专题09 圆（7大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题09 圆 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势＋2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题＋名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“圆”的考查形式稳定，主要分为以下两类： 1. 圆的基础性质与判定：通常以选择题、填空题或中档解答题形式出现，分值在4-8分。主要考查垂径定理、圆周角定理及其推论、切线的判定与性质、弧长与扇形面积的计算等。例如，2024年泰安第10题，2024年威海第13题，2024年淄博第22题。 2. 圆的综合应用探究：以中档或压轴解答题形式出现，分值在8-12分。题目通常将圆与三角形（等腰、直角）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、几何变换（平移、旋转、轴对称）等知识深度融合。例如，2025年德州第21题，2025年威海第21题，2025年烟台第22题，2023年潍坊第21题。 二、命题特点 1. 模型化：圆的题目背后有很强的几何模型背景，如“直径对直角”、“切线长定理”、“垂径定理”、“圆幂定理”（切割线定理、相交弦定理的推论）、“隐圆”（定弦定角、定点定长）等。识别并应用这些模型是解题关键。 2. 综合性：圆从来不单独出现，它总是作为载体，与三角形、四边形、相似、函数等深度融合，形成综合性问题。考查学生对几何知识体系的整体把握能力。 3. 探究性：压轴题中常以“操作发现→实践探究→问题解决”的形式呈现，或在题目中设置“新定义”，要求学生经历探究过程，考查逻辑推理和知识迁移能力。 4. 工具性：圆的有关性质（特别是圆周角定理、切线的性质）是证明角相等、线段相等、位置关系（垂直、平行）的重要依据，是解决复杂几何问题的“利器”。 5. 应用性：弧长、扇形面积、圆锥侧面积的计算常与实际生活情境（如制作烟囱帽、计算弯道长度）结合，考查数学建模能力。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 圆的基本性质：圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论（特别是直径对直角、90°圆周角对直径）。 (2) 点、直线与圆的位置关系：切线的概念、判定与性质；切线长定理；三角形的内心与外心。 (3) 圆与多边形：圆内接四边形的性质与判定；正多边形（正三角形、正方形、正六边形）与圆的关系。 (4) 圆的计算：弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式。 2. 能力要求： (1) 推理能力：能灵活运用圆的性质定理进行逻辑推理和证明。 (2) 几何直观：能从复杂图形中识别出圆的基本图形（如“A”型、“X”型相似，直径垂直弦，切线垂直于半径等）。 (3) 运算能力：准确应用勾股定理、相似比例、三角函数进行圆中的线段长度计算。 (4) 空间观念：理解圆锥、圆柱等立体图形与平面展开图的关系，并计算相关量。 (5) 化归与转化思想：能将圆的问题转化为三角形（特别是直角三角形）或直线型问题。 四、趋势展望 1. “圆的综合题”仍会是区分度高的题目：作为几何部分的核心，圆的综合题会继续出现在中档或压轴位置，对学生的几何综合能力要求不会降低。 2. 与三角函数、相似三角形的结合更加紧密：在圆中求线段长时，利用三角函数或相似三角形建立方程将成为主流解法。 3. “隐圆”模型持续升温：通过定点定长、定弦定角、对角互补等条件，逆向构造出辅助圆来解决最值或轨迹问题，这类题目会继续出现。 4. 动态几何与最值问题：点在圆上或圆内运动时，求线段长、面积的最值，这类问题将继续成为压轴题的考查点。 5. 新定义/材料阅读：可能会给出一个关于圆的新概念（如“关联圆”、“姊妹圆”），要求学生理解并直接应用新概念解决问题。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，过好“定理关”： (1) “三定理”：要求学生熟记并理解垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质定理的图形、文字、符号三种语言，并能快速写出其推理过程。这是解决所有圆的问题的基石。 (2) “三公式”：弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式，要能默写并灵活运用。 (3) 基本图形：熟练掌握“直径对直角”、“过圆外一点的两条切线”、“弦切角”（若教材涉及）、“三角形外接圆与内切圆”等基本图形。 2. 专题突破，强化模型训练： (1) 模型一：垂径定理模型。过圆心作弦的垂线，构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理求解。 (2) 模型二：切线模型。看见切线，立刻连接圆心和切点，得到垂直关系（半径⊥切线）。这是证明和计算的核心条件。 (3) 模型三：直径对直角模型。看见直径，立刻寻找（或构造）它所对的圆周角，得到90°角，为勾股定理或三角函数创造条件。 (4) 模型四：隐圆模型。训练学生识别“定点定长”（到定点距离等于定长的点）、“定弦定角”（定线段所对的角为定值）、“对角互补”（四边形对角互补）等条件，从而作出辅助圆。 (5) 模型五：圆幂定理模型（切割线定理、相交弦定理）。利用PA²＝PB·PC等关系列方程求线段长。 3. 综合训练，提升解题能力： (1) “三步法”解圆的综合题： 1 读题标图：仔细读题，将所有已知条件（线段相等、角相等、垂直、切线、直径等） 在图形上用符号精准标注出来。 2 挖掘条件：利用圆的性质（圆周角、垂径定理等）挖掘出隐含的角相等、线段相等、垂直关系。 3 回归三角形：将问题转化为三角形（直角三角形或相似三角形） 中的边角关系，利用勾股定理、三角函数或相似列方程求解。 (2) 强化数形结合：将圆的几何性质与代数运算紧密结合。 (3) 规范书写：圆的证明和计算步骤多，逻辑性强，要训练学生写出清晰、完整的解题过程，特别是辅助线的作法、使用的定理、关键步骤的结论。 题型01 垂径定理与弧、弦、圆心角关系 析典例·建模型 1．（2026·山东日照·模拟预测）一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已知轮胎截面与地面相切于点（轮胎的形变忽略不计），已知轮胎没入积水的最大深度为，轮胎与积水面的交线长度为． (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（轮胎截面与斜坡相切于点），连接并延长交水平地面于点，已知． ①_________； ②求车轮轮胎中心到水平地面的距离长（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）． 【答案】(1)厘米 (2)①；②厘米 【分析】（1）连接交于，根据切线的性质、平行线的性质可得出，根据垂径定理求出，设轮胎的半径为，在中，根据勾股定理可得出，解方程即可求解； （2）①在中，由正切函数定义列式计算即可；②先由“字形”的两个三角形角度关系得到，再由余弦函数定义列式得到，然后求出长，代入计算即可． 【详解】（1）解：连接交于，连接，如图所示： ∵轮胎与地面相切于点， 垂直于地面， 平行地面， ， ∴， 设轮胎的半径为， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得， ∴轮胎的半径为； （2）解：①∵轮胎截面与斜坡相切于点， ， 在中，，则； ②如图所示： 则，，， ， 在中，，则， 由（1）知轮胎的半径为；由①知；则， ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 垂径定理；圆心角、弧、弦关系；勾股定理 通用思路：“过圆心，作垂线，构造Rt△”。 关键步骤： 1. 过圆心作弦的垂线，构造由半径（R）、弦心距（d）、半弦长（）组成的直角三角形。 2. 利用勾股定理列方程。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径． 测量工具：一块三角板、一把刻度尺和一张宽度为2的矩形硬纸板（厚度忽略不计）． 测量方法： 甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C，D，利用刻度尺测得的长． 乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口上，直角的两边、与杯口的交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长为10． 问题解决： (1)甲组同学认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：_； (2)根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为_． 交流讨论： (3)丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于F，G两点，利用刻度尺测得的长为8．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 方法反思： (4)丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？ 如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M，将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为N，利用刻度尺测得的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图5中的长为5，请求出杯口的直径． 【答案】(1)的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）； (2)； (3)； (4)理由见解析，杯口直径为． 【分析】本题主要考查了圆的相关性质（直径所对的圆周角是直角、的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、切线的性质）、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． (1) 利用直径所对圆周角为直角的性质判断； (2) 由圆周角所对弦为直径直接求解； (3) 作辅助线，利用垂径定理和勾股定理列方程求解； (4) 作辅助线，利用切线性质、矩形判定求解． 【详解】（1）解：甲组将硬纸板顶点、靠在杯口（圆上），且（矩形硬纸板的直角），根据的圆周角所对的弦是圆的直径， 因此为杯口（圆）的直径； 故答案为：的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）； （2）乙组中，三角板直角顶点在圆上，， 根据的圆周角所对的弦是圆的直径， 因此为圆的直径， 已知，故杯口直径为． 故答案为：； （3）设杯口所在圆的圆心为，半径为， 连接，，交于点， 由切线性质以及为矩形硬纸板的边，可得， 的长为8， ， （硬纸板宽度）， ， 在中，由勾股定理： 即， 解得：， 因此杯口直径为； （4）理由如下： 设圆的圆心为，连接， 由切线性质可得：，， 又， 四边形为矩形， ， 已知， 因此，杯口直径为． 3．（2026·山东聊城·一模）如图，以的边AB为直径作圆，过圆心O作，交BC于点E，交圆O于点F，连接BD，已知，点C为的中点． (1)求证：DB为圆O的切线； (2)若，点P为直径AB上的一个动点，求的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查切线的判定，直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，找到点C关于AB的对称点M，推出，，三点共线时，最小，最小值为EM的长为解题关键． （1）由点F是的中点，点C为的中点，推出，结合，得，最后利用切线的判定即可证明． （2）延长DO交于点M，连接PM，由得点C关于AB的对称点为点M，所以，，三点共线时，最小，最小值为EM的长，由， ，，得，算得，再由，算得，最后算出EM的长即可． 【详解】（1）证明：， ∴点F是的中点， 又∵点C为的中点， ． 又， ， ∴DB为圆O的切线． （2）解：如图，延长DO交于点M，连接PM， 由（1）可知， ，， ∴点C关于AB的对称点为点M， ，， ，，三点共线时，最小，最小值为EM的长, ，， ，， ，即， 在直角三角形OBE中，， ， 即的最小值为3． 4．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，是的外接圆，点为上一点，连接，过点作交延长线于点，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当是的中点时，，，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径的长 【分析】（1）根据平行线的性质，可得，根据等边对等角，则，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，则，根据三角形的内角和，等量代换，得，根据平行四边形的判定，即可； （2）连接，，设与的交点为点，根据垂径定理，得到，根据平行四边形的性质，则，，根据勾股定理，求出，设，则，解出，即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵所对的圆周角为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：连接，，设与的交点为点， ∵是的中点， ∴且是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴半径的长． 题型02 圆周角定理及其推论 析典例·建模型 1．（2026·山东菏泽·一模）如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题； （2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点A作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴ ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 圆周角与圆心角关系；直径所对圆周角；圆内接四边形 通用思路：“找弧，找角，找关系”。 关键步骤： 1. 在图中找到同弧或等弧所对的圆周角和圆心角。 2. 利用“圆周角＝圆心角或同弧所对圆周角相等”建立等量关系。 3. 遇到直径，立刻找它所对的圆周角（90°）。 4. 遇到圆内接四边形，利用对角互补或外角等于内对角。 核心性质： 1. ∠ACB＝∠ADB(同弧AB所对圆周角相等)。 2. ∠AOB＝2∠ACB(圆心角是圆周角的两倍)。 3. AB是直径→∠ACB＝90°。 4. ABCD内接于圆→∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。 破类题·提能力 2．（2026·山东日照·模拟预测）综合与探究 【探索发现】如图1，在数学活动中，小组同学用尺规作出的五等分点、、、、后，顺次连接、、、、，其中与、分别交于点、． (1)同学们测量发现，，请用数学知识说明理由； (2)已知，求长； 【抽象定义】 像图1这样，等腰与等腰有公共边，且在等腰中，边所对的等于等腰的顶角，则称为“双等三角形”； 类似地，若以等腰三角形的一边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，若两个等腰三角形组成一个四边形，则称该四边形为“双等四边形”． 【拓展应用】 (3)如图2，在等腰直角中，，，以为斜边作等腰直角，．则四边形_______（填“是”或“否”）双等四边形； (4)如图3，在等腰三角形中，，，以为一边向外作等腰，使四边形是“双等四边形”，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是 (4)或5或 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等解答即可； （2）先证明，设，则，．证明得，代入数据求解即可； （3）根据“双等四边形”的定义分析即可； （4）分三种情况求解即可：当时，当时，当时． 【详解】（1）解：∵点、、、、是的五等分点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； （3）解：∵原等腰直角三角形的顶角，以为斜边作等腰直角中，所对的角， ∴四边形是双等四边形； （4）解：当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 则； 当时，如图， 作于点E，作于点F，作于点H， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的长为或5或． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，点O，I分别是（）的外心和内心，其中是外接圆的直径．连接并延长交外接圆于点D，连接，． (1)测量并找出图中所有与相等的线段，并加以证明； (2)若图中，，求的周长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由三角形的内心性质得到，，然后利用圆周角定理得到，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）连接，过点作于点，于点，于点，根据内切圆的性质和角平分线性质得到，利用圆周角定理，解直角三角形的相关计算，以及勾股定理求出，进而即可求的周长． 熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【详解】（1）解：，证明如下： 连接， I是的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，过点作于点，于点，于点， I是的内心， ，，，圆I是的内切圆， ∴， 是外接圆的直径， ， ，， ，， ， 的周长为． 4．（2026·山东济南·一模） 如图，是的内接三角形，，，点D在的延长线上，交于点E，交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接，是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； （2）解：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型03 切线的判定与性质 析典例·建模型 1．（2025·山东临沂·一模）如图，已知Q是的边上一点，，，点P是射线上一点，连接，经过点A且与相切于点P，与边相交于另一点D． (1)的最小值是_，当圆心O在射线上时，求的半径_； (2)求出时，圆心O到直线的距离； (3)直接写出和时，圆心O到直线AB的距离． 【答案】(1)8， (2) (3)1， 【分析】（1）当时，最小，由，设，，利用勾股定理求出，可得，，再根据圆心在射线上时，是的直径可得答案； （2）当时，连接，作于T，作于R，可证得，从而有，即可求出；当时，作于R，连接，可证得，从而有，即可求出； （3）当时，圆心O到直线的距离为1，当时，作于R，连接，证明，求出即可． 【详解】（1）解：如图1， 当时，最小， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去负值）， ∴，，即的最小值是8， ∵当圆心在射线上时，是的直径，如图1， ∴的半径为， 故答案为：8，3； （2）当时，连接，作于T，作于R，如图2， ∴，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴圆心O到直线的距离为； （3）当时，圆心O到直线的距离为1， 当时，作于R，连接，如图3， ∵， ∴经过圆心O， ∵是的切线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴圆心O到距离为； 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练运用相似三角形解决问题． 研考点·通技法 考查知识点结合： 切线的判定（连半径，证垂直）；切线的性质（半径⊥切线）；切线长定理 判定：“连半径，证垂直”。 1. 已知直线过圆上一点：连接圆心和该点，证明这条半径与直线垂直。 2. 不知直线过圆上一点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。 3. 性质：“见切线，连半径，得垂直”。 4. 看到圆的切线，立刻连接圆心和切点，得到半径⊥切线这个垂直关系。 破类题·提能力 2．（2024·山东潍坊·一模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，交于点．连接并延长交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握切线的判定． （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余即可证明是的切线； （2）根据，，利用勾股定理求出半径，进而可以求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点E作， ，， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 的的中点， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积等边三角形的面积． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，是的直径，B、C都是上的点，连接，E是延长线上一点，连接，且． (1)证明：是的切线； (2)连接，交于点F．当时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得到，结合，推出，再根据是的直径，得到，进而得到，即可推出，从而得到，即可证明结论； （2）由，可得，易证是等边三角形，根据，求出，利用勾股定理求出，得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 是的直径， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，勾股定理．灵活掌握切线的判定定理是解题的关键． 4．（2024·山东东营·一模）如图，AB是的直径，点P是延长线上一点，过点P作的切线，切点是C，过点C作弦于E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，即，得到根据等腰三角形的性质得到，，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，设，，根据勾股定理得到，，，求得，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， 设，， 则由勾股定理得：， 解得：，，， ∵， 即， ∴，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】此题考查圆的切线的判定与性质、勾股定理等，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线解题. 题型04 圆与三角形的综合应用（含解直角三角形） 析典例·建模型 1．（2022·山东济宁·三模）如图1，线段AB，CD交于点O，连接AC和BD，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角． (1)如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，为等边三角形．求证：，为倍优三角形． (2)如图3，已知边长为2的正方形ABCD，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合），连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当和为倍优三角形时，求：∠DAP的正切值． (3)如图4，四边形ABCD内接于，和是倍优三角形，且∠ADP为倍优角，延长AD，BC交于点E．若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，由对顶角相等可知，求得，进而可说明结论； （2）由正方形的性质可知，，由题意知，，，当和为倍优三角形时，分两种情况求解：①若，则，可得AP平分，如图1，作于H，由角平分线的性质定理得，设，则，，则有，求出的值，根据计算求解即可；②若，如图2，作交AB于I，则，，根据计算求解即可； （3）如图3，作于点N，交于点M，连接AM，OA，由为倍优角，可知，则，由垂径定理知，，，，在中，由勾股定理得求出，设的半径为r，在中，由勾股定理得，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与为倍优三角形． （2）解：由正方形的性质可知，， 由题意知，，． 当和为倍优三角形时，分两种情况求解：①若，则， ∴AP平分， 如图1，作于H， 由角平分线的性质定理得，设，则，， ∴， 解得， ∴ ∴； ②若，如图2，作交AB于I， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴． 综上所述，的正切值为或． （3）解：如图3，作于点N，交于点M，连接AM，OA． ∵为倍优角， ∴， ∴， ∵， 由垂径定理知，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设的半径为r， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，正方形的性质，正切，圆中弦、弧、圆周角的关系，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 研考点·通技法 考查知识点结合： 垂径定理＋勾股定理；圆周角＋相似；切线＋三角函数 通用思路：“三线合一”。 1. 转化：利用圆的性质（等角、垂直、等线段）将圆中的问题转化为三角形（Rt△或相似△） 中的问题。 2. 设未知数：在直角三角形中，利用勾股定理列方程；在相似三角形中，利用对应边成比例列方程。 3. 求解：解方程求线段长。 核心工具： 1. 勾股定理：直角三角形的核心工具。 2. 相似三角形：当有平行线或等角（多由圆周角相等产生）时，优先考虑。 3. 锐角三角函数：当有特殊角或已知三角函数值时，直接利用。 关键步骤： 在复杂图形中，先通过圆的性质证明角相等（如利用圆周角定理、切线性质等），然后再去找（或构造）包含这些角的直角三角形或相似三角形。 破类题·提能力 2．（2024·山东泰安·模拟预测）在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形是直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形是以为斜边的等腰直角三角形时，则称为线段的等腰直角点． (1)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在点，，中，线段的直角点是______； (2)在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，直线：． 如图，是直线上一个动点，若是线段的直角点，求点的坐标； 是直线上一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若半径为的上恰有个点是直线关于点的伴随点，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①点的坐标为或 或 或 ；②5或 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断，，的形状即可； （2）①如图2，作，，，分别与直线交于点，作于，根据点的特征分别求解三种情况下的点坐标即可；②如图3，以为对角线，作正方形，过作轴，作于，于，过作轴，作于，于，设，证明，则，，设，则，，有，，解得，，可知，即得的运动轨迹为，同理可求的运动轨迹为， 根据上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点，可知圆与直线相切，圆过直线与的交点，两种情况符合题意，进而可求半径的大小． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ，，， ∵，，， ∴，， 故答案为：，． （2）①解：如图2，作，，，分别与直线交于点，作于， 由题意知， 将代入中得，， 解得， ∴， ，同理可得， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 整理得， 解得，， 经检验，，，均为原方程的解， ∴的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或 或 或 ． ②解：如图3，以为对角线，作正方形，过作轴，作于，于，过作轴，作于，于， 设， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， 设，则，， 则，， 解得，， ∴，即在直线上运动，如图3所示， 同理，即在直线上运动，如图3所示， 与的交点坐标为 ∴当圆与直线相切时，上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点，此时； 当圆过直线与的交点时，上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点，此时； 综上所述，上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点时，r的值为5或． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系，圆的综合等知识．解题的关键在于理解题意，并灵活运用所学知识解决问题． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线使． (1)证明：为圆O切线 (2)当圆O的半径为3，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据圆心角，弦，弧的关系可得，进而证明，从而得到；再根据平行的性质得到，结合为半径，从而证明结论； （2）连接，根据等弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角，结合锐角三角函数，求出的值；再由（1）问中的条件证明，利用相似比求出的长，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接、，设与交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴在中，， ∴， 由（1）知，， ∴在中，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 即：， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，切线的判定，直径所对的圆周角是度，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）将一个量角器和一个含角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径的延长线上，切半圆O于点F，且． (1)求证：； (2)当时，若以O、B、F为顶点的三角形与相似，求． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，判断出是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论； （2）首先分析相似三角形的对应顶点，从而得到角对应相等，再运用解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）证明：连接，如图． 切半圆O于F， ， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． （2）解：以O、B、F为顶点的三角形与相似，． ，， ， 与相似， 与是对应角， ， ， ， 故的长为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定、切线的性质、相似三角形的性质以及解直角三角形．能够正确分析相似三角形的对应顶点，从而得到有关的角对应相等是解题的关键． 题型05 圆与四边形的综合应用 析典例·建模型 1．（2026·山东潍坊·一模）如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)求证：为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由圆周角定理得，结合已知等量代换得，即可证明，则，即可得出结论； （2）连接，延长交于点F，连接，由圆周角定理得，结合已知得，由是的直径，得，进而推出，即，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，延长交于点F，连接， ∵和都是弧所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． 研考点·通技法 考查知识点结合： 圆内接四边形；平行四边形、菱形、正方形的性质；旋转 通用思路：“三线合一”。 1. 转化：利用圆的性质（等角、垂直、等线段）将圆中的问题转化为三角形（Rt△或相似△） 中的问题。 2. 设未知数：在直角三角形中，利用勾股定理列方程；在相似三角形中，利用对应边成比例列方程。 3. 求解：解方程求线段长。 核心工具： 1. 勾股定理：直角三角形的核心工具。 2. 相似三角形：当有平行线或等角（多由圆周角相等产生）时，优先考虑。 3. 锐角三角函数：当有特殊角或已知三角函数值时，直接利用。 关键步骤： 在复杂图形中，先通过圆的性质证明角相等（如利用圆周角定理、切线性质等），然后再去找（或构造）包含这些角的直角三角形或相似三角形。 破类题·提能力 2．（2026·山东滨州·一模）已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．，，，求的长． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形可得，，根据两角对应相等即可证明，根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得 3．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握题干给出的信息，判断三角形和四边形的最小覆盖圆，是解题的关键． 4．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，过点C作的切线与的延长线相交于点E，，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数，圆的内接四边形性质，熟练掌握切线的性质，三角形相似，勾股定理，三角函数是解题的关键． （1）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆的内接四边形，证明，即可得出结论． （2）运用直径所对的圆周角是直角，切线的性质，证明，再由相似三角形性质得出，由勾股定理计算出，再利用三角函数计算即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为的直径， ∴． 又由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 题型06 弧长与扇形面积计算 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． (1)求的度数； (2)若，求由线段，和围成的图形的面积． 【答案】(1) (2)所求图形面积为 【分析】（1）结合已知条件利用三角形内角和定理求出的度数，再由作图可得平分，得到，最后利用三角形外角的性质即可得解； （2）利用解含30度的直角三角形得到，结合已知条件利用勾股定理求得的长度，由可得出，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由作图可得平分， ， ，， ． （2）解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ∴所求图形面积． 研考点·通技法 考查知识点结合： 弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面积；阴影面积（割补法） 通用思路：“找圆心角n和半径r”。 核心公式： 1. 弧长公式：（n为圆心角度数，r为半径） 2. 扇形面积公式：（l为弧长） 3. 扇形弧长=圆锥底面周长（，r为圆锥底面半径，l为母线长） 求阴影面积常用方法： 1. 直接法：直接利用公式求规则图形的面积。 2. 割补法：将不规则图形分割或补全成规则图形（几个扇形、三角形面积的和差）。 3. 等积变换：利用全等、平行线等将图形面积进行转化。 破类题·提能力 2．（2026·山东德州·一模）如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， 证明：直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 3．（2026·山东济宁·一模）如图（1），工人师傅想在这张直径为的半圆的铁皮上裁剪出如阴影部分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点，若时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求出图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】连接，，求出，作于点，得，，，根据求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， 由旋转得，, 又， ∴， ∴， 连接，则， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，内接于，直径与弦相交于点E，F是延长线上的一点，连接，，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．证明．由是的直径可得，得出，从而可得结论； （2）先证明四边形是平行四边形．是菱形，再证明是等边三角形，求出，根据可得结论． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴，． ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴， ∴, ∴． 题型07 圆中的最值与动态问题 析典例·建模型 1．（2025·山东潍坊·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； (3)连接，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）设的中点为点C，则，，确定，，从而确定抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，代入一个点的坐标，解答即可； （2）设的外接圆圆心为E，连接，，分两种情况求解即可； （3）根据点圆的最值解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为点C，则，， ∴，， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最小值为， 不妨设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为或． （2）解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， 当时， 过点A作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的外接圆直径， ∴， 综上所述，或． （3）解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， ∴当三点共线时，取得最大值， ∴， ∴取得最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，点圆的最值计算，正弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 点的运动；几何最值模型（将军饮马、阿氏圆）；隐圆 通用思路：“化动为静，模型优先”。 关键步骤： 1. 识别动态：分析动点的轨迹（是在直线上运动，还是在圆上运动？）。 2. 运用模型： (1) 点圆最值：圆外一点到圆上各点的距离最短/最长，是连接该点与圆心，与圆的两个交点。 (2) 隐圆最值：先通过“定点定长”、“定弦定角”、“对角互补”等条件，确定动点在一个辅助圆上运动，然后转化为“点圆最值”或“圆上点到直线距离最值”问题。 (3) 将军饮马：求两线段和的最小值，作对称点。 (4) 阿氏圆：求k·PA＋PB的最小值（k≠1），通过构造母子相似三角形转化系数。 3. 建立函数：用参数表示相关量，建立二次函数关系式求最值。 核心概念：“隐圆”是解决这类问题的灵魂。训练学生从条件中“找隐圆”的能力。 破类题·提能力 2．（2025·山东济南·二模）（1）已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为___________；若，则___________度； （2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由； （3））如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．． 【答案】（1）相等，；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据，，，证明，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）根据得，证明，结合三角形内角和性质列式整理得， （3）延长至，使得，连接，，运用相似三角形的性质以及E为中点，，证明，结合为等边三角形，得，则是的中位线， ，所以，点F的轨迹为，在的优弧上取点，连接，过点作，运用解直角三角函数进行列式得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：相等，； （2），理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）延长至，使得，连接，， ∵， ∴，， ∵E为中点，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 取中点G，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点F在的劣弧上运动， 在的优弧上取点，连接，过点作， 则四边形是圆内接四边形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 则， 则， 即， ∴， ∴， ∴， 当A、F、O共线时，取得最小值． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2024·山东·模拟预测）如图，点是上的一个动点，点是圆外任意两点，连接，作的外接圆，恰好为外接圆的直径，且外接圆过点，点是的中点，共线． (1)作的边上的高，垂足为点，证明：①；②； (2)若的半径为，，，求线段的长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得，通过证明可证①，证明可证②； （2）取中点N，连接，则是的中位线，，可得点M在以N为圆心，为半径的圆上，再根据圆外一点到圆上点的距离求最小值． 【详解】（1）证明：①如图，作的边上的高，垂足为点， 恰好为外接圆的直径， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：，，， ， 取中点N，连接，则， 点是的中点， 是的中位线， ， N为定点， 点M在以N为圆心，为半径的圆上， 连接交于点，此时线段的长度最小， 最小值为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，圆外一点到圆上点的距离等，综合性较强，有一定难度，找到点M的运动轨迹是解题的关键． 4．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题09圆 ee。e●ee●。●。。。。●。。。。。。。●e●0e●●0e●00●。●●●9●●●●●●●●●●●●●●●●ee●。e●●●e●●●。●●9。。。●●●。●。●9●。●e●●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题十名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑PART 命题解码•定方向 一、具体考查形式 近三年山东中考对“圆”的考查形式稳定，主要分为以下两类： 1.圆的基础性质与判定：通常以选择题、填空题或中档解答题形式出现，分值在4-8分。主要考查垂 径定理、圆周角定理及其推论、切线的判定与性质、弧长与扇形面积的计算等。例如，2024年泰安第 10题，2024年威海第13题，2024年淄博第22题。 2.圆的综合应用探究：以中档或压轴解答题形式出现，分值在8-12分。题目通常将圆与三角形（等 腰、直角)、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、 几何变换（平移、旋转、轴对称）等知识深度融合。例如，2025年德州第21题，2025年威海第21题， 2025年烟台第22题，2023年潍坊第21题。 二、命题特点 1.模型化：圆的题目背后有很强的几何模型背景，如“直径对直角”、“切线长定理”、“垂径定 理”、“圆幂定理”（切割线定理、相交弦定理的推论）、“隐圆”（定弦定角、定点定长)等。识别 并应用这些模型是解题关键。 2.综合性：圆从来不单独出现，它总是作为载体，与三角形、四边形、相似、函数等深度融合，形 成综合性问题。考查学生对几何知识体系的整体把握能力。 3.探究性：压轴题中常以“操作发现→实践探究→问题解决”的形式呈现，或在题目中设置“新定 义”，要求学生经历探究过程，考查逻辑推理和知识迁移能力。 4.工具性：圆的有关性质（特别是圆周角定理、切线的性质）是证明角相等、线段相等、位置关系 (垂直、平行)的重要依据，是解决复杂几何问题的“利器”。 5.应用性：弧长、扇形面积、圆锥侧面积的计算常与实际生活情境（如制作烟囱帽、计算弯道长度） 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 结合，考查数学建模能力。 三、核心考查内容与能力要求 1.核心内容： (I)圆的基本性质：圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论 (特别是直径对直角、90°圆周角对直径)。 (2)点、直线与圆的位置关系：切线的概念、判定与性质；切线长定理；三角形的内心与外心。 (3)圆与多边形：圆内接四边形的性质与判定；正多边形（正三角形、正方形、正六边形）与圆的关 系。 (4)圆的计算：弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式。 2.能力要求： (1)推理能力：能灵活运用圆的性质定理进行逻辑推理和证明。 (2)几何直观：能从复杂图形中识别出圆的基本图形（如“A”型、“X”型相似，直径垂直弦，切线 垂直于半径等)。 (3)运算能力：准确应用勾股定理、相似比例、三角函数进行圆中的线段长度计算。 (④空间观念：理解圆锥、圆柱等立体图形与平面展开图的关系，并计算相关量。 (⑤)化归与转化思想：能将圆的问题转化为三角形（特别是直角三角形）或直线型问题。 四、趋势展望 1.“圆的综合题”仍会是区分度高的题目：作为几何部分的核心，圆的综合题会继续出现在中档或 压轴位置，对学生的几何综合能力要求不会降低。 2.与三角函数、相似三角形的结合更加紧密：在圆中求线段长时，利用三角函数或相似三角形建立 方程将成为主流解法。 3.“隐圆”模型持续升温：通过定点定长、定弦定角、对角互补等条件，逆向构造出辅助圆来解决 最值或轨迹问题，这类题目会继续出现。 4.动态几何与最值问题：点在圆上或圆内运动时，求线段长、面积的最值，这类问题将继续成为压 轴题的考查点。 5. 新定义材料阅读：可能会给出一个关于圆的新概念（如“关联圆”、“姊妹圆”)，要求学生理 解并直接应用新概念解决问题。 五、备考策略建议 1.夯实基础，过好“定理关”： / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1) “三定理”：要求学生熟记并理解垂径定理、圆周角定理、切线判定与性质定理的图形、文字、 符号三种语言，并能快速写出其推理过程。这是解决所有圆的问题的基石。 (2) “三公式”：弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式，要能默写并灵活运用。 (3)基本图形：熟练掌握“直径对直角”、“过圆外一点的两条切线”、“弦切角”（若教材涉及)、 “三角形外接圆与内切圆”等基本图形。 2. 专题突破，强化模型训练： ()模型一：垂径定理模型。过圆心作弦的垂线，构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，利 用勾股定理求解。 (②)模型二：切线模型。看见切线，立刻连接圆心和切点，得到垂直关系（半径⊥切线）。这是证明 和计算的核心条件。 (3)模型三：直径对直角模型。看见直径，立刻寻找（或构造）它所对的圆周角，得到90°角，为勾 股定理或三角函数创造条件。 (④)模型四：隐圆模型。训练学生识别“定点定长”（到定点距离等于定长的点）、“定弦定角”（定 线段所对的角为定值)、“对角互补”（四边形对角互补）等条件，从而作出辅助圆。 (⑤)模型五：圆幂定理模型（切割线定理、相交弦定理）。利用PA2=PB·PC等关系列方程求线段长。 3.综合训练，提升解题能力： (1) “三步法”解圆的综合题： ①读题标图：仔细读题，将所有已知条件（线段相等、角相等、垂直、切线、直径等）在图形上用 符号精准标注出来。 ②挖掘条件：利用圆的性质（圆周角、垂径定理等）挖掘出隐含的角相等、线段相等、垂直关系。 ③回归三角形：将问题转化为三角形（直角三角形或相似三角形）中的边角关系，利用勾股定理、 三角函数或相似列方程求解。 (2)强化数形结合：将圆的几何性质与代数运算紧密结合。 (3)规范书写：圆的证明和计算步骤多，逻辑性强，要训练学生写出清晰、完整的解题过程，特别是 辅助线的作法、使用的定理、关键步骤的结论。 ☑ PART 02 解题建模•通技法 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 >题型01垂径定理与弧、弦、圆心角关系<《 析典侧建模型 1,(2026山东日照模拟预测)一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，已 知轮胎截面⊙0与地面相切于点P(轮胎的形变忽略不计)，已知轮胎没入积水的最大深度为6cm,轮 胎与积水面的交线AB长度为36cm. 水面 ME 图1 图2 (1)求轮胎的半径； (2)如图2，当汽车行驶到坡角为14°的斜坡CD上的D点时（轮胎截面⊙0与斜坡相切于点D),连接 OD并延长交水平地面于点E,已知CD=180cm. ①DE= cm: ②求车轮轮胎中心0到水平地面的距离0M长（结果保留小数点后一位，参考数据：si14°≈0.24， cosl4°≈0.97，tan14°≈0.25）， 研考点通技法 !考查知识点结合： 垂径定理；圆心角、弧、弦关系；勾股定理 通用思路：“过圆心，作垂线，构造Rt△”。 「关键步骤： 1. 过圆心作弦的垂线，构造由半径R)、弦心距(dD、半弦长（宁）组成的直角三角形， 利用勾股定理R2=d2+ 列方程。 破类题提能力 2.(2026山东青岛一模)问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 测量工具： 图1 图2 图3 图4 图5 -块三角板(RtA ABC)、一把刻度尺和一张宽度为2Cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）· 测量方法： 甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A,B分别靠在杯口上，硬纸板的 边沿与杯口的另两个交点分别为C,D,利用刻度尺测得BD的长 乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口 上，直角的两边CA、CB与杯口的交点分别为E,F,利用刻度尺测得EF的长为10cm. 问题解决： ()甲组同学认为，他所测量的BD的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：一； (2)根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为cm. 交流讨论： (3)丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E,另一边与杯 口相交于F,G两点，利用刻度尺测得FG的长为8C.请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯 口的直径 方法反思： (④)丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？ 如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M,将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边 上，另一条直角边CB与杯口相切，切点为N,利用刻度尺测得CM的长即可算出杯口直径.若丁组的 操作和测得数据都是正确的，己知图5中CM的长为5cm,请求出杯口的直径 3.(2026山东聊城一模)如图，以ABC的边AB为直径作圆，过圆心O作OD⊥BC,交BC于点E, 交圆O于点F,连接BD,已知∠D=30°，点C为AF的中点. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：DB为圆O的切线； (2)若DF=2,点P为直径AB上的一个动点，求PE+PC的最小值？ 4.(2026山东聊城模拟预测)如图，⊙0是ABC的外接圆，点D为AC上一点，连接BD,过点C作 CE∥BD交AB延长线于点E,AC=CE,连接CD. (I)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)当D是AC的中点时，CE=8,BE=5,求O0半径的长. >题型02圆周角定理及其推论<〈 析典侧建模里 1.(2026山东菏泽.一模)如图，ABC内接于⊙O,∠B=45°，连接A0,过点C作00的切线，与BA的 延长线交于点D. B (1)求证：0A∥CD: (2)若∠BAC=75°，AD=8,求图中阴影部分的面积. 研烤点通技法 / 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考查知识点结合： 圆周角与圆心角关系；直径所对圆周角；圆内接四边形 通用思路：“找弧，找角，找关系”。 关键步骤： 1.在图中找到同弧或等弧所对的圆周角和圆心角。 12. 利用“质周角=圆心角或同弧所对医周角相等”建立等量关系。 13. 遇到直径，立刻找它所对的圆周角(90°)。 14. 遇到圆内接四边形，利用对角互补或外角等于内对角。 !核心性质： 11. ∠ACB=∠ADB(同弧AB所对圆周角相等)。 12. ∠AOB=2∠ACB(圆心角是圆周角的两倍)。 13. AB是直径→∠ACB=90°。 14. ABCD内接于圆→∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 破类题提能力 2 (2026山东日照模拟预测)综合与探究 【探索发现】如图1，在数学活动中，小组同学用尺规作出OO的五等分点A、B、C、D、E后，顺 次连接AC、BD、CE、DA、EB,其中EB与AC、DA分别交于点G、H. D 图1 图2 图3 (I)同学们测量发现，∠AEB=∠DAE=∠CAD,请用数学知识说明理由； (2)已知GH=1,求AG长： 【抽象定义】 像图1这样，等腰△AGH与等腰△AHE有公共边AH,且在等腰△AHE中，边AH所对的∠AEB等于等 腰△AGH的顶角∠GAH,则称△AGE为“双等三角形”； 类似地，若以等腰三角形的一边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，若两个 等腰三角形组成一个四边形，则称该四边形为“双等四边形”， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)如图2，在等腰直角ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以AC为斜边作等腰直角△ACD, ∠ADC=90°.则四边形ABCD(填“是”或“否”)双等四边形： (4)如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,以AC为一边向外作等腰△ACD,使四边形 ABCD是“双等四边形”，求CD的长. 3.(2026山东淄博一模)如图，点O,I分别是ABC(AC<BC)的外心和内心，其中AB是ABC外 接圆的直径.连接CI并延长交外接圆于点D,连接AD,BD B (1)测量并找出图中所有与D1相等的线段，并加以证明； (②若图中C1=2,D1=5,求4BC的周长。 4.(2026山东济南一模)如图，ABC是⊙0的内接三角形，A0=2,∠ACB=60°，点D在A0的延 长线上，AD交OO于点E,交BC于点F,AB=BD=DF,连接CE, (I)求证：DB是O0的切线： (2)求0F的长. >题型03切线的判定与性质<〈 析典侧.建模型 1.(2025山东临沂一模)如图，已知0是∠B1C的边4C上一点，A0=10,am∠BAC=,点P是射 线AB上一点，连接P2,OO经过点A且与QP相切于点P,与边AC相交于另一点D. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 备用图 (1)PQ的最小值是，当圆心O在射线AB上时，求O0的半径： (2)求出AP=4时，圆心O到直线AB的距离； (3)直接写出AP=8和AP=12时，圆心O到直线AB的距离. 研考点。通技法 」考查知识点结合： 切线的判定（连半径，证垂直）；切线的性质（半径⊥切线）；切线长定理 」判定：“连半径，证垂直”。 |1.已知直线过圆上一点：连接圆心和该点，证明这条半径与直线垂直。 |2.不知直线过圆上一点：过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。 13.性质：“见切线，连半径，得垂直”。 14.看到圆的切线，立刻连接圆心和切点，得到半径⊥切线这个垂直关系。 破类题提能力 2.(2024山东潍坊一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙0， 交AB于点F.连接BD并延长交OO于点E,连接CE,CE=BC. O ■ E (I)求证：CE是⊙0的切线； 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若CD=2,BC=2√3，求阴影部分的面积. 3.(2024山东·模拟预测)如图，AD是⊙0的直径，B、C都是⊙0上的点，连接AB、BC、OC、AC,E 是AC延长线上一点，连接DE,且∠ABC=∠AED. O B (I)证明：DE是O0的切线： (2)连接OE,交O0于点F.当CD=A0时，若CE=2,求EF的长. 4.(2024山东东营一模)如图，AB是O0的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙0的切线PC, 切点是C,过点C作弦CD⊥AB于E,连接CO,CB. B (I)求证：PD是00的切线： 2若AB=10,anB)求PA的飞 >题型04圆与三角形的综合应用（含解直角三角形<了 析典侧建模型 1.(2022山东济宁·三模)如图1，线段AB,CD交于点O,连接AC和BD,若∠A与∠B,∠C与∠D中 有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角 称为倍优角. / 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图2 图3 图4 (I)如图2，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,己知AB⊥BD,△COD为等边三角形.求 证：AOB,△COD为倍优三角形 (2)如图3，已知边长为2的正方形ABCD,点P为边CD上一动点（不与点C,D重合），连接AP和BP ,对角线AC和BP交于点O,当△AOP和aBOC为倍优三角形时，求：∠DAP的正切值， (3)如图4，四边形ABCD内接于OO,△BCP和△ADP是倍优三角形，且∠ADP为倍优角，延长AD, BC交于点E.若AB=8,CD=5,求OO的半径， 研考点通技法 ！考查知识点结合： 垂径定理十勾股定理；圆周角十相似；切线十三角函数 」通用思路：“三线合一”。 ·1.转化：利用圆的性质（等角、垂直、等线段）将圆中的问题转化为三角形(Rt△或相似△)中的问题。 !2.设未知数：在直角三角形中，利用勾股定理列方程；在相似三角形中，利用对应边成比例列方程。 13. 求解：解方程求线段长。 ·核心工具： !1.勾股定理：直角三角形的核心工具。 !2.相似三角形：当有平行线或等角（多由圆周角相等产生）时，优先考虑。 13. 锐角三角函数：当有特殊角或己知三角函数值时，直接利用。 ·关键步骤： 在复杂图形中，先通过圆的性质证明角相等（如利用圆周角定理、切线性质等），然后再去找（或构造） ·包含这些角的直角三角形或相似三角形。 -一-一-一-一一一一-一 破类题提能力 2.(2024山东泰安·模拟预测)在平面内，C为线段AB外的一点，若以A,B,C为顶点的三角形是直角 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三角形，则称C为线段AB的直角点.特别地，当该三角形是以AB为斜边的等腰直角三角形时，则称C 为线段AB的等腰直角点。 .P3 M P B 图1 图2 备用图 (1)如图1，在平面直角坐标系x0y中，点M的坐标是4,0)，在点P(0,-1,P（5,1),卫(2,2)中，线段 OM的直角点是 ； (2)在平面直角坐标系x0y中，点A,B的坐标分别是(1,4)，(1，-6)，直线1：y=-x+7. ①如图2，C是直线1上一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标； ②P是直线l上一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线I关于点A的伴随点.若半径为”的 ⊙0上恰有3个点是直线1关于点A的伴随点，直接写出？的值. 3.(2026山东临沂模拟预测)如图，ABC的外接圆为圆O,圆心O恰好为三角形一边AB的中点，点 D为圆上一点，且CD=BD,过点D作直线DE使∠CBD=∠BDE. D B (I)证明：DE为圆O切线 (2)当圆O的半径为3，sin∠CBD=号时，求BE的长. 3 4.(2025·山东泰安模拟预测)将一个量角器和一个含30°角的直角三角板如图(1)放置，图(2)是由它 抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F,且BC=OD. 图(1) 图(2) (1)求证：DB∥CF; 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与ABC相似，求OB. >题型05圆与四边形的综合应用<〈 折典侧建摸里 1.(2026山东潍坊一模)如图，四边形ABCD内接于O0,连接AC、BD,过点B向圆外方向作 ∠CBE=∠BDC,点E在AC的延长线上. B (I)求证：EB2=EC·EA: (2)求证：EB为O0的切线. 研考点通技法 !考查知识点结合： 圆内接四边形；平行四边形、菱形、正方形的性质；旋转 ！通用思路：“三线合一”。 !1.转化：利用圆的性质（等角、垂直、等线段）将圆中的问题转化为三角形(Rt△或相似△)中的问题。 12. 设未知数：在直角三角形中，利用勾股定理列方程：在相似三角形中，利用对应边成比例列方程。 3.求解：解方程求线段长。 !核心工具： ·1.勾股定理：直角三角形的核心工具。 !2.相似三角形：当有平行线或等角（多由圆周角相等产生）时，优先考虑。 13. 锐角三角函数：当有特殊角或已知三角函数值时，直接利用。 ·关键步骤： 」在复杂图形中，先通过圆的性质证明角相等（如利用圆周角定理、切线性质等），然后再去找（或构造） 1包含这些角的直角三角形或相似三角形。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一破类题提能力 2.(2026山东滨州一模)已知：如图，延长圆内接四边形的边AD、BC,相交于点E.DE=5, BE=12,AB=6,求CD的长. 3.(2025山东滨州中考真题)【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用.我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该 平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三 角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为 直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆 【动手操作】 如图1，ABC中，∠BAC>90°，请作出ABC的最小覆盖圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法.) 【迁移运用】 正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2,以CE为边向外作正方形CEFG. (1)如图2，连接AF,DF,求△ADF的最小覆盖圆的直径； (2)将图2中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°（如图3），⊙0经过A,D,F三点，且与边 AB,CD分别交于点I,L,求△ADF的最小覆盖圆的直径： (3)将正方形CEFG绕点C旋转，分别取DB,BG,GE,ED的中点M,N,P,Q,顺次连接各中点，得 到四边形MWPQ(如图4)·在旋转过程中，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？ 如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围 M 图1 图2 图3 图4 4.(2024山东临沂模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC为⊙0的直径，过点C作O0的切线 与AD的延长线相交于点E,EF⊥BC,交BC的延长线于点F. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 B (I)求证：∠BAC=∠ECF; (2)若AD=6,CD=2,cos∠BAC= ,求CF的长。 10 >题型06孤长与扇形面积计算<《〈 析典侧建模型 1. (2026山东济宁一模)如图，在ABC中，∠B=90°，∠C=30°，以点A为圆心，适当长为半径作弧， 分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于 点P.连接AP并延长交BC于点D,以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交边AC于点E. (1)求∠ADB的度数： (2)若BD=2,求由线段AD，AE和DE围成的图形的面积. 研考点通技法 考查知识点结合： 弧长公式；扇形面积公式；圆锥侧面积；阴影面积（割补法） 通用思路：“找圆心角n和半径r”。 1核心公式： 1.弧长公式：1=(n为圆心角度数，r为半径) 180 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一-一=一”一”一一一。一、一=一 12. 扇形面积公式：S=rr=1 360=2:(1为弧长) 13. 扇形弧长=圆锥底面周长(2π1=，r为圆锥底面半径，1为母线长) 180 ㄧ求阴影面积常用方法： 1. 直接法：直接利用公式求规则图形的面积。 12. 割补法：将不规则图形分割或补全成规则图形（几个扇形、三角形面积的和差）。 3. 等积变换：利用全等、平行线等将图形面积进行转化。 破类题提能力 2.(2026山东德州一模)如图，AB为O0的直径，射线AC交⊙0于点C,过00上点D作直线 DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.直线DE是OO切线，连接BD并延长交AC于点M. (1)求证：AD平分∠CAB; (2)若∠F=30°，请判断DM和ME的数量关系.并证明结论： (3)在(2)的条件下，若⊙0半径为1，求图中阴影部分面积 3.(2026山东济宁.一模)如图(1)，工人师傅想在这张直径为12cm的半圆0的铁皮上裁剪出如阴影部 分的铁皮，他制作了一个和这张铁皮一样大小的模型半圆。，将这个模型完全和铁皮重合后，绕着点B 顺时针旋转，模型与铁皮直径AB交于点P,若BP=6√3Cm时，恰好是想得到的铁皮，根据以上条件求 出图中阴影部分的面积. A 图(1) 图(2) 4.(2026山东济宁.一模)如图，ABC内接于⊙0，直径BD与弦AC相交于点E,F是DB延长线上的一 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点，连接OA,OC,AF,∠AOB=2∠BAF. D B (1)求证：AF是⊙0的切线： (2)若LOAC=∠BAF，OA=BC,AB=6,求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）. >题型07圆中的最值与动态问题<了 析典例.建模型 1.(2025山东潍坊三模)如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封 闭图形，称为冰激凌型”.已知A,B是二次函数图象与x轴的交点，AB=12,AB的中点坐标为2,0)， 二次函数的最小值为-9，点P是x轴上方的一个动点，∠APB=45. A B 图1 图2 (I)求二次函数的表达式： (2)如图2，连接AD,BD,若得到的四边形ADBP有一组对边平行，求AP的长； (3)连接DP,请直接写出线段DP的最大值. 研烤点通技法 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考查知识点结合： 点的运动；几何最值模型（将军饮马、阿氏圆）；隐圆 通用思路：“化动为静，模型优先”。 关键步骤： 识别动态：分析动点的轨迹（是在直线上运动，还是在圆上运动？）。 2 运用模型： (①)点圆最值：圆外一点到圆上各点的距离最短/最长，是连接该点与圆心，与圆的两个交点。 (2)隐圆最值：先通过“定点定长”、“定弦定角”、“对角互补”等条件，确定动点在一个辅助圆 上运动，然后转化为“点圆最值”或“圆上点到直线距离最值”问题。 (3)将军饮马：求两线段和的最小值，作对称点。 (4)阿氏圆：求k·PA十PB的最小值(k≠1)，通过构造母子相似三角形转化系数。 3.建立函数：用参数表示相关量，建立二次函数关系式求最值。 核心概念：“隐圆”是解决这类问题的灵魂。训练学生从条件中“找隐圆”的能力。 破送题提能力 2.(2025山东济南·二模)(1)已知ABC,ADE,∠BAC=∠DAE=90°，点D在边AC上，AB=AC ,AD=AE,连接BD,CE,线段BD,CE的数量关系为 ;若∠BCE=70°，则∠BDE= 度； (2)如图2，己知ABC,ADE,点B,A,E共线，A点在B,E两点之间，点C,D在直线BE同 侧，若△ABC∽△ADE,请判断∠BCE和∠BDE的数量关系，并说明理由； (3))如图3，已知等边ABC,AB=6,E为AB中点，D为BC边上一动点，连接AD,ED,F为 ABC内一点，连接DF,CF,AF,若△DCF∽△DAE,求AF的最小值.· E 图1 图2 图3 3.(2024山东·模拟预测)如图，点C是⊙0上的一个动点，点A、B是圆外任意两点，连接 BC、AB、OA、OB,作△ABO的外接圆，OB恰好为外接圆的直径，且外接圆过点A,点M是BC的中 点，A、E、M共线. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E M (1)作△ABO的OB边上的高，垂足为点H,证明：①AH2=OH·BH;②AB2=BH·OB; (2)若O0的半径为3，A0=5,AB=12,求线段AM的长度的最小值. 4.(2025山东.中考真题)【图形感知】 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. D D B B 图1 图2 (1)求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究。 在线段CD上取一点E,连接BE,将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A'BED',其中！，D分别是A ,D的对应点 (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D恰好落在边BC上，延长A'D'交CD于点F,如图2.判断四边形DBA'F的形状，并说明理 由； ②乙：点A恰好落在边BC上，如图3.求DE的长； (3)如图4，连接DD'交BE于点P,连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？ 若存在，直接写出若不存在，说明理由. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D 人、 E E D D B ☑ A C 图3 图4