公共点， ∴仅存在一个非负公共点时，或，故③错误； ④若存在两个非负公共点，需要， 解得，不是，故④错误； 综上，正确的说法只有1个． 8．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①当时，为定值；② (3)或 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）先求出，再分时、时、三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的“2型相关量”， 则； （2）解：①由题意得：， 当时，为定值； ②， 若随的增大而减小，则，即； （3）解：由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为r，点P是上一点．对平面内的一点Q，先将点Q关于点O作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径r的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点Q关于半径的反射平移点． 如图，已知点． (1)点P是上的动点，当时，在中，可能是点A关于半径的反射平移点的是 ． (2)设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线l经过A． ①在上述条件下， ； ②当P的坐标为时，如果线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部．直接写出点B的横坐标的取值范围； ③当P在y轴的正半轴上时，如果线段上存在点C，使点C关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径r的取值范围． 【答案】(1)， (2)①2；②；③ 【分析】（1）根据新定义可得在为圆心，1为半径的圆上，进而根据点的坐标到的距离为1，即可求解； （2）①根据经过点A，列方程即可得到结论； ②线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移，得出，则进而得出，结合图形即可求解； ③当与相切时，同①得出，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点关于O的对称点， ∵，则在为圆心，1为半径的圆上，如图1所示， ∵， ∴，则在上， 故答案为：，； （2）解：①∵经过点， ∴， 故答案为：2； ②由①得， 如图2所示，线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移， 当时，，则，当时，，则，即点A，N重合， ∴，， ∴，则， ∵线段经过反射平移后与y轴的夹角不变， ∴， ∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形， ∴， ∴，， 结合图形，可得线段上一点B关于半径的反射平移点在上或内部时，； ③如图3所示，当与相切时，为临界值； 延长交于点T，作轴，则， ∴， ∴， ∵轴，则， 又∵， ∴， 解得， ∴线段上存在点C，使点C关于半径的反射平移点在上，的半径r的取值范围为：． 【点睛】本题是圆、代数几何综合题，运算能力，推理能力，考查了几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $