易错09 相似三角形（5大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦相似三角形五大高频易错点，以“典例剖析-技巧提炼-类题巩固”构建系统性突破体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错01|1典例+3类题|对应点标注法、相似比顺序化|从相似表示规则到对应关系确定| |易错02|1典例+3类题|判定条件分类选择法|从判定定理到条件适配应用| |易错03|1典例+3类题|线段周长面积比口诀法|从相似比到性质链推导| |易错04|1典例+3类题|角对角分类讨论法|从模糊对应到严谨分类思想| |易错05|1典例+3类题|位似坐标同异号法|从位似性质到坐标变换规则|

易错09 相似三角形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01 找错对应边或对应角 易错02 混淆相似三角形的判定条件 易错03 混淆线段比、周长比、面积比 易错04 未确定对应关系导致漏解 易错05 求位似图形对应坐标时漏解 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 找错对应边或对应角 易错典例 【典例01】如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【错因分析】概念理解不严谨，书写相似时不按对应点顺序，导致对应边、对应角全部找错；对相似比的顺序性认识不足，容易前后颠倒造成比例错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 书写相似表达式时严格按对应点对齐，点A对应点D、点B对应点E、点C对应点F；看到相似先圈出对应顶点，再标注对应边与对应角；计算相似比时先明确“谁比谁”，避免顺序颠倒。 【知识链接】 相似三角形表示时对应点必须按顺序书写，符号“∽”自带对应关系；相似比是前一个三角形的边与后一个三角形对应边的比值，顺序不能颠倒；相似比为1时两个三角形全等。 类题巩固 1．（2025·26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，． (1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长 3．（2025·26九年级上·广西桂林·期末）如图，在纸片中，，，，现将纸片沿翻折，使点落在上的点处，若，则_____． 易错02 混淆相似三角形的判定条件 易错典例 【典例02】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【错因分析】判定定理记忆混乱，容易把“两边夹角”当成“两边对角”使用；遇到题目不会选择合适的判定方法，有平行线时想不到用平行判定，有角相等时不会优先用两角相等判定。 避坑攻略 【技巧点拨】 按条件选择判定思路，有平行就用平行判定、有一对等角再找一对等角、有两边成比例就找夹角相等、直角三角形优先找锐角相等；牢记“两边成比例必须夹角相等才相似”，非夹角一定不能用。 【知识链接】 相似三角形判定共有四种方法，平行线判定（平行出相似）、三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等；直角三角形还可通过一组锐角相等或斜边直角边成比例判定；两边成比例时必须是夹角相等才能判定相似。 类题巩固 1．（2025·广东佛山·二模）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，是的外接圆．过点作的切线，交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 易错03 混淆线段比、周长比、面积比 易错典例 【典例03】两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_______． 【错因分析】公式记忆混淆，把面积比直接当成相似比，或者把周长比当成平方关系；不会逆向由面积比求相似比。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记口诀“线段周长都一比，面积要把平方记”；已知相似比求面积直接平方，已知面积比求相似比开平方；做题先判断求的是线段、周长还是面积，再选用对应公式。 【知识链接】 相似三角形的对应线段比（边、高、中线、角平分线）等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比需要开平方。 类题巩固 1．（2024·25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，连接，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·25九年级上·陕西榆林·月考）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 3．（2025·26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． (1)若，求的长； (2)若的周长为10，则的周长为______． (3)若的面积为16，则的面积为______． 易错04 未确定对应关系导致漏解 易错典例 【典例04】如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则______． 【错因分析】思维定式严重，默认唯一一种对应情况，不考虑其他可能；不会分类讨论，导致答案不完整而失分。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目无符号、无图、无明确对应时，必须分类讨论；按“角对角”的可能组合列出所有相似情况，逐一验证是否成立；检查每种情况的边长、角度是否符合图形要求。 【知识链接】 当题目只说“两个三角形相似”但未写明对应顶点、没有给出“∽”符号时，对应关系不唯一，可能存在多种对应情况；需要按角相等或边成比例分类讨论所有可能。 类题巩固 1．（2024·湖南岳阳·三模）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（2023·24九年级上·吉林长春·月考）已知：如图，在平面点角坐标系中，是直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，． (1)求过点A、B的直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点D，连接，使得与相似，并求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，P、Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请直接写出m的值；如不存在，请说明理由． 3．（2024·25九年级上·福建三明·期中）已知：E是矩形的边上一个动点，直线交于点F， (1)求证：； (2)若直线经过C点，且，是否存在这样的点E，使和相似？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． (3)连结，若，当和相似时，则　 　． 易错05 求位似图形对应坐标时漏解 易错典例 【典例05】在中，已知点，，，以原点为位似中心画，使与位似，且面积比为，则点的对应点的坐标是______． 【错因分析】认知片面，只考虑正的位似比，忽略负比例对应的另一侧图形；没有分类讨论意识，导致答案遗漏。 避坑攻略 【技巧点拨】 坐标位似先看中心是否为原点，不是原点先转化；无明确方向时一定分“同号、异号”两种情况；写出坐标后检验是否满足位似的位置与比例要求。 【知识链接】 以原点为位似中心，相似比为k时，原坐标(x,y)对应的位似点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，即位似有同侧、异侧两种情况；题目未指明方向时必须两种都考虑。 类题巩固 1．（2025·26九年级上·山东德州·月考）在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 2．（2025·26九年级上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心画，使它与的相似比为，则点A的对应点的坐标是___________ 3．（2025·26九年级上·山西运城·月考）如图，在平面直角坐标系中，有四边形，现以点O为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比为． (1)画出四边形； (2)直接写出点的坐标． 易●错●闯●关 1．（2025·26九年级下·广东云浮·月考）如图，已知，且，，，则____． 2．（2025·26九年级上·广东佛山·期末）如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是__________． 5．（2025·26九年级上·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是________． 6．（2024·25九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比． 7．（2025·26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 8．（2025·26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 9．（2023·24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形中，，P为边上的一个动点，连接 (1)若与相似，且的长为方程的两根，求的长； (2)若点P在线段上运动时恰好存在两个位置使得与相似，求的长． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）如图①，半圆的直径，和是它的两条切线，与半圆相切于点，并与，分别相交于，两点． (1)请直接写出的度数； (2)求的值； (3)如图②，连接并延长交于点，连接，试判断能否与 相似？若能相似，请求的值；若不能相似，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错09 相似三角形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01 找错对应边或对应角 易错02 混淆相似三角形的判定条件 易错03 混淆线段比、周长比、面积比 易错04 未确定对应关系导致漏解 易错05 求位似图形对应坐标时漏解 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 找错对应边或对应角 易错典例 【典例01】如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． 【错因分析】概念理解不严谨，书写相似时不按对应点顺序，导致对应边、对应角全部找错；对相似比的顺序性认识不足，容易前后颠倒造成比例错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 书写相似表达式时严格按对应点对齐，点A对应点D、点B对应点E、点C对应点F；看到相似先圈出对应顶点，再标注对应边与对应角；计算相似比时先明确“谁比谁”，避免顺序颠倒。 【知识链接】 相似三角形表示时对应点必须按顺序书写，符号“∽”自带对应关系；相似比是前一个三角形的边与后一个三角形对应边的比值，顺序不能颠倒；相似比为1时两个三角形全等。 类题巩固 1．（2025·26九年级下·江苏扬州·开学考试）如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 2．（2025·26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，． (1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）解：所作图形如图所示， ； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 3．（2025·26九年级上·广西桂林·期末）如图，在纸片中，，，，现将纸片沿翻折，使点落在上的点处，若，则_____． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 易错02 混淆相似三角形的判定条件 易错典例 【典例02】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 【错因分析】判定定理记忆混乱，容易把“两边夹角”当成“两边对角”使用；遇到题目不会选择合适的判定方法，有平行线时想不到用平行判定，有角相等时不会优先用两角相等判定。 避坑攻略 【技巧点拨】 按条件选择判定思路，有平行就用平行判定、有一对等角再找一对等角、有两边成比例就找夹角相等、直角三角形优先找锐角相等；牢记“两边成比例必须夹角相等才相似”，非夹角一定不能用。 【知识链接】 相似三角形判定共有四种方法，平行线判定（平行出相似）、三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等；直角三角形还可通过一组锐角相等或斜边直角边成比例判定；两边成比例时必须是夹角相等才能判定相似。 类题巩固 1．（2025·广东佛山·二模）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 3．（2025·26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，是的外接圆．过点作的切线，交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：连接， ∵切圆于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴． 易错03 混淆线段比、周长比、面积比 易错典例 【典例03】两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_______． 【答案】或/或 【详解】解：设相似比为，则面积比为， 解得（负值舍去），即周长比也为， 若为较小三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 若为较大三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 综上所述，另一个三角形的周长是或． 【错因分析】公式记忆混淆，把面积比直接当成相似比，或者把周长比当成平方关系；不会逆向由面积比求相似比。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记口诀“线段周长都一比，面积要把平方记”；已知相似比求面积直接平方，已知面积比求相似比开平方；做题先判断求的是线段、周长还是面积，再选用对应公式。 【知识链接】 相似三角形的对应线段比（边、高、中线、角平分线）等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方；已知面积比求相似比需要开平方。 类题巩固 1．（2024·25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，连接，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 故A不符合题意，B不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意， 故选：C． 2．（2024·25九年级上·陕西榆林·月考）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形的周长为和 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为，     ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． 3．（2025·26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． (1)若，求的长； (2)若的周长为10，则的周长为______． (3)若的面积为16，则的面积为______． 【答案】(1) (2)30 (3)36 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为10， 的周长为， 故答案为：30； （3）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的面积为 16 ， ∴的面积． 故答案为： 36 ． 易错04 未确定对应关系导致漏解 易错典例 【典例04】如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则______． 【答案】或或 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时， ∴ ②当时， 设，则 ∴ 解得： 即或 综上所述，或或． 故答案为：或或． 【错因分析】思维定式严重，默认唯一一种对应情况，不考虑其他可能；不会分类讨论，导致答案不完整而失分。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目无符号、无图、无明确对应时，必须分类讨论；按“角对角”的可能组合列出所有相似情况，逐一验证是否成立；检查每种情况的边长、角度是否符合图形要求。 【知识链接】 当题目只说“两个三角形相似”但未写明对应顶点、没有给出“∽”符号时，对应关系不唯一，可能存在多种对应情况；需要按角相等或边成比例分类讨论所有可能。 类题巩固 1．（2024·湖南岳阳·三模）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵和相似， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，即， ∴， ②当时，， ∴， 故选：C． 2．（2023·24九年级上·吉林长春·月考）已知：如图，在平面点角坐标系中，是直角三角形，，点A、C的坐标分别为，，． (1)求过点A、B的直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点D，连接，使得与相似，并求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，P、Q分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请直接写出m的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当或或或时，与相似 【分析】 【详解】（1）解：解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， （2）解：∵点D在x轴上， ∴， ∴当与相似时，只存在和两种情况， 当 时，则此时点D与点C重合，即点D的坐标为； 当时，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为：； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：当点D的坐标为，如图，当时， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：； 如图，当时，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 同理当点D的坐标为，m的值为或； 综上所述：当或或或时，与相似． 3．（2024·25九年级上·福建三明·期中）已知：E是矩形的边上一个动点，直线交于点F， (1)求证：； (2)若直线经过C点，且，是否存在这样的点E，使和相似？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． (3)连结，若，当和相似时，则　 　． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或9 (3)4或 【分析】 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADE∽； （2）设，则， 由题意得：， ∵△ADE∽， ∴， ∴， 解得：或9， 经检验，或9是分式方程的根， ∴或9； （3）连接． 当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为4或． 【点睛】本题考查矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，根据已知条件判定三角形相似，利用对应边对应成比例列式计算是解题的关键．本题考查了一线三直角相似模型． 易错05 求位似图形对应坐标时漏解 易错典例 【典例05】在中，已知点，，，以原点为位似中心画，使与位似，且面积比为，则点的对应点的坐标是______． 【答案】或 【详解】解：∵与位似，以原点O为位似中心，且面积比为， ∴相似比为，则位似比为或， ∵， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为或． 【错因分析】认知片面，只考虑正的位似比，忽略负比例对应的另一侧图形；没有分类讨论意识，导致答案遗漏。 避坑攻略 【技巧点拨】 坐标位似先看中心是否为原点，不是原点先转化；无明确方向时一定分“同号、异号”两种情况；写出坐标后检验是否满足位似的位置与比例要求。 【知识链接】 以原点为位似中心，相似比为k时，原坐标(x,y)对应的位似点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)，即位似有同侧、异侧两种情况；题目未指明方向时必须两种都考虑。 类题巩固 1．（2025·26九年级上·山东德州·月考）在平面直角坐标系中，与是位似图形，以原点O为位似中心，若，点B的坐标为，则点B的对应点D的坐标为__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴与的位似比为 3或， ∵点B的坐标为， ∴点D的坐标为或，即或． 故答案为： 或． 2．（2025·26九年级上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心画，使它与的相似比为，则点A的对应点的坐标是___________ 【答案】或 【详解】∵与位似，以原点为位似中心，且相似比为，点， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 3．（2025·26九年级上·山西运城·月考）如图，在平面直角坐标系中，有四边形，现以点O为位似中心，画一个四边形，使它与四边形位似，且相似比为． (1)画出四边形； (2)直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：根据图形可得：或． 易●错●闯●关 1．（2025·26九年级下·广东云浮·月考）如图，已知，且，，，则____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ． 2．（2025·26九年级上·广东佛山·期末）如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 【答案】B 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴设米，则米， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， 故选：B． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得 ，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定 和 与 相似． 【点睛】解：， ． ，， ， ． ， ． 又 ， ． 在 和 中， ， ． 在 和 中， ， ． 综上所述，与 相似的三角形有 、、，共 个． 4．（2025·26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是__________． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为或． 5．（2025·26九年级上·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是________． 【答案】或． 【分析】 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴两矩形的相似比为， ∵由坐标系可得B点的坐标为， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 6．（2024·25九年级上·北京房山·期中）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上，在该网格中画出（顶点均在格点上），使（相似比），并求出相似比． 【答案】画图见解析，相似比为 【详解】解：如图，即为所求， 由网格知：，，，，，， ∴，，， ∴， ∴即， 相似比为 7．（2025·26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，掌握相似三角形的判定及其性质，数形结合，准确运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答是解题的关键. 8．（2025·26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， 即， ∴． 9．（2023·24九年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形中，，P为边上的一个动点，连接 (1)若与相似，且的长为方程的两根，求的长； (2)若点P在线段上运动时恰好存在两个位置使得与相似，求的长． 【答案】(1)或1 (2)或5 【分析】 【详解】（1）解：∵的长为方程的两根， ∴， 设， 当， ∴，而， ∴， ；经检验符合题意； 当， ∴， ∴， ∴，经检验符合题意； 或1； （2）解：设 当时， ∴，而， ∴， ∴；经检验符合题意； 当时， ∴， ∴， ∴, 有两个位置成立； ①有两个不等解，且有一解为， ∴， ，（不符合题意）； ②有两个相等解， ∴， ， 或5． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）如图①，半圆的直径，和是它的两条切线，与半圆相切于点，并与，分别相交于，两点． (1)请直接写出的度数； (2)求的值； (3)如图②，连接并延长交于点，连接，试判断能否与 相似？若能相似，请求的值；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)． (2) (3)当或时，与相似 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵和是它的两条切线，与半圆相切于点， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 同理可得， ∴； （2）解：∵是直径，，是切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴； （3）解：能与相似． 如图所示， ∵，是切线， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∵，是切线， 同理可证． ①当时，． ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在， 中，分别求得，． ∴； ②当时，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 综上，当或时，与相似． 【点睛】此题考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $