易错10 统计与概率（6大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错10统计与概率 目录导航 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例避坑攻略类题巩固 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错典例 【典例01】图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（    ） A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【错因分析】读图不仔细，看错组别、比例、数量；不会将图表信息转化为计算条件。 避坑攻略 【技巧点拨】 读图先看标题、横轴、纵轴；计算前先求总数，用“频数=总数×比例”统一数量；多个图表结合时，对应好同一组数据。 【知识链接】 条形图看数量、扇形图看比例、折线图看变化、频数分布表看分组与频数；计算时需结合总数、比例、频数之间的关系。 类题巩固 1．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（    ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 2．（2024·北京东城·二模）从1980年初次征战冬奥会，到1992年取得首枚冬奥会奖牌，再到2022年北京冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会的比赛项目常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论： ①中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次； ②中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次； ③中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高； ④中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数． 上述结论中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·广东深圳·模拟预测）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（   ） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错典例 【典例02】一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【错因分析】概念认知偏差，忽略中位数“必须先排序”的核心步骤，直接按原始数据找中间位置；对众数“可多个”的特点不熟悉，误以为一组数据只有一个众数。 避坑攻略 【技巧点拨】 求中位数时，无论数据是否整齐，第一步一定排序；数清数据个数，判断奇偶再定位中间值；找众数时统计每个数据出现次数，避免漏看重复出现的数据。 【知识链接】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后，数据个数为奇数时取最中间的数，偶数时取最中间两个数的平均数；中位数必须先排序才能确定。 类题巩固 1．（2026·上海徐汇·二模）某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是15 B．众数是15 C．中位数是75 D．众数是85 2．（2026·江苏苏州·一模）2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错典例 【典例03】为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【错因分析】概念混淆，不区分数据是否有权重，一律用算术平均数计算；遇到频数、次数、百分比等权重信息时，不会套用加权平均数公式。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目中出现“次数、频数、比例、权重、占比”等关键词时，一定用加权平均数；计算时先算总权重，再算数据乘权重之和，最后相除；无权重信息时才用普通算术平均数。 【知识链接】 算术平均数是所有数据之和除以数据个数；加权平均数是不同重要程度的数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，权重体现数据的“占比”“次数”“频率”。 类题巩固 1．（2026·江苏盐城·一模）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（   ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 2．（2026·浙江湖州·一模）为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下： (1)求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数； (2)全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数． 3．（2026·陕西咸阳·一模）3月1日，新版《环境空气质量标准》正式实施，调高“好空气”的“标尺”，我国大气污染防治步入更严要求、更高标准的新阶段．某校为了解学生对《环境空气质量标准》内容的知晓情况，对全校学生进行了问卷调查（共10小题，每题1分），并随机抽取了50名学生的得分（均不低于6分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生问卷调查得分的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求所抽取学生问卷调查得分的平均数； (3)若该校共有900名学生，请你估计此次问卷调查得分为满分的学生人数． 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错典例 【典例04】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【错因分析】公式记忆错误，漏算平方、忘记求平均数，或混淆方差与标准差的关系；理解偏差，搞反方差大小与稳定性的关系。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记方差计算三步“算平均→作差平方→再求平均”；判断稳定性时，直接看方差，方差小更稳定；计算完成后检查是否平方、是否求平均，避免步骤遗漏。 【知识链接】 方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据波动大小；方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定；标准差是方差的算术平方根。 类题巩固 1．（2026·河南安阳·一模）下表为某空气质量监测站一周的监测数据： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 天气 多云 多云 阴 阴 多云 扬沙 中雨 日均空气污染指数 90 100 120 110 80 180 20 经计算，日均空气污染指数一周数据的平均数为100，方差约为1971．若排除周六扬沙和周日中雨对空气污染指数的影响，仅计算周一到周五的日均空气污染指数，平均数仍为100，方差的计算结果会_____（填“变大”或“变小”）． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 3．（2024·山东青岛·三模）已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为______． 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错典例 【典例05】一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是_______． 【错因分析】思维片面，默认参数为某一固定值，不进行分类讨论；无法结合众数、中位数的定义分析参数可能的范围。 避坑攻略 【技巧点拨】 含参题目先圈出要求的统计量，众数按“出现次数最多”分类，中位数按“排序后位置”分类；列出参数所有可能情况，逐一验证是否符合定义，确保不丢解。 【知识链接】 当数据中含有字母参数时，众数、中位数、平均数会随参数取值不同而变化，必须按概念要求分类讨论参数的不同情况。 类题巩固 1．（2024·湖北·一模）下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 2．（2025·江苏盐城·一模）一组由7个整数组成的数据：9，4，，7，，5，10，它们的中位数与众数相同，则满足条件的值共有______个． 3．（2023·24八年级下·全国·课后作业）某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________棵． 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 易错典例 【典例06】已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【错因分析】 审题粗心，忽略“放回”“不放回”“一次性抽取”等关键条件；模型混淆，放回与不放回的计算方法混用，导致概率结果错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 做题先圈关键词，“放回”总数不变，“不放回”总数递减；不放回问题用树状图或列表法，不重复、不遗漏；计算前先确定样本空间总数是否变化。 【知识链接】 放回抽样，总数不变，每次概率相同，事件相互独立；不放回抽样，总数逐次减少，概率变化，可用树状图或列表法计算，不出现重复项。 类题巩固 1．（2024·广东佛山·模拟预测）有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 2．（2025·26九年级上·河南洛阳·期末）小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数； (3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 3．（2024·四川乐山·二模）活动1： 在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，请你通过画树状图或列表计算甲胜出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球） 活动2： 在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序： → → ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，通过画树状图或列表求每位同学胜出的概率分别是多少. 猜想： 在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，（为正整数）的个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学按任意顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：直接写出这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系. 由此你能得到什么活动经验？（写出一个即可） 易●错●闯●关 1．（2024·山东泰安·三模）如图是泰安市2024年3月上旬的每天气温绘成的折线统计图，则下列四个结论：①3月上旬某天最大温差为；②3月上旬最高气温的众数是5；③3月上旬最低气温平均数是；④3月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·甘肃临夏·一模）如图是国家统计局年月日发布的年国内生产总值及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论不正确的是（    ） A．年我国国内生产总值突破了万亿元 B．年至年期间国内生产总值持续上升 C．年至年期间，年国内生产总值的年实际增长速度最快 D．与年相比，年国内生产总值增长速度下降，说明年国内生产总值低于年国内生产总值 3．（2026·河南·一模）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2026·宁夏银川·一模）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 及以下 人数 则本次测试成绩的中位数是________． 5．（2025·26九年级下·江苏泰州·月考）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 6．（2026·福建福州·模拟预测）为进一步提高全民“节约用水”意识，某校组织学生进行家庭月用水量情况调查，小丽随机抽查了所住小区若干户家庭的月用水量，并根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中信息，解答下列问题： (1)月用水7吨的用户数为___________； (2)求本次调查中的所有家庭的月平均用水量；并估计小丽所住小区400户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数． 7．（2026·浙江·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在一次训练中各射击5次，成绩统计如下：已知乙成绩的方差为，则对甲、乙射击成绩的稳定性判断正确的是（   ） A．甲的射击成绩更稳定 B．乙的射击成绩更稳定 C．甲、乙射击成绩稳定性相同 D．无法比较两人的射击成绩稳定性 8．（2026·全国·模拟预测）根据下表中的信息解决问题：若该组数据的中位数不大于13，则a可以取到的最大正整数是_______． 数据 12 13 14 15 16 频数 6 4 5 a 1 9．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则数据是______． 10．（2025·河南信阳·模拟预测）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是________． 11．（2026·江苏南通·一模）某超市对种商品的销售价格进行调整，据统计，调整前后各商品的日均销售量不变．有关数据如下表： 商品 原售价（元/件） 现售价（元/件） 日均销售量（件） (1)超市声称调整前后这种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ (2)然而部分消费者认为调整后这种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？ 12．（2025·陕西西安·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错10统计与概率 目录导航 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例避坑攻略类题巩固 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 统计图表读图错误，信息提取不全 易错典例 【典例01】图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论： ①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（    ） A．④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：该书店4月份的营业总额是：182- (30+ 40+ 25+ 42) = 45（万元），故①正确；5月份“党史”类书籍的营业额是42 ×25% = 10.5(万元)，故②正确；4月份“党史”类书籍的营业额是45 ×20% = 9(万元)，10.5＞9，故③错误；1一3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，而4月份“党史”类书籍的营业额又小于5月份“党史”类书籍的营业额，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了的是条形统计图和折线统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息． 【错因分析】读图不仔细，看错组别、比例、数量；不会将图表信息转化为计算条件。 避坑攻略 【技巧点拨】 读图先看标题、横轴、纵轴；计算前先求总数，用“频数=总数×比例”统一数量；多个图表结合时，对应好同一组数据。 【知识链接】 条形图看数量、扇形图看比例、折线图看变化、频数分布表看分组与频数；计算时需结合总数、比例、频数之间的关系。 类题巩固 1．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（    ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确； 对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确； 对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台）， ∵， ∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误； 对于选项D：∵， ∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确． 2．（2024·北京东城·二模）从1980年初次征战冬奥会，到1992年取得首枚冬奥会奖牌，再到2022年北京冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会的比赛项目常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论： ①中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次； ②中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次； ③中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高； ④中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数． 上述结论中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由题意可知，中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次， 故①说法正确； 中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次，故②说法正确； 中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数在1992年和1994年持平，2018年奖牌数为5枚，比1998年的7枚少，故③说法错误； 中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数，故④说法正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查折线统计图和条形统计图，利用数形结合的方法是解决问题的关键． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）为备战区级春季田径运动会，李明和王华踊跃参加了学校运动队“100米短跑”项目的5期集中训练．根据两人每期集训的时间、每期集训后的测试成绩绘制成如下两个统计图． 以下四个结论中错误的是（   ） A．5期“100米短跑”集训的时间共计是56天 B．第1~3期的测试中，李明始终比王华跑得快 C．在这5期集训期间，李明、王华两人在第2期的测试成绩最为接近 D．相邻两期的测试成绩作比较，李明在第3期的成绩较之他第2期进步最大 【答案】C 【详解】解：A、5期“100米短跑”集训的时间共计是：（天），故本项结论正确，不符合题意； B、第1~3期测试中，李明始终比王华跑得快，故本项结论正确，不符合题意； C、计算每期两人成绩的差值：第1期：秒；第2期：秒；第3期：秒；第4期：秒；第5期：秒；第5期差值最小，故本项结论错误，符合题意； D、，故李明第3期的成绩较之他第2期进步最大，结论正确，不符合题意． 易错02 求中位数和众数时不排序出错 易错典例 【典例02】一组数据2，6，8，7，3，9，x，这组数据的中位数是6，x的值可以为（    ） A．9 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【详解】解：∵这组数据共有7个数据，且7是奇数， ∴该组数据的中位数是从小到大排序后第4个数据； ∵该组数据中位数为6， ∴排序后第4个数为6. 将除x外的已知数据从小到大排序得：. 要使排序后第4个数为6，需满足； 观察选项，只有D选项的4满足条件 【错因分析】概念认知偏差，忽略中位数“必须先排序”的核心步骤，直接按原始数据找中间位置；对众数“可多个”的特点不熟悉，误以为一组数据只有一个众数。 避坑攻略 【技巧点拨】 求中位数时，无论数据是否整齐，第一步一定排序；数清数据个数，判断奇偶再定位中间值；找众数时统计每个数据出现次数，避免漏看重复出现的数据。 【知识链接】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，一组数据的众数可能不止一个；中位数是将数据从小到大或从大到小排列后，数据个数为奇数时取最中间的数，偶数时取最中间两个数的平均数；中位数必须先排序才能确定。 类题巩固 1．（2026·上海徐汇·二模）某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是15 B．众数是15 C．中位数是75 D．众数是85 【答案】C 【详解】解：由图可知： 将50人的成绩从小到大排序，第25、26位均为75分，因此中位数是， 故A选项说法错误，不合题意，C选项说法正确，符合题意； 75，85均出现了15次，因此众数是75，85， 故B，D选项说法错误，不合题意． 2．（2026·江苏苏州·一模）2026年江苏省城市足球联赛整体球员平均年龄为22．32岁，以下是部分球员的年龄（单位：岁）：22，20，23，17，18，21，18，18，24，20．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．18和20 B．18和21 C．20和18 D．20和21 【答案】A 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中18出现3次，次数最多 ∴众数为18 ∵这组数据共10个，为偶数个，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为第5个和第6个数，即20和20 ∴中位数为 因此这组数据的众数和中位数分别是18和20． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【答案】 【详解】解：、、、、有唯一众数， 、、、、这组数中的众数为， 、、的平均数与、、、、的唯一众数相同， 、、的平均数为， ∴ ， 这个数这个数为， 从小到大排列依次是：、、、、、、、， 这个数的中位数是．nn 易错03 混淆平均数和加权平均数 易错典例 【典例03】为了解某辖区老人健康意识和锻炼习惯，随机调查了辖区内部分岁以上老人一个月在本小区健身设施上的锻炼情况，统计了一个月来他们的锻炼次数，并将调查数据加以整理： 组别 锻炼次数 频数 频率 请根据以上信息解答下列问题： (1)__________；__________； (2)补全频数分布直方图； (3)若，，，，，这六组数据的平均数分别为，，，，，，估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)估计该小区岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【分析】 【详解】（1）解：调查人数为：（人）， ∴ （人）， ∴， 故答案为：，； （2）解：补全频数分布直方图，如图， （3）解： ． 所以估计该小区65岁以上老人一个月的平均锻炼次数是 ． 【错因分析】概念混淆，不区分数据是否有权重，一律用算术平均数计算；遇到频数、次数、百分比等权重信息时，不会套用加权平均数公式。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目中出现“次数、频数、比例、权重、占比”等关键词时，一定用加权平均数；计算时先算总权重，再算数据乘权重之和，最后相除；无权重信息时才用普通算术平均数。 【知识链接】 算术平均数是所有数据之和除以数据个数；加权平均数是不同重要程度的数据乘以对应权重后求和，再除以权重总和，权重体现数据的“占比”“次数”“频率”。 类题巩固 1．（2026·江苏盐城·一模）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（   ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 【答案】C 【详解】解：∵这5名同学的平均成绩为80， ∴丙同学的成绩为， ∵这5名同学的成绩中，成绩为80的人数最多， ∴众数为80， ∴缺失的两个数据依次为80，80． 2．（2026·浙江湖州·一模）为丰富同学们的课余生活，学校举办“校园十佳歌手”比赛，邀请全校同学当评委对每个节目进行打分（满分5分），该校九年级同学对其中一个节目的打分情况统计结果如下： (1)求九年级同学对该节目打分的众数、中位数和平均数； (2)全校共有学生1200人，请根据统计信息，估计全校打分在4分及以上的总人数． 【答案】(1)众数是5分，中位数是分，平均数是分 (2)估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人． 【分析】 【详解】（1）解：5分的占比最高，所以众数是5分， 先将所有打分按从小到大排序，累计占比： 2分→3分(累计)→4分(累计)→5分(累计)， 中位数是第和第位置的数， 所以中位数是（分）， 计算加权平均数： （分）， （2）解：（人）， 答：估计全校打分在4分及以上的总人数约为1080人． 3．（2026·陕西咸阳·一模）3月1日，新版《环境空气质量标准》正式实施，调高“好空气”的“标尺”，我国大气污染防治步入更严要求、更高标准的新阶段．某校为了解学生对《环境空气质量标准》内容的知晓情况，对全校学生进行了问卷调查（共10小题，每题1分），并随机抽取了50名学生的得分（均不低于6分），将调查结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，所抽取学生问卷调查得分的中位数是___________分，众数是___________分； (2)求所抽取学生问卷调查得分的平均数； (3)若该校共有900名学生，请你估计此次问卷调查得分为满分的学生人数． 【答案】(1)见解析，8，8 (2)8.44分 (3)180名 【分析】 【详解】（1）解：得分为7分的人数为； 补全条形统计图如图所示． 将数据排序后第25和第26个数据均为8，故中位数为8； 出现次数最多的数据为8，故众数为8； （2）解：（分）， 答：所抽取学生问卷调查得分的平均数是8.44分． （3）解：（名）， 答：估计此次问卷调查得分为满分的学生人数为180名． 易错04 对方差公式记忆与应用出错 易错典例 【典例04】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【答案】11 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为5，8，8，14，15，16， ∴这组数据的平均数． 【错因分析】公式记忆错误，漏算平方、忘记求平均数，或混淆方差与标准差的关系；理解偏差，搞反方差大小与稳定性的关系。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记方差计算三步“算平均→作差平方→再求平均”；判断稳定性时，直接看方差，方差小更稳定；计算完成后检查是否平方、是否求平均，避免步骤遗漏。 【知识链接】 方差是各数据与平均数差的平方的平均数，反映数据波动大小；方差越大，波动越大、越不稳定；方差越小，波动越小、越稳定；标准差是方差的算术平方根。 类题巩固 1．（2026·河南安阳·一模）下表为某空气质量监测站一周的监测数据： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 天气 多云 多云 阴 阴 多云 扬沙 中雨 日均空气污染指数 90 100 120 110 80 180 20 经计算，日均空气污染指数一周数据的平均数为100，方差约为1971．若排除周六扬沙和周日中雨对空气污染指数的影响，仅计算周一到周五的日均空气污染指数，平均数仍为100，方差的计算结果会_____（填“变大”或“变小”）． 【答案】变小 【详解】解：仅计算周一到周五的日均空气污染指数，方差为 ， ∵， ∴方差变小． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵ ∴ 3．（2024·山东青岛·三模）已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为______． 【答案】5 【分析】 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 解得：， 则的平均数为：5， 故答案为：5． 易错05 含参数求数据特征时考虑不全面 易错典例 【典例05】一组数据5，7，x，7中位数与平均数相等，则x的值是_______． 【答案】5或9/9或5 【详解】解：当时，中位数与平均数相等，则得到：，解得； 当时：，解得：； 当时：，解得，舍去． 所以x的值为5或9． 故答案为：5或9． 【点睛】本题考查中位数，算术平均数．掌握中位数和算术平均数的定义是解题的关键． 【错因分析】思维片面，默认参数为某一固定值，不进行分类讨论；无法结合众数、中位数的定义分析参数可能的范围。 避坑攻略 【技巧点拨】 含参题目先圈出要求的统计量，众数按“出现次数最多”分类，中位数按“排序后位置”分类；列出参数所有可能情况，逐一验证是否符合定义，确保不丢解。 【知识链接】 当数据中含有字母参数时，众数、中位数、平均数会随参数取值不同而变化，必须按概念要求分类讨论参数的不同情况。 类题巩固 1．（2024·湖北·一模）下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为________． 【答案】0 【分析】 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为：， 由题意可知分为三种情况， 将原数据除去m后从小到大排序为5， 7， 8， 10， 15； ①当时，排序后数据的中间两数为7， 8，则中位数为中位数为， 由题意得，解得，满足，故此情况成立； ②当时，排序后数据的中间两数为8， m，则中位数为， 由题意得：，解得，不满足，故此情况不成立； ③当时，排序后数据的中间两数为8， 10，则中位数为， 由题意得：，解得．不满足，故此情况不成立． 综上所述，m的值为0． 故答案为：0． 2．（2025·江苏盐城·一模）一组由7个整数组成的数据：9，4，，7，，5，10，它们的中位数与众数相同，则满足条件的值共有______个． 【答案】5 【详解】解：当a=5时，这7个数按从小到大排列为4，5，5，5，7，9，10， 所以中位数为5，众数为5，此时中位数与众数相同； 当a=6时，这7个数按从小到大排列为4，5，6，6，7，9，10， 所以中位数为6，众数为，6，此时中位数与众数相同； 当a=7时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，7，7，9，10， 所以中位数为7，众数为7，此时中位数与众数相同； 当a=8时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，8，8，9，10， 所以中位数为8，众数为8，此时中位数与众数相同； 当a=9时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，9，9，9，10， 所以中位数为9，众数为9，此时中位数与众数相同； ∴满足条件的a的值为5，6，7，8，9，共5个． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 3．（2023·24八年级下·全国·课后作业）某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________棵． 【答案】10 【分析】 【详解】当众数是10时， 众数与平均数相等， ， 解得：， 将这组数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，10，12， 中位数为10， 当众数是12时， 众数与平均数相等， ， 解得：，不符合题意舍去 当众数是8时， 众数与平均数相等， ， 解得：，不符合题意舍去 故这组数据的中位数为10． 故答案为：10． 易错06 没看清放回还是不放回导致概率计算错误 易错典例 【典例06】已知一个不透明的抽奖箱装有2张一等奖券和2张二等奖券，它们除等级外无其他差别．从中任意摸出一张奖券不放回再摸出第二张奖券，恰好两张均摸到一等奖券的概率为______． 【答案】 【分析】 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共有12种，符合条件的有2种， 因此，恰好两张均摸到一等奖券的概率为， 故答案为：． 【错因分析】 审题粗心，忽略“放回”“不放回”“一次性抽取”等关键条件；模型混淆，放回与不放回的计算方法混用，导致概率结果错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 做题先圈关键词，“放回”总数不变，“不放回”总数递减；不放回问题用树状图或列表法，不重复、不遗漏；计算前先确定样本空间总数是否变化。 【知识链接】 放回抽样，总数不变，每次概率相同，事件相互独立；不放回抽样，总数逐次减少，概率变化，可用树状图或列表法计算，不出现重复项。 类题巩固 1．（2024·广东佛山·模拟预测）有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（　　） A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球 B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球 C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出2个球 D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出2个球 【答案】B 【详解】解：观察树形图可得：袋子中共有红，黄，蓝三个小球， 此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球． 故选：B． 【点睛】此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验． 2．（2025·26九年级上·河南洛阳·期末）小洛和他的伙伴们设计了一个摸球试验：将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋，每次搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．在老师的帮助下，小洛和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数 2000 4000 6000 7000 8000 9000 10000 摸到黑球的次数 478 1027 1460 1728 2017 2234 2509 摸到黑球的频率 0.239 0.257 0.243 0.247 0.252 0.248 0.251 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是_____；(保留两位小数) (2)估算袋中白球的个数； (3)按照（2）的估算结果，若小洛同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1)； (2)个； (3) 【分析】 【详解】（1）解：由表格数据可知，随着摸球次数增多，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右， ∴估计从袋中摸出一个黑球的概率是； 故答案为：． （2）解：设袋中白球有个， ∵摸出黑球的概率估计为，袋中总球数为个， ∴，解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义； 答：袋中白球的个数为3个． （3）解：设黑球为，三个白球分别为、、，画树状图如下： 由树状图可以看出，共有种等可能的结果，其中摸出一个黑球一个白球的结果有种， ∴(摸出一个黑球一个白球)． 3．（2024·四川乐山·二模）活动1： 在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，请你通过画树状图或列表计算甲胜出的概率.（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球） 活动2： 在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序： → → ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，通过画树状图或列表求每位同学胜出的概率分别是多少. 猜想： 在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，（为正整数）的个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学按任意顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：直接写出这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系. 由此你能得到什么活动经验？（写出一个即可） 【答案】（1）；（2）丙→甲→乙，，，；（3）抽签是公平的，与顺序无关. 【分析】 【详解】（1）解（1）如图 （甲胜出） （2）如图2 对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，则第一个摸球的丙同学胜出的概率等于，第二个摸球的甲同学胜出的概率等于，最后一个摸球的乙同学胜出的概率等于. （3）这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为： （甲胜出）=（乙胜出）=（丙胜出） 得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关. 【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键. 易●错●闯●关 1．（2024·山东泰安·三模）如图是泰安市2024年3月上旬的每天气温绘成的折线统计图，则下列四个结论：①3月上旬某天最大温差为；②3月上旬最高气温的众数是5；③3月上旬最低气温平均数是；④3月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：由统计图可知，3月上旬某天最大温差为，故①说法错误； 3月上旬最高气温和都出现了3次， ∴3月上旬最高气温的众数是5和7，故②说法错误； ， ∴3月上旬最低气温平均数是，故③说法正确； 由统计图可知，最高气温的波动比最低气温的波动要大，即3月上旬最高气温的方差大于最低气温的方差，故④说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选；A． 2．（2026·甘肃临夏·一模）如图是国家统计局年月日发布的年国内生产总值及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论不正确的是（    ） A．年我国国内生产总值突破了万亿元 B．年至年期间国内生产总值持续上升 C．年至年期间，年国内生产总值的年实际增长速度最快 D．与年相比，年国内生产总值增长速度下降，说明年国内生产总值低于年国内生产总值 【答案】D 【详解】解：、年我国国内生产总值为亿元，即约万亿元，突破了万亿元，此选项结论正确，不符合题意； 、年至年期间，国内生产总值的数值依次为、、、、，持续上升，此选项结论正确，不符合题意； 、年至年期间，各年的增长速度分别为、、、、，其中年的增长速度最大，即增长最快，此选项结论正确，不符合题意； 、与年相比，年国内生产总值增长速度由下降至，仅表示增长幅度变小，但增长率仍为正数，年国内生产总值亿元仍高于年的亿元，此选项结论不正确，符合题意． 3．（2026·河南·一模）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）在12~16之间，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：由题图数据可知，年龄小于14岁的有人，大于14岁的有人， ∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等， ∴其众数也是14岁， 岁的队员最少有3人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 4．（2026·宁夏银川·一模）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 及以下 人数 则本次测试成绩的中位数是________． 【答案】 【详解】解：由题意得，这组数据共有个，将数据从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数． 累计人数可得，成绩为及以下和的数据共有个， 因此第个和第个数据均为， 则中位数为 5．（2025·26九年级下·江苏泰州·月考）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 6．（2026·福建福州·模拟预测）为进一步提高全民“节约用水”意识，某校组织学生进行家庭月用水量情况调查，小丽随机抽查了所住小区若干户家庭的月用水量，并根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中信息，解答下列问题： (1)月用水7吨的用户数为___________； (2)求本次调查中的所有家庭的月平均用水量；并估计小丽所住小区400户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数． 【答案】(1)4 (2)吨，户 【分析】 【详解】（1）解：因为月用水量8吨和9吨用户为，占， 所以总用户数为， 因为月用水量6吨和7吨用户占， 所以月用水量7吨用户有； （2）解：平均用水量为（吨） 小丽所住小区400户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数为（户）． 7．（2026·浙江·模拟预测）甲、乙两名射击运动员在一次训练中各射击5次，成绩统计如下：已知乙成绩的方差为，则对甲、乙射击成绩的稳定性判断正确的是（   ） A．甲的射击成绩更稳定 B．乙的射击成绩更稳定 C．甲、乙射击成绩稳定性相同 D．无法比较两人的射击成绩稳定性 【答案】A 【详解】甲的成绩为，，，，， 根据平均数的定义可得， 方差为：， ∵ ∴， 根据方差的性质，方差越小成绩越稳定，所以甲的成绩更稳定． 8．（2026·全国·模拟预测）根据下表中的信息解决问题：若该组数据的中位数不大于13，则a可以取到的最大正整数是_______． 数据 12 13 14 15 16 频数 6 4 5 a 1 【答案】3 【分析】 【详解】解：设总数据个数为N，则，其中数据小于等于13的个数为10， 中位数不大于13，需分情况讨论： 当N为奇数时，中位数为第个数据，需满足，即， ∴，得， 当N为偶数时，中位数为第和个数据的平均值，需满足，即， ∴，得， a为正整数，结合上述条件，a可取值为1、2、3，其中最大正整数为3． 故答案为：3． 9．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则数据是______． 【答案】或 【详解】解：一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4， 数据是1或2． 故答案为：1或2． 10．（2025·河南信阳·模拟预测）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是________． 【答案】 【详解】解：设“学”用A表示，“习”用B表示，“强”用C表示，“国”用D表示， 画树状图如下： ∴共有12种等可能的情况，其中两次摸出的球上的汉字组成“强国”的情况有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是． 11．（2026·江苏南通·一模）某超市对种商品的销售价格进行调整，据统计，调整前后各商品的日均销售量不变．有关数据如下表： 商品 原售价（元/件） 现售价（元/件） 日均销售量（件） (1)超市声称调整前后这种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ (2)然而部分消费者认为调整后这种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：超市是这样计算的： 调整前的平均售价：元／件， 调整后的平均售价：元／件， ∴调整前后这种商品的平均售价不变； （2）解：部分消费者是这样计算的： 调整前的平均售价：元／件， 调整后的平均售价：元／件， ， ∴部分消费者认为调整后这种商品的平均售价增加了． 12．（2025·陕西西安·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有个红色小球和个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里， (1)请问第一次摸到白球的概率是_____： (2)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里；摇匀后，再摸出个小球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1)； (2)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 【分析】 【详解】（1）解：∵箱子里装有个红色小球和个白色小球， ∴第一次摸到白球的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 红 红 白 白 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 红 红红 红红 红红 白红 白红 白 红白 红白 红白 白白 白白 白 红白 红白 红白 白白 白白 一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $