专题10 新定义函数压轴题3大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题10 新定义函数压轴题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 · 2024年：定义“α可及点” 以图形的轴对称和隐圆为核心解题工具。题目给定圆和一条弦，定义了圆外一点关于该弦呈特定角度的关系。 它要求考生透彻理解新概念，第（2）问需要逆向构思，通过分析动点轨迹确定“可及点”的存在范围，思维难度很高。 · 2025年：定义“关联点” 虽然仍是新定义压轴题，但结合搜索结果看，其关注点转向了点与圆的位置关系及线段旋转。主要考查点是否在圆内/上/外，以及线段与圆的位置关系分类讨论。 命题趋势：1. 从“圆”向“函数”综合倾斜 虽然新定义题型不变，但载体正在变化。2024-2025年侧重圆与几何，而2026年一模及教研风向显示，压轴题正越来越多地与一次函数结合。新定义可能以直线、坐标系为背景，将函数与几何融合，考查你的数形结合能力。 2. 关注“存在性”与“任意性”逻辑 海淀等区的教研会特别指出，“任意性看最值，存在性看值域交集” 是新高频区分点。定义的条件可能更抽象，你需要通过图形运动，逆向分析参数取值范围。 3. 强调“现场学习”与轨迹分析 “先定义、再理解、后应用”的模式不变。题目会给出全新的概念，要求你在考场上快速理解，并提炼出动点轨迹（如直线或圆），从而转化为熟悉的模型。 2026年预测：· 最可能的载体：一次函数与圆（或点）。例如：直线上的动点与圆上点的关联。 · 最可能的模型：隐圆（定弦定角）、线段旋转或平移（如定长线段滑动）。 · 最可能的设问：参数范围。如何利用“存在”或“任意”条件，构建不等式确定范围。 题型01 一次函数与圆综合 析典例·建模型 1．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【详解】（1）解：①以为圆心，2为半径画圆，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， ∵，， ∴点在内，点在上， ∴点，是弦的“中称点”； 延长交轴于点，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 又∵，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线的上方， ∴点不是弦的“中称点”； 综上，点，是弦的“中称点”； ②以为圆心，2为半径画圆，延长至使得，以为圆心，2为半径画圆，作两圆的切线，，且满足， 则弦的“中称点”在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 则， ∵， ∴， ∵是和的切线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴点D的纵坐标为； 当直线恰好经过点时，此时， 作轴于，连接，， 同理可得，点D的纵坐标为； ∵弦为的“中称弦”，且， ∴， 又∵， ∴点D的纵坐标的取值范围是； （2）解：将分别绕点，旋转得到，，连接，，， 此时点在上，点在上，且， 如图，过点作和的切线，分别交，于，，作和的外公切线，连接，， 同理（1）的方法可得， ∵弦为的“中称弦”， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵与的半径都为2，且， ∴与的位置关系为外切， 设与外切于点，连接交于点， ∵，， ∴，即， ∴， ∵是和的外公切线， ∴， ∴， ∴弦的“中称点”在以点为圆心，分别以6为半径，为半径的圆环上（包含边界）； 对于，当时，；当，； ∴，， 若， 当直线恰好与以点为圆心，6为半径的圆相切时，有最大值， 记此时点为，点为， 设切点为，连接，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点恰好在以点为圆心，为半径的圆上时，有最小值， 记此时点为，则， ∴b的取值范围为； 若，由对称性可知，，， ∴b的取值范围为； 综上，b的取值范围为或． 研考点·通技法 1. 直线旋转（斜率变化）求与圆有公共点 ⇒ 利用相切d=r 2. 圆上存在点满足到直线距离为定值 ⇒ 圆心距区间[d-r, d+r] 3. 线段（在直线上滑动）与圆有交点 ⇒ 端点代入或整体距离 4. 新定义“关联点”结合对称、旋转 ⇒ 转化为点轨迹圆，再与已知圆位置关系。 破类题·提能力 2．（2026·北京第五中学分校·零模）在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． (1)如图，的半径为1，直线：． ①在点，，中，点_____是关于直线的映像点，该点与的映像距离为_____； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最大时，点的坐标为_____； (2)已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于过定点的某一条直线的映像点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【来源】北京市第五中学分校 2025-2026学年度第二学期第二次阶段性练习 九年级数学（零模）试题 【分析】（1）①根据新定义，计算判定求解即可； ②根据直径是圆中最大弦，故当点，，，四点共线，且点B是直线与交点中靠近外侧的点，点与的映像距离最大，求解即可； （2）根据题意，得点在以为圆心，以为半径的内圆上或为半径的外圆上，当外圆G与相切时，最小，此时最小，设此时的切点为H，连接， 解得．当内圆G过点E时，最大，此时最大，解得，继而得到，继而得到，然后分类化简取点绝对值，当时即时，得，解得；当时即时，得，解得． 【详解】（1）解：①设点O关于直线：的对称点为，且点， 根据题意，得， 整理，得， 设直线：与x轴交于点M，与y轴交于点N， 则，， ， ， 根据线段的垂直平分线性质，得，， ， 轴， 故点， 的半径为1， 上的点关于直线的映像点都应在以点为圆心，以1为半径的上， 此时点与重合，不符合题意， 点与的距离为：， 故不在上，不符合题意； 点与的距离为：， 故在上，符合题意； 故点是关于直线的映像点，设在上的映像点为， ， 轴， ， ， 故该点与的映像距离为； ②解：根据直径是圆中最大弦，故当点，，，四点共线，且点B是直线与交点中靠近外侧的点，如图，过点B作轴于点D， 根据， 得，且， 故， 故， 由点B在第二象限， 故点． （2）解：点P是关于过定点直线的映像点，关于过定点直线的对称圆为，由①可知，点P在上， 设定点为G，且，， 根据轴对称性质，得，且都在直线上， 故点T在以为圆心，以为半径的圆上， 的半径为，点P在上， 点在以为圆心，以为半径的内圆上或为半径的外圆上， 当外圆G与相切时，最小，此时最小， 设此时的切点为H，连接， ， ， 因为点，，， 轴，轴，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 解得． 当内圆G过点E时，最大，此时最大， ， ， 解得， 故， ， 当时即时，得，解得； 当时即时，得，解得； 综上所述，的取值范围为或． 3．（2026·北京三帆中学·零模）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)C、D， (2)①b的值为0或或；②b的值为． 【详解】（1）解：如图1中， 观察图象可知，是边长为1的等边三角形， 点A的一对关联点是D，C． 故答案为：C，D． （2）解：①如图2-1中，点P，点Q为点A的一对关联点，有三种情形如图所示， 当直线经过原点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 当直线经过点，满足条件，此时． 综上所述，满足条件的b的值为0或或． ②如图2-2中，当直线与相切于E，F时， 设切点坐标为， ∵以原点为圆心作半径为1的圆， ∴， 化简得， ∵直线与相切， ∴， 解得或, ∴或． 以为边向上构造等边三角形（边长1），当等边三角形与有交点时，满足条件（这个交点为点R ）， 当R与E重合时，直线的解析式为， 当R与F重合时，直线的解析式为， 观察图象可知，满足条件的b的值为． 4．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点和直线，给出如下定义：若点，其中，且，直线的解析式为，则称直线为点，的关联直线，关联直线上的所有点称为点的关联点．例如，对于点，的关联直线为，关联直线上所有点是点的关联点． (1)已知点 ①点的关联直线为___________； ②半径为1的的圆心为，半径为2的的圆心为，都与点的关联直线相切，且，则线段的长为___________； (2)半径为的圆心为为上不同两点，若直线是点的关联直线，且上存在点，使得点是点的关联点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【来源】2025年北京市大兴区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②由①知，点的关联直线， 设直线的解析式为， 则，解得， 即直线的解析式为，如图 令，解得；令； 设直线与x轴和y轴分别交于点U和点V，则点，， 直线与交于点C，则，直线与直线交于点W， ∴，，则，， 那么，，， 即点的关联直线与直线垂直； 假设与如图所示，则， 根据题意得，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）②可知，点的关联直线与直线垂直， 当直线与相切时，如图中直线，过点S作，轴交直线于点M，交x轴与点R，过点M作，如图， ∵半径为的圆心为， ∴， ∴，， ∴，， 设，则，，解得，， 则，解得， 那么，，， ∴点， 此时，，解得； 当直线与相切时，如图中直线，过点S作，轴交直线于点F，交x轴与点E，过点F作，如图， 同理可得，，，，，，， 设，则，， 则，解得， 那么，，， ∴点， 此时，，解得； 综上所述，当直线的满足要求． 5．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【来源】2025年北京市顺义中考二模数学试题 【详解】（1）解：①设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ，这两个距离范围没有公共部分， 线段上不存在任意两个不同点，， 使得，则线段不是的“平衡图形”； 综上所述，线段、是的“平衡图形”； 故答案为：、； ②解：设直线与轴交于点； 当时 ，， 当 时，， ，， ， ， ， 当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时； 当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意， 当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足， 当与相切时．如上图所示∶此时， ； 当线段全部在外时，如图所示： 作于， ， 点到的距离满足， 点到的距离满足， 时符合题意，即， 综上所述，， 故答案为：； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； 点， ， ①当在内时， 由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足， 作于，由上题可知：， 上点到的距离满足， 上任意一点到的距离满足， 时符合题意，即． ②当在时， 同①可得：， ，即此时可以无限大； 综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是． 题型02 一次函数与三角形四边形综合 析典例·建模型 6．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）；（2）①4；② 【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上 根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点； （2）①如下图： ∵ ∴ ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形． ∴ ②如下图： ∵ ∴， ∵四边形MNPQ的面积为8， ∴，即 ∴， ∵四边形MNPQ是菱形， ∴ 作直线，交x轴于A， ∵ ∴OM=， ∴OE=2， ∵M和P在直线上， ∴∠MOA=45°， ∴△EOA是等腰直角三角形， ∴EA=2， ∴A与N重合，即N在x轴上， 同理可知：Q在y轴上，且 由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是． 研考点·通技法 1. 等腰/直角三角形存在性：设点坐标 → 列距离/垂直方程 2. 平行四边形存在性：中点公式（三类讨论） 3. 面积最值：用含参表示面积 → 二次函数最值 4. 动点与折叠：中点+垂直平分线 5. 新定义：读懂定义后转化为上述模型。 破类题·提能力 7．（2025·北京101中·一模）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”． 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题： 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）． （1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为　 　；“开距离”为　 　； （2）设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”； （3）⊙M的圆心为M（m，﹣6），半径为1，若⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）12，20；（2）2或2或2；（3）当m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1． 【详解】解：（1）如图所示： ∴线段AB和线段CD的“闭距离”为12，“开距离”＝， 故答案为：12，20； （2）∵线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2， ∴点E坐标为（4，0）或点E（8，0）或点F（0，6）或点F（0，10） 当点E坐标为（4，0）时， ∴0＝﹣×4+b， ∴b＝3， ∴点F（0，3）， ∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝， 当点E坐标为（8，0）时， ∴0＝﹣×8+b， ∴b＝6， ∴点F（0，6）， ∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝， 当点F坐标为（0，6）时， ∴b＝6， ∴y＝﹣x+6， ∴点E（8，0）， ∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝， 当点F坐标为（0，10）时， ∴b＝10， ∴y＝﹣x+10， ∴点E（，0） ∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝， （3）如图，设直线y＝﹣6与AB交于点N，交AC于点E， ∵M（m，﹣6），半径为1， ∴当点M在y轴左侧时，MN＝2时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1， ∴m＝﹣8或﹣4， 当点M在y轴右侧时，ME＝2时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1， ∴m＝6+或6﹣3， ∴当m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1． 8．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． (1)已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； (2)已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； (3)已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：如图，连接，，，，，， ∵点，， ∴轴，轴， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，对线段的可视度为，对线段的可视度不是． （2）解：①若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， ②若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； ∵圆心角， ∴圆周角， 根据对称性与中心对称，将弧与弧组成的图案顺时针依次旋转、、所得到的图案，即为对四边形的可视度的点的可行区域，如下图所示， 要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可， ∴当与上的弧相切于点时， ∴， ∴， 又∵点在第二象限， ∴， 将代入得：， 解得：， 根据中心对称当与上的弧相切于点时，此时， 将代入得：， 解得：， 综上所述，． （3）解：对于半径为1的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即， 当时，如左图所示， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∴此时， 当时，如右图所示， ∵，，， ∴平分，即， ∴此时， ∴当点对于的可视度满足时，， ∴点在以为圆心，与为半径的圆环内（包括边界）， ∴上所有点都是的可视点P，且点P对于的可视度满足，那么必定在这个圆环之内， ∴我们来讨论一条长为1的线段刚好卡在圆环上的临界状态： ①点在半径为2的上，点在半径为的上，此时过点作，如图所示， 设，则， ∵，， ∴，解得， ∴， ②分别在半径为2的上，如图所示， ∴此时由垂径定理可得， ∴， 综上所述，到直线距离需要满足， ∵直线与轴交于， ∴到直线距离， ∴，解得或， 综上所述，t的取值范围为或． 9．（2026·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【答案】(1)①④ (2)，或 (3) 【详解】（1）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④． （2）解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K，   ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时，      此时点N与点E重合，t为最小值，， ； 当圆继续往下平移时， 如图，作等腰直角与等腰直角，连接，同理可得N点轨迹为线段， 当圆与线段相切交于点时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在与中， ， ， ， ， 即， 当圆继续往下平移至交线段与唯一公共点Y处时， 此时， 即， ， 综上所述，，或． 故答案为：，或． （3）解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、，    容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图，    此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图，    此时，， 综上所述，， 故答案为：． 10．（2025·北京西城·一模）平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在一点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称点与图形是“中心轴对称”．对于图形和图形，若图形和图形分别存在点和点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的．特别地，对于点和点，若存在一条经过原点的直线，使得点与点关于直线对称，则称点和点是“中心轴对称”的． （1）如图1，在正方形中，点，点， ①下列四个点，，，，，中，与点是“中心轴对称”的是 　　； ②点在射线上，若点与正方形是“中心轴对称”的，求点的横坐标的取值范围； （2）四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，若线段与四边形是“中心轴对称”的，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，②（2）或 【详解】解：解：（1）如图1中， ∵，，， ∴，与点是“中心轴对称”的． 故答案为，； ②如图2中， 以为圆心，为半径画弧交射线于，以为圆心，为半径画弧交射线于． 易知，，，， 观察图象可知满足条件的点的横坐标的取值范围：； （2）如图3中，设交轴于． 当一次函数与圆心为，半径为的圆相切时，， 当一次函数经过点时，． 观察图象结合图形和图形是“中心轴对称”的定义可知，当时，线段与四边形是“中心轴对称”的； 根据对称性可知：当时，线段与四边形是“中心轴对称”的． 综上所述，满足条件的的取值范围：或． 题型03 二次函数相关定义函数题 析典例·建模型 11．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下： 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的变换点的坐标是　 　；点的变换点为，连接，则　 　°； （2）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为．点在抛物线上，点的变换点为．若点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，求的值； （3）若点是函数图象上的一点，点的变换点为，连接，以为直径作，的半径为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）（﹣3，1）；90°；（2）或或；（3）的取值范围是． （3）设点F的坐标为，依据题意可得到点的坐标为，然后依据两点间的距离公式可得到的长度与x的函数关系式，从而可求得的取值范围，然后可求得r的取值范围. 【详解】（1）∵点，3＞1， ∴点的对应点的坐标是（﹣3，1）． ∵，﹣4＜2， ∴点的变换点为的坐标为（﹣2，﹣4）． 过点作轴，垂足为，过点轴，垂足为． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为（﹣3，1）；90°． （2）由题意得的顶点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为． ①若，则点的坐标为． ∵点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形， ∴ ∴，符合题意． ②若，则点的坐标为． ∵点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形， ∴ ∴或，符合题意． 综上所述，或或． （3）设点的坐标为． 当时，解得：，不合题意． 当时，解得：，符合题意． ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为． ∴． ∴当时，有最小值，的最小值，当时，有最大值，的最大值． ∴的取值范围为：． ∵， ∴的取值范围是． 研考点·通技法 1. 区间最值与恒成立（对称轴分类） 2. 抛物线与直线交点的新定义条件 3. 点的对称、旋转后的新位置代入函数 4. 抛物线平移/翻折后的解析式 。 破类题·提能力 12．（2024·北京昌平·一模） 无论k取任何实数，对于直线都会经过一个固定的点，我们就称直线恒过定点. （1）无论取任何实数，抛物线恒过定点，直接写出定点A的坐标； （2）已知△ABC的一个顶点是（1）中的定点，且∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线，求边BC所在直线的表达式； （3）求△ABC内切圆的半径. 【答案】（1）（0,2）或（3，）；（2）；（3）. 【详解】试题分析：（1）将变形为，只要的系数为0，即有无论取任何实数，抛物线恒过定点. （2）根据角平分线的轴对称性质，求出点A关于y轴的对称点和关于直线的对称点的坐标，由该两点在直线BC上，应用待定系数法求解即可. （3）根据角平分线的性质，y轴和直线的交点O即为△ABC内切圆的圆心，从而应用面积公式即可求解. 试题解析：（1）∵可变形为， ∴当，即或时，无论取任何实数，抛物线恒过定点. 当时，；当时，； ∴A（0,2）或（3，）. （2）∵△ABC的一个顶点是（1）中的定点， ∴A（3，）. ∵∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线， ∴点B、点C在点A关于y轴、直线的对称点所确定的直线上. 如图，作点A关于y轴的对称点，作点A关于直线的对称点. 直线DE与y轴的交点即为点B，与直线的交点即为点C. 连接AB，AC. 设直线BC的表达式为. 则有，解之，得. 所以，. （3） ∵∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线， ∴y轴和直线的交点O即为△ABC内切圆的圆心. 过点O作OF于F，则OF即为△ABC内切圆的半径. 设BC与x轴交点为点G，易知 ,. ∴. ∵, ∴，即△ABC内切圆的半径为. 考点：1.函数和平面几何综合题；2.角平分线的性质；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.三角形的内切圆；6.勾股定理；7.三角形面积公式. 13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴，与轴的交点坐标 (2) (3)①；②或 【详解】（1）解：抛物线G的对称轴为， 与轴的交点坐标； （2）解：在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为， 把点代入抛物线G的解析式得， 抛物线的表达式为； （3）①当时，抛物线G的解析式为， 抛物线的解析式为，在同一平面直角坐标系中图象如图：    从图中可以得出区域W内的整点个数为3； ②当时，如图1， 抛物线经过点（1，－3）时，区域W内恰有5个整点， ∴．解得：， 结合①可得：； 当a＜0时，如图2，抛物线经过点（－1，0）和（1，2）时，区域W内恰有5个整点． 经过点（－1，0）时，， 解得：， 经过点（1，2）时，， 解得：， ∴， 故如果区域W内恰有5个整点，则或． 14．（2025·北京汇文中学·三模）已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点和， ∴ ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1， ∵、， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， 由平移得， ∴， 设，则， ∴， 解得（舍）或， ∴； （3）解：如图2， ∵抛物线的解析式为，令，则， 解得或， ∴， ∵点和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 作，交于G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2024·北京燕山·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； ②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　； （3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围． 【答案】（1）（2，﹣1）；（2）①x＝m；②y3＞y1＞y2；（3）m＞2或m＜﹣1 【详解】解：（1）当m＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； （2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1， ∴函数对称轴为直线x＝﹣＝m； ②∵函数开口向上，x＝m时函数取得最小值， ∴离对称轴距离越远，函数值越大， ∵m﹣1＜m＜m+3，且点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2 ﹣1上， ∴y3＞y1＞y2； 故答案为：y3＞y1＞y2； （3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，如图， 在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，则x＝m±2， ∵点P在对称轴的左侧， ∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，点P（m﹣2，3）， 当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，解得：m＞2或m＜﹣1， ∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1． ． （建议用时：50分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2)；； (3)或 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【详解】（1）解：①如图所示， ∵， ∴， ∴， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到 ②依题意，点是点的“对应点”， ∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位 设， ∴，解得： ∴ （2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”， 将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∴点在以为圆心半径为1的圆上 ∴ ∴线段的最小值是；最大值为； （3）解：点，时，是以线段为半径的上一点， ∴ ∵点是点的“对应点”， ∴ 如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动， 依题意，点是沿方向平移得到的，则 若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交， 当两圆相切时， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：或 当点在的左侧时， 如图，当点在的右侧时， 综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或． 2．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，30；② (2)或 【来源】2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 【详解】（1）解：①如下图，过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段， ∵， ∴， ∵为的切线，且， ∴， ∴，即点A关于的关联线段的长为， 又∵， ∴， ∴点A关于的关联角度为； ②如下图，设线段与轴交于点， ∵线段是点D关于的关联线段， ∴直线是切线，即， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与直线解析式， 可得，解得， ∴点D的坐标为； （2）设直线上任一点， 根据关联角的定义，点关于的关联角度满足， 要使最大，则最大，此时最小， 当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离， ∴的最大值为， ∵， ∴，即， 解得， 设直线分别交轴于点，如下图， 对于直线， 当时，， 当时，可得，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点右侧时，如图， 此时，， 则， 即，可得， 解得； 当点在点左侧时，如下图， 此时，， 则， 即，可得， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 3．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． (1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)，； (2)；；． 【来源】2025年北京市门头沟区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：由点关于的对称点， ∵， ∴在为圆心，为半径的圆上，如图所示， ∵，，， ， ∴根据图形可知，在上， 故答案为：，； （2）解：∵经过点， ∴当时，， 故答案为：； ∵， ∴， 如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，即在的内部时，先中心对称再平移， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴， ∵线段经过反射平移后与轴的夹角不变， ∴， ∴当在上且不与点重合时，连接，则即为等边三角形， ∴ ∴，， 结合图形，可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时， ； 如图所示，当与相切时，为临界值，延长交于点，作轴，则，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，的半径的取值范围为． 4．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②，； (2)，． 【来源】2025年北京市顺义区中考一模数学试卷 【详解】（1）解：①由点可得，所在直线的解析式为， 直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点不是弦的“关联点”； 故答案为：，； ②点是弦的“关联点”，直线经过点， ， ， ， 如图所示，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、， 设点的坐标为，则， 即， 解得， ， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）如图所示，在直角坐标系中作出点，，连接， 根据题意得，， ， ， 即等于圆的半径， ，即， 线段与圆相切， 设线段与圆相切于点，连接， 线段上存在弦的“关联点”，设此“关联点”为点，点为线段上的动点， 当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为， 设， ， 第一种情况，如图所示，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， ， 记的长为， ； 第二种情况，如图所示，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， 记的长为， ； 综上所述，，． 5．（24-25九上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． (1)已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； (2)点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)和；，； (2)或． 【来源】 北京市昌平区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，一元二次方程，圆的基本性质，正确理解题意，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“关联点”的定义逐一判断即可； 由点是关于点的关联点，即，且，则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上，从而求出范围； （）先任取一点，作等腰与等腰，由定义可得点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上，若存在点在直线上，则或，从而求出范围； 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， 设上的点，则， ∵点是上的点，的半径为1， ∴， 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， ， ∴方程无解， ∴点不是关于点关联点； 根据新定义知：当时，则， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简整理，得， 解得：，， ∴或， ∴点是关于点关联点； 同理点是关于点关联点； 故答案为：关于点关联点的是点、点点； ∵点是关于点的关联点，即，且， ∴将绕点顺时针旋转，并延长使得，同理将绕点逆时针旋转，并延长使得， 则关于点的关联点在以与为圆心，半径为的圆上， 如图， ∴或； （2）解：∵点是直线上一点， ∴先任取一点， ∵点是关于点的关联点， ∴，且， ∴作等腰与等腰， ∵点是关于点的关联点， ∴点在以为圆心，半径为的上，或以为圆心，半径为的上， 如图， 若存在点在直线上，则或， 解得或， 即或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 新定义函数压轴题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 · 2024年：定义“α可及点” 以图形的轴对称和隐圆为核心解题工具。题目给定圆和一条弦，定义了圆外一点关于该弦呈特定角度的关系。 它要求考生透彻理解新概念，第（2）问需要逆向构思，通过分析动点轨迹确定“可及点”的存在范围，思维难度很高。 · 2025年：定义“关联点” 虽然仍是新定义压轴题，但结合搜索结果看，其关注点转向了点与圆的位置关系及线段旋转。主要考查点是否在圆内/上/外，以及线段与圆的位置关系分类讨论。 命题趋势：1. 从“圆”向“函数”综合倾斜 虽然新定义题型不变，但载体正在变化。2024-2025年侧重圆与几何，而2026年一模及教研风向显示，压轴题正越来越多地与一次函数结合。新定义可能以直线、坐标系为背景，将函数与几何融合，考查你的数形结合能力。 2. 关注“存在性”与“任意性”逻辑 海淀等区的教研会特别指出，“任意性看最值，存在性看值域交集” 是新高频区分点。定义的条件可能更抽象，你需要通过图形运动，逆向分析参数取值范围。 3. 强调“现场学习”与轨迹分析 “先定义、再理解、后应用”的模式不变。题目会给出全新的概念，要求你在考场上快速理解，并提炼出动点轨迹（如直线或圆），从而转化为熟悉的模型。 2026年预测：· 最可能的载体：一次函数与圆（或点）。例如：直线上的动点与圆上点的关联。 · 最可能的模型：隐圆（定弦定角）、线段旋转或平移（如定长线段滑动）。 · 最可能的设问：参数范围。如何利用“存在”或“任意”条件，构建不等式确定范围。 题型01 一次函数与圆综合 析典例·建模型 1．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和点E，给出如下定义：若上存在一点F，使得的中点在弦上，则称点E为弦的“中称点”；若点P和Q都是弦的“中称点”，且能取到的最大值为，则称弦为的“中称弦”． (1)如图，点． ①在点中，点________是弦的“中称点”； ②若弦为的“中称弦”，则点D的纵坐标的取值范围是________； (2)点M和点N分别是直线与x轴和y轴的交点，若线段上存在弦的“中称点”，且弦为的“中称弦”．直接写出b的取值范围． 研考点·通技法 1. 直线旋转（斜率变化）求与圆有公共点 ⇒ 利用相切d=r 2. 圆上存在点满足到直线距离为定值 ⇒ 圆心距区间[d-r, d+r] 3. 线段（在直线上滑动）与圆有交点 ⇒ 端点代入或整体距离 4. 新定义“关联点”结合对称、旋转 ⇒ 转化为点轨迹圆，再与已知圆位置关系。 破类题·提能力 2．（2026·北京第五中学分校·零模）在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． (1)如图，的半径为1，直线：． ①在点，，中，点_____是关于直线的映像点，该点与的映像距离为_____； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最大时，点的坐标为_____； (2)已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于过定点的某一条直线的映像点，直接写出的取值范围． 3．（2026·北京三帆中学·零模）对于平面内的点，如果点，点与点所构成的是边长为1的等边三角形，则称点，点为点的一对“关联点”．已知． (1)在，，，中，点的一对关联点是______； (2)以原点为圆心作半径为1的圆，已知直线． ①若点在上，点在直线上，点，点为点的一对关联点，求的值； ②若在上存在点，在直线上存在两点和，其中，点、点为点的一对关联点，且点、点、点关于的中心按顺时针方向排列，直接写出的取值范围______． 4．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点和直线，给出如下定义：若点，其中，且，直线的解析式为，则称直线为点，的关联直线，关联直线上的所有点称为点的关联点．例如，对于点，的关联直线为，关联直线上所有点是点的关联点． (1)已知点 ①点的关联直线为___________； ②半径为1的的圆心为，半径为2的的圆心为，都与点的关联直线相切，且，则线段的长为___________； (2)半径为的圆心为为上不同两点，若直线是点的关联直线，且上存在点，使得点是点的关联点，直接写出的取值范围． 5．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 题型02 一次函数与三角形四边形综合 析典例·建模型 6．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． （1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________； （2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”． ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围． 研考点·通技法 1. 等腰/直角三角形存在性：设点坐标 → 列距离/垂直方程 2. 平行四边形存在性：中点公式（三类讨论） 3. 面积最值：用含参表示面积 → 二次函数最值 4. 动点与折叠：中点+垂直平分线 5. 新定义：读懂定义后转化为上述模型。 破类题·提能力 7．（2025·北京101中·一模）给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”． 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题： 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）． （1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为　 　；“开距离”为　 　； （2）设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”； （3）⊙M的圆心为M（m，﹣6），半径为1，若⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围． 8．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于图形Q和，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点P对图形Q的可视度，此时点P为图形Q的可视点． (1)已知点．在点中，对线段的可视度的点是_________； (2)已知：点．直线上存在点F，使得点F对四边形的可视度，求b的取值范围； (3)已知点，圆T的半径为1，若直线上存在长为1的线段，使得上所有点都是圆T的可视点P，且点P对于圆T的可视度满足，直接写出t的取值范围． 9．（2026·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    10．（2025·北京西城·一模）平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在一点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称点与图形是“中心轴对称”．对于图形和图形，若图形和图形分别存在点和点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的．特别地，对于点和点，若存在一条经过原点的直线，使得点与点关于直线对称，则称点和点是“中心轴对称”的． （1）如图1，在正方形中，点，点， ①下列四个点，，，，，中，与点是“中心轴对称”的是 　　； ②点在射线上，若点与正方形是“中心轴对称”的，求点的横坐标的取值范围； （2）四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，若线段与四边形是“中心轴对称”的，直接写出的取值范围． 题型03 二次函数相关定义函数题 析典例·建模型 11．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的变换点的坐标定义如下： 当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． （1）点的变换点的坐标是　 　；点的变换点为，连接，则　 　°； （2）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为．点在抛物线上，点的变换点为．若点恰好在抛物线的对称轴上，且四边形是菱形，求的值； （3）若点是函数图象上的一点，点的变换点为，连接，以为直径作，的半径为，请直接写出的取值范围． 研考点·通技法 1. 区间最值与恒成立（对称轴分类） 2. 抛物线与直线交点的新定义条件 3. 点的对称、旋转后的新位置代入函数 4. 抛物线平移/翻折后的解析式 。 破类题·提能力 12．（2024·北京昌平·一模） 无论k取任何实数，对于直线都会经过一个固定的点，我们就称直线恒过定点. （1）无论取任何实数，抛物线恒过定点，直接写出定点A的坐标； （2）已知△ABC的一个顶点是（1）中的定点，且∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线，求边BC所在直线的表达式； （3）求△ABC内切圆的半径. 13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 14．（2025·北京汇文中学·三模）已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值． 15．（2024·北京燕山·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； ②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　； （3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围． （建议用时：50分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 2．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 3．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点．对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点．如图，已知点． (1)点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_______； (2)设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过． 在上述条件下，________； 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围； 当在轴的正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围． 4．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 5．（24-25九上·北京昌平·期末）在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的点和给出如下定义：若在上能找到一点，使得（为常数），且，则称点是关于点的关联点． (1)已知点． 点中，是关于点关联点的是______； 若点是关于点的关联点，则的取值范围是______； (2)点是直线上一点，点是关于点的关联点，若存在点在直线上，求点横坐标的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $