精品解析：上海音乐学院附属黄浦比乐中学2025-2026学年第二学期期中考试试卷高二年级数学试卷

2025学年度第二学期期中考试试卷 高二年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 直线x+y+1=0的倾斜角是_____． 【答案】135° 【解析】 【详解】试题分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1， ∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°． 故答案为135°． 考点：直线的一般式方程． 2. 双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线， 所以，则， 所以双曲线的离心率为. 故答案为： 3. 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由焦点坐标确定抛物线的开口方向和的值即可求解 【详解】抛物线的焦点坐标为，则抛物线的开口向左 设抛物线的标准方程为，由焦点坐标可知： 则抛物线的标准方程为 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题． 4. 若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 5. 已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 6. 直线与直线的夹角的余弦为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线的倾斜角求直线的夹角. 【详解】直线的斜率，倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以这两条直线的夹角为，所以夹角的余弦值为. 7. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用两直线平行求得m的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】由直线与直线平行， 可知，即， 故直线为， 直线变形得， 故这两条直线间的距离为， 故答案为：. 8. 已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点，结合距离公式计算即可得. 【详解】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 9. 已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定直线的定点，再判断定点与圆锥曲线的关系，即可列式求解. 【详解】由于表示椭圆，则且，① 直线恒过定点，若满足题意，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，②，由①②得， 所以的取值范围是 10. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】曲线是以原点为圆心,1为半径的半圆,直线是一条斜率为的直线,利用图像找到交点恰有一个的情况即可 【详解】由题,由可得,即为以原点为圆心,1为半径的半圆, 直线是一条斜率为的直线, 与轴交于两点,分别是,, 当点在直线上时,；当点在直线上时,, 则当时,二者恰有一个公共点； 当直线与相切时,满足,所以或（舍）, 综上,或, 故答案为: 【点睛】本题考查已知直线与圆的交点个数求参数范围问题,考查数形结合思想 11. 已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】首先确定点的轨迹，再根据斜率的几何意义，利用数形结合求取值范围. 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 12. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 【答案】##. 【解析】 【分析】如图，连接，则可得，所以△ABC的周长为，再求出，即可求得结果. 【详解】如图，连接， 因为l垂直平分线段， 所以， 所以△ABC的周长为， 由题意得，则 的中点为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线过， 所以，解得， 所以， 所以△ABC的周长为， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分） 13. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 14. 在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 15. 到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（ ） A. 一条直线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 16. 若曲线：，则下列描述中正确的是（ ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A. （1）（4） B. （3）（4） C. （2）（4） D. （2）（3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分44分） 17. 已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】（1） （2）直线的方程为； 【解析】 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【小问1详解】 设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； 【小问2详解】 ， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 18. 对于不为零的实数k的不同取值范围，讨论方程所表示的曲线的形状. 【答案】 方程，， 当，方程表示以原点为圆心，半径为的圆； 当，方程，其中，方程表示焦点在轴的椭圆； 当，方程，其中，方程表示焦点在轴的椭圆； 当，方程表示焦点在轴的双曲线. 【解析】 【分析】根据圆锥曲线方程的形式，对进行分类讨论，判断曲线的形状. 【详解】略. 19. 已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 （1）若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； （2）若直线过，且，求直线方程. 【答案】（1） 抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. （2） 【解析】 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示中点坐标； （2）利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 20. 若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： （1）若且的面积为，求的大小 （2）在（1）的条件下，求线段的长 （3）若求当为等腰三角形时点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积求点的坐标，再代入向量公式求夹角； （2）根据（1）的过程求解； （3）根据条件，得到或，代入坐标公式，即可求解. 【小问1详解】 当时，双曲线方程， 则，， 设，， ，得， 代入，得 则，，， 所以，， ， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 ，，则，， 若为等腰三角形，则或 设，， 若，则，且，得或（舍）， 当时，，（负值舍去），则 若，则，且，得（舍）或， 当时，，（负值舍去），则 所以点的坐标分别为或. 21. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 【答案】（1）； （2）最大值为5，最小值为； （3）证明：当时，椭圆：， 设，当直线PQ斜率存在时设其方程为，则 由，得， ∴， 由可知，即， ∴，即， ∴，可得，满足， ∴到直线PQ的距离为为定值； 当直线PQ斜率不存在时，，可得直线方程为，到直线PQ的距离为. 综上，到直线PQ的距离是定值． 【解析】 【分析】（1）由题可得，，即得； （2）由题可得，利用二次函数的性质即得； （3）当直线PQ斜率存在时设其方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理及条件可得，进而可得到直线PQ的距离为定值，当直线PQ斜率不存在时，可得，易得到直线PQ的距离为定值，即证. 【小问1详解】 ∵椭圆：，点的坐标为， ∴，， ∴的焦点坐标为； 【小问2详解】 设，又， 由题知，即， ∴， 又， ∴当时，取得最大值为25；当时，取得最小值为； ∴的最大值为5，最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期期中考试试卷 高二年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 直线x+y+1=0的倾斜角是_____． 2. 双曲线的离心率为______． 3. 若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是______ ． 4. 若方程为圆的方程，则的值为______. 5. 已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 6. 直线与直线的夹角的余弦为______. 7. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________． 8. 已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________． 9. 已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. 10. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是_______. 11. 已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 12. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分） 13. 圆：与圆：的位置关系为（ ） A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切 14. 在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（ ） A. 一条直线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 双曲线 16. 若曲线：，则下列描述中正确的是（ ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A. （1）（4） B. （3）（4） C. （2）（4） D. （2）（3） 三、解答题（本大题共有5题，满分44分） 17. 已知三角形的三个顶点分别为、、； （1）求边上中线的方程， （2）过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 18. 对于不为零的实数k的不同取值范围，讨论方程所表示的曲线的形状. 19. 已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 （1）若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； （2）若直线过，且，求直线方程. 20. 若点是双曲线在第一象限图像上的动点，、分别为双曲线的左、右焦点： （1）若且的面积为，求的大小 （2）在（1）的条件下，求线段的长 （3）若求当为等腰三角形时点的坐标. 21. 设常数且，椭圆：，点是上的动点． （1）若点的坐标为，求的焦点坐标； （2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值； （3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $