易错07 圆（6大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦圆的六大高频易错点，通过“典例-避坑-巩固”三阶训练，系统提炼分类讨论、定理应用等解题方法，融合抽象能力与推理意识，构建从概念辨析到综合应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错剖析|6典例+18类题|弦对圆周角分优弧劣弧、切线证明分有公共点连半径证垂直（无公共点作垂线证半径）、平行弦分同侧异侧计算|圆周角定理与推论→圆内接四边形性质→切线判定定理→三角形内外心概念→扇形公式体系的递进关联| |易错闯关|11综合题|综合应用分类讨论、定理迁移、公式逆用|整合圆的性质与几何图形综合，强化知识网络的推理应用|

易错07 圆 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01：圆内一条弦对应无数个圆周角 易错02：忽略圆内接四边形的对角互补 易错03：两条弦平行时易忽略分类讨论 易错04：证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错05：混淆三角形外接圆与内切圆 易错06：扇形弧长、面积公式记混误用 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 圆内一条弦对应无数个圆周角 易错典例 【典例01】如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】概念认知偏差，误以为一条弦只对应一个圆周角，忽略弦所对优弧与劣弧对应的两种圆周角；混淆圆周角与圆心角的对应关系，无法区分 “一个圆心角” 和 “无数个圆周角” 的差异。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到弦所对圆周角立刻分优弧、劣弧两种情况思考；牢记弦对应两个互补圆周角，直径对应90°圆周角优先使用；用“知1得4”模型快速判断弦、弧、角、距离的等量关系。 【知识链接】 圆周角定理为一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；推论包括半圆或直径所对圆周角为 90°，90° 圆周角所对弦为直径，同弧或等弧所对圆周角相等；圆中 “知 1 得 4” 模型，即弦相等、弧相等、弦心距相等、圆心角相等、圆周角相等，满足其一可推其余四个；一条弦对应两个度数互补的圆周角，对应唯一一个圆心角。 类题巩固 1．（2026·湖南益阳·二模）如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，为圆形拱门的最高点，测得，点是圆形拱门左边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 3．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的外接圆，点在上，为的直径，是的切线，且交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 易错02 忽略圆内接四边形的对角互补 易错典例 【典例02】如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【错因分析】定理记忆不牢固，做题时想不到使用对角互补性质；无法将外角与内对角建立联系，概念应用不灵活。 避坑攻略 【技巧点拨】 看到圆内接四边形直接标注两组对角和为180°；遇到外角直接找内对角相等；无明显垂直或平行条件时，优先使用该性质推导角度。 【知识链接】 圆内接四边形的对角互补；任意一个外角等于它的内对角；对角互补的四边形内接于圆。 类题巩固 1．（2026·北京石景山·一模）如图，在中，，，以为直径画圆，与交于点，与交于点，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，，直线与相切于点．若已知，则的度数为_______． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，点为半径上一点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为______． 易错03 两条弦平行时易忽略分类讨论 易错典例 【典例03】已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为_____． 【错因分析】 思维定式，只画一种位置图形，缺少分类讨论意识；不理解弦心距的位置关系导致计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 题目无图时必须分同侧、异侧两种情况计算；先算每条弦的弦心距，同侧相减、异侧相加；计算后检验两种结果是否都符合题意。 【知识链接】 圆内两条平行弦与圆心的位置有同侧、异侧两种；弦心距公式为弦心距等于根号下半径平方减去弦长一半的平方；两弦距离等于弦心距之和或之差。 类题巩固 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 2．（2025·26九年级上·河南新乡·期末）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 3．（2024··广东广州·一模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，． (1)求的半径； (2)已知点为线段上一点，过点作并交于点、，若的长为，求平行线与之间的距离． 易错04 证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错典例 【典例04】如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【错因分析】方法选择错误，不看是否有公共点盲目连半径；遗漏“过半径外端”或“垂直”其中一个条件；证明垂直时找不到合适依据。 避坑攻略 【技巧点拨】 先判断直线与圆是否有明确公共点，有则连半径证垂直，无则作垂线证半径等于垂线段；证明过程必须同时体现“半径外端”和“垂直”两个关键条件。 【知识链接】 切线判定定理为过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可；证明切线有两种方法，有公共点时连半径证垂直，无公共点时作垂线证半径等于垂线段长。 类题巩固 1．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求的值． 2．（2026·四川达州·一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．（2026·甘肃白银·二模）如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 易错05 混淆三角形外接圆与内切圆 易错典例 【典例05】如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【错因分析】概念混淆，把外心与内心的定义、性质、画法混用；分不清垂直平分线与角平分线的区别，无法判断圆心位置。 避坑攻略 【技巧点拨】 记清“外中垂、到点等；内角分、到边等”；看到外接圆找垂直平分线与外心，看到内切圆找角平分线与内心；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，可直接使用。 【知识链接】 外接圆是过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置随三角形形状变化；内切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形内部。 类题巩固 1．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 易错06 扇形弧长、面积公式记混误用 易错典例 【典例06】如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】公式记忆混淆，弧长与面积公式分母、系数记混；不理解公式原理，死记硬背易出错；圆锥展开图中母线与底面半径对应关系混乱。 避坑攻略 【技巧点拨】 理解公式来源，弧长是圆周长的n/360，面积是圆面积的n/360；用“弧长用180，面积用360”区分；圆锥问题牢记“扇形弧长=底面圆周长”，统一变量再计算。 【知识链接】 扇形弧长公式为l等于nπR除以180；面积公式为S等于nπR²除以360，也等于二分之一lR；圆锥侧面展开图扇形半径为母线长，弧长等于底面圆周长；公式中n为圆心角度数，R为圆半径。 类题巩固 1．（2026·山西晋中·一模）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，经过的路径分别是、．若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 3．（2026·江西宜春·一模）如图，正八边形的边长为1，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为______． 易●错●闯●关 1．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是______cm． 2．（2026·广东广州·一模）如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，，．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则图中阴影部分的面积为______． 6．（2026·四川成都·二模）如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______．    7．（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 8．（2026·青海·模拟预测）如图，是的直径，为圆上一点，平分交于点，过点作的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)已知，，求的长． 9．（2026·广东东莞·一模）如图，在中，点、、、为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点，连接交于点． (1)求证：平分； (2)求证：． 10．（2026·广西梧州·一模）已知：如图，在中，，以为直径作，交于D，点E是中点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．（2024·25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过点D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求优弧 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错07圆 摩房目录导航《 第一部分易错剖析剖析易错盲区，规避重复失分 A易错典例A避坑攻略A类题巩固 易错01：圆内一条弦对应无数个圆周角 易错02：忽略圆内接四边形的对角互补 易错3：两条弦平行时易忽略分类讨论 易错04：证明直线为圆的切线时，思路混乱 易错05：混淆三角形外接圆与内切圆 易错06：扇形弧长、面积公式记混误用 第二部分易错闯关闯关攻克易错，稳练答题能力 两利到的修的 易●错●剖●析 易错01圆内一条弦对应无数个圆周角 ◆易错典例◆ 【典例01】如图，AB为⊙O的直径，点C,D在圆上，且AC=CD.若∠ABC=32°，则∠DAB的度数为 ⊙ D A.16° B.26° C.32° D.58° 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O .AC=CD AC=CD ∠CBD=∠ABC=32°， .∠ABD=∠ABC+∠CBD=32°+32°=64°， :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠DAB=90°-∠ABD=90°-64°=26° 【错因分析】概念认知偏差，误以为一条弦只对应一个圆周角，忽略弦所对优弧与劣弧对应的两种圆周角： 混淆圆周角与圆心角的对应关系，无法区分“一个圆心角”和“无数个圆周角”的差异。 D避坑攻略 【技巧点拨】 看到弦所对圆周角立刻分优孤、劣孤两种情况思考：牢记弦对应两个互补圆周角，直径对应0圆周角优 先使用；用“知1得4模型快速判断弦、孤、角、距离的等量关系。 【知识链接】 圆周角定理为一条孤所对的圆周角等于它所对圆心角的一半：推论包括半圆或直径所对圆周角为90°，90° 圆周角所对弦为直径，同弧或等孤所对圆周角相等；圆中“知1得4”模型，即弦相等、弧相等、弦心距 相等、圆心角相等、圆周角相等，满足其一可推其余四个；一条弦对应两个度数互补的圆周角，对应唯一 一个圆心角。 ◆类题巩固◆ 1.(2026湖南益阳·二模)如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段AB位于地面之上，D为圆形 黄门的最高点，测容<D10-∠Da1-6的，点S是时形共门东边上的一点，则<AC8=() 2 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.65 B.50 C.35. 25 D. 【答案】B 【详解】解：在△ABD中，：∠DAB=∠DBA=65, ∴.∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-65°-65°=50°， :∠ACB与∠ADB都是弧AB所对的圆周角， .∴.∠ACB=∠ADB=50° 2.(2025陕西西安·三模)如图，⊙0半径长2cm,点A、B、C是⊙0的三等分点，点D为圆上一点，连 接4D,且4D=2W5cm,CD交4B于点E,则∠BED 的度数为 .0 【答案】75°/75度 【详解】解：如图所示，连接OD,OA,BD, D ,⊙0半径长2cm, ∴.OA=OD=2cm, 3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=2v2em 0+0D2=2+22=8=4D2 ∴.△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°， ∠DBE=∠A0D=450, 2 连接OB,OC, :点A、B、C是⊙O三等分点， 片∠B0C=x360=120°， 3 .∠BDC=120°×5=60°， ∴.∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=75° 3.(2026江苏无锡一模)如图，⊙O为△ABD的外接圆，点C在⊙O上，AB为⊙O的直径，DE是⊙O 的切线，且DE⊥CB交CB的延长线于点E, 0 E D (I)求证：∠ABD=∠DBE: (2)连接CD,若CE=7,BE=3,求DE的长. 【答案】(1)见解析 ②DE=V2i 【分析】 【详解】(1)证明：如图，连接OD, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :DE是⊙O的切线， OD⊥DE, DE⊥CB, .OD∥CB, .∠DBE=∠ODB, OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB, ∴.∠DBE=∠ABD (2)解：，AB为⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°， .∠BAD+∠ABD=90°， :DE⊥CB .∠BDE+∠DBE=90°， .∠BAD=∠BDE, 由圆周角定理得：∠BAD=∠DCE, ∠BDE=∠DCE :∠E=∠E, .△BDE∽△DCE, BE DE 3 DE DE CE, 即DE 7 DE=21 解得： (负值舍去)， 易错02忽略圆内接四边形的对角互补剩 ◆易错典例· ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例02】如图， ©0是△4BC的外接圆，已知0的半径为4,4C=45,则∠BC 度数是() A.110° B.120° C.125o D.130° 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D,取优弧AC上任意一点E,连接AE、 CE, E B 4c5-25, AD= 在t△4OD中，OD=VOAP-AD2=V42-2V5=2, 0D=201, .∠OAD=30°， ∠AOD=90°-∠OAD=60°， OA=OC,OD⊥AC, ∴.∠AOC=2∠AOD=120°， ·∠AEC=1 ∠AOC=60°， :∠AEC+∠ABC=180°， ∴.∠ABC-180°-∠AEC=120°. 【错因分析】定理记忆不牢固，做题时想不到使用对角互补性质；无法将外角与内对角建立联系，概念应 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用不灵活。 D避抗攻略 【技巧点拨】 看到圆内接四边形直接标注两组对角和为180°；遇到外角直接找内对角相等；无明显垂直或平行条件时， 优先使用该性质推导角度。 【知识链接】 圆内接四边形的对角互补：任意一个外角等于它的内对角：对角互补的四边形内接于圆。 ◆类题巩固· 1.(2026北京石景山一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=65°，以AC为直径画圆，与AB交于 点D,与BC交于点E,连接DE,则∠DEC的大小为() B A.130° B.1159 C.65 D.50° 【答案】A 【详解】解：如下图所示， 在△ABC中，AB=AC,∠B=65°， .∠ACB=∠B=65°， .∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-65°-65°=50°， ∴.四边形ADEC是圆内接四边形， .∠A+∠DEC=180°」 ∴.∠DEC=130° D B ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026·安徽阜阳·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD=AB=BC,直线EC与⊙O相 切于点C.若已知∠ABC=100°，则∠DCE的度数为 E 【答案】60°/60度 【详解】解：连接OA,OB,OC,OD, E AD=AB=BC, AD=AB-BC, 、.∠AOD=∠AOB=∠BOC, 设∠AOD=∠AOB=∠BOC=a, 在△OAB和△OBC中，OA=OB=OC, ∠OBA=∠0BC=180°-Q 2 ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=180°-a, :∠ABC=100°， .180°-a=100°， 解得a=80°， .∠AOD=∠AOB=∠BOC=80°. ∠4D0=180°-，40D-180,80-50. 2 2 ABCD ⊙O :四边形 内接于 8 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=180°-∠ABC=180°-100°=80°， ∴.∠ODC=∠ADC-∠ODA=80°-50°=30°， .OD=OC, ∴.∠OCD=∠ODC=30°， EC,⊙O C ,直线与相切于点， ∴.∠0CE=90°， ,∴.∠DCE=∠OCE-∠OCD=90°-30°=60° 3.(2026黑龙江哈尔滨·一模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是OO直径，点E为半径 OB上一点，连接CE并延长交⊙O于点F,连接BF,若∠F=25°，则∠ADC的度数为°. 【答案】115 【详解】解：连接AC,如图所示： D BC=BC ∴.∠CAB=∠F=25°， AB是⊙O直径， .∠ACB=90°， 则∠ABC=90°-25°=65°， :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180°， 即∠ADC=180°-65°=115°. 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错3两条弦平行时易忽略分类讨论 ◆易错典例◆ 【典例04】已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm,若这圆的半径是5dm,则两条平行弦之间的距离为 【答案】7dm或ldm 【详解】解：如图，ABIICD,AB=6dm,CD=8dm, 过O点作OE⊥AB于E,交CD于F点，连OA、OC, ∴.AE=BE=2AB=3, ,AB∥CD,EF⊥AB, ∴EF⊥CD, ∴.CF=FD=2CD=4, 在Rt△OAE中，OA=5dm OE=VO4-4R=5-3-4. 同理可得OF=3, 当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7(dm): 当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE-OF=4-3=1(dm), 故答案为7dm或ldm A B 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理. 【错因分析】 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 思维定式，只画一种位置图形，缺少分类讨论意识：不理解弦心距的位置关系导致计算错误。 △避坑攻略 【技巧点拨】 题目无图时必须分同侧、异侧两种情况计算；先算每条弦的弦心距，同侧相减、异侧相加：计算后检验两 种结果是否都符合题意。 【知识链接】 圆内两条平行弦与圆心的位置有同侧、异侧两种：弦心距公式为弦心距等于根号下半径平方减去弦长一半 的平方；两弦距离等于弦心距之和或之差。 ◆类题巩固◆ 1.(2025安徽芜湖·二模)已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB, CD之间的距离为() A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm或7cm 【答案】D 【详解】解：如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的同侧时， C D F A B 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长OE交CD于点F,连接OA,OC, E4B=12cm.CF-CD-5m. 在Rt△A0E中，OE=VOP-AE2=5cm 在Rt△COF中，OF=VOC2-CF2=12cm 故EF=OF-OE=7cm. 如图所示，当平行弦AB,CD在圆心O的异侧时， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 过点O作OE⊥AB,垂足为E,延长EO交CD于点F,连接OA,OC, E4B-12cm,CF-2CD=Scm. 在Rt△A0E中，OE=VOAP-AE2=5cm 在Rt△COF中，OF=VOC2-CP=12cm 故EF=OE+OF=17cm. 综上，AB,CD之间的距离为7cm或17cm, 故选：D. 2.(2025-26九年级上河南新乡期末)已知O0的半径为6cm,弦4B∥CD,且B=62cm, CD=6N5cm,则AB与CD之间的距离为 【答案】35-列cm或35+列cm 【详解】过点O作OE⊥AB于点E,则E为AB中点，连接OA,OC 4E-48-方x65=3V2m, 在Rt△OEA中，OA=6cm, 由勾股定理得0E=VO-AE=V62-32'=V36-18=V8=3V2cm, 过点O作OF⊥CD于点F,则F为CD中点， .cFcD653em. 在Rt△OFC中，OC=6cm, 由勾股定理得0F=V0C2-CF2-V36-(35=36-27=V5=3cm, 12 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，当AB与CD在圆心O同侧时，AB与CD之间的距离为 E-0F=3v2-3(cm 6 D 如图所示，当1B与CD在圆心O两侧时，AB与CD之间的距离为OE+0F=35+3cm)】 B 故答案为： 3W5-3cm或3W5+3cm 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直 角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内 时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况 3.(2024广东广州一模)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M 是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=6m,EM=9m. C M D (1)求⊙0的半径： (2)已知点P为线段EM上一点，过点P作AB∥CD并交⊙O于点A、B,若AB的长为8m,求平行线CD 与AB之间的距离. 【答案】(1)5m: (2)7m或1m. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)解：连接C0,如图1所示， 设CO=r,EM=9m, 则OM=9-r, :M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E, EM⊥CD, CD=6m, CM=MD=xCD=3m, 2 在Rt△COM中， 2=(9-r）2+32 解得r=5m: 故⊙0的半径为5m: M D 图1 (2)解：设AB交EM于N，,连接OA,则OA=5m, ①当AB在点O上方时，如图2-1所示， E A N B 图2-1 .·AB∥CD,EM⊥CD .EM⊥AB, 1 AN-NB-24B, AB=8m, .AN =4m, 14 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.0N=VA02-AW2=V52-42=3m .OM EM-OE=9-5=4m, ∴.平行线CD与AB之间的距离为MN=4+3=7m: ②当AB在点O下方时，如图2-2所示， E N M D 图2-2 同理可得：ON=3m,OM=4m, ∴.平行线CD与AB之间的距离为MN=4-3=1m: 综上所述，平行线CD与AB之间的距离为7m或lm. 【点睛】此题考查了垂径定理及其推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理以及它的推论、运用勾股定 理解直角三角形是解答此题的关键. 。易错04证明直线为圆的切线时，思路混乱 ◆易错典例· 【典例04】如图，P是⊙O外一点，PO与⊙O交于点B,A是⊙0上一点，∠O=2∠PAB,AC⊥PO于 点C (I)求证：PA是⊙O的切线： (2)诺PB=10 ,BC=2,求⊙0的半径. 【答案】()见解析 15 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)5 【分析】 【详解】(1)证明：延长AC交⊙O于点D,连接BD,则∠O=2∠ADB, D ∠O=2∠PAB, ∴∠PAB=∠ADB, :OB⊥AC, .AB=BD ∴AB=BD, ∴.∠BAD=∠BDA, ∴.∠BAD=∠PAB, ..OA=OB, ∴.∠OBA=∠OAB, ,∠BAD+∠ABO=90° .∠PAB+∠OAB=90°，即∠OAP=90°， .OA⊥AP, 又：OA为半径， ∴.PA是⊙O的切线： (2)解：PB=10 3，BC=2, ÷PC=PB+BC=16 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, 0C-0B-BC=-2.OP-0B+BP-10 +r, ∠OCA=∠OAP,∠O=∠O ∴.△DCAOAOAP, 16 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC OA OA OP' ∴.OA=OC.OP,即 rr-2+ 解得r=5, 故⊙0的半径为5. 【错因分析】方法选择错误，不看是否有公共点盲目连半径；遗漏“过半径外端”或“垂直”其中一个条 件；证明垂直时找不到合适依据。 △避坑攻略 【技巧点拨】 先判断直线与圆是否有明确公共点，有则连半径证垂直，无则作垂线证半径等于垂线段；证明过程必须同 时体现“半径外端”和“垂直”两个关键条件。 【知识链接】 切线判定定理为过半径外端目垂直于半径的直线是圆的切线，两个条件缺一不可；证明切线有两种方法， 有公共点时连半径证垂直，无公共点时作垂线证半径等于垂线段长。 ◆类题巩固◆ 1.(2026辽宁铁岭三模)如图，点O在△ABC的边BC上，经过点A、C的⊙O与BC相交于点D,点E 在O0上，且DE=C配，AE与BC相交于点RBA=BF (I)求证：AB是OO的切线： (2)若点D是BF的中点，求sinB的值. 【答案】(1)见解析 (2)sinB=3 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 必 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)证明：如图1，连接OE,OA, A .·DE=CE ∴OE⊥CD, ·∠C0E=∠D0E=90°， ∠EF0+∠OFE=90°， :OE=OA」 ∠OAF=∠OEF, AB=BF, ∴，∠BFA=∠BAF :∠OFE=∠BFA, ∠BAF+∠OAF=90°， .∠BAO=90°， .AB⊥AO, ~OA是⊙0的半径， :AB是⊙O的切线 (2)解：设BD=2a,半径为r,则AB=BF=4a,OB=r+2a, 在Rt△OAB中，∠OAB=90°， ∴.OB2=OA2+AB2, .(r+2a2=r2+(4a2 .r=3a, .0A=3a,OB=5a, 在Rt△OAB中，∠OAB=90°， sinB=O4=3a3 OB 5a 5 2.(2026四川达州一模)如图，已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点 D,交OO于点E,连接EB,作∠BEF=∠CAE,交AB的延长线于点F. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：EF是⊙O的切线： (2)若BF=4,EF=8,求BC的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)8C=48 【分析】 【详解】(1)证明：连接OE, AE平分∠CAB, .∠CAE=∠EAB, .OA=OE, ∴.∠EAB=∠AEO, ∠BEF=∠CAE, .∴.∠BEF=∠AEO AB是⊙O的直径， ,∠AEB=90°， ,∠AE0+∠OEB=90°， .∠BEF+∠OEB=90°， 即L0EF=90°， ∴.EF是⊙O的切线： ⊙ (2)解：设⊙0的半径为r, 则OB=OE=r, 在Rt△OEF中，OE2+EF2=OF2, 19 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2+82=(r+4)2 解得r=6, .OB=6, .AB=12,OF=6+4=10, 由(1)知∠CAE=∠EAB=∠AEO, ∴，∠CAO=∠CAE+∠EAB=∠AEO+∠EAB=∠EOF, :AB是⊙O的直径， .∠C=90°， ∠OEF=90°， .∠C=∠OEF=90°， .AACB一△OEF, BC AB FE OF BC 12 810 解得BC=48 5· 3.(2026甘肃白银·二模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D是边BC上一点，以CD为直 径作半圆O,与AC交于AC的中点E,连接BE. B D (I)求证：BE是半圆O的切线. 2若BE=25, 求图中阴影部分的面积.（结果保留无） 【答案】(I)见解析 a25-号 【分析】 【详解】(1)证明：如图，连接OE,DE, 20 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .∠ABC=90,∠A=602,E是1C的中点， :B6=4B=CE=4C2C=30 .∠A=∠ABE=60°， .OE=OC, ∴.∠OEC=∠C=30°， :∠AEB=180°-60°-60°=60°， ∴.∠BEO=180°-∠AEB-∠OEC=90°， .OE⊥BE, :OE是⊙0的半径， .BE是⊙O的切线； (2)解：由(1)知∠DOE=∠OEC+∠C=60°，∠BEO=90°， .∠0BE=30°， .0B=20E, 设半圆O的半径为R, .R2+23=(2R2 解得R=2(负值不合题意，舍去)， 阴影部分的面积=S,OBE-S扇形oDE 2×2V5x2-60rx2 360 232 0 >易错05混淆三角形外接圆与内切圆、 ◆易错典例◆ 【典例05】如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD.再将△ABC折叠，使BC 边落在AB边上，展开后得到折痕BE.若AD与BE的交点为O,则点O是() ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.△ABC的外心B.△ABC的内心 C.△ABC的重心 D.△ABC的中心 【答案】B 【详解】解：如图：过点O作OF⊥AB,OM⊥AC,ON⊥BC, 由题意得：∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE, .O为角平分线的交点， ..OF =OM=ON ∴点O到△ABC三边的距离相等. ∴.点O是△ABC的内心. 故选：B 【错因分析】概念混淆，把外心与内心的定义、性质、画法混用；分不清垂直平分线与角平分线的区别， 无法判断圆心位置。 避坑攻略 【技巧点拨】 记清“外中垂、到点等：内角分、到边等”；看到外接圆找垂直平分线与外心，看到内切圆找角平分线与 内心：直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，可直接使用。 【知识链接】 外接圆是过三角形三个顶点的圆，外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置随三角形形状变 化：内切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线交点，到三边距离相等，恒在三角形内部。 ◆类题巩固◆ ⊙⊙ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 32 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026河北邯郸一模)如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,则其内 心O和外心M之间的距离是() M B A.10cm B.5cm C.V5em D. 2cm 【答案】C 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E,F,N, 连接OE,OF,ON, 根据切线的性质，得∠C=∠OEC=∠OFC=∠ONM=90°， 故四边形OECF是矩形， ...OE =OF=ON, :四边形OECF是正方形， ..OE=OF=CE=CF, 根据切线长定理，得AE=AN,BN=BF, AE=AN=x,BN=BF=y,OE=OF=CE=CF=r, :∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm, .AB=AC2+BC2=10cm x+r=8 y+r=6 故 x+y=101 x=6 解得 y=4 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， MB=5,MN =MB-BN=5-4=1 23 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 连接OM, 根据勾股定理，得OM=V2+了=V5(cm), 故选：C 2.(2025四川成都·一模)在△ABC中，己知∠A=60°，下列判断中错误的是() A.若G为重心，则∠BGC2120° B.若0为外心，则∠B0C=120° C.若I为内心，则∠B1C=120° D.若H为垂心，则∠BHC=120° 【答案】D 【分析】 【详解】解：若G是△ABC的重心，即G是△ABC三条中线的交点 当△ABC是等边三角形时，如图，∠GBC=∠BCG=30°，则∠BGC=120°： B 当△ABC是非等边三角形时，∠BGC>120°；故选项A正确： 若O是△ABC的外心，即O是△ABC外接圆的圆心， .∠B0C=2∠A=120°，故选项B正确； B 若I是△ABC的内心，即I是△ABC内切圆的圆心， 如图， 24 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A+∠ABC+∠4CB=180°，∠A=60° ∠ABC+∠ACB=120°， ,I是△ABC的内心， C-ABC.ICB-ACB :∠IBC+∠1CB=5x120°=60°. ∠BC=180-10-∠=120，故选项C正痛： 若H是△ABC的垂心，即H是△ABC三条高的交点. 当△ABC是直角三角形时，如图，H与直角顶点重合， B ,故选项D错误. A(H) .∠BHC≠120° 故选：D 3.(2025·湖北武汉·模拟预测)我们将一个三角形内切圆的半径r与外接圆的半径R的比值叫做该三角形 的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为() 6 12 A.25 B. 25 C.Z D.4 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图所示，AD为等腰△ABC底边BC上的高，点E为三角形的外心， 25 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B D .R=AE =BE, 由三线合一和勾股定理得，AD=√AB-BD2=V52-32=4 Sm-号8c40=x6x4=12. 2 由勾股定理得BE=BD+DE=9+4-R2=R2 解得R25 8 如图，点F为△ABC的内心， A H D C..r=FH=FI=FD SABC 123 (AB+BC+AC) 82, 3 -2382412 .R25=2×25-5025 8 故选：B. 易错06扇形弧长、面积公式记混误用 ◆易错典例· 26 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例06】如图，半径为5的⊙O与正五边形ABCDE相切于点B、E,则弧BE的长为() 0 O B A.4π B.10π C.15π D.20元 【答案】A 【详解】解：连接OB,OE, A :五边形ABCDE是正五边形， ÷∠D=∠C=1800_360 =108°， BC、DE与⊙O相切， .∠OED=∠0BC=90°， ∴.∠B0E=(5-2)×180°-108°-108°-90°-90°=144° 144π×5=4元 :弧BE的长为180 【点晴】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解 决本题的关键。 【错因分析】公式记忆混淆，弧长与面积公式分母、系数记混：不理解公式原理，死记硬背易出错：圆锥 展开图中母线与底面半径对应关系混乱。 避坑攻略 【技巧点拨】 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理解公式来源，孤长是圆周长的n/360,面积是圆面积的/360；用“弧长用180，面积用360”区分；圆锥 问题牢记“扇形孤长=底面圆周长”，统一变量再计算。 【知识链接】 扇形孤长公式为1等于nπR除以180；面积公式为S等于nπR除以360，也等于二分之一R;圆锥侧面展 开图扇形半径为母线长，孤长等于底面圆周长；公式中为圆心角度数，R为圆半径。 ◆类题巩固· 1.(2026山西晋中一模)如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋 转80°得到△DBE,点4，C经过的路径分别是AD、CE.若BC=2,则图中阴影部分的面积是() 91 B. g- C. D. 4-2 9 【答案】C 【详解】解：：AB=AC,∠BAC=90°，BC=2, AB=AC= ·旋转， :.∠4BD=∠CBE=80°SAc=SE :Sm能=S,4c+S形CaE-S用形D-SaG =S扇形CBE一S扇形ABD 80r×22-80rxV2 360 360 4π 9· 2.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4,以点E为圆心，EF长为半径作 28 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弧，交ED于点D.则扇形FED的面积是一 16 【答案】3π 【详解】解：正六边形ABCDEF中，AB=4, 六AB=EF=ED=4' ∠E=(6-2)x180 =120°， 6 120元×4216 ∴.扇形FED的面积 360 3. (2026·江西宜春.一模)如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，⊙O与正八边形的边AH和EF分别 相切于点4和点E,则劣弧正的长为一· A B D E 3v2 【答案】4π 【详解】解：如图所示，连接AO,EO,BE,延长EO交AB或其延长线于一点N. B(NY D 9 ,⊙O与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E, 29 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA⊥AH,OE⊥EF ∴.∠OAH=∠OEF=90° :八边形ABCDEFGH为正八边形， :H=∠G=F-18-2X180=135 8 “六边形10EFGH的内角和(6-2列×180°=720° ∴.∠AOE-720°-∠OAH-∠OEF-∠H-∠G-∠F=135° ,∴.∠AON=180°-∠AOE=45°. :八边形ABCDEFGH为正八边形， .BE⊥FE 又：NE上FE,同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线BE与直线NE为同一条直线， ∴.点B与点N重合 .∠ABO=90° ..A0=AB $in45。-V2 劣弧征的长180-01=135× 135 180πxV2=3V2 易●错●闯●关 1.(2022:黑龙江牡丹江-模)在半径为4cm的O0中，弦CD平行于弦4B,MB=4W5cm,∠B0D=90° ,则AB与CD之间的距离是cm. 【答案】25+2或25-2 【详解】解：①如图，AB/CD,过点O作GH⊥AB、GH⊥CD 30 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H G B 在⊙0中 ,∠BOD=90°，GH⊥AB、GH⊥CD ∴.∠GOB+∠DOH=90° .∠GOB=∠ODH 「∠OGB=∠DHO ∠GOB=∠ODH OB=OD :.△GOB=△DHO(AAS ∴.BG=OH ,OG⊥AB :.OH-BG=1AB=2 ∴.0G=V0B2-BG2=V42-2W3=2 :GH=0H+0G=2W5+2 .ABIlCD ∴.AB与CD之间的距离即GH 六8与CD之间的距离为2V5+2 ②如图，作OF⊥AB、PD⊥AB,连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴.EF=PD 31 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A P B C ,∠BOD=90° ∠BAD=45° ,PD⊥AB ∴.AP=PD ,OF⊥AB ∴BE=54B=25 “0E=VOB-BE2=4-25=2 0D3=0F2+FD .4=(2+PD2+23-PD2 PD=25-2 故答案为： 25+2或25-2 【点晴】本题主要圆的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键 2.(2026广东广州一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，已知⊙0的半径为4，∠BCD=120° ,则BD= 0. 【答案】45 32 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB,OD 【详解】解：如下图，连接 ,过点作 于点E, O,OE⊥BD ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°， .∠A=180°-∠BCD=60°， .∠BOD=2∠A=120°， ,⊙O的半径为4，即OB=OD=4,且OE⊥BD, :∠BOE=∠BOD=60°，BE=DE=BD, .BE=OB×sin∠B0E=4×sin60°=4 -25 2 BD-2BE=4 3.(2025陕西西安·模拟预测)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA. 若∠CAI=34°，则∠OBC的度数为() B C A.27° B.24° C.22° D.20° 【答案】C 【分析】 【详解】如图，连接OC, 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :点I是△ABC的内心， :平分∠BMC, :∠CAI=34°， ∴.∠BAC=2∠CA=2×34°=68°， :点O是△ABC外接圆的圆心， .∠B0C=2∠BAC=2×68°=136°， .OB=OC, ÷∠08c=20cB×180-∠80C=180-13069=2, 故选：C 4.(2026陕西西安模拟预测)如图，点A、B、C、D、E都是⊙0上的点，AC=AE,∠D=118°，则 ∠B的度数为() D A.128o B.121° C.118o D.116° 【答案】B 【详解】解：连接CE,BE, 0 D :四边形ACDE是圆内接四边形，∠D=118°， 34 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAE=180°-∠D=62°， .AC=AE, ∠4CE=∠4BC-180°-∠CaE=59, ,∠CBE=∠CAE=62°，∠ABE=∠ACE=59 ∴.∠ABC=∠ABE+∠CBE=62°+59°=121°， 5.(2026广西防城港·一模)如图，在△ABC中，AB=4,AC=8.以点A为旋转中心，将△ABC按顺 时针方向旋转90°，得到△ADE,则图中阴影部分的面积为· 【答案】 12π 【详解】解：根据题意可知 SABC=SADE∠CAE=∠BAD=90，°AB=AD=4,AC=AE=8 :.影=S影0E+S,ne-(S.c+S054o) =S扇形4CE一S扇形ABD 90r×8290m×42 360 360 =16π-4元 =12π. 6.(2026四川成都·二模)如图，等边△ABC的边长为2，以BC为直径在BC上方作半圆，则半圆与 △ABC重叠部分的面积为一· 35 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O 【答案】5 2+6 【详解】解：设AB,AC交半圆O于E,F,连接OE、OF, :△ABC是等边三角形，边长为2， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=2,OB=OC=OE=OF=1, OB=OE=1,∠OBE=60°， ∴aOBE是等边三角形，∠BOE=60°， 同理△OCF是等边三角形，∠COF=60°， .∠E0F=180°-60°-60°=60°， 扇形EOF 的面积-60×nxz 360° 61 过点E作EG⊥BC于点G, c=o003,6=c-c-F--5. a0BE的面积2B0BG=)x1x5-V 24, 同理求得 C0r的面积为 4 5元5_5元 .:重叠部分面积=aOBE的面积+扇形EOF的面积+△COF的面积4642T 6 36 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 7.(2026江苏泰州一模)如图，AB为⊙0的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，切 点分别为C,D.若AB=8,PC=6,则tan∠CAD= B 【答案】2 【详解】解：连接OC,OD,CD,设CD与AB交于点E, B 与 相切，切点分别为C,D. .PC PD ⊙O 则PC=PD,∠OCP=∠ODP=90°，OC=OD, ·直线AB垂直平分线段CD, ..CB=BD .∠CAE=∠DAE, .∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠CAE, :∠COP=2∠CAE, ∴.∠COP=∠CAD. .tan∠COP=tan∠CAD, AB=8, 37 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0c-号0=4 PC=6, &tan☑CAD=tan∠CoP=PC_6=3 0C42 8.(2026青海·模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点C,过 C点作CE L AD的延长线于点E. D (1)求证：CE为⊙0的切线： (2)已知AB=8,AE=6,求AC的长. 【答案】(1)见解析 ®6 【分析】 【详解】(1)证明：如图所示，连接OC, B :AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠OAC, .OA=OC, .∠OAC=∠OCA, ∴.∠DAC=∠OCA, .AD∥OC, ,CE⊥AD 38 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE⊥OC, .OC是⊙0的半径， ∴.CE是⊙O的切线： (2)解：如图所示，连接BC, E D B :AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠BAC, :CE⊥AD ∴.∠AEC=90°=∠ACB ∴.△AECAACB, 、AEAC AC-AB' :AB=8,AE=6, 6 AC AC-8 ..4C=4 9,(2026旷东东毙一模)如图，在00中，点4、8、C、D ⊙0 圆周的四等分点，1E为切线，连接D, 并延长交⊙O于点F,连接BF交AC于点G. D 01 B 39 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AD平分∠CAE: (2)求证：△ADE≌△ABG, 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】(I)解：：点A、B、C、D为圆周的四等分点， 1 ~∠CAD所对的弧长为圆周长的4， .∠CAD=45°， :4证为00的切线， ∴.∠CAE=90° :∠CAD=)∠CAE, 2 .AD平分∠CAE: (2)解：，AD平分∠CAE; .∠DAE=∠CAD=45°， :点A、B、C、D为圆周的四等分点， .AD=AB,∠BAC=∠CAD=45°， ∴.∠BAC=∠DAE=45°， :四边形ABFD为圆内接四边形， ∴.∠ABG+∠FDA=180°， 又，∠ADE+∠FDA=180° ∴.∠ADE=∠ABG, 又，AD=AB,∠BAC=∠DAE, :△MADE≌△ABG(ASA 10.(2026广西梧州一模)己知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AC为直径作⊙O,交BC于 D,点E是AB中点，连接AD,DE 40 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 刀 (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AC=3,AB=4,求BD的长. 【答案】(1)见解析 16 (2)5 【分析】 【详解】(1)证明：连接OD B :AC为⊙0的直径， .∠ADC=∠ADB=90°， ∴.△ADB为直角三角形， E是AB中点， .'AE BE=DE, ∴.∠EAD=∠EDA .OA=OD ∴.∠OAD=∠ODA, ,·.∠OAD+∠EAD=∠ODA+∠EDA ,∠BAC=90° .∴.∠ODE=∠OAE=90°， ∴.OD I DE. DE是⊙O的切线. (2)解：，∠B=∠B,∠BDA=∠BAC=90° ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 叉 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BDA△BAC, BD AB AB BC :在Rt△ABC中，AC=3,AB=4, :BC=V32+4=5 BD 4 .45 BD=16 5· 11.(202425九年级上·湖北襄阳·期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆 ⊙O相交于点D,过点D作直线DG∥BC. O°1 D G (1)求证：DG是⊙O的切线： (2)若DE=6 BC=6V3 ,求优弧BAC 的长 【答案】(1)见解析 (2)8π 【分析】 【详解】(1)证明：连接OD交BC于H,如图， D G :点E是△ABC的内心， ∴.AD平分∠BAC, 即∠BAD=∠CAD, .BD=CD ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ AL 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OD⊥BC,BH=CH, DG∥BC, ∴.OD⊥DG, .OD是⊙0的半径， .DG是⊙O的切线： (2)解：连接BD,OB,OC,如图， D G 点E是△ABC的内心， ∴.∠ABE=∠CBE, BD=CD .∠DBC=∠BAD, ∴，∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE, .DB=DE=6. :M=号8c=33, t△BDH中，sin∠BDH= 在 BH33 3 BD621 ∴.∠BDH=60° 又：OB=OD, ∴.△OBD为等边三角形， .∠BOD=60°，OB=BD=6, ∴.∠BOC=120°， (360-120)πx6=8元 .优弧BAC的长是180 43 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！