专题11 动态几何问题（6大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题11动态几何问题 ee。eeee●。●。。。。●。。。●。。。●e●0e0●0e●00●。●●●9●●●。●●●●●●●●●●●●●。●。e●●●e●●●e●e●。。。。。●。●e●e●。●●●9●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题十名校模拟题，强化实战能力，得高分 ☑ PART 命题解码•定方向 一、具体考查形式 近三年山东中考对“动态几何问题”的考查是压轴题的绝对核心，形式高度集中，主要分为以下两类： 1.函数背景下的动态几何综合题：这是最常见的压轴题形式，分值通常在10-14分。题目以抛物线为 背景，点（或线）在抛物线、坐标轴或直线上运动，要求探究运动过程中形成的线段长度、三角形四边 形面积、特殊图形（等腰三角形、平行四边形等）的存在性及其最值问题。例如，2025年青岛第25题 (平行四边形十动点+面积函数)，2025年烟台第24题（抛物线+动点+等腰/最值），2024年日照第 22题（抛物线十动点十面积最值+翻折）。 2.纯几何背景下的动态探究题：以三角形或特殊四边形（特别是正方形、菱形）为载体，点（或线、 图形)在其边上或内部运动，结合图形的平移、旋转、轴对称（翻折）等变换，探究运动过程中的变量 关系、图形形状变化和最值问题。例如，2025年淄博第23题（正方形+折叠+最值），2025年滨州第 24题（中点四边形+旋转十最值），2023年青岛第25题（菱形+旋转+动点+面积函数）。 二、命题特点 1.压轴地位：动态几何问题是整张试卷难度最大、综合性最强的题目，旨在区分高分段学生。 2.“动静结合”：题目中既有静态的图形，又有动态的变量。核心是利用“化动为静”的思想，选 取某一静止的时刻或状态，通过设未知数（通常为时间t或坐标参数），将几何变量转化为代数表达式。 3.函数与几何深度融合：几乎所有的动态几何问题最终都会归结为建立线段长度、图形面积关于运 动时间（或参数）的函数关系式，然后利用函数的性质（如二次函数最值）或几何模型（如将军饮马、 隐圆)来求解。 4.分类讨论思想是灵魂：在探究特殊图形（等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形） 的存在性时，必须对多种可能的情况进行全面、不重不漏的分类讨论，这是解题的难点和关键。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.设问层次分明：通常设置3小问，难度递进： (1)第1问：求解析式或基本量（较简单）。 (2)第2问：求面积或线段长的函数关系式，并求最值（中等难度）。 (3)第3问：探究特殊图形的存在性（最难点，需要分类讨论）。 三、核心考查内容与能力要求 1.核心内容： ()几何基础：三角形、四边形（特别是平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质与判定；相似三 角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数。 (2)函数基础：一次函数、二次函数的解析式求法及其图象性质（最值、增减性）。 (3)图形变换：平移、旋转、轴对称（翻折）的基本性质。 (④)几何模型：“铅垂法”求面积；“将军饮马”求线段和最小；“一线三等角”相似；“手拉手” 全等/相似；“隐圆”求最值。 2.能力要求： (①)几何直观与空间观念：能根据文字描述想象出动点的运动路径和运动过程中图形的变化，并能画 出草图辅助分析。 (2)推理能力：能从复杂的条件中，运用几何定理和代数方法进行逻辑推理，建立等量关系。 (3)运算能力：准确进行含参数的代数运算、配方、求解方程（组）。 (4)分类讨论思想：这是动态几何问题考查的最高层次能力，必须能对各种可能情况做出全面、不重 不漏的讨论。 (⑤)模型观念：能识别并应用“铅垂法”、“将军饮马”、“隐圆”等模型。 四、趋势展望 1.难度维持高位：作为压轴题的主要形式，其难度和区分度功能不会降低。 2.“点动”仍为主流，“形动”或成新热点：点在线段、折线、抛物线上的运动仍是命题主流。但 图形（三角形、平行四边形）整体的平移、旋转、翻折与动点结合的问题可能会更多出现，形式更灵活。 3.与新定义、项目式学习结合：动态几何问题可能会被包装在一个“项目探究”或“新定义”的背 景下，增加阅读量和即时学习的考查。 4.几何模型运用更直接：对“隐圆”、“胡不归”、“阿氏圆”等较复杂最值模型的考查会更直接， 成为区分度的关键点。 五、备考策略建议 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1. 夯实基础，把握“三个一”： ()一个核心思想：“化动为静”思想。务必让学生理解，所谓运动，就是在某一时刻、某一位置， 图形是静止的，此时所有几何关系是确定的。 (2)一个基本方法：“用参数（时间t或坐标x)表示一切”。这是将动态问题转化为代数问题的关键 步骤。 (3)一个必备技能：准确、快速地建立几何量（线段长、面积）关于参数的函数关系式。 2. 专题突破，分类训练： (1)第一梯队（必会）： ① “铅垂法”求面积：反复训练，形成条件反射。见到抛物线上动点三角形求面积，立刻想到用“水 平宽×铅垂高÷2”。 ② “将军饮马”及其变式：熟练掌握“两定一动”、“一定两动”、“两定两动”的对称点作法。 ③特殊图形存在性分类讨论： 1)等腰三角形：“两圆一线”。 2)直角三角形：“两线一圆”。 3) 平行四边形：“对点法”（中点坐标公式）。 (2)第二梯队（提分关键）： ① “隐圆”模型：训练学生识别“定点定长”（圆外一点到圆上最值）、“定弦定角”（动点轨迹 为圆)、“对角互补”（四点共圆）。 ② “胡不归”与“阿氏圆”：掌握其构造相似三角形转化系数的通法。 )图形运动与重叠面积：分段讨论图形在不同运动阶段产生的重叠图形形状，分别建立函数关系。 3.规范书写，强化逻辑： (1)步骤清晰：写出“解：(1)…(2)…”等明确的小问序号。 (2)分类明确：当需要分类讨论时，要写出“情况一：当…时”，“情况二：当时”，并确保每 种情况都能得到完整处理。 (3)检验必要：解出的点坐标或时间t值，必须代入原题检验是否满足运动范围（如0<≤5）和几何 存在条件（如点是否在线段上、三角形是否成立等）。 PART 02 解题建模•通技法 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型01单动点与函数关系< 析典例：建模型 1,(2024山东潍坊三模)某兴趣小组开展综合实放活动：在正方形ABCD中，BC=4,动点P以每秒1 个单位的速度从B点出发匀速运动，到达点C时停止，作AP的垂线PM交CD于点M,连接AM,设 点P的运动时间为t(s),Rt△ADM的面积为S,探究S与t的关系. (I)如图1，当点P由B点向C点运动时， 图1 ①当1=3s时，CM=_,S=_; ②经探究发现S是关于t的函数，请写出S关于t的关系式； (2)如图2，若存在两个时刻，t2（t<t,)对应的Rt△ADM的面积S相等.请直接写出“t+t2”的值. R P 图2 考点：通技法 考查知识点结合： 动点在线段/射线上；用t表示线段长；建立一次/二次函数 通用思路：“用t表示相关量，代入面积或长度公式”。 」关键步骤： 11. 设时间：设运动时间为t。 2.表示路程：用t和速度表示动点运动过的距离。 13. 表示边长：从的表示出发，利用图形性质（如矩形对边相等、三角形底边与高的关系）表示出题目所 求图形的相关边长。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 建立函数：代入面积或长度公式，得到关于t的函数关系式。 注明范围：根据动点的运动范围，写出自变量t的取值范围。 破送题提能力 2.(2022山东日照·二模)2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾 股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形 的面积之和 设直角三角形的边长为a,6,则5>45(。+b>4行的 即a2+b2>2ab; 当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即 综上所述，a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. 使用上述结论，“a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题： 图1 图2 图3 (1)证明：“若a,b为正实数，则a+b≥2√ab.当且仅当a=b时等号成立”. (2)a,b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值 ;若a+b为定值6，则ab有最大值 (3)请结合函数图象（图2）研究y=x+1中函数值y的取值范围。 (4)如图3，已知P是反比例函数y=-(x>0)图象上任意一动点，0(0,0)，A(-1,a),其中a是常数， a>0,试求S△po4的最小面积（用a表示）. 3.(2025山东青岛模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,动点P从点C出发，在三 角形的边上沿C→A一→B匀速运动，到达点B时停止运动，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段 CQ,连接PQ,设运动时间为t(s),由B,P,Q三点围成的三角形面积为Scm). 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.S/cm 图1 图2 图3 (I)如图1，当点P由点C运动到点A时，连接BP,S与t之间的函数关系如图2所示。 ①当t=2时，S=-; ②求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围），并求线段AB的长度； (2)如图3，当点P由点A运动到点B时，连接BQ,交BC于点O,(1)的条件仍然成立. ①求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）· ②若恰好存在3个时刻，42,5(4<t<)对应的S值相等，则4+4=_ ③是否存某一时刻t,使点B在OQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由 4.(2022山东青岛模拟预测)已知：线段EF和矩形ABCD如图①摆放（点E与点B重合），点F在边 BC上，EF=Icm,AB=6cm,BC=8cm·如图②，EF从图①的位置出发，沿BC方向运动，速度为 2cm/s;动点P同时从点A出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s.连接PD,PE,DF,AC分别与 PD,DF相交于点M,N,设运动时间为t(S)(0<t≤3.5)，解答下列问题： D D M B(E) B→EF 图① 图② (I)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？ (2)设四边形PEFD的面积为S(cm),求S与t的关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t,使∠ADF=∠BEP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明 理由； (④)在运动的过程中，是否存在某一时刻t,使四边形PEFD的面积最小？若存在，求出t的值，并求出 此时线段MN的长；若不存在，请说明理由. >题型02单动点与分类讨论（特殊图形有在性）<《 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一析典侧建摸興 1. (2026山东济宁一模)综合与探究 问题情境：在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点，点F是边CD上的一个动点，将aDEF沿EF 折叠，点D的对应点为D,FD'的延长线与边AB交于点G,连接AD'. 4 D D D 数学思考： G G B B 图1 图2 备用 (1)如图1，请判断△AGD'的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点G再折出AD的平行线，与边CD交于点H,射线DD'与GH交于点P. (2)如图2，若点P在DD'的延长线上，试判断线段GP与PH的数量关系，并说明理由； (3)若AD=4,在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使△PGD'是等腰三角形？若存在，请直接写 出DF的长；若不存在，请说明理由. 考点通技法 1考查知识点结合： 等腰/直角三角形；平行四边形；相似三角形；两点间距离公式；勾股定理 」通用思路：“设点坐标→表示线段→列方程→解方程并检验”。 ·关键步骤： 设点坐标：设动点P(x,y),其中y用已知函数表达式（如抛物线y=ax+bx+c)表示。 12. 表示线段：利用两点间距离公式d=√x2-x)+(y2-y,)表示出相关线段的平方（通常保留平方形式避 免开根号)。 13. 列方程（分类讨论）： (I)等腰三角形：PA=PB,PA=AB,PB=AB(三种情况，即“两圆一线”)。 (2)直角三角形：PA2+PB2=AB2,PA2+AB2=PB2,PB2+AB2=PA2(三种情况，即“两线一圆”)。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一。一一一。一■"一■一。一”一一一■一一一■。一二一一一。之 (3)平行四边形：利用对角线互相平分（对点法）（按不同边为对角线分情况讨论）。 4.解方程并检验：解方程求得x(或t)的值，然后： 15. 检查点是否在要求的图形上（如抛物线上）。 i6. 检查三角形三边是否满足三边关系。 7.检查值是否在动点运动的时间或坐标范围内。 破类题提能力 2.(2024山东枣庄·模拟预测)如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标 是(2，O),P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是 直线x=-1. (1)求抛物线的函数表达式： (2)若点P在第二象限内，且PE=OD,求△PBE的面积 (3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M,使△BDM是以BD为腰 的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 3.(2022山东泰安一模)如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC, OA=1,OC=4,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点，抛物线的顶点为D. (备用图) (1)求顶点D的坐标： (2)点E是R1aABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段 EF的长度最大时，求点E、F的坐标； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 4.(2025山东青岛中考真题)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,将 Rt△ABC沿AC方向平移6cm,得到Rt△CDE,过点D作DF⊥AB,交AB的延长线于点F,H为DE 的中点.点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，点Q从点A出发，沿AE方向匀 速运动，速度为1.2cm/s.连接P9,QH,PH.设运动时间为t(s)(0<t<10) 解答下列问题： H B B (图①) (图②) (图③) (I)当HP∥DF时，求t的值： (2)如图②，当5<t<10时，设△PQH的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式； (3)当0<1<5时，是否存在某一时刻t,使△PQH是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说 明理由. >题型03双动点或多动点问题<《 析典侧：建摸理 1.(2025山东青岛一模)如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,长度为2cm线段PQ在射线 BC上，点P与点C重合，如图2，线段PQ从图1所示起始位置出发，沿CB方向匀速运动，速度为 lcms;同时点M从点B出发，沿B→A→D方向以2cm/s速度运动，当M点到达D时运动结束，PQ运 动同时结束.连接AQ,DP,相交于点E.设运动时间为t秒，解答下列问题： 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D A M D B(M) C(P)O P 图1 图2 A D B(M) C(P)O (备用图1) (备用图2) (1)当t为何值时四边形APQM是平行四边形？ (2)当点M在AD上运动时，求t为何值时点M在AQ的垂直平分线上？ (3)求aEPM的面积S与t的关系式； (4)运动过程中，将△DCP绕点D顺时针旋转90°得到△DC'P',是否存在某一时刻t,使C,P,E三 点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由. 研考点：通技法 「考查知识点结合。一 两个点同时运动；相对运动；建立关于1的方程组 !考查知识点结合： 等腰/直角三角形；平行四边形；相似三角形；两点间距离公式；勾股定理 通用思路：“设点坐标→表示线段→列方程→解方程并检验”。 「关键步骤： i1. 设点坐标：设动点P(x,y),其中y用已知函数表达式（如抛物线y=ax2+bx+c)表示。 2 表示线段：利用两点间距离公式d=x,-x)+(y-y)?表示出相关线段的平方（通常保留平方形式避 免开根号)。 13. 列方程（分类讨论）： (I)等腰三角形：PA=PB,PA=AB,PB=AB(三种情况，即“两圆一线”)。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厂一一一一一一一-一。一一一-一一一-一-一一一一 (2)直角三角形：PA2+PB2=AB,PA2十AB2=PB2,PB2十AB2=PA2(三种情况，即“两线一圆”) (③)平行四边形：利用对角线互相平分（对点法）（按不同边为对角线分情况讨论）。 14. 解方程并检验：解方程求得x(或)的值，然后： i5. 检查点是否在要求的图形上（如抛物线上）。 6.检查三角形三边是否满足三边关系。 17. 检查值是否在动点运动的时间或坐标范围内。 破类题提能力 2.(205山东烟台一模)知图，在直角坐标系中，48C的项点为4：0，B仔-2小.C,8C边 交x轴于点D,抛物线y=ax2+bx+c过点A,D,C. E E (备用图) (1)求抛物线的表达式： (2)判断ABC的形状，并说明理由； (③)诺E为直线4C上方的抛物线上一点，且a∠BC1=弓求点E的坐标： (4)N为线段AC上的点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N,再以 每秒√5个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动， 当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标， 3.(2026山东青岛一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6.点P从点A出发，沿AB方向以每 秒1个单位长度的速度向点B运动；点Q同时从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度向点 C运动.当点Q到达点C时，P,Q同时停止运动.设运动时间为t秒(0<1≤3)，连接PQ,将线段 PO绕点P按逆时针方向旋转90°得到线段PE,PE与AD相交于点F,连接EQ,FO.解答下列问题： 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D C 0 B B P 备用图 (I)当EQ∥CD时，求t的值； (2)设四边形APF的面积为S,求S关于t的函数表达式；并求出四边形APQF面积的最小值： (3)是否存在某一时刻t,使得线段EQ经过点D？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 4.(2025·山东青岛二模)已知：四边形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AB=6cm,AD=7cm,BC=8cm, 动点P从点C出发沿CB边向点B运动，速度为2cm/s;直线EF从点A出发沿对角线AC向点C运动， 分别交AB、AC、AD与点E、Q、F,且运动过程中始终保持EF⊥AC,速度为lcms;若点P与直线 EF同时出发，设运动时间为t秒，且(0≤1≤18 (1)连接PF,当t为何值时PFCD? (2)连接PE,设四边形AEPF的面积为Scm,求S与t的函数关系式. (3)是否存在时刻t,使点P在∠BEF的角平分线上，若存在，求出t,不存在请说明理由. >题型04含参数的动点问题<〈 ♪析典侧：建摸熙 1.(2022山东青岛模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点P从点A出发，沿A-B-C运 动，速度为每秒1个单位长度.点Q从点C出发，沿C-A-D运动，沿C-A运动时的速度为每秒1个单 位长度，沿A-D运动时的速度为每秒3个单位长度.P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，P、 Q两点同时停止运动.连接P9、CP.设△APQ的面积为S,点P的运动时间为（秒）. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 0 (1)当t=6时，求AQ的长 (2)当点Q沿C-A运动时，用含t的代数式表示点Q到AB、BC的距离. (3)求S与t的函数关系式. (4)在点P运动的过程中，直接写出△APQ与△CPQ同时为钝角三角形时t的取值范围。 研考点：通技法 |考查知识点结合： 动点坐标为m,ym);用m表示线段、面积；求取值范围或最值 |考查知识点结合： 等腰/直角三角形；平行四边形；相似三角形；两点间距离公式；勾股定理 |通用思路：“设点坐标→表示线段→列方程→解方程并检验”。 」关键步骤： 11. 设点坐标：设动点P(x,y),其中y用已知函数表达式（如抛物线y=ax2+bx+c)表示。 2. 表示线段：利用两点间距离公式d=Vx-x)?+(,-y)?表示出相关线段的平方（通常保留平方形式避： 免开根号)。 13. 列方程（分类讨论）： (I)等腰三角形：PA=PB,PA=AB,PB=AB(三种情况，即“两圆一线”)。 (2)直角三角形：PA2+PB2=AB2,PA2十AB2=PB2,PB2+AB2=PA2(三种情况，即“两线一圆”)。 (3)平行四边形：利用对角线互相平分（对点法）（按不同边为对角线分情况讨论）。 ·4.解方程并检验：解方程求得x(或t)的值，然后： 15. 检查点是否在要求的图形上（如抛物线上）。 16.检查三角形三边是否满足三边关系。 17. 检查值是否在动点运动的时间或坐标范围内。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 2.(2022山东青岛二模)已知，如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P以每秒1个单位从点C向点 B运动，同时点Q沿着AC以每秒2个单位从A向C运动，在点Q运动的同时，作OF⊥AC交AD于F, 当点F移动到D时，点P和点Q停止运动.以QF和PO为边作平行四边形POFE,设运动时间为t秒. D E E B C B 图1 备用图1 备用图2 (I)几秒时，△AQF∽△CPQ? (2)设平行四边形POFE的面积是S,用t表示S; (3)当PF⊥AD时，CP=PQ吗？说明理由， (4)存不存在某个时刻，使得QE∥BC？若存在，求出t;若不存在，说明理由 3.(2025山东济南模拟预测)如图，在等腰直角aABC中，∠B=90°，AB=BC,AC=6,点D从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点D作DE⊥AC交折线AB-BC于点E,以DE为 边向右作长方形DEGF,使DE=2DF,设点D的运动时间为t秒0<t<6). B A M (I)用含t的代数式表示线段DE的长； (2)当点G落在BC边上时，求t的值； (3)求长方形DEGF与△ABC重叠部分图形的面积S与t之间的关系式： (4)点M为AC的中点，连结MG,当MG所在的直线垂直△ABC的一边时，直接写出t的值. 4.(2024山东聊城三模)如图，抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两 点，其中A1,0),B(-3,0)，点P从A点出发，在线段AB上以1单位长度/秒的速度向点B运动，运动 时间为t秒(0<1<4)，过点P作PQBC,交AC于点Q. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的解析式； (2)用含t的代数式表示直线PQ的解析式： (3)当t为何值时，△CPQ的面积最大？求出△CPQ面积的最大值. >题型05图形运动问题<《了 析典例：建模型 1.(2026山东德州一模)【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助 线策略。 【问题情境】 如图1，在正方形ABCD中，E、F,G分别是BC,AB,CD上的点，FG⊥AE于点Q.求证： AE=FG小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形： D D G 0 B E BD P 图1 图2 图3 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点O则：sin/AOC的值为 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF ,连接DE分别交线段BC,PC于点M,N. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求∠DMC的度数； BC ②连接AC交DE于点H,直接写出 的值 DH 研哮点通技法 厂一- 考查知识点结合： 三角形、四边形整体平移、旋转、翻折；重叠面积 通用思路：“分段讨论，化整为零”。 关键步骤： 1. 分析运动过程：找到图形运动的起始位置、终止位置。 确定临界点：找到图形之间相对位置发生变化的时刻（如一个图形的边刚好碰到另一个图形的顶点、边） 3 按时间（或位移）分段：根据临界点，将运动过程分成若干段。 14. 建立分段函数：在每一段内，分析重叠部分的形状（可能是三角形、梯形、五边形等），并建立相应 的面积（或线段）关于运动时间t的函数关系式。 5. 合并结果：将各段的函数关系式统一写出（分段函数形式）。 】方法技巧： 11. 画图：在草稿纸上画出每一段开始、中间、结束时的图形，帮助理解。 “割补法”：重叠部分通常是不规则图形，需要通过割补法，用规则图形（如矩形面积减去三角形面积》 来表示。 破类题是提能力 2. (2025山东东营一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=二x2+bx+c与直线AB交于点A(0,-4), B4,0). AY A 备用图 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线 交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的 对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上 确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的 坐标 3.（2023·山东济南二模)如图1，己知抛物线y=ax2+bx-2经过点A(-1,0)和点B(4,0),与x轴交于点C, 顶点是G,连接AC,BC. B M 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式和顶点G的坐标： (2)如图2，若平移抛物线y=ax2+bx-2,使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y 精的负半轴的交点为D,连接DG,CG,当Sam时，求点M们坐标 (3)如图3，若将抛物线y=ax2+bx-2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共 点时，请直接写出抛物线y=ax2+bx-2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标. 4.(2025·山东济南一模)如图1，抛物线C经过点A(-3,0)、C(0,3),对称轴为直线x=-1,直线BE与 x轴所夹锐角为45°，与y轴交于点E. B 图1 图2 / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求抛物线C和直线BE的表达式： (2)将抛物线C沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线BE恰好只有一个交点，求抛 物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线C沿直线BE翻折，得到新曲线C,C,与y轴交于M、N两点，请直接写出M点坐 标 >题型06动态几何与最值问题<〈 析典例：建模理 1. (2025山东济南模拟预测)在整个初中数学学科学习中，我们有许多的解题思想，那么在某学校九年 级某次复习过程中，数学老师们给同学们了以下几个问题，请根据提示，一一解答 【基本意识】 (1)如图，ABC中，∠C=90°，CA=BC=2,E是AB的中点，P是BC边上的一动点，求出 PA+PE的最小值， 【数形结合】 (2)求Vx2+9+√x2-24x+148的最小值. 【形态转化】 (3)在ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=6V3,以BC为边向外构造等边三角形，连接AD,试 求AD的长度. 考点通技法 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考查知识点结合： 将军饮马；胡不归阿氏圆；隐圆；二次函数配方求最值 通用思路：“识别模型，套用解法”。 关键步骤： 1.分析问题类型： (1)线段和/差最小：首选“将军饮马”模型。通过作一个点关于直线的对称点，将折线转化为直线， 利用“两点之间线段最短”求解。 (2)k·PA十PB型(k≠1)：首选“胡不归”或“阿氏圆”模型。通过构造相似三角形，将k·PA转 化为一条线段PC,从而转化为“将军饮马”问题。 (3)圆上一点到圆外两点和/差最值：连接圆心与定点，与圆的交点即为最值点(“点圆最值”)。 (④)动点轨迹为圆：先通过“定弦定角”、“定点定长”等条件，确定动点的轨迹是圆，再转化为“点 圆最值”。 建立函数：如果不能直接用模型，则建立关于参数(t或x)的二次函数，利用配方法或顶点坐标公式 求最值。 破送题提能力 (2024山东聊城一模)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象.发现： 如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F0,)的距离P,始终等于它到定直线1：y=-上的 4a Aa 距离PN(该结论不需要证明).他们称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-上叫做 4a 抛物线的雅线的表达式.准线1与y轴的交点为H.其中原点O为FH的中点，FH=2OF=1 2a 1 1 例如，抛物线y=2x2,其焦点坐标为F0, 8 雅线表达式为：y=-8,其中PF=PN, FH=20F= 41 H 图1 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【基础训练】 (1)请分别直接写出抛物线y=。x的焦点坐标和推线1的表达式： 8 【技能训练】 (2)如图2， 已知抛物线y=。x上一点Px,川x,>0到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点 P的坐标； 图2 【能力提升】 (3)如图3，已知抛物线y=二x2的焦点为F,准线为1.直线m:y=x-3交y轴于点C,抛物线上动 点P到x轴的距离为d,到直线m的距离为山，请直接写出d,+d的最小值； VA 图3 【拓展延伸】 (4)把抛物线y女沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点D-l引 是第二象限内一定点， 点P是抛物线片上一动点.当P0+PD取最小值时，请求出△POD的面积. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D. 0 图4 3.(2024山东济南模拟预测)数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的 几何直观来阐明数之间某种关系. 2 图1 图2 图3 图4 (1)2002年世界数学家大会(ICM2002)在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处 理的弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出α、b、c满足的等量关 系为 (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段AB=8,点C在线段AB上，AC=x,BC=y,求√x2+4+y2+16的最小值， 他们解决问题的思路是：如图3，在线段AB的同侧构造了两个Rt△ACD和RtaBCE, LCAD=∠CBE=90°，令AD=2,BE=4,利用勾股定理，得出CD=V2+4,CE=√少2+16，从而将问 题转化成求“CD+CE最小值”问题，再利用将军饮马”模型，就完成了解答，请你写出解答过程： (3)如图4，在ABC中，∠CAB=30°，点D、E分别为AB、BC上的动点，且 BD=CE,AC=2V3,BC=2,求AE+CD的最小值. 4.(2025山东威海·中考真题)已知抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0),点B,交y轴于点C.点C 向右平移2个单位长度，得到点D,点D在抛物线y=ax2+bx-3上.点E为抛物线的顶点. / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 VA B D 备用图① 备用图② (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标： (2)连接BC,点M是线段BC上一动点，连接OM,作射线CD, ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM,当OM+FM的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM.作射线CE,在射线CE上取一点G,使CG=CO.连 接GN,BN,求OM+BN的最小值； (3)点P在抛物线y=ax2+bx-3的对称轴上，若L0AP+L0CA=45°，则点P的坐标为 专题11 动态几何问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势＋2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题＋名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对“动态几何问题”的考查是 压轴题的绝对核心，形式高度集中，主要分为以下两类： 1. 函数背景下的动态几何综合题：这是最常见的压轴题形式，分值通常在10-14分。题目以抛物线为背景，点（或线）在抛物线、坐标轴或直线上运动，要求探究运动过程中形成的线段长度、三角形/四边形面积、特殊图形（等腰三角形、平行四边形等）的存在性及其最值问题。例如，2025年青岛第25题（平行四边形＋动点＋面积函数），2025年烟台第24题（抛物线＋动点＋等腰/最值），2024年日照第22题（抛物线＋动点＋面积最值＋翻折）。 2. 纯几何背景下的动态探究题：以三角形或特殊四边形（特别是正方形、菱形）为载体，点（或线、图形）在其边上或内部运动，结合图形的平移、旋转、轴对称（翻折）等变换，探究运动过程中的变量关系、图形形状变化和最值问题。例如，2025年淄博第23题（正方形＋折叠＋最值），2025年滨州第24题（中点四边形＋旋转＋最值），2023年青岛第25题（菱形＋旋转＋动点＋面积函数）。 二、命题特点 1. 压轴地位：动态几何问题是整张试卷难度最大、综合性最强的题目，旨在区分高分段学生。 2. “动静结合”：题目中既有静态的图形，又有动态的变量。核心是利用“化动为静”的思想，选取某一静止的时刻或状态，通过设未知数（通常为时间t或坐标参数），将几何变量转化为代数表达式。 3. 函数与几何深度融合：几乎所有的动态几何问题最终都会归结为建立线段长度、图形面积关于运动时间（或参数）的函数关系式，然后利用函数的性质（如二次函数最值）或几何模型（如将军饮马、隐圆）来求解。 4. 分类讨论思想是灵魂：在探究特殊图形（等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形）的存在性时，必须对多种可能的情况进行全面、不重不漏的分类讨论，这是解题的难点和关键。 5. 设问层次分明：通常设置3小问，难度递进： (1) 第1问：求解析式或基本量（较简单）。 (2) 第2问：求面积或线段长的函数关系式，并求最值（中等难度）。 (3) 第3问：探究特殊图形的存在性（最难点，需要分类讨论）。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 几何基础：三角形、四边形（特别是平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质与判定；相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数。 (2) 函数基础：一次函数、二次函数的解析式求法及其图象性质（最值、增减性）。 (3) 图形变换：平移、旋转、轴对称（翻折）的基本性质。 (4) 几何模型：“铅垂法”求面积；“将军饮马”求线段和最小；“一线三等角”相似；“手拉手”全等/相似；“隐圆”求最值。 2. 能力要求： (1) 几何直观与空间观念：能根据文字描述想象出动点的运动路径和运动过程中图形的变化，并能画出草图辅助分析。 (2) 推理能力：能从复杂的条件中，运用几何定理和代数方法进行逻辑推理，建立等量关系。 (3) 运算能力：准确进行含参数的代数运算、配方、求解方程（组）。 (4) 分类讨论思想：这是动态几何问题考查的最高层次能力，必须能对各种可能情况做出全面、不重不漏的讨论。 (5) 模型观念：能识别并应用“铅垂法”、“将军饮马”、“隐圆”等模型。 四、趋势展望 1. 难度维持高位：作为压轴题的主要形式，其难度和区分度功能不会降低。 2. “点动”仍为主流，“形动”或成新热点：点在线段、折线、抛物线上的运动仍是命题主流。但图形（三角形、平行四边形）整体的平移、旋转、翻折与动点结合的问题可能会更多出现，形式更灵活。 3. 与新定义、项目式学习结合：动态几何问题可能会被包装在一个“项目探究”或“新定义”的背景下，增加阅读量和即时学习的考查。 4. 几何模型运用更直接：对“隐圆”、“胡不归”、“阿氏圆”等较复杂最值模型的考查会更直接，成为区分度的关键点。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，把握“三个一”： (1) 一个核心思想：“化动为静” 思想。务必让学生理解，所谓运动，就是在某一时刻、某一位置，图形是静止的，此时所有几何关系是确定的。 (2) 一个基本方法：“用参数（时间t或坐标x）表示一切”。这是将动态问题转化为代数问题的关键步骤。 (3) 一个必备技能：准确、快速地建立几何量（线段长、面积）关于参数的函数关系式。 2. 专题突破，分类训练： (1) 第一梯队（必会）： 1 “铅垂法”求面积：反复训练，形成条件反射。见到抛物线上动点三角形求面积，立刻想到用“水平宽×铅垂高÷2”。 2 “将军饮马”及其变式：熟练掌握“两定一动”、“一定两动”、“两定两动”的对称点作法。 3 特殊图形存在性分类讨论： 1) 等腰三角形：“两圆一线”。 2) 直角三角形：“两线一圆”。 3) 平行四边形：“对点法”（中点坐标公式）。 (2) 第二梯队（提分关键）： 1 “隐圆”模型：训练学生识别“定点定长”（圆外一点到圆上最值）、“定弦定角”（动点轨迹为圆）、“对角互补”（四点共圆）。 2 “胡不归”与“阿氏圆”：掌握其构造相似三角形转化系数的通法。 3 图形运动与重叠面积：分段讨论图形在不同运动阶段产生的重叠图形形状，分别建立函数关系。 3. 规范书写，强化逻辑： (1) 步骤清晰：写出“解：（1）……（2）……”等明确的小问序号。 (2) 分类明确：当需要分类讨论时，要写出“情况一：当……时”，“情况二：当……时”，并确保每种情况都能得到完整处理。 (3) 检验必要：解出的点坐标或时间t值，必须代入原题检验是否满足运动范围（如0＜t≤5）和几何存在条件（如点是否在线段上、三角形是否成立等）。 题型01 单动点与函数关系 析典例·建模型 1．（2024·山东潍坊·三模）某兴趣小组开展综合实放活动：在正方形中，，动点P以每秒1个单位的速度从B点出发匀速运动，到达点C时停止，作的垂线交于点M，连接，设点P的运动时间为t（），的面积为S，探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当时，_，_； ②经探究发现S是关于t的函数，请写出S关于t的关系式； (2)如图2，若存在两个时刻，（）对应的的面积S相等．请直接写出“”的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①利用正方形性质和垂直的定义，证明，利用相似三角形性质求出，进而得到，最后根据进行求解，即可解题； ②由题知，，，由①同理可得，进而得到，最后根据列出关系式，即可解题； （2）根据S关于t的关系式得到其对称轴，再根据题意得到，关于对称轴对称，即可解题； 【详解】（1）解：①四边形是正方形，， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ，解得， ， ． 故答案为：，． ②由题知，，， 由①同理可得：，解得， ， ； （2）解：， 函数图象对称轴为， 两个时刻，（）对应的的面积相同． 即，关于对称轴对称， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形面积公式，二次函数的应用，二次函数的图象和性质，解题的关键在于掌握二次函数的图象和性质． 研考点·通技法 考查知识点结合： 动点在线段/射线上；用t表示线段长；建立一次/二次函数 通用思路：“用t表示相关量，代入面积或长度公式”。 关键步骤： 1. 设时间：设运动时间为t。 2. 表示路程：用t和速度表示动点运动过的距离。 3. 表示边长：从t的表示出发，利用图形性质（如矩形对边相等、三角形底边与高的关系）表示出题目所求图形的相关边长。 4. 建立函数：代入面积或长度公式，得到关于t的函数关系式。 5. 注明范围：根据动点的运动范围，写出自变量t的取值范围。 破类题·提能力 2．（2022·山东日照·二模）2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和… 设直角三角形的边长为a，b，则，，即； 当时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即， 综上所述，，当且仅当时等号成立． 使用上述结论，“，当且仅当时等号成立”解决下列问题： (1)证明：“若a，b为正实数，则．当且仅当时等号成立”． (2)a，b均为实数，若为定值4，则有最小值________；若为定值6，则有最大值_________． (3)请结合函数图象（图2）研究中函数值y的取值范围． (4)如图3，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，，其中a是常数，，试求的最小面积（用a表示）． 【答案】(1)见解析 (2)当时，的最小值为4，当时，没有最小值； 9 (3)或 (4) 【分析】（1）利用，当且仅当时等号成立进行求解即可； （2）利用（1）中的结论求解即可； （3）分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可； （4）如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B，设点P的坐标为，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0），然后根据建立关系式，再由（1）中结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当且仅当时等号成立， ∴， ∴当且仅当即时等号成立 （2）解：若为定值4时， 当时，∵，， ∴， ∴此时的最小值为4， 当时，∵， ∴， ∴， ∴此时没有最小值； 若为定值6，则不可能都小于0，因此要使值最大，只需要讨论当都是正数的情况即可， 当当时，∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为9； （3）解：当时，，即， 当时，，即， ∴或； （4）解：如图所示，过点P作PC⊥x轴于C，过点A作AB⊥x轴于B， 设点P的坐标为，则点C的坐标为（x，0），点B坐标为（-1，0）， ∴AB=a，BC=x+1，,OC=x，OB=1， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小面积为 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，不等式的性质等等，解题的关键在于能够正确读懂题意． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，动点P从点C出发，在三角形的边上沿C→A→B匀速运动，到达点B时停止运动，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t（s），由B，P，Q三点围成的三角形面积为． (1)如图1，当点P由点C运动到点A时，连接，S与t之间的函数关系如图2所示． ①当时， _； ②求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围），并求线段的长度； (2)如图3，当点P由点A运动到点B时，连接，交于点O，（1）的条件仍然成立． ①求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）． ②若恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等，则 _． ③是否存某一时刻t，使点B在的垂直平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②，； (2)①；②；③当时，点B在的垂直平分线上． 【分析】（1）①由图2求解即可得；②利用待定系数法求解即可，利用勾股定理求解即可； （2）①作于点，证明是等腰直角三角形，求得，，利用勾股定理求得，再证明，求得，利用三角形面积公式列式计算即可；②画出函数图象，利用数形结合求解即可；③作于点，利用两种方式表示出的面积得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由图2可得，抛物线的对称轴为， ∴当时，； 故答案为：2； ②由图2可得，抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴； （2）解：①作于点， 由题意得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； ②画出函数图象如图， 当时，恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等， ∴， 故答案为：； ③存在．作于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∵点B在的垂直平分线上， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，点B在的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．涉及二次函数的图象与性质、求函数解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，数形结合是解题的关键． 4．（2022·山东青岛·模拟预测）已知：线段和矩形如图①摆放（点E与点B重合），点F在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点P同时从点A出发，沿方向运动，速度为．连接，，，分别与，相交于点M，N，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的关系式； (3)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出t的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2) (3)存在， (4)存在，当时，四边形的面积最小， 【分析】（1）根据为等腰三角形，，得到，代入列方程计算即可； （2）根据四边形的面积为列式计算即可； （3）先证明，得到，代入列方程求解即可； （4）根据，当时，四边形的面积最小．由，得到，则，由，得到 ，，由勾股定理得，，即可求出． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵为等腰三角形，， ∴ ∴， 解得， 当时，为等腰三角形； （2）解：由题意得，，，， ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴， ∴， 可证， ∴， ， ， 解得：，（舍去）， 存在某一时刻，使； （4）解：， ∴当时，四边形的面积最小，此时，， ， ∴， ∴， ，， ， ∵， ∴， ，， 在中，由勾股定理得，， ， 当时，四边形的面积最小，此时． 题型02 单动点与分类讨论（特殊图形存在性） 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． (2)如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析； (2)，见解析； (3)存在，的长为或 【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明； （2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么； （3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故，解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，正方形中， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：存在， 当点在的延长线上， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，如图： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或． 研考点·通技法 考查知识点结合： 等腰/直角三角形；平行四边形；相似三角形；两点间距离公式；勾股定理 通用思路：“设点坐标 → 表示线段 → 列方程 → 解方程并检验”。 关键步骤： 1. 设点坐标：设动点P，其中y用已知函数表达式（如抛物线）表示。 2. 表示线段：利用两点间距离公式表示出相关线段的平方（通常保留平方形式避免开根号）。 3. 列方程（分类讨论）： (1) 等腰三角形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB（三种情况，即“两圆一线”）。 (2) 直角三角形：PA²＋PB²＝AB²，PA²＋AB²＝PB²，PB²＋AB²＝PA²（三种情况，即“两线一圆”）。 (3) 平行四边形：利用对角线互相平分（对点法）（按不同边为对角线分情况讨论）。 4. 解方程并检验：解方程求得x（或t）的值，然后： 5. 检查点是否在要求的图形上（如抛物线上）。 6. 检查三角形三边是否满足三边关系。 7. 检查值是否在动点运动的时间或坐标范围内。 破类题·提能力 2．（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A的坐标是，P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在第二象限内，且，求的面积． (3)在（2）的条件下，若M为直线上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式，分别表示出，根据和三角形面积公式求解即可； （3）分情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线，则点， 则函数的表达式为：， 把代入得：，解得：， 故抛物线的表达式为： ； （2）设直线的表达式为： 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：，解得： 直线的表达式为：，则，则， 设点，则点，点， ∵， ∴， 解得：（舍）或， 即点 ； （3）由题意得：是以为腰的等腰三角形， ①当时，过点M作轴于点H， ， 则， 则 故点； ②如图， 当时，过点D作于H， ∴， 在中，， ∴， 过点M作轴于G， ， ， ∴ 点M（，）； 故点M坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合题，解题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 3．（2022·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D． (1)求顶点D的坐标； (2)点E是斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E、F的坐标； (3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(1，4) (2)E(，)，F(，) (3)存在，P点的坐标为(，)或(，)或(，)． 【分析】（1）根据题意可得出A点坐标和B点坐标，再利用待定系数法求出其解析式，最后化为顶点式即可得出其顶点坐标； （2）设直线AB的解析式为y=kx+t，将A与B坐标代入求出k与t的值，确定出直线AB解析式，结合抛物线解析式，设出E与F坐标，两纵坐标相减表示出EF，再利用二次函数的性质即可确定出此时E和F的坐标； （3）分类讨论①当中时和②当中时，根据P点纵坐标与E点纵坐标或F点纵坐标相等，即可求出答案． 【详解】（1）∵，， ∴，A(-1，0)， ∴， ∴B(4，-5)． ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为(1，4)； （2）设直线AB的解析式为， 则，解得： ∴直线AB的解析式为． ∵点E是斜边上一动点（点A、B除外）， ∴可设E(x，-x-1)(-1<x<4)，则F(x，)， ∴， ∴当时，EF有最大值，此时， 即E(，)，F(，)； （3）分类讨论：①当中时，如图点即为此时使以为直角边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴(，)； ②当中时，如图和点即为此时使以为直角边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴(，)，(，)； 综上可知，存在一点P，使是以为直角边的直角三角形，P点的坐标为(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查坐标与图形，利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）由题意得，当时，，求得，再利用三角函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，同（1）利用三角函数的定义求得，，再根据，利用三角形的面积公式代入数据求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，作于点，交延长线于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可；当时， 作于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵在中，，，， ∴， 由平移的性质得，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； （2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ； ∴； （3）解：存在，理由如下， 由题意， 当时，作于点，交延长线于点， 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 当时， 作于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∵， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，公式法解一元二次方程，正确构造辅助线，分类讨论是解题的关键． 题型03 双动点或多动点问题 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·一模）如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： (1)当为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ (3)求的面积与的关系式； (4)运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， (4)不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可； （2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答； （4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上； （3）解：①当时，点M在上，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； （4）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 两个点同时运动；相对运动；建立关于t的方程组 考查知识点结合： 等腰/直角三角形；平行四边形；相似三角形；两点间距离公式；勾股定理 通用思路：“设点坐标 → 表示线段 → 列方程 → 解方程并检验”。 关键步骤： 1. 设点坐标：设动点P，其中y用已知函数表达式（如抛物线）表示。 2. 表示线段：利用两点间距离公式表示出相关线段的平方（通常保留平方形式避免开根号）。 3. 列方程（分类讨论）： (1) 等腰三角形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB（三种情况，即“两圆一线”）。 (2) 直角三角形：PA²＋PB²＝AB²，PA²＋AB²＝PB²，PB²＋AB²＝PA²（三种情况，即“两线一圆”）。 (3) 平行四边形：利用对角线互相平分（对点法）（按不同边为对角线分情况讨论）。 4. 解方程并检验：解方程求得x（或t）的值，然后： 5. 检查点是否在要求的图形上（如抛物线上）。 6. 检查三角形三边是否满足三边关系。 7. 检查值是否在动点运动的时间或坐标范围内。 破类题·提能力 2．（2025·山东烟台·一模）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，边交轴于点，抛物线过点． (1)求抛物线的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若为直线上方的抛物线上一点，且，求点的坐标； (4)为线段上的点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动到点，再以每秒个单位长度的速度沿线段运动到点，又以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，当点运动到点后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3)点坐标为； (4)运动时间t的最小值为，此时坐标为 【分析】（1）先待定系数法求得直线的解析式为，进而求得点的坐标，将三点坐标代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）由两点间距离公式求得、、，利用勾股定理的逆定理即可做出判断； （3）由（2）中数据可知，延长至，使，连接，则点为直线与抛物线的交点，求出直线的解析式，与抛物线联立方程组，解之即可求得点坐标； （4）过作于，过作交于，连接，则，求得，由点运动时间，当、、三点共线时，最小，进一步求解即可解答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ 将，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）为直角三角形，且，理由为： ∵，，， ，，， ∴， ∴为直角三角形，且； （3）由（2）知， ∴， ∴， 延长至，使，连接，则点、关于点对称， ∵， ∴， ，，， ， ， 点为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，代入， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，解得：或舍去， 故点坐标为； （4）过作于，过作交于，连接，则， ， ， ， ，又， 点运动时间， 当、、三点共线时，最小， ， ， ， ， 点运动时间的最小值为， ，， ， 点与点重合，则点 即为直线与直线的交点， 由点和得直线的表达式为， 由点，，得直线的表达式为， 联立方程组，解得：， 此时坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、锐角的三角函数、垂线段最短、轴对称性质、解二元二次方程组、解一元一次方程组、全等三角形的判定与性质等知识，解答的关键是弄懂题意，找寻相关知识间的关联点，利用待定系数法和数形结合思想进行探究、推理和计算． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到，用t表示两条线段的长，建立等式求解即可； （2）证明，得到，表示，利用二次函数的最值解答即可； （3）证明，得到，整理得到一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴当时， ∴ ∴ 即 解得 ； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∴， ∴ ， ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为． （3）解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点 ∵，， ∴ ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即， 解得，(舍) ∴当时，线段经过点． 4．（2025·山东青岛·二模）已知：四边形中，，，动点P从点C出发沿边向点B运动，速度为；直线从点A出发沿对角线向点C运动，分别交与点E、Q、F，且运动过程中始终保持，速度为；若点P与直线同时出发，设运动时间为t秒，且（）． (1)连接，当t为何值时？ (2)连接，设四边形的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在时刻t，使点P在的角平分线上，若存在，求出t，不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题意求出，利用平行四边形的性质令，建立方程求解即可； （2）利用即可解答； （3）如图，过点作与点H，根据角平分线的性质，得到，勾股定理求出，由（2）知，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得， ∴t为时，． （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ； ∴； （3）解：存在，， 如图，过点作与点H， ∵点P在的角平分线上，， ∴， ∵，，， ∴， 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当时，点P在的角平分线上． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，考查了梯形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键． 题型04 含参数的动点问题 析典例·建模型 1．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，点从点A出发，沿运动，速度为每秒个单位长度．点从点出发，沿运动，沿运动时的速度为每秒个单位长度，沿运动时的速度为每秒3个单位长度．、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．连接、设的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的长． (2)当点沿运动时，用含的代数式表示点到、的距离． (3)求S与的函数关系式． (4)在点运动的过程中，直接写出与同时为钝角三角形时的取值范围． 【答案】(1)3 (2)点到的距离为，点到的距离为 (3) (4)当或或时，与同时为钝角三角形 【分析】（1）如图1中，画出图形求出即可； （2）如图2中，于，于．则四边形是矩形，可得，，推出，可得，由此即可解决问题； （3）分三种情形求解①如图3中，当时，②如图4中，当时，③如图5中，当时； （4）求出三个特殊位置的的值即可解决问题 【详解】（1）解：如图1中， 在中，， 时，点在时， ． （2）解：如图2中，于，于．则四边形是矩形， ，， ∴， ， ， ，， ． 点到的距离：． 点到的距离：． （3）解：①如图3中，当时， ． ②如图4中，当时， ． ③如图5中，当时， ． （4）解：如图6中，当时， ， ，解得． 如图7中，当时，， ，解得， 如图8中，当时，，解得， 当或或时，与同时为钝角三角形． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 研考点·通技法 考查知识点结合： 动点坐标为(m, ym)；用m表示线段、面积；求取值范围或最值 考查知识点结合： 等腰/直角三角形；平行四边形；相似三角形；两点间距离公式；勾股定理 通用思路：“设点坐标 → 表示线段 → 列方程 → 解方程并检验”。 关键步骤： 1. 设点坐标：设动点P，其中y用已知函数表达式（如抛物线）表示。 2. 表示线段：利用两点间距离公式表示出相关线段的平方（通常保留平方形式避免开根号）。 3. 列方程（分类讨论）： (1) 等腰三角形：PA＝PB，PA＝AB，PB＝AB（三种情况，即“两圆一线”）。 (2) 直角三角形：PA²＋PB²＝AB²，PA²＋AB²＝PB²，PB²＋AB²＝PA²（三种情况，即“两线一圆”）。 (3) 平行四边形：利用对角线互相平分（对点法）（按不同边为对角线分情况讨论）。 4. 解方程并检验：解方程求得x（或t）的值，然后： 5. 检查点是否在要求的图形上（如抛物线上）。 6. 检查三角形三边是否满足三边关系。 7. 检查值是否在动点运动的时间或坐标范围内。 破类题·提能力 2．（2022·山东青岛·二模）已知，如图，矩形中，，，点以每秒个单位从点向点运动，同时点沿着以每秒个单位从向运动，在点运动的同时，作交于，当点移动到时，点和点停止运动．以和为边作平行四边形，设运动时间为秒． (1)几秒时，？ (2)设平行四边形的面积是，用表示； (3)当时，吗？说明理由． (4)存不存在某个时刻，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当运动时间是秒时，∽ (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）可推出，进而得出，进一步得出结果； （2）设交于，根据∽表示出，根据表示出，从而表示出上的高，进一步得出结果； （3）先表示出，根据求得的值，进而表示出和，根据和的数量关系确定和的数量关系； （4）连接交于，延长交于，当可推出点是的中点，进而推出点为的中点，进一步求得结果． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当运动时间是秒时，∽； （2）设交于， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 当时，四边形是矩形， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ； （4）如图， 连接交于，延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同理可得， ， 即：， ． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是转化条件，灵活运用相关知识． 3．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在等腰直角中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，过点作交折线于点，以为边向右作长方形，使，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求长方形与重叠部分图形的面积与之间的关系式； (4)点为的中点，连结，当所在的直线垂直的一边时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)的值为或或． 【分析】（1）过点作于点，由三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推得，，分两种情况讨论：当时，当时，结合等腰三角形的判定与性质分别表示出即可得解； （2）过点作于点，结合等腰直角三角形性质得、、，结合矩形性质可证是等腰直角三角形，则，即，求解即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别表示出与之间的关系式即可； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， ，， 当时，， ，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 综上所述，； （2）解：如图，过点作于点， 由题意得：， 由（1）得：，， 当时，， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：； （3）解：当时，长方形与重叠部分图形为长方形，如图， ； 当时，如图， ，，， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ； 当时，如图，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ； 综上所述，与之间的关系式为； （4）解：当时，如图，延长交于点，连接， 则， 点为的中点，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得：； 当时，如图， ， 、、三点共线，即点与点重合， ，，， ， 解得：； 当时，如图，设交于，交于，交于， ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、列代数式、矩形性质、一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，解题关键是运用分类讨论的思想解决问题． 4．（2024·山东聊城·三模）如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，其中，，点从点出发，在线段上以1单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作PQ∥BC，交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)用含的代数式表示直线的解析式； (3)当为何值时，的面积最大？求出面积的最大值． 【答案】(1) (2)直线为 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】（1）利用交点式直接可得抛物线的解析式； （2）先求解顶点坐标为，再求解的解析式，结合进一步解答即可； （3）先求解的解析式为：，再求解，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）过，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线为， ， 解得：， ∴为， ∵， 设为， ∵， 当时， ∴，即， 当时， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线为； （3）∵，， 同理可得：的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， 当时，面积最大，最大面积为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的应用，二次函数与动态图形的面积，熟练的表示，的坐标是解本题的关键． 题型05 图形运动问题 析典例·建模型 1．（2026·山东德州·一模）【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再证明，即可得出结论； 方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，再证明，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果； （3）①平移线段至处，连接，由证得 ，得出，，证明 ，得出 ，即可得出结果； ②证明，得出即可求解． 【详解】（1）(1)证明：方法1：平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得， 四边形是正方形， ，°，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 方法2：平移线段至交于点，如图， 则四边形是矩形，， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图， ， 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， 则，，，，，， 由勾股定理可得，，，， ， 即， 为直角三角形，， ； （3）解：①平移线段至处，连接，如图， 则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ； ②如图， 为正方形的对角线，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 三角形、四边形整体平移、旋转、翻折；重叠面积 通用思路：“分段讨论，化整为零”。 关键步骤： 1. 分析运动过程：找到图形运动的起始位置、终止位置。 2. 确定临界点：找到图形之间相对位置发生变化的时刻（如一个图形的边刚好碰到另一个图形的顶点、边）。 3. 按时间（或位移）分段：根据临界点，将运动过程分成若干段。 4. 建立分段函数：在每一段内，分析重叠部分的形状（可能是三角形、梯形、五边形等），并建立相应的面积（或线段）关于运动时间t的函数关系式。 5. 合并结果：将各段的函数关系式统一写出（分段函数形式）。 方法技巧： 1. 画图：在草稿纸上画出每一段开始、中间、结束时的图形，帮助理解。 2. “割补法”：重叠部分通常是不规则图形，需要通过割补法，用规则图形（如矩形面积减去三角形面积）来表示。 破类题·提能力 2．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)取得最大值， (3)或或 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，此时； （3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 3．（2023·山东济南·二模）如图1，已知抛物线经过点和点，与轴交于点C，顶点是G，连接． (1)求抛物线的表达式和顶点G的坐标； (2)如图2，若平移抛物线，使其顶点M在直线上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接，当时，求点M的坐标； (3)如图3，若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点G的坐标为 (2)点M的坐标为 (3)最短距离为，顶点坐标为 【分析】（1）把A、B两点的坐标代入函数解析式中，解方程组即可求得函数解析式，配方即可求得顶点坐标； （2）求出点C的坐标，则可求得的解析式，设点M的坐标，则可得平移后抛物线的解析式，进而求得点D的坐标，则由面积关系可求得点M的坐标； （3）过点G作的垂线，交于H，交y轴于点F，当抛物线沿着直线的向上平移时，平移距离最短，先求出直线的解析式，过点G作轴于点E，由点G的坐标及相似三角形的性质易得点F的坐标，从而可求得的解析式，设抛物线的顶点坐标，根据抛物线与直线恰有一个公共点时可求得平移后的抛物线顶点坐标，则可求得此时平移的距离． 【详解】（1）解：把A、B两点的坐标代入函数解析式中，得：， 解得：， 即解析式为，配方得：， 即顶点G的坐标为； （2）解：对于，令，， ∴， 设的解析式为，则有，解得：， 即的解析式为； 设点M的坐标为，则平移后抛物线的解析式为， 上式中令，得， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 由题意知，点D只能在y轴上点C的下方， ∴， 即， 解得：， 则， ∴点M的坐标为； （3）解：过点G作的垂线，交于H，交y轴于点F，如图， 当抛物线沿着直线的向上平移时，平移距离最短， 设直线的解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 过点G作轴于点E，由点G的坐标知，， ∵， ∴ 即， 即， ∴， ∵， ∴， 而，即点F在y轴负半轴上， ∴， ∴点F的坐标为， 设的解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 设平移后抛物线与直线恰有一个公共点时的顶点N坐标为， 则平移后抛物线解析式为 ∵抛物线与直线恰有一个公共点， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， 此时平移后抛物线的顶点坐标为， 而点G的坐标为， ∴， ∴抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，综合运用这些知识是解题的关键，较好的运算能力是解答本题的前提． 4．（2025·山东济南·一模）如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离； (3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标． 【答案】(1)和 (2)平移的距离是单位 (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解； （2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解； （3）根据题意，设点关于的对称点为H，连接，则，进而可得，然后代入函数解析式求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴抛物线 经过点， 设抛物线表达式为， 将，，代入表达式， ， ∴抛物线为， ∵直线 与轴所夹锐角为， ， ， 设直线表达式为，把，代入， 得，解得 直线：， ∴抛物线和直线的表达式分别为：和； （2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意； ②若抛物线向右下方平移， ∵二四象限角平分线函数的表达式：， ∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位， ∵原抛物线 为， ∴其顶点为， ∴平移后顶点为， ∴平移后抛物线表达式为， 令， 若平移后抛物线与直线只有一个交点， 则，解得， 平移的距离为个单位； （3）解：设点关于的对称点为H，连接，如图，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）； ∴， ∴ ∴点坐标为：. 题型06 动态几何与最值问题 析典例·建模型 1．（2025·山东济南·模拟预测）在整个初中数学学科学习中，我们有许多的解题思想，那么在某学校九年级某次复习过程中，数学老师们给同学们了以下几个问题，请根据提示，一一解答． 【基本意识】 （1）如图，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，求出的最小值． 【数形结合】 （2）求的最小值． 【形态转化】 （3）在中，，，，以为边向外构造等边三角形，连接．试求的长度． 【答案】（1）；（2）13；（3）14 【分析】（1）作点关于的对称点，连接、，过点作于点，得出当、、三点共线时，有最小值为的长，过点作于点，则，再根据相似三角形的性质，得到，，再根据勾股定理求解即可； （2）构造直角三角形，其中，，，，，得到当、、三点共线时，有最小值为的长，连接，过点作交的延长线于点，再证明四边形是矩形，由勾股定理求出的长，即可得到最小值； （3）过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点，由勾股定理得到，由三角形面积可得，进而得到，再利用等边三角形的性质，得到，，，证明四边形是矩形，得到，，即可利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：（1）如图，作点关于的对称点，连接、， 则，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 过点作于点，则， ， ， ，， ， ， 即的最小值为． （2）， 如图，构造直角三角形，其中，，，，， ，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， 连接，过点作交的延长线于点， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即的最小值为13． （3）如图，过点作于点，过点作于点，过点作延长线于点， 在中，，，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路径，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，二次根式的混分运算等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 将军饮马；胡不归/阿氏圆；隐圆；二次函数配方求最值 通用思路：“识别模型，套用解法”。 关键步骤： 1. 分析问题类型： (1) 线段和/差最小：首选“将军饮马”模型。通过作一个点关于直线的对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求解。 (2) k·PA＋PB 型（k≠1）：首选“胡不归”或“阿氏圆”模型。通过构造相似三角形，将k·PA转化为一条线段PC，从而转化为“将军饮马”问题。 (3) 圆上一点到圆外两点和/差最值：连接圆心与定点，与圆的交点即为最值点（“点圆最值”）。 (4) 动点轨迹为圆：先通过“定弦定角”、“定点定长”等条件，确定动点的轨迹是圆，再转化为“点圆最值”。 2. 建立函数：如果不能直接用模型，则建立关于参数（t或x）的二次函数，利用配方法或顶点坐标公式求最值。 破类题·提能力 2．（2024·山东聊城·一模）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线1：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，． 例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，．    【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；    【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；    【拓展延伸】 （4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请求出△POD的面积．    【答案】（1），；（2）；（3）（4） 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；根据等边对等角以及角的运算，求得点的坐标为即可求得的最小值； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【详解】解：（1）抛物线中， ，， 抛物线的焦点坐标为，准线的方程为， 故答案为：，； （2）由（1）知抛物线焦点的坐标为， 点，到焦点的距离是它到轴距离的3倍， ，整理得：， 又， ， 解得：或（舍去）， （负值舍去）， 点的坐标为 （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； 直线m：交y轴于点C， ∴设的坐标为 过点作平行线交轴于一点，如图    即 ∴ ∵直线与直线垂直， ∴ ∵当，，三点共线， ∴ 解得 ∴ ∴点 ． 即的最小值为． （4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线， ∴ 抛物线的焦点坐标为，准线的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：    若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：   点的坐标为，准线， 点的横坐标为，代入解得， 即， ∴， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 3．（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)的最小值为． 【分析】（）根据正方形面积公式求出面积即可； （）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，当三点共线时； （）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，得，从而证明，当三点共线时，； 本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）由图得，正方形的面积为或， ∴， 故答案为：； （2）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∴， ∴， ∴最小值为，即最小值为； （3）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $