专题04 尺规作图（5大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04 尺规作图 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“尺规作图”的考查形式灵活，主要分为以下两类： 1. 独立的作图题：通常作为一道独立的解答题出现，分值在4-8分。要求使用直尺和圆规进行规范的作图，并保留作图痕迹。有时会要求根据作图结果进行推理或计算。 2. 融入综合题的作图应用：在三角形、四边形、圆的综合题中，将尺规作图作为解决问题的一个步骤或工具。例如，利用基本作图构造特定三角形或角，为后续的证明、计算服务。 二、命题特点 1. 基础性：考查的作图类型均为课程标准要求的基本作图（作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角等）或由其组合而成的复杂作图。 2. 工具性：尺规作图不仅是独立的技能考查，更重要的是一种分析和解决问题的“工具”。考查学生能否根据几何问题的需要，运用尺规作图构造符合条件的图形。 3. 规范性：对作图的规范性要求很高，包括工具使用（直尺、圆规）、步骤完整（不跳步）、保留清晰的作图痕迹（弧线、交点）、最后写出明确的结论（“……即为所求”）。 4. 开放性：部分题目要求学生根据给定条件自主设计作图方案，并说明理由，考查创新意识和解决问题的能力。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容：根据课程标准，尺规作图的核心内容包括： (1) 基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 (2) 复杂作图：作三角形（三边、两边一角、两角一边、底边及底边上的高线、一直角边和斜边）；作三角形的外接圆和内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；过圆外一点作圆的切线。 2. 能力要求： (1) 动手操作能力：能规范、熟练地使用直尺和圆规进行操作。 (2) 几何直观与推理能力：能理解尺规作图背后的几何原理（如角平分线的判定、中垂线的性质），并能根据作图过程进行推理和计算。 (3) 空间观念：能通过尺规作图来分析和解决几何问题，将作图过程与图形性质联系起来。 (4) 创新意识：在开放设计类问题中，能自主探索，提出可行性方案。 四、趋势展望 1. 继续保持基础地位：尺规作图的基本功不会弱化，仍然是考查学生动手操作和几何思维的重要载体。 2. “作图+推理/计算”的融合模式：在综合题中，尺规作图作为解题的“第一步”，后续会紧跟证明或计算，这种模式会成为主流。 3. 网格作图与无刻度直尺作图持续升温：这类新题型能有效规避传统的圆规操作难度，转而考查对图形性质（对称性、平行、垂直等）的深刻理解和灵活运用，预计将继续出现。 4. 开放性设计题可能增加：为了考查创新思维，可能会增加更多要求学生自主设计作图方案，并说明理由的题目。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，规范操作： (1) 记准“五步法”：对五种基本作图（作角平分线、作中垂线、作垂线、作等角、作等线段）的步骤、要领、保留弧线的规范要烂熟于心，并通过反复练习形成肌肉记忆。 (2) 严格训练：每周安排专门的尺规作图训练课，要求学生每一步都做到：“看清要求→想清原理→动手操作→保留痕迹→写出结论”。教师要逐一批改，纠正不规范的动作和留下的多余弧线。 2. 理解原理，提升思维： (1) “知其然也知其所以然”：在教授每种作图方法时，不仅要讲操作，更要讲清楚为什么这样作图就得到了要求的图形（如为什么用尺规作的中垂线上的点到线段两端距离相等，为什么角平分线上的点到角两边距离相等）。这能帮助学生将“操作”与“几何性质”建立联系。 (2) 归类训练：将尺规作图题目按“基本作图”、“复杂作图”、“应用作图（如作高、中线、中位线、外接圆等）”、“网格作图”、“无刻度作图”进行分类，进行专项训练。 3. 突破难点，掌握技巧： (1) 复杂作图：复杂作图通常是由几个基本作图组合而成。要引导学生学会将复杂问题分解为几个基本步骤，化整为零。例如，作一个三角形，可以分解为“作一个角等于已知角”+“截取线段”。 (2) 无刻度直尺作图：重点训练学生利用图形的性质（如平行四边形对角线互相平分、三角形中线交于重心、圆中垂径定理及圆周角定理等）来“找点”或“画线”。例如，利用正方形对角线交点找中点。 4. 联系实际，培养创新： (1) 开放性训练：设计一些“如何用尺规作图完成...”，并给出多种方案的题目，鼓励学生独立思考、尝试不同方法，并解释理由。这有助于培养应对开放性试题的能力。 题型01 基本尺规作图 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 研考点·通技法 考查知识点结合： 作一个角等于已知角；作角平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线 通用思路：“记清步骤，规范操作，保留弧线”。 关键步骤（以作角平分线为例）： 1. 以角的顶点为圆心，以适当长为半径作弧，交角的两边于两点。 2. 分别以这两个交点为圆心，以大于两交点连线一半的长度为半径作弧，两弧相交于一点。 3. 连接角的顶点和这个交点，得到射线，即为角平分线。 答题模板：“作射线XX，则XX即为所求。”作图完成后必须写出结论。 方法技巧：五种基本作图可以归结为“两定一作”： 1. 定点：确定圆心。 2. 定距：固定半径（圆规两脚间的距离）。 3. 作图：作弧、作射线或连接。 易错提醒： 1. 作图后一定要留下清晰的弧线，不要擦掉； 2. 注意区分“作角平分线”和“作中垂线”弧的交点位置、半径大小的要求。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 3．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 4．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，． (1)利用尺规过点C作直线，交于点D；（保留作图痕迹） (2)求的长． 题型02 复杂尺规作图 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）如图，某小区准备对闲置空地进行改造，小区内两条笔直的小路和相交于点，点位于上．现计划以为圆心修建一个圆形花坛，要求花坛与一条经过点且平行于的步行道相切．请作出这个花坛． 研考点·通技法 考查知识点结合： 作三角形（三边、两边一角、两角一边、底边及高线等）；作圆的内接正方形/正六边形；作三角形的外接圆和内切圆；过圆外一点作圆的切线 通用思路：“化整为零，逐个击破”。 关键步骤：将复杂的图形分解成若干个基本作图。 方法技巧：“先定形，后定序”。先分析目标图形由哪些基本图形组成，再确定作图的先后顺序（一般先画主要线段或角）。 破类题·提能力 2．（2025·山东济宁·三模）在学习完《直线与圆的位置关系》，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明是切线的理由； (3)若半径为5，，求的长． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 4．（2024·山东青岛·二模）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，是直角三角形，，以O为圆心，为半径作圆，其中，O是的平分线交于的交点． 题型03 网格作图 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·一模）实践探究题： 【提出问题】 如图是由小正方形组成的网格，设每个小正方形的边长是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在方格纸上，给定一条线段（其端点可能是格点或非格点）．如何借助方格纸和直线，过已知线段的端点作它的垂线呢？ 【探究问题】 （1）特殊情况： 如图①，已知线段，点A与点C位于格点上，过点C作的垂线． 小明的思考是这样：以为斜边构造，为了找到与互余的角，利用边角边，作，从而得到，则易证． 方法提炼：端点在格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造全等的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线； （2）比较一般的情况： 如图②，已知线段与格线相交于点C，点A与点F位于格点上，点C位于非格点上，过点C作的垂线． 小磊类比小明的思考：点位于非格点上，以为斜边构造，为了类比小明的方法，需找到，由此，小磊利用两边对应成比例且夹角相等，作．具体过程如下，请将下面各组数量关系补充完成： 连接与格线交于点， 由，，则_________； 由，，则_________； 则_________，_________； 能够证明，从而得到，则易证． 方法提炼：端点在非格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造相似的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线． 【解决问题】 图③是由小正方形组成的网格，设每个小正方形的边长是1，矩形的四个顶点都是格点．仅用方格纸和直线在给定网格中完成画图． 要求：画出线段，使点在线段上，且；点在线段上，且平分矩形的面积． 研考点·通技法 考查知识点结合： 在方格纸中画轴对称图形；画平移/旋转/位似图形；利用坐标进行图形的变换 通用思路：“对点运动，利用对称”。 关键步骤： 1. 平移：找出关键点，分别沿水平或垂直方向移动相同格数。 2. 旋转：围绕旋转中心，根据旋转方向和角度（常用90°、180°），利用网格格点的平行、垂直关系找到对应点。 3. 轴对称：找出关键点关于对称轴的对称点（点到对称轴的距离相等）。 方法技巧：“三点确定平移或旋转，五步完成图形变换”。 1. 一找（关键点）； 2. 二定（平移/旋转/对称中心）； 3. 三画（画出对应点）； 4. 四连（连接对应点）； 5. 五检查（与原图大小、形状一致）。 核心工具：熟练掌握网格对角线的长度关系（）、方向关系（45°）。 破类题·提能力 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 4．（2025·山东滨州·二模）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请只用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请确定的外心. (2)在图2中，请作出的角平分线，交于点. (3)若图2中的，则弧的长是_____. 题型04 无刻度直尺作图 析典例·建模型 1．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均为格点． 【操作探究】 （1）在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段，，相交于点，并给出部分说理过程．请你补充完整； 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，． 在中，_． 又因为， 所以__． 所以． 因为， 所以， 所以， 即． 【拓展应用】 （2）如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点，使，写出作法画出图，并给出证明． 研考点·通技法 考查知识点结合： 利用图形的性质（平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆的对称性、中位线等）找中点、作平行线、作垂直、找对称点 通用思路：“挖掘性质，巧妙连线”。 关键步骤： 1. 分析问题：明确要作什么（如找中点、作平行线、作垂线）。 2. 寻找性质：联想所给图形（如平行四边形、矩形、正方形、圆等）的性质，看哪些性质可以帮助完成作图。例如： (1) 找中点：利用平行四边形对角线互相平分；利用矩形对角线相等且平分；利用圆中垂径定理。 (2) 作平行线：利用平行四边形对边平行；利用三角形中位线定理；利用“平移”将一条线段上的点平移到另一条线段。 (3) 作垂线：利用正方形的对角线互相垂直；利用直径所对的圆周角是90°。 3. 画线：连接相关点，画出直线或线段。 方法技巧：“先找交点，再连线”。很多无刻度直尺作图需要先通过图形的性质找到某条线的特殊交点（如对角线的交点、对称轴的交点），然后通过连线来完成。 核心公式/原理：平行四边形对角线互相平分；矩形的对称性；圆的轴对称性（垂径定理）和中心对称性。 破类题·提能力 2．（2025·山东滨州·一模）图①、图②均是的正方形网格，点A、B均在格点上，在图①、图②中只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法． （1）在图①中，在的内部画射线，使，点C在格点上； （2）在图②中，在的外部画射线，使，点D在格点上． 3．（2025·江苏南通·二模）【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 4．（2025·山东聊城·一模）数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 题型05 开放/设计类作图 析典例·建模型 1．（2024·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，矩形区域是正在改造的青岛火车站南广场的一部分．喜欢设计的小明在这一区域内设计了一个圆形休闲广场，要求这个圆与三条道路相切，请画出这个圆． 研考点·通技法 考查知识点结合： 综合运用基本作图；根据条件自主设计图形并说明理由 通用思路：“大胆构想，严谨验证” 关键步骤： 1. 分析条件：明确给定的条件和目标。 2. 发散思考：思考有哪些几何图形（线段、角、三角形、四边形等）可以满足条件，尝试画出草图。 3. 选择方案：确定一个可行的方案，并检查其是否完全满足所有条件。 4. 规范作图：用尺规或直尺将方案实现。 5. 解释理由：用几何语言（定义、定理、性质）说明所作图形满足条件的理由。 方法技巧：“多解归一”。这类题的答案往往不唯一，可以从不同角度入手。要训练学生不拘泥于一种解法，勇于探索。平时多积累一些经典的几何构造（如将军饮马、手拉手、一线三等角等）和它们的作图方法。 答题模板：作图完成后，需要附上简短的说明。“理由：因为……（某个性质），所以所画的……满足条件。” 破类题·提能力 2．（2026·山东济宁·一模）某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 (1)任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． (2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 3．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 4．（2023·山东青岛·三模）（1）已知是半圆O的直径，（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角． 【操作】如图1，分别将半圆O的圆心角（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【交流】当时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分吗？ 从上面的操作我发现，就是利用、所对的弧去找的三分之一即所对的弧 我发现了它们之间的数量关系是． 我再试试：当时，、、之间存在数量关系______． 因此可以仅用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分． 【探究】你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由； （2）如图2，⊙O的圆周角，为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 尺规作图 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“尺规作图”的考查形式灵活，主要分为以下两类： 1. 独立的作图题：通常作为一道独立的解答题出现，分值在4-8分。要求使用直尺和圆规进行规范的作图，并保留作图痕迹。有时会要求根据作图结果进行推理或计算。 2. 融入综合题的作图应用：在三角形、四边形、圆的综合题中，将尺规作图作为解决问题的一个步骤或工具。例如，利用基本作图构造特定三角形或角，为后续的证明、计算服务。 二、命题特点 1. 基础性：考查的作图类型均为课程标准要求的基本作图（作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角等）或由其组合而成的复杂作图。 2. 工具性：尺规作图不仅是独立的技能考查，更重要的是一种分析和解决问题的“工具”。考查学生能否根据几何问题的需要，运用尺规作图构造符合条件的图形。 3. 规范性：对作图的规范性要求很高，包括工具使用（直尺、圆规）、步骤完整（不跳步）、保留清晰的作图痕迹（弧线、交点）、最后写出明确的结论（“……即为所求”）。 4. 开放性：部分题目要求学生根据给定条件自主设计作图方案，并说明理由，考查创新意识和解决问题的能力。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容：根据课程标准，尺规作图的核心内容包括： (1) 基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 (2) 复杂作图：作三角形（三边、两边一角、两角一边、底边及底边上的高线、一直角边和斜边）；作三角形的外接圆和内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；过圆外一点作圆的切线。 2. 能力要求： (1) 动手操作能力：能规范、熟练地使用直尺和圆规进行操作。 (2) 几何直观与推理能力：能理解尺规作图背后的几何原理（如角平分线的判定、中垂线的性质），并能根据作图过程进行推理和计算。 (3) 空间观念：能通过尺规作图来分析和解决几何问题，将作图过程与图形性质联系起来。 (4) 创新意识：在开放设计类问题中，能自主探索，提出可行性方案。 四、趋势展望 1. 继续保持基础地位：尺规作图的基本功不会弱化，仍然是考查学生动手操作和几何思维的重要载体。 2. “作图+推理/计算”的融合模式：在综合题中，尺规作图作为解题的“第一步”，后续会紧跟证明或计算，这种模式会成为主流。 3. 网格作图与无刻度直尺作图持续升温：这类新题型能有效规避传统的圆规操作难度，转而考查对图形性质（对称性、平行、垂直等）的深刻理解和灵活运用，预计将继续出现。 4. 开放性设计题可能增加：为了考查创新思维，可能会增加更多要求学生自主设计作图方案，并说明理由的题目。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，规范操作： (1) 记准“五步法”：对五种基本作图（作角平分线、作中垂线、作垂线、作等角、作等线段）的步骤、要领、保留弧线的规范要烂熟于心，并通过反复练习形成肌肉记忆。 (2) 严格训练：每周安排专门的尺规作图训练课，要求学生每一步都做到：“看清要求→想清原理→动手操作→保留痕迹→写出结论”。教师要逐一批改，纠正不规范的动作和留下的多余弧线。 2. 理解原理，提升思维： (1) “知其然也知其所以然”：在教授每种作图方法时，不仅要讲操作，更要讲清楚为什么这样作图就得到了要求的图形（如为什么用尺规作的中垂线上的点到线段两端距离相等，为什么角平分线上的点到角两边距离相等）。这能帮助学生将“操作”与“几何性质”建立联系。 (2) 归类训练：将尺规作图题目按“基本作图”、“复杂作图”、“应用作图（如作高、中线、中位线、外接圆等）”、“网格作图”、“无刻度作图”进行分类，进行专项训练。 3. 突破难点，掌握技巧： (1) 复杂作图：复杂作图通常是由几个基本作图组合而成。要引导学生学会将复杂问题分解为几个基本步骤，化整为零。例如，作一个三角形，可以分解为“作一个角等于已知角”+“截取线段”。 (2) 无刻度直尺作图：重点训练学生利用图形的性质（如平行四边形对角线互相平分、三角形中线交于重心、圆中垂径定理及圆周角定理等）来“找点”或“画线”。例如，利用正方形对角线交点找中点。 4. 联系实际，培养创新： (1) 开放性训练：设计一些“如何用尺规作图完成...”，并给出多种方案的题目，鼓励学生独立思考、尝试不同方法，并解释理由。这有助于培养应对开放性试题的能力。 题型01 基本尺规作图 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质，结合，得到为等边三角形，作线段的中点，作线段，以为圆心，为半径画圆，确定点，再以为圆心，为半径画圆，与的交点，确定点，点，连接，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可得到矩形. 【详解】解：如图，矩形即为所求； 研考点·通技法 考查知识点结合： 作一个角等于已知角；作角平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线 通用思路：“记清步骤，规范操作，保留弧线”。 关键步骤（以作角平分线为例）： 1. 以角的顶点为圆心，以适当长为半径作弧，交角的两边于两点。 2. 分别以这两个交点为圆心，以大于两交点连线一半的长度为半径作弧，两弧相交于一点。 3. 连接角的顶点和这个交点，得到射线，即为角平分线。 答题模板：“作射线XX，则XX即为所求。”作图完成后必须写出结论。 方法技巧：五种基本作图可以归结为“两定一作”： 1. 定点：确定圆心。 2. 定距：固定半径（圆规两脚间的距离）。 3. 作图：作弧、作射线或连接。 易错提醒： 1. 作图后一定要留下清晰的弧线，不要擦掉； 2. 注意区分“作角平分线”和“作中垂线”弧的交点位置、半径大小的要求。 破类题·提能力 2．（2026·山东青岛·一模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 【答案】见解析 【分析】延长交于点Q，作的平分线，过点C作的垂线交于点P，即可． 【详解】解：点P即为所求． 3．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，，分别是两边，上的点，连接．求作：，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作即可． 【详解】解：先作的角平分线；再作线段的垂直平分线，二线交于点O，以O为圆心，以为半径作． 则即为所求． 4．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，． (1)利用尺规过点C作直线，交于点D；（保留作图痕迹） (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的垂线，以及勾股定理和三角形面积的应用，解题的关键是掌握垂线的尺规作图方法，再利用面积法或相似三角形求线段长度． (1)中以为圆心，适当长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，连接与该点交于,则； (2)中先由勾股定理求，再由面积法求，最后在中用勾股定理求． 【详解】（1）解：如图所示，直线(即直线即为所求； （2）解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为：． 题型02 复杂尺规作图 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）如图，某小区准备对闲置空地进行改造，小区内两条笔直的小路和相交于点，点位于上．现计划以为圆心修建一个圆形花坛，要求花坛与一条经过点且平行于的步行道相切．请作出这个花坛． 【答案】见解析 【分析】利用尺规作图，依次完成以下作图：先过点作的平行线，再过点作该平行线的垂线，最后以垂线段长为半径作． 【详解】解：如图： 先过点作的平行线，再过点作该平行线的垂线，最后以垂线段长为半径作圆． ，且在上， 与相切于点（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 即为所求作的圆形花坛． 研考点·通技法 考查知识点结合： 作三角形（三边、两边一角、两角一边、底边及高线等）；作圆的内接正方形/正六边形；作三角形的外接圆和内切圆；过圆外一点作圆的切线 通用思路：“化整为零，逐个击破”。 关键步骤：将复杂的图形分解成若干个基本作图。 方法技巧：“先定形，后定序”。先分析目标图形由哪些基本图形组成，再确定作图的先后顺序（一般先画主要线段或角）。 破类题·提能力 2．（2025·山东济宁·三模）在学习完《直线与圆的位置关系》，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明是切线的理由； (3)若半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法作出的切线即可； （2）依据直径所对的圆周角是直角可推得半径，则即为的切线； （3）连接．先由勾股定理求得的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示．作图点Q即为所求； （2）证明：连接，由作图知，是的直径， ， 是的半径， 是切线； （3）解：连接，由（2）知，， ，， ， 由图知，直线是的垂直平分线， ， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的作法与证明，还涉及切线的性质、线段垂直平分线的性质、圆的性质、勾股定理等，解题的关键是熟知圆的相关性质． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． 4．（2024·山东青岛·二模）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，是直角三角形，，以O为圆心，为半径作圆，其中，O是的平分线交于的交点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-角平分线及作圆．根据题意，以点A为圆心，适当长为半径作弧交、于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的为半径作弧交于一点M，过点A、M作射线，交于点O，再以点O为圆心，长为半径作作即可． 【详解】解：如图所示，为所求． 题型03 网格作图 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·一模）实践探究题： 【提出问题】 如图是由小正方形组成的网格，设每个小正方形的边长是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在方格纸上，给定一条线段（其端点可能是格点或非格点）．如何借助方格纸和直线，过已知线段的端点作它的垂线呢？ 【探究问题】 （1）特殊情况： 如图①，已知线段，点A与点C位于格点上，过点C作的垂线． 小明的思考是这样：以为斜边构造，为了找到与互余的角，利用边角边，作，从而得到，则易证． 方法提炼：端点在格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造全等的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线； （2）比较一般的情况： 如图②，已知线段与格线相交于点C，点A与点F位于格点上，点C位于非格点上，过点C作的垂线． 小磊类比小明的思考：点位于非格点上，以为斜边构造，为了类比小明的方法，需找到，由此，小磊利用两边对应成比例且夹角相等，作．具体过程如下，请将下面各组数量关系补充完成： 连接与格线交于点， 由，，则_________； 由，，则_________； 则_________，_________； 能够证明，从而得到，则易证． 方法提炼：端点在非格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造相似的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线． 【解决问题】 图③是由小正方形组成的网格，设每个小正方形的边长是1，矩形的四个顶点都是格点．仅用方格纸和直线在给定网格中完成画图． 要求：画出线段，使点在线段上，且；点在线段上，且平分矩形的面积． 【答案】，，，；画图见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，即可得到题中的填空部分答案；对于图③，连结，交于点E，连结，交于点F，连结，根据相似三角形的判定与性质，即可证明线段满足题意． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：，，，； 如图，连结，交于点E，连结，交于点F，连结，则线段即为所求． 理由：， ， ， ， 同理， 四边形是矩形， ， ，， ， 即平分矩形的面积． 研考点·通技法 考查知识点结合： 在方格纸中画轴对称图形；画平移/旋转/位似图形；利用坐标进行图形的变换 通用思路：“对点运动，利用对称”。 关键步骤： 1. 平移：找出关键点，分别沿水平或垂直方向移动相同格数。 2. 旋转：围绕旋转中心，根据旋转方向和角度（常用90°、180°），利用网格格点的平行、垂直关系找到对应点。 3. 轴对称：找出关键点关于对称轴的对称点（点到对称轴的距离相等）。 方法技巧：“三点确定平移或旋转，五步完成图形变换”。 1. 一找（关键点）； 2. 二定（平移/旋转/对称中心）； 3. 三画（画出对应点）； 4. 四连（连接对应点）； 5. 五检查（与原图大小、形状一致）。 核心工具：熟练掌握网格对角线的长度关系（）、方向关系（45°）。 破类题·提能力 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键．作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出，则，即可求解． 【详解】解：作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，如图， ∵为垂直平分线且， ∴， ， ， ∴弦所对的圆的圆周角为， ∴点在圆上，为圆的弦， 通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心， ∴此时最大，等于圆的直径， ＝，＝， ， ， ， ． 即边的长的最大值为． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，则，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （2）过点A作，连接，证明，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （3）以为边长构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上，证明，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ． ∴， ∴， ∵， ． 故答案为． （2）如图①，过点作， 连接，由图可知点在格点上， 由勾股定理得， ∴， ∴， ． （3）如图②，构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上， 同理可得：， 由勾股定理可得：， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的除法运算，锐角三角形函数的应用等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 4．（2025·山东滨州·二模）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请只用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请确定的外心. (2)在图2中，请作出的角平分线，交于点. (3)若图2中的，则弧的长是_____. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查无刻度直尺作垂直平分线和角平分线，弧长公式； （1）利用网格作，的垂直平分线交于点O，则点O即为所作； （2）取格点D，作射线即可； （3）连接，，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出长，然后利用弧长公式计算解题. 【详解】（1）解：如图，点O即为所作； （2）解：如图，点D即为所作； （3）解：如图，连接，， 则， 又∵， ∴弧的长是， 故答案为：. 题型04 无刻度直尺作图 析典例·建模型 1．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均为格点． 【操作探究】 （1）在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段，，相交于点，并给出部分说理过程．请你补充完整； 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，． 在中，_． 又因为， 所以__． 所以． 因为， 所以， 所以， 即． 【拓展应用】 （2）如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点，使，写出作法画出图，并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作，然后利用正切函数及垂径定理证明即可． 【详解】（1）解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，． 在中，，． 又因为， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 即． （2）取格点，作射线交于点P，点P即为所求作； ， ， ， ， ， ． 研考点·通技法 考查知识点结合： 利用图形的性质（平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆的对称性、中位线等）找中点、作平行线、作垂直、找对称点 通用思路：“挖掘性质，巧妙连线”。 关键步骤： 1. 分析问题：明确要作什么（如找中点、作平行线、作垂线）。 2. 寻找性质：联想所给图形（如平行四边形、矩形、正方形、圆等）的性质，看哪些性质可以帮助完成作图。例如： (1) 找中点：利用平行四边形对角线互相平分；利用矩形对角线相等且平分；利用圆中垂径定理。 (2) 作平行线：利用平行四边形对边平行；利用三角形中位线定理；利用“平移”将一条线段上的点平移到另一条线段。 (3) 作垂线：利用正方形的对角线互相垂直；利用直径所对的圆周角是90°。 3. 画线：连接相关点，画出直线或线段。 方法技巧：“先找交点，再连线”。很多无刻度直尺作图需要先通过图形的性质找到某条线的特殊交点（如对角线的交点、对称轴的交点），然后通过连线来完成。 核心公式/原理：平行四边形对角线互相平分；矩形的对称性；圆的轴对称性（垂径定理）和中心对称性。 破类题·提能力 2．（2025·山东滨州·一模）图①、图②均是的正方形网格，点A、B均在格点上，在图①、图②中只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法． （1）在图①中，在的内部画射线，使，点C在格点上； （2）在图②中，在的外部画射线，使，点D在格点上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由勾股定理得，连接，取与格线的交点，根据等腰三角形性质画出图形即可； （2）取格点，连接，使，连接与格线的交于点，根据等腰三角形性质画出图形即可． 【详解】解：（1）如图①所示，射线为所求； ； （2）如图②所示，射线为所求， ； 3．（2025·江苏南通·二模）【阅读材料】 老师的问题：如图，在中，点E在上，连接，只用一把无刻度的直尺，求作四边形，使得四边形是平行四边形． 小明的作法： （1）连接，，相交于点O； （2）连接并延长，交于点F； （3）连接．四边形即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 【答案】小明的作图方法正确，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 由平行四边形的性质可得，，得，进而证明，得到，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】解：小明的作图方法正确， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 4．（2025·山东聊城·一模）数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形是平行四边形，①连接，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线，分别交、、于点E、O、F，连接、． 若，平分，，求四边形的面积． 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接，交于点G． 若，求的值． 【答案】四边形的面积为；的值为 【分析】本题考查了平行四边形的性质、作图—基本作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，证明为等边三角形，得出，，由作图可得，垂直平分，证明，得出，推出四边形为菱形，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得解；由平行四边形的性质可得，，，则，由作图可得，平分，垂直平分，得出，由等角对等边可得，从而可得，，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 由作图可得，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为； ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型05 开放/设计类作图 析典例·建模型 1．（2024·山东青岛·二模）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，矩形区域是正在改造的青岛火车站南广场的一部分．喜欢设计的小明在这一区域内设计了一个圆形休闲广场，要求这个圆与三条道路相切，请画出这个圆． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图、矩形的性质、切线的判定与性质等知识点，作平分，平分，、交于点，作于，以点为圆心，为半径的即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，圆即为所求， 研考点·通技法 考查知识点结合： 综合运用基本作图；根据条件自主设计图形并说明理由 通用思路：“大胆构想，严谨验证” 关键步骤： 1. 分析条件：明确给定的条件和目标。 2. 发散思考：思考有哪些几何图形（线段、角、三角形、四边形等）可以满足条件，尝试画出草图。 3. 选择方案：确定一个可行的方案，并检查其是否完全满足所有条件。 4. 规范作图：用尺规或直尺将方案实现。 5. 解释理由：用几何语言（定义、定理、性质）说明所作图形满足条件的理由。 方法技巧：“多解归一”。这类题的答案往往不唯一，可以从不同角度入手。要训练学生不拘泥于一种解法，勇于探索。平时多积累一些经典的几何构造（如将军饮马、手拉手、一线三等角等）和它们的作图方法。 答题模板：作图完成后，需要附上简短的说明。“理由：因为……（某个性质），所以所画的……满足条件。” 破类题·提能力 2．（2026·山东济宁·一模）某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 (1)任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． (2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在圆上任取三点A，B，C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）连接，作于点F，求出中心角的度数，利用垂径定理和解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：操作步骤： 第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接； 第二步，作的垂直平分线； 第三步，作的垂直平分线，与相交于点O； 点O就是这面青铜镜镜面的圆心． 作图如下： （2）解：连接，作于点F． ∵正五边形， ∴，． ∵， ∴，． 在中，． ∴ ∴， 答：镜面的内接正五边形的边长． 3．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】（1）484；（2）否；100；200；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算即可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，由题意得，计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动， 则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．（2023·山东青岛·三模）（1）已知是半圆O的直径，（n是正整数，且n不是3的倍数）是半圆O的一个圆心角． 【操作】如图1，分别将半圆O的圆心角（n取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【交流】当时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分吗？ 从上面的操作我发现，就是利用、所对的弧去找的三分之一即所对的弧 我发现了它们之间的数量关系是． 我再试试：当时，、、之间存在数量关系______． 因此可以仅用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分． 【探究】你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由； （2）如图2，⊙O的圆周角，为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】（1）【操作】见解析；【交流】；【探究】或（k为非负整数），理由见详解；（2）见详解． 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，三等分弧等知识； （1）【操作】分别构造弧，弧，弧，弧，即可求解；【交流】由即可推出结论；【探究】可得或，即可求解； （2）以为端点，用半径截，得到、，再以为圆心，为半径画弧，交于点，即为所求； 理解定理，找出规律求出与的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）【操作】三等分点如图所示： 【交流】． 故答案为：； 【探究】解：设或， 解得：或（k为非负整数）， 对于正整数n（n不是3的倍数），都可以用圆规将半圆O的圆心角所对的弧三等分． （2）如图2中， ∵， ∴所对的圆心角， 即为所求； 的度数的度数， 的度数 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $