专题10 综合与实践（4大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题10 综合与实践 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“综合与实践”的考查形式呈现多元化、情境化、高融合度的特点，是试卷中的亮点和区分点，主要分为以下两类： 1. 项目式学习与方案设计：这是高频考查形式，分值通常在10-12分，位于解答题中后位置。题目通常以真实的社会生活（如节约用水、方案选择、实地测量）、科技文化（如航天、黄金分割）、地方特色（如黄河文化、旅游）等为背景，设计一个“项目”，要求学生在阅读理解的基础上，经历“问题提出→分析探究→方案设计→解决问题”的完整过程。例如，2023年潍坊第19题（项目学习【实践探索】），2025年烟台第21题（【综合与实践】），2025年潍坊第22题（黄金分割综合实践）。 2. 操作探究与几何证明：以纸片折叠、图形剪拼、尺规作图等操作性活动为载体，考查学生的几何直观、空间观念和推理能力。题目通常由“操作→发现→猜想→证明→应用”等环节构成，引导学生从动手操作中发现问题、归纳规律，并最终用数学语言进行证明。例如，2023年济宁第21题（矩形折叠+操作探究），2025年淄博第23题（正方形折叠探究），2025年滨州第24题（最小覆盖圆综合实践）。 二、命题特点 1. 真实情境：背景材料力求真实、新颖，贴近生活、社会热点或科技前沿，如“水是生命之源”、“黄金比例”、“嫦娥探月”、“乡村振兴”、“智慧校园”等，体现“用数学的眼光观察现实世界”的理念。 2. 问题驱动：围绕一个核心问题或项目任务展开，设置了层次分明的子问题（通常2-3问），难度递进，引导学生逐步深入探究。 3. 跨学科融合：常与物理、化学、地理、传统文化、信息技术等学科知识或思想方法相结合，考查学生的跨学科综合素养。 4. 过程评价：不仅关注结果，更关注过程。题目中经常出现“请写出你的探究过程”、“请说明你的理由”、“请选择一种方案…”等表述，强调思维过程的完整性和逻辑性。 5. 开放性与选择性：部分题目不唯一解，或提供多种方案供学生选择，给学生一定的发挥空间，考查其审题决策和灵活应用能力。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 统计与概率：数据的收集、整理、描述和分析；概率的计算与应用。 (2) 函数：建立一次函数、二次函数模型解决最值、方案选择等问题。 (3) 方程与不等式：建立方程或不等式模型解决实际问题。 (4) 几何：图形的性质、变换（对称、旋转、折叠）、测量与计算。 (5) 代数运算：化简、求值、解方程（组）等基础运算能力。 2. 能力要求： (1) 阅读理解能力：能快速、准确地从题目提供的文字、表格、图象、图形中提取关键信息。 (2) 模型观念：能将实际问题中的变量关系和数量规律抽象为数学方程、函数、不等式或几何模型。 (3) 应用意识：自觉用数学知识和方法解决现实世界中的问题。 (4) 创新意识：能在探究过程中提出新问题，或设计出合理方案。 (5) 逻辑推理与数学表达：能用规范的数学语言（文字、符号、图形）清晰地表达解题思路和过程。 四、趋势展望 1. 情境设计更具“探究味”：题目会设计得更开放，让学生不仅仅是套用模型，而是真正参与到“发现问题、提出假设、设计方案、验证结论”的完整探究过程中。 2. 跨学科融合更深入自然：跨学科素材不再是简单的背景“贴标签”，而是与数学问题深度结合，需要调用其他学科的知识或思维方法才能顺利解决。 3. 重视“数学写作”与“方案评价”：可能会要求学生对方案进行评价、解释结果的合理性，甚至撰写简短的分析报告或建议，考查更高层次的素养。 4. “项目式学习”类题目将持续热门：这类题目最能体现新课标“综合与实践”的理念，会是未来中考命题的重要方向。 五、备考策略建议 1. 回归教材，重视“综合与实践”领域：教材中的“综合与实践”活动（如“设计自己的运算程序”、“制作视力表”、“利用测角仪测量物体高度”等）不是摆设，要认真完成，从中体会解决问题的完整过程，积累活动经验。 2. 训练阅读与信息提取能力： (1) “三步阅读法”：通读（了解大意）→细读（圈画关键数据、条件和问题）→精读（理解数量关系、操作步骤和逻辑结构）。 (2) 图表信息处理：专门训练从统计图、函数图象、几何图形、表格中提取关键信息的能力。 3. 强化模型观念，掌握建模策略： (1) 建立“问题→模型”的映射：训练学生见到实际问题，能快速联想到对应的数学模型（方程、函数、不等式、几何图形等）。 (2) “四步建模法”：审（清题）→设（未知数）→列（方程/函数/不等式）→解（并检验）。 4. 进行“项目式学习”专项训练： (1) 典型题目精练：精选历年来山东各地的“综合与实践”真题，进行专题训练。重点分析题目是如何“设置情境、提出问题、引导探究、考查素养”的。 (2) 培养“问题解决”的逻辑链条：训练学生按照“理解问题→分析变量关系→建立数学模型→求解模型→解释结果→回顾反思”的完整链条来解决问题。 5. 鼓励动手操作与交流对于操作探究类题目，鼓励学生在纸上模拟操作（折叠、画图），并同学间交流各自的探究过程和发现，培养合作交流和表达能力。 题型01 项目式学习与方案设计 析典例·建模型 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 (1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． (3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 研考点·通技法 考查知识点结合： 统计图表分析＋概率计算；方程（组）/不等式（组）建模；一次函数/二次函数最值模型；数据分析与评价 通用思路：“理解项目→收集数据（处理信息）→建立模型→求解模型→方案决策→解释评价”。 关键步骤： 1. 理解项目目标：明确要解决什么问题（如选择最省钱的购买方案、设计面积最大的花园等）。 2. 处理信息：从题目给出的文字、表格、图象中提取关键数据、变量关系。 3. 建立模型：将实际问题转化为方程（组）、不等式（组）、一次函数、二次函数等数学模型。 (1) 方程模型：用于表示等量关系（如总价＝单价×数量）。 (2) 不等式模型：用于表示不等关系（如费用不超过、人数不少于）。 (3) 函数模型：用于表示变量间的依赖关系，并求最值（如利润、面积）。 4. 求解模型：准确求解方程、不等式或函数最值。 5. 方案决策：根据计算结果，结合实际意义，做出合理的方案选择或提出建议。 6. 解释评价：对结果进行说明或对方案进行评价。 破类题·提能力 2．（2026·山东济宁·一模）项目式学习 课题：估算摩天轮的高度 背景 曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算．    估算方法 方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算 摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成： 吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离． 方法二：基于仰角的三角测量法 测量的相关数据如下 为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．    问题解决 (1)任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3） (2)任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米） 3．（2025·山东济宁·一模）综合与实践 一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下： 项目名称 测量底部无法到达的物体高度 问题情境 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形． 九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．    数学建模 如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．    测量工具 足够长的卷尺  测角仪 测量步骤 该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图．   第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米； 第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米； 第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为； 第四步，用卷尺测得米． 计算结果 根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）． 参考数据：，，． 4．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 题型02 操作探究与几何证明 析典例·建模型 1．（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想： 有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度； （2）经测量，求四边形的面积． 研考点·通技法 考查知识点结合： 图形的折叠、旋转、剪拼；特殊三角形的性质与判定；全等/相似；勾股定理；推理与证明 通用思路：“动手操作→猜想发现→逻辑证明→迁移应用”。 关键步骤： 1. 动手操作：在脑海中或草稿纸上模拟操作过程（折叠、旋转、剪拼），理解图形变化前后对应元素（点、线、角）的位置和数量关系。折叠会产生对称轴（角平分线、垂直平分线）；旋转会产生全等图形和旋转角。 2. 猜想发现：根据操作结果，大胆猜想线段、角之间的数量关系或位置关系。 3. 逻辑证明：利用三角形全等、相似、勾股定理、等腰三角形性质等，对猜想进行严格的逻辑证明。 (1) 明确已知：从操作中挖掘出所有隐含的已知条件（对应边相等、对应角相等、垂直、平行等）。 (2) 选择方法：是证明全等、相似还是利用勾股定理列方程？ 4. 迁移应用：将探究得到的结论或方法，应用于新的、更复杂的情境中。 核心工具： 1. 全等三角形：证明边相等、角相等最常用的方法。 2. 勾股定理：在直角三角形中建立方程求线段长的核心工具。 3. 相似三角形：解决比例线段、面积比等问题。 4. 方程思想：设未知数，列方程求解线段长度。 破类题·提能力 2．（2025·山东东营·中考真题） （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 3．（2023·山东淄博·一模）综合与实践：如图1，已知点是正方形对角线上一动点（点不与点，重合），连接． (1)实践与操作：在图1中，画出以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°的线段，并且连接（补全图形，请标注字母）． (2)观察与猜想： 猜想1，和之间的位置关系______； 猜想2，和之间的数量关系______． (3)探究与发现： ①如图2，若点在延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由； ②如图3，若点为延长线上一点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°得到线段，连接，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由． 4．（2025·山东聊城·二模）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          题型03 跨学科情境与实践 析典例·建模型 1．（2024·山东枣庄·一模）在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，． (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离．（参考数据：，，） 研考点·通技法 考查知识点结合： 函数（一次、二次）、方程、几何测量、数据处理与其它学科（物理、化学、地理、生物等）知识融合 通用思路：“理解学科概念→转化为数学关系→建立数学模型→求解”。 关键步骤： 1. 扫除概念障碍：先理解题目中涉及的其他学科概念（如“光的反射角等于入射角”、“化学反应速率”、“压强与受力面积成反比”等）。这是解题的前提。 2. 寻找数学关系：将学科概念中的变量关系，用数学的语言（方程、函数、不等式、几何图形）表示出来。 3. 建立并求解模型：选择合适的数学模型（一次函数、反比例函数、二次函数等）求解。 方法技巧： 关键在于“翻译”，即将跨学科的“事理”翻译成数学的“数理”。平时教学中可以适当引入其他学科的简单情境，让学生熟悉这种“翻译”过程。 破类题·提能力 2．（2025·山东泰安·一模）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 4．（2024·山东青岛·一模）活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为_米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距_； （3）估计王家庄的实际面积可能是_； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的_偏_方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 题型04 新定义与材料阅读 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为_． (2) _，   _， _．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： _．（直接写出结果） 研考点·通技法 考查知识点结合： 新概念、新运算、新函数的理解与运用；类比探究；代数运算；几何性质 通用思路：“阅读→理解→模仿→应用”。 关键步骤： 1. 仔细阅读：读懂新定义、新规则或新方法的含义，明确其操作步骤和数学本质。 2. 举例验证（必要时）：可以代入一个简单的例子，按定义操作一遍，验证自己的理解是否正确。 3. 模仿应用：将新定义、新方法直接套用到题目所给的新情境中，进行计算或推理。 4. 深层探究（难点）：如果新定义后还有进一步的问题，通常需要在新定义的基础上，结合已有的数学知识进行更深入的探究，这往往是对学生综合能力的最高要求。 方法技巧： 1. 抓住关键词：新定义中的关键词是对其性质的精确描述。 2. “照猫画虎”：新定义的题型通常在第一小问会给出一个简单的示范，后面的问题就是按照这个示范去操作，是“程序化”的。 破类题·提能力 2．（2024·山东青岛·三模）阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1=_这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 4．（2022·山东济宁·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______． 【公式推导】 如果一个数列，，，…，…，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：，，，…，． 所以， ， ， … (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②-①得， ∴． (3)请仿照小明的方法求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 综合与实践 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“综合与实践”的考查形式呈现多元化、情境化、高融合度的特点，是试卷中的亮点和区分点，主要分为以下两类： 1. 项目式学习与方案设计：这是高频考查形式，分值通常在10-12分，位于解答题中后位置。题目通常以真实的社会生活（如节约用水、方案选择、实地测量）、科技文化（如航天、黄金分割）、地方特色（如黄河文化、旅游）等为背景，设计一个“项目”，要求学生在阅读理解的基础上，经历“问题提出→分析探究→方案设计→解决问题”的完整过程。例如，2023年潍坊第19题（项目学习【实践探索】），2025年烟台第21题（【综合与实践】），2025年潍坊第22题（黄金分割综合实践）。 2. 操作探究与几何证明：以纸片折叠、图形剪拼、尺规作图等操作性活动为载体，考查学生的几何直观、空间观念和推理能力。题目通常由“操作→发现→猜想→证明→应用”等环节构成，引导学生从动手操作中发现问题、归纳规律，并最终用数学语言进行证明。例如，2023年济宁第21题（矩形折叠+操作探究），2025年淄博第23题（正方形折叠探究），2025年滨州第24题（最小覆盖圆综合实践）。 二、命题特点 1. 真实情境：背景材料力求真实、新颖，贴近生活、社会热点或科技前沿，如“水是生命之源”、“黄金比例”、“嫦娥探月”、“乡村振兴”、“智慧校园”等，体现“用数学的眼光观察现实世界”的理念。 2. 问题驱动：围绕一个核心问题或项目任务展开，设置了层次分明的子问题（通常2-3问），难度递进，引导学生逐步深入探究。 3. 跨学科融合：常与物理、化学、地理、传统文化、信息技术等学科知识或思想方法相结合，考查学生的跨学科综合素养。 4. 过程评价：不仅关注结果，更关注过程。题目中经常出现“请写出你的探究过程”、“请说明你的理由”、“请选择一种方案…”等表述，强调思维过程的完整性和逻辑性。 5. 开放性与选择性：部分题目不唯一解，或提供多种方案供学生选择，给学生一定的发挥空间，考查其审题决策和灵活应用能力。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 统计与概率：数据的收集、整理、描述和分析；概率的计算与应用。 (2) 函数：建立一次函数、二次函数模型解决最值、方案选择等问题。 (3) 方程与不等式：建立方程或不等式模型解决实际问题。 (4) 几何：图形的性质、变换（对称、旋转、折叠）、测量与计算。 (5) 代数运算：化简、求值、解方程（组）等基础运算能力。 2. 能力要求： (1) 阅读理解能力：能快速、准确地从题目提供的文字、表格、图象、图形中提取关键信息。 (2) 模型观念：能将实际问题中的变量关系和数量规律抽象为数学方程、函数、不等式或几何模型。 (3) 应用意识：自觉用数学知识和方法解决现实世界中的问题。 (4) 创新意识：能在探究过程中提出新问题，或设计出合理方案。 (5) 逻辑推理与数学表达：能用规范的数学语言（文字、符号、图形）清晰地表达解题思路和过程。 四、趋势展望 1. 情境设计更具“探究味”：题目会设计得更开放，让学生不仅仅是套用模型，而是真正参与到“发现问题、提出假设、设计方案、验证结论”的完整探究过程中。 2. 跨学科融合更深入自然：跨学科素材不再是简单的背景“贴标签”，而是与数学问题深度结合，需要调用其他学科的知识或思维方法才能顺利解决。 3. 重视“数学写作”与“方案评价”：可能会要求学生对方案进行评价、解释结果的合理性，甚至撰写简短的分析报告或建议，考查更高层次的素养。 4. “项目式学习”类题目将持续热门：这类题目最能体现新课标“综合与实践”的理念，会是未来中考命题的重要方向。 五、备考策略建议 1. 回归教材，重视“综合与实践”领域：教材中的“综合与实践”活动（如“设计自己的运算程序”、“制作视力表”、“利用测角仪测量物体高度”等）不是摆设，要认真完成，从中体会解决问题的完整过程，积累活动经验。 2. 训练阅读与信息提取能力： (1) “三步阅读法”：通读（了解大意）→细读（圈画关键数据、条件和问题）→精读（理解数量关系、操作步骤和逻辑结构）。 (2) 图表信息处理：专门训练从统计图、函数图象、几何图形、表格中提取关键信息的能力。 3. 强化模型观念，掌握建模策略： (1) 建立“问题→模型”的映射：训练学生见到实际问题，能快速联想到对应的数学模型（方程、函数、不等式、几何图形等）。 (2) “四步建模法”：审（清题）→设（未知数）→列（方程/函数/不等式）→解（并检验）。 4. 进行“项目式学习”专项训练： (1) 典型题目精练：精选历年来山东各地的“综合与实践”真题，进行专题训练。重点分析题目是如何“设置情境、提出问题、引导探究、考查素养”的。 (2) 培养“问题解决”的逻辑链条：训练学生按照“理解问题→分析变量关系→建立数学模型→求解模型→解释结果→回顾反思”的完整链条来解决问题。 5. 鼓励动手操作与交流对于操作探究类题目，鼓励学生在纸上模拟操作（折叠、画图），并同学间交流各自的探究过程和发现，培养合作交流和表达能力。 题型01 项目式学习与方案设计 析典例·建模型 1．（2024·山东枣庄·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间． 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 【项目任务】 (1)任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式． (2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围． (3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）． 【答案】(1) (2)p的取值范围为 (3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米 【分析】（1）根据题意得到，，，，设抛弧线的解析式为：，利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式； （2）根据这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，结合农民最高点坐标为，以及二次函数性质求解，即可解题； （3）根据薄膜所在平面和地面的夹角是，设薄膜所在平面的直线解析式为，当抛物线与薄膜所在平面相切时（即只有一个交点），有，即，求出的值，得到薄膜所在平面的直线解析式，根据喷出的水与薄膜的距离至少是厘米，推出薄膜所在的直线应向右平移米，利用平移的规律得到平移后的解析式，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为， 将其代入得： ， 整理得， 解得：，，要农民不会被水淋到， 则， 综上：p的取值范围为； （3）如图，薄膜所在平面可看成是一条直线， 由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是， 设薄膜所在平面的直线解析式为， 联立得：， 整理得， 当抛物线与薄膜所在平面相切时，方程有两个相同的解， ， 解得， 薄膜所在平面的直线解析式为， 直线与轴的交点坐标为， 过点作，且，过点作，交轴于点， ， ， 由题意得：， ， ， 薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米． 研考点·通技法 考查知识点结合： 统计图表分析＋概率计算；方程（组）/不等式（组）建模；一次函数/二次函数最值模型；数据分析与评价 通用思路：“理解项目→收集数据（处理信息）→建立模型→求解模型→方案决策→解释评价”。 关键步骤： 1. 理解项目目标：明确要解决什么问题（如选择最省钱的购买方案、设计面积最大的花园等）。 2. 处理信息：从题目给出的文字、表格、图象中提取关键数据、变量关系。 3. 建立模型：将实际问题转化为方程（组）、不等式（组）、一次函数、二次函数等数学模型。 (1) 方程模型：用于表示等量关系（如总价＝单价×数量）。 (2) 不等式模型：用于表示不等关系（如费用不超过、人数不少于）。 (3) 函数模型：用于表示变量间的依赖关系，并求最值（如利润、面积）。 4. 求解模型：准确求解方程、不等式或函数最值。 5. 方案决策：根据计算结果，结合实际意义，做出合理的方案选择或提出建议。 6. 解释评价：对结果进行说明或对方案进行评价。 破类题·提能力 2．（2026·山东济宁·一模）项目式学习 课题：估算摩天轮的高度 背景 曲阜亦乐田园是适合亲子游玩的休闲场所，园内摩天轮已正式投入使用，成为园区标志性建筑．某校九年级综合实践活动小组，计划通过测量与计算，对摩天轮的最大高度进行估算．    估算方法 方法一：利用全景吊舱数量依据行业标准来估算 摩天轮总高度由轮盘直径与底部支撑净空构成： 吊舱沿圆周均匀分布，相邻吊舱中心弧距通常为5.2~5.8米（适用于24个吊舱结构）．底部支撑净空通常为3~5米（含基座与安全间隙）．吊舱中心弧距指圆周上相邻吊舱间的弧长．底部支撑净空指吊舱在最低端到水平地面的垂直距离． 方法二：基于仰角的三角测量法 测量的相关数据如下 为了测得摩天轮的高度，在处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进54米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．    问题解决 (1)任务一：已知摩天轮安装了24个全景吊舱，依据方法一请估算出摩天轮的高度的范围．（精确到0.1米，取3） (2)任务二：根据方法二的测量数据，请估算出摩天轮的高度．（参考数据：，，，，精确到0.1米） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了弧长公式的应用、解直角三角形的实际应用；解题的关键是任务一中将吊舱弧距转化为直径范围，任务二中构造直角三角形利用正切函数列方程求解． 任务一：由24个吊舱均匀分布，利用弧长公式，将弧距范围转化为直径的范围，取计算得 再由，结合底部支撑净空的范围米，得的范围为米； 任务二：过点分别作于点，由知四边形均为矩形，得米，米，设米，分别在和中利用和表示出，由列关于的方程求解即可. 【详解】（1）解：摩天轮安装了24个全景吊舱，吊舱沿圆周均匀分布， 圆周上相邻吊舱中心弧距， 通常为米， ， ， 取， （米）， （米）， ， 底部支撑净空通常为米，， （米）， （米）， ， 即摩天轮的高度的估算范围为米； （2）解：过点分别作于点，则三点共线，， ， 四边形和四边形均为矩形， 米, 米， 设米， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得，， 米 （米）． 3．（2025·山东济宁·一模）综合与实践 一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下： 项目名称 测量底部无法到达的物体高度 问题情境 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形． 九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．    数学建模 如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．    测量工具 足够长的卷尺  测角仪 测量步骤 该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图．   第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米； 第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米； 第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为； 第四步，用卷尺测得米． 计算结果 根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）． 参考数据：，，． 【答案】米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角的关系求出雕像的高度．过点作于点，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得:米，米，在中利用的正切求出的长度，即可得到雕像的高度． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上． 点是正方形的中心， 点在的垂直平分线上， 点，，在同一条直线上， 米， （米），    过点作于点， ，， ， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， （米）， （米）． 4．（2025·山东·二模） 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下： 纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． 燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 元 元 总行驶费用 7.5元 18.75元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为xkm A车 保险 6500元／年 车机服务 1230元／年 B车 保险 2900元/年 保养 元 项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，燃油车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低． 题型02 操作探究与几何证明 析典例·建模型 1．（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想： 有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度； （2）经测量，求四边形的面积． 【答案】验证猜想：见解析；拓展应用：（1）45；（2）450平方厘米 【分析】[验证猜想] 思路一证明：如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，证明，则，根据角平分线判定得到点在平分线上，则平分；思路二证明：如图，延长到点，使得，连接，证明，则，那么，则，故，则平分； [拓展应用]（）直接利用[验证猜想]即可求解；（）过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，由猜想可知平分，然后根据角平分线性质可得，证明，则有，然后得出四边形是正方形，故有，最后代入求解即可． 【详解】[验证猜想]思路一证明： 如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为， 证明：由题意得 ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分； 思路二证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ 平分； [拓展应用]（）∵，， ∴由猜想可知：平分， ∴， 故答案为：； （）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点， ∵在四边形中，，， 由猜想可知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 四边形是正方形， ∴ 设，则由勾股定理得，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 图形的折叠、旋转、剪拼；特殊三角形的性质与判定；全等/相似；勾股定理；推理与证明 通用思路：“动手操作→猜想发现→逻辑证明→迁移应用”。 关键步骤： 1. 动手操作：在脑海中或草稿纸上模拟操作过程（折叠、旋转、剪拼），理解图形变化前后对应元素（点、线、角）的位置和数量关系。折叠会产生对称轴（角平分线、垂直平分线）；旋转会产生全等图形和旋转角。 2. 猜想发现：根据操作结果，大胆猜想线段、角之间的数量关系或位置关系。 3. 逻辑证明：利用三角形全等、相似、勾股定理、等腰三角形性质等，对猜想进行严格的逻辑证明。 (1) 明确已知：从操作中挖掘出所有隐含的已知条件（对应边相等、对应角相等、垂直、平行等）。 (2) 选择方法：是证明全等、相似还是利用勾股定理列方程？ 4. 迁移应用：将探究得到的结论或方法，应用于新的、更复杂的情境中。 核心工具： 1. 全等三角形：证明边相等、角相等最常用的方法。 2. 勾股定理：在直角三角形中建立方程求线段长的核心工具。 3. 相似三角形：解决比例线段、面积比等问题。 4. 方程思想：设未知数，列方程求解线段长度。 破类题·提能力 2．（2025·山东东营·中考真题） （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 3．（2023·山东淄博·一模）综合与实践：如图1，已知点是正方形对角线上一动点（点不与点，重合），连接． (1)实践与操作：在图1中，画出以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°的线段，并且连接（补全图形，请标注字母）． (2)观察与猜想： 猜想1，和之间的位置关系______； 猜想2，和之间的数量关系______． (3)探究与发现： ①如图2，若点在延长线上时，（2）中的两个猜想是否仍然成立，说明理由； ②如图3，若点为延长线上一点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°得到线段，连接，（2）中的两个结论是否仍然成立，说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，； (3)①当点在的延长线上时，（2）中的两个猜想仍然成立．理由见解析；②猜想1成立，猜想2不成立．理由见解析 【分析】（1）由题意补全图形即可； （2）和之间的位置关系是垂直，数量关系相等；证明，利用全等三角形的性质即可得到结论； （3）①（2）中两个结论仍成立；证明，问题即可解决； ②（2）猜想1成立，猜想2不成立．过点作，与的延长线于点．证明，由全等三角形的性质即可证明垂直关系成立，但数量关系不成立． 【详解】（1）补充的图如下： （2）解：猜想：，； 由正方形，可得，，， ∵， ∴， ∴． 由旋转性质，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）①当点在的延长线上时，（2）中的两个猜想仍然成立． 理由如下： 由正方形，可得，，， ∵， ∴， ∴． 由旋转性质，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②猜想1成立，猜想2不成立． 理由如下： 如图，过点作，与的延长线交于点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴． 即猜想1，成立，猜想2，不成立． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是问题的关键． 4．（2025·山东聊城·二模）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          【答案】（1）5 （2）的周长为（3）可以，的周长为 【分析】（1）根据题意，得，，，设，则，根据勾股定理得到，解方程即可． （2）设，则，得到，解得，则，证明，求得，，解答即可； （3）设，，则，，，设，则，则，解得，则，仿照第二问的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为； （3）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 题型03 跨学科情境与实践 析典例·建模型 1．（2024·山东枣庄·一模）在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，． (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)光斑移动的距离是． 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角，即可求解； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，即可求解． 理解“折射率”的定义，掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，设法线为，则， ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2）解：，，， ∴， ， 作， ， 设，， 则， ， 解得：， ，又， ， 答：光斑移动的距离是． 研考点·通技法 考查知识点结合： 函数（一次、二次）、方程、几何测量、数据处理与其它学科（物理、化学、地理、生物等）知识融合 通用思路：“理解学科概念→转化为数学关系→建立数学模型→求解”。 关键步骤： 1. 扫除概念障碍：先理解题目中涉及的其他学科概念（如“光的反射角等于入射角”、“化学反应速率”、“压强与受力面积成反比”等）。这是解题的前提。 2. 寻找数学关系：将学科概念中的变量关系，用数学的语言（方程、函数、不等式、几何图形）表示出来。 3. 建立并求解模型：选择合适的数学模型（一次函数、反比例函数、二次函数等）求解。 方法技巧： 关键在于“翻译”，即将跨学科的“事理”翻译成数学的“数理”。平时教学中可以适当引入其他学科的简单情境，让学生熟悉这种“翻译”过程。 破类题·提能力 2．（2025·山东泰安·一模）受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 【答案】(1)，的长为； (2)①，理由见解析；②的面积为． 【分析】（）证明，可得，继而得到，再代入数据计算可得答案； （）①利用三角形外角的性质分别证明，即可证明，得到，可得结论； ②设的面积为，根据全等三角形的性质可得，继而得到，根据可得，，再根据可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时的长为； （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②设的面积为， 由①知：，且的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的面积等知识点．正确理解题意并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)670元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用． （1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可； （2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程： ， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知： ， 解得：， 总费用 ，即， ∵ ， ∴ y随m的增大而减小． ∵ m是整数，                      ∴ 当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 4．（2024·山东青岛·一模）活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为_米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距_； （3）估计王家庄的实际面积可能是_； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的_偏_方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等： （1）根据图示和等高线的定义求解即可； （2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可； （4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可； （5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可． 【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米， 故答案为：100； （2）， 故答案为：； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为， 故选：G； （4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向， 故答案为：南；东； （5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率， ∴不公平，化学小组被坑了；、 设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下： 设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率． 题型04 新定义与材料阅读 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为_． (2) _，   _， _．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： _．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式以及的逆运用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 研考点·通技法 考查知识点结合： 新概念、新运算、新函数的理解与运用；类比探究；代数运算；几何性质 通用思路：“阅读→理解→模仿→应用”。 关键步骤： 1. 仔细阅读：读懂新定义、新规则或新方法的含义，明确其操作步骤和数学本质。 2. 举例验证（必要时）：可以代入一个简单的例子，按定义操作一遍，验证自己的理解是否正确。 3. 模仿应用：将新定义、新方法直接套用到题目所给的新情境中，进行计算或推理。 4. 深层探究（难点）：如果新定义后还有进一步的问题，通常需要在新定义的基础上，结合已有的数学知识进行更深入的探究，这往往是对学生综合能力的最高要求。 方法技巧： 1. 抓住关键词：新定义中的关键词是对其性质的精确描述。 2. “照猫画虎”：新定义的题型通常在第一小问会给出一个简单的示范，后面的问题就是按照这个示范去操作，是“程序化”的。 破类题·提能力 2．（2024·山东青岛·三模）阅读材料，完成下列小题． 集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体． 我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1=_这个算式答案的集合，我们表示为{2}． 交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的交集就是{3} 并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的整数”这个集合与“小于5大于2的整数”的并集就是{4，3，2} 【开胃小菜】请表示不等式组的解集． 【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数． (1)已知集合，，，若，求的值； (2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：； (3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1），结合集合中的元素满足互异性以及定义可得，，分别是5，7，9，即可求解； （2）根据等差数列求和公式先求出的通项公式，然后再表示出，再利用裂项求和计算即可； （3）设，设，根据不等式的同向可加性得到，可得这里有个元素，则上面为集合的所有元素，同理：，这里有个元素，则上面为集合的所有元素，发现可找出，故，由上得，，同理：，故，因此，故证毕． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵，，，，，是中的元素， ∴，，分别是5，7，9， ∴, ∴， （2）证明：由题意得， ， ， ∴ ∴ ， ∵当无穷大时，趋近于0， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设， 设， ∴， ∴这里有个元素， ∵， ∴上面为集合的所有元素， 同理：， ∴这里有个元素， ∴上面为集合的所有元素， ∴， ∴， 由上得，， 同理：， ∴， ∴， ∴若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的加法运算，不等式的性质，二次根式的加减运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 3．（2025·山东潍坊·中考真题）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图）就是用黄金分割比作为主题设计的．    【阅读观察】 材料：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数．    材料：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图中线段的黄金分割点） 方法：如图，过点作； 在直线上截取，连接； 在上截取； 在上截取，即为所求．    方法：如图， 以为边作正方形； 取中点，连接； 以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； 以为边在一侧作正方形，交于点，可得．点即为所求．    【思考探究】 （1）说明图中； （2）用不同于（）的方法，说明图中； 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： 作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； 作的平分线，交于点； 过点作的垂线，交于点，，连接，； 截取，，连接，，，五边形即为所求．    （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析． 【分析】（）设，则，勾股定理得，然后通过线段和差求出，则，所以； （）延长交于点，根据勾股定理得，所以，则有，所以，所以，则，从而可得； （）过点作于点，证明，通过性质可得，设，则，解得，所以，连接，在中，，所以，Rt中，，所以，根据垂径定理，得，所以，又，所以，从而得证． 【详解】（）解：设，则， 在中，根据勾股定理得， 所以， 所以， 所以； （）解：延长交于点， 在中，根据勾股定理，得， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以； （3）证明：因为半径，所以，， 过点作于点， 因为平分， 所以， 所以， 所以， 所以， 在中，， 设，则， 解得， 所以， 连接，在中，， 所以， 在Rt中，， 所以， 根据垂径定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2022·山东济宁·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，…，，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中，，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比为______，第5项是______． 【公式推导】 如果一个数列，，，…，…，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：，，，…，． 所以， ， ， … (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：______． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②-①得， ∴． (3)请仿照小明的方法求的值． 【答案】(1)3，243； (2)qn-1； (3) 【分析】（1）根据等比数列的公比的定义求解即可； （2）探究规律利用规律解决问题； （3）设S=25+252+253+…+25n，则25S=252+253+…+25n+1，两式相减即可求得． 【详解】（1）等比数列3，9，27，…的公比q为3， 第四项为27×3=81，第五项为81×3=243， 故答案为：3，243； （2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q． 所以a2=a1•q， a3=a2•q=a1q•q=a1•q2， a4=a3•q=a1•q2=a1•q3， … an=a1.qn-1． 故答案为：qn-1； （3）设S=25+252+253+…+25n， ∴25S=252+253+…+25n+1， ∴25S-S=25n+1-25， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义及其运算，等比数列等知识，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题． / 学科网（北京）股份有限公司 $