专题09 几何证明压轴题4大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09几何证明压轴题 。。e。●。。●e●0e●●0e●e0●。●●●9●●●。●●●●●●●●●●●●●。●。●●●●ee●●e●●●。。。●。●。●e●e●。。●●9●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 北京中考数学第27题的核心特点是：图形在变，某些关键的角或线段关系却永恒不变。解题的关键， 就在于发现并证明这些“不变关系”。2025年旋转变换、线段关系探究、特殊角(45°)下的全等与 相似给定底角ā的等腰三角形，绕顶点旋转线段较难（需多步推理）2024年旋转(180°-2ā)、垂 直、全等三角形、中点证明给定角MAN,绕点B旋转线段BC,作垂线难（新定义旋转角） 命题趋势： 1.旋转仍是绝对主线，但会“变形”。2.淡化特殊模型，强化“现场探究”。3.图形复杂度升级，多 图关联成常态。4.代数与几何深度融合。 2026年预测：旋转依然是绝对主线，但会从“证明等量关系”转向“探究运动过程中的最值或轨迹”。· 旋转+线段最值：图形旋转过程中，求某条线段的最小值或最大值。需先明确动点轨迹（往往是圆）， 再利用“两点之间线段最短”或“点圆距离”求解。·旋转+扫过面积：求线段或图形在旋转过程中 扫过的区域面积 ☑PART 02 解题建模•通技法 >题型01探究数量关系<☒ 析典侧建模型 1.(2026北京海淀区北京交通大学附属中学，一模)已知：ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直线AC上取 一点D,连接BD,线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BD',连接CD'交直线AB于G 1/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B D 图1 图2 图3 (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段D'G的数量关系.于是他画了图1所示当D在AC 边上时的图形，并通过测量得到了线段CG与D'G的数量关系.你认为小捷的猜想是CG D'G(填 “>”,"=”或“<”)； (2)当D在AC边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与∠BDC相等的角 (3)如图3，当D在边AC的反向延长线上时，写出CA,CD,CD'的数量关系（用等式表示），并证明. 研考点。通技法 |1截长补短：线段和差首选。在长边截取一段等于短边，再证剩余部分等于另一短边；或将短边延长至与长 |边相等。2旋转集中：共顶点等线段时，旋转一个三角形可构造全等，将分散的边角集中到同一个三角形。 丨3勾股建模：出现平方和或直接问线段平方关系，立刻联想过某点作垂线构造直角三角形。4从特殊到一般： 1动点问题先从特殊位置（中点、端点）猜结论，再推广到一般情况。 破类题提能力小 2.(2025·北京清华附中.一模)已知aABE,将aABE绕点A逆时针旋转a(0°<a<180)到△ACF,使得 点B的对应点C落在直线BE上. B E 图1 图2 (1)①依题意补全图1： ②若FC垂直BE,直接写出a的值： (2)如图2，过B作AC的平行线BD,与FE的延长线交于点D,FE交AC于点G,取FD的中点M和BC的 中点N,写出线段MN与FG的数量关系，并证明. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2024北京朝阳一模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD边上一点（不与点C,D重合）. 将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,连接DF,连接BF交AC于点G, B (1)依据题意，补全图形； (2)求证：GB=GF; (3)用等式表示线段BC,CE,BG之间的数量关系. 4.(2025北京陈经纶中学分校.零模)在ABC中，已知∠ACB=(0°<a<180),以点B为中心，将线段 AB逆时针旋转O得到线段BD,连接CD 图1 图2 (1)如图1，当a=90°时，若AB=CD,求sin∠BAC的值： (2)如图2，当a=120°时，点E为CD中点，连接BE. ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AC,BC,BE的数量关系，并证明. 5.(2025北京朝阳一模)在正方形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A,D重合），将线段CB沿直 线CE翻折，得到线段CF,连接FD并延长，与线段CE的延长线相交于点G,连接AG, 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)依题意补全图形： (2)求∠CGF的度数； (3)用等式表示线段AG与DF的数量关系，并证明. >题型02最值问题<了 析典侧：建模罢 6.(2026北京八一教育集团零模联考)如在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BC绕点C顺时针旋转 角度a(0°<a<360°）得到DC. B E 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=30°，连接AD交BC于点E,若AC=6,求DE的长； (2)如图2，若0<a<90°，CF平分∠BCD交AD于点F,连接BF,过点C作CG⊥AD,在射线CG上取点 G使得∠BGC=45°，连接BG,请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明； (3)如图3，若BC=8,点P是线段AB上一动点，将CP绕点P逆时针旋转90°得到QP,连接AQ,M为 AQ的中点，当2CM+CQ取得最小值时，请直接写出△ABM的面积. 考点通技法 1.确定运动轨迹：先明确动点是怎么运动的。常见的有：·直线型：点在某线段或直线上滑动。·圆弧型： 一个点绕固定点旋转，它的路径就是圆（或圆弧）。2.明确目标线段：想清楚要求的是哪条线段的最值， 以及它的两个端点谁是动点、谁是定点。3.转化或构造：将目标线段与一个已知定长或特殊位置（如垂线 段最短、点圆距离、三点共线)联系起来。4.计算求解：在确定的最优位置，利用勾股定理、相似或三角 函数算出最终长度。 破送题提能力 7.(2024北京模拟)如图，在等边ABC中，D是BA的延长线上一动点，连接CD,点E在线段CD上 (不与端点重合)，将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F. 4/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 图1 备用图 (1)依题意补全图1，并证明∠BFC=∠ABE; (2)若AF-AD=BC,判断点E的位置，并证明. (3)在(2)的条件下，连接AE.若等边ABC的边长为a,当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线 段AD的长（用含a的式子表示） 8.(2025北京四中.二模)如图所示，四边形ABCD为菱形，AB=2,∠ABC=60°，点E为边BC上动点 (不含端点)，点B关于直线AE的对称点为点F,点G为DF中点，连接AG, (1)依题意，补全图形； (2)点E运动过程中，是否可能EFAG?若可能，求BE长；若不可能，请说明理由； (3)连接CG,点E运动过程中，直接写出CG的最小值. B E 9.(2025·北京石景山·一模)如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB=90°且∠BAE<45°，过点 D作DF⊥BE交BE的延长线于点F. (1)依题意补全图形： (2)用等式表示线段EF,DF,BE之间的数量关系，并证明； (3)连接CE,若AB=2√5，请直接写出线段CE长度的最小值. A B C 10.(2023北京海淀首师大附中.三模)如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F,连接CF. C C D D A 图1 备用图 (1)补全图形，求∠AFE的大小： (2)用等式表示线段CF,BE之间的数量关系，并证明： (3)连接CE,G是CE的中点，AB=2,若点P从点B运动到点C,直接写出DG的最大值. >题型03含相似的几何证明<〈 析典例.建模型 11.(2024北京广渠门中学.二模)如图，∠OPQ=,点A在P9上，过点A作PO的平行线，与∠OPQ的 平分线交于点B,M为PB的中点，点C在PM上，（不与点P,M重合），连接AC,将线段AC绕点A 顺时针旋转180°-a,得到线段AD,连接BD. (1)①直接写出线段AP与AB之间的数量关系； ②用等式表示线段BD,BM,MC之间的数量关系，并证明； (2)连接DC并延长，分别交AB,PO于点E,F,过点M作OP的垂线，交DC于点N.依题意补全图形， 用等式表示线段CF,CN,NE之间的数量关系，并证明， 考点通技法 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一一一。一一一一-一 :1.先找“确定”的角：公共角、对顶角、已知等角（由旋转/平行得到）往往是突破口。用铅笔标出所有相 等角，相似三角形通常就“浮出水面”了。2.利用旋转造相似：共顶点且相等的线段（如旋转产生的对应， !边)，常能构造出“手拉手“相似模型。例如，将三角形绕顶点旋转后，新图形与原图形中隐含着一对相 似三角形。3.借助中间比例：直接证明相似困难时，通过等量代换找到比例关系。有时需要引入两个中间， 相似比来传递。 破送题提能力 12.(2025·北京二中.一模)在ABC中，AB=AC,D是ABC外一点，且LBAC=LBDC=a,将射线 AD绕点A顺时针旋转a,与BD相交于点E. 图2 (1)如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明； (2)如图2，当a=90°时，过点E作EG∥AD交BC于点G,射线AD与射线BC相交于点F.请补全图形， 写出FG与AB的数量关系，并证明. 13.(2024北京西城一模)在ABC中，∠ABC=∠ACB=45°，AM⊥BC于点M,D是射线AB上的动点 (不与点A,B重合)，点E在射线AC上且满足.AE=AD,过点D作直线BE的垂线交直线BC于点 F,垂足为点G,直线BE交射线AM于点P. FM 图1 图2 (1)如图1，若点D在线段AB上，当AP=AE时，求∠BDF的大小； (2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF,MP,AB的数量关系，并 证明. 14.(2025·北京东城二模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是AB边上一点（不与A,B重合）， 点F与点A关于直线DE对称，连接DF.作射线CF,交直线DE于点P,设LADP=a· 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 力 (1)用含a的代数式表示∠DCP; (2)连接AP,AF,求证：△APF是等边三角形； (3)过点B作BG⊥DP于点G,过点G作CD的平行线，交CP于点H.补全图形，猜想线段CH与PH之间 的数量关系，并加以证明. 15.(2024北京门头沟二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD,交 AD于点E,交AB于点F,作点E关于直线AC的对称点G,连接AG和GC,过点B作BMLGC交GC的 延长线于点M· E 分 D B (1)①根据题意，补全图形： ②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明. (2)过点B作BNLCF交CF的延长线于点N,用等式表示线段AG,EN与BM的数量关系，并证明. >题型04几何与相似以三角形综合<《 析典例：建模理 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16.(2025北京昌平.二模)如图1，ABC中，AB=AC,点P为线段BC上一点，∠BAP的平分线交BC 于点E,LPAC=a,将线段EC绕点E顺时针旋转，与射线AP交于点D. 图1 图2 (1)求证：AD=AC; (2)若∠BAC=60°，如图2，连接CD,连接BD交射线AE于点F, ①补全图形： ②判断BD,CD与AF之间的数量关系，并证明. 研考点通技法 模型一：已知特殊角直接利用特殊角的三角函数值，表示边长比例，简化计算。模型二：已知三角函数： 值将该角放入直角三角形中，对边与邻边比例即为已知值，通常设为k表示两边长。模型三：旋转+三 角函数旋转角已知时，在旋转产生的等腰三角形中作高，利用顶角三角函数求底边或腰长。 破送题提能力 17.(2024北京师达中学.零模)如图，ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D是AB的中 点，连接CD,过A作AE⊥CD于点G,与BC交于点E. A D G B E (1)求tan∠CAG的值： (2)F是线段GC上一点，且∠GAF=45°，过点F作AF的垂线交BC于点H,请在图中补全图形，用等式 表示HB和HC的数量关系，并证明. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(2024北京海淀.一模)在ABC中.∠ACB=90°，∠ABC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转 (O°<a≤60)得到线段AD,点D关于直线BC的对称点为E.连接AE,DE, D D dC B E 图1 图2 (1)如图1，当a=60°时，用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明； (2)连接BD,依题意补全图2.若AE=BD,求a的大小. 19.(2025北京房山一模)如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE,将射线AE绕点A 逆时针旋转90°交CD的延长线于点F,连接EF,取EF中点G,连接DG. D E B (1)依题意补全图形；用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明； (2)若DG=√2DF,用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明， 20.(2024北京西城二模)如图，在ABC中，边AB绕点B顺时针旋转a(0°<a<180°)得到线段BD, 边AC绕点C逆时针旋转180°-a得到线段CE,连接DE,点F是DE的中点. D F 备用图 (1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G,连接BG,DG. ①依题意补全图形，并证明AC=DG; ②求证：∠DGB=LACB; (2)若a=60°，且FH⊥BC于H,直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系. 10/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ☑PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：50分钟) 刷模拟 1.(2026北京丰台.一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC,D为AC的中点，过点D作 DE14C,交BC于点E,点F在线段DE上，且DF-AC,连接4F. (1)求证：AF平分∠BAC; (2)连接BF,将射线FB绕点F顺时针旋转90°，交CA的延长线于点G. ①依题意补全图形： ②用等式表示EF,AF与CG之间的数量关系，并证明. 2.(2022北京朝阳二模)在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且 MN⊥DE,垂足为点F. B E C(N)B 图1 图2 (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：MN=DE; (2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H. ①依题意补全图2： ②用等式表示线段MH,HF,FV之间的数量关系，并证明. 11/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2024北京二中模拟预测)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，LABC=60°，D为AB边上一点， DE⊥AB于D,连接BE,P为BE中点. 图1 图2 (1)连接PD、PC,判断PD与PC的数量关系，并直接写出∠DPC的度数； (2)如图2，将ADE绕点A顺时针旋转度(0°<a<180). ①请你依据题意补全图形； ②在旋转过程中，∠DPC的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由. 4.(2024北京师大附实验中学.零模)如图，已知ABC中，∠ABC=90°，LACB=a(0<a<90),点D为 线段BC上一点，连接AD,作射线AE使得∠DAE=90°-a·过点D作AD的垂线交AE于点F,连接CF ,取CF中点M,连接BM,DM. (1)补全图形： (2)求证：∠BAC=∠DAF: (3)①判断△MBD的形状，并证明. ②直接写出∠MDB的大小（用a表示）· 5.(2024北京二中.一模)如图，在正方形ABCD中，将边AD所在直线绕点D逆时针旋转α度得到直线 DM,作点A关于直线DM的对称点P,连接CP、DP. M (1)依题意补全图形： 12/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求∠DPC的度数： (3)延长DP、CP分别交直线AB、AD于点E、F,试探究：线段DE、BE和AF之间的数量关系，并证明. 13/13函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题09几何证明压轴题 内容得航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 复1■■sgIs原■sisI■gi■■Ii原h■■11■里11■■11■■■■1■n1t■Inn11n■■t1■■In ☑ PART 01 命题解码•定方向 北京中考数学第27题的核心特点是：图形在变，某些关键的角或线段关系却永恒不变。解题的关键， 就在于发现并证明这些“不变关系”。2025年旋转变换、线段关系探究、特殊角(45°)下的全等与 相似给定底角α的等腰三角形，绕顶点旋转线段较难（需多步推理）2024年旋转(180°-2)、垂直、 全等三角形、中点证明给定角MAN,绕点B旋转线段BC,作垂线难（新定义旋转角） 命题趋势： 1.旋转仍是绝对主线，但会“变形”。2.淡化特殊模型，强化“现场探究”。3.图形复杂度升级，多 图关联成常态。4.代数与几何深度融合。 2026年预测：旋转依然是绝对主线，但会从“证明等量关系”转向“探究运动过程中的最值或轨迹”。 ·旋转+线段最值：图形旋转过程中，求某条线段的最小值或最大值。需先明确动点轨迹（往往是圆）， 再利用“两点之间线段最短”或“点圆距离”求解。·旋转+扫过面积：求线段或图形在旋转过程中扫 过的区域面积. PART 02 解题建模•通技法 >题型01探究数量关系<☒ 折典例建模犁 1/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 △ABC 1.(2026·北京海淀区北京交通大学附属中学一模)已知： 中，B=4C,∠B1C=90,直线MC上 中， 取一点D,连接BD,线段BD绕点B逆时针旋转9O°，得到线段BD,连接CD'交直线AB于G. D' D B 图1 图2 图3 (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段D'G的数量关系.于是他画了图1所示当D在 AC边上时的图形，并通过测量得到了线段CG与D'G的数量关系.你认为小捷的猜想是CG D'G(填“>”，“=”或“<”)； (2)当D在AC边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与∠BDC相等的角 (3)如图3，当D在边AC的反向延长线上时，写出CA,CDCD'的数量关系（用等式表示），并证明 【答案】(1)= (2)见解析：∠ABD CA2+CD2=CD2 (3) 见解析 【详解】(1)解：CG=D'G. 过点D作D'E⊥AB,于点E, ∠D'EB=∠BAD=90°，∠D'BE+∠BD'E=90° ∠DBD'=90°， ∠ABD+∠D'BE=90°， ∴∠BD'E=∠ABD .D'B=DB, △ABD≌AEBD'(AAS) .D'E =AC. ∠A=∠D'EG,∠D'GE=∠AGC 2/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 △4GC≌aD'GE(AAS ..CG=D'G: A D (2)解：补全的图2如下： D B 图2 与∠BDC相等的角是∠ABD', :∠DBD'=90 ∠DBA+∠ABD'=90°. ,∠BAC=90°， .∠DBA+∠BDC=90°， ,.∠BDC=∠ABD': (3)4C4+CD2=CD ,证明如下： 如图3，过D4作D'M⊥AB,交AB延长线于点M, 3/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B M N 图3 ∴.∠D'MB=∠BAD=90° ∠DBD=90°， ∴∠D'BM+∠ABD=90°， :∠DBM+∠BDM=90°， ∴.∠BD'M=∠ABD. D'B=DB ∴.△D'BM≌△BDA(AAS) ∴.D'M=AB=AC,BM=AD .AM=AB+BM=AC+AD=CD, 过点C作CN⊥D'M,交D'M的延长线于N, ∴.∠NMA=∠MAC=∠N=90°， .四边形AMNC是矩形， .CN=AM =CD,MN=AC=D'M, .D'N2+CN2 CD2, ∴.(2CA2+CD2=CD2 ..4C42+CD2=CD2 研考点通技法 1截长补短：线段和差首选。在长边截取一段等于短边，再证剩余部分等于另一短边；或将短边延长至与 长边相等。2旋转集中：共顶点等线段时，旋转一个三角形可构造全等，将分散的边角集中到同一个三角 形。3勾股建模：出现平方和或直接问线段平方关系，立刻联想过某点作垂线构造直角三角形。4从特殊 到一般：动点问题先从特殊位置（中点、端点）猜结论，再推广到一般情况。 4/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 2.(2025北京清华附中.一模)已知△ABE,将△ABE绕点4逆时针旋转(0<a<180)到△4CF,使得 点B的对应点C落在直线BE上. B B E 图1 图2 (1)①依题意补全图1； ②若FC垂直BE,直接写出的值： (2)如图2，过B作AC的平行线BD,与FE的延长线交于点D,FE交AC于点G,取FD的中点M和BC 的中点N,写出线段MN与FG的数量关系，并证明， 【答案】(1)(1)①作图见解答；②0=90° 2)MN=,FG,理由见解析 2 【详解】(1)解：①补全图形如图， B ②由旋转得AB=AC,∠ABE=∠ACF,旋转角度为∠BAC=a, ∠ABC=∠ACB, .∠ACF=∠ACB, :FC垂直BE, ,∠BCF=∠ACF+∠ACB-2∠ACB=90°， .∠ACB=45°， ,.∠ABC=∠ACB=45° ,∴.a=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°： (2)解：FG=2MN,理由如下： 5/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接GN并延长，交BD延长线于点H,连接EH, E BD∥AC, ∠NBH=∠GCN, 'BW=CN,∠BNH=∠GNC,∠NBH=∠GCN, △NBH≌△NCG(ASA) ∴NH=NG,BH=CG, 由旋转得∠ACF=∠CBD,BE=FC, BE=FC,∠GCF=∠EBH,BH=CG, A△BHE≌aCGF(SAS EH=FG,∠BHE=∠FGC, :BD∥AC, .∠FGC=∠EDH, ,∠BHE=∠EDH, .ED=EH=FG, .DM=FM, ..EM =GM, .NH=NG, ∴NM是△GHE的中位线， 3.(2024北京朝阳一模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是CD边上一点（不与点C,D重 合)·将线段AE绕点A逆时针旋转6O°得到线段AF,连接DF,连接BF交AC于点G. 6/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B (1)依据题意，补全图形： (2)求证：GB=GF: (3)用等式表示线段BC,CE,BG之间的数量关系 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 BC2+CE2=4BG2 3) 【详解】(1)解：如图： C B (2)证明：连接BD,与AC相交于点O,如图： B ':线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF, .∠EAF=60°，AE=AF, '在菱形ABCD中，∠BAD=120°， AB=BC:∠BAC=∠CD=号∠BAD=60,B0=OD .△ABC、△ACD是等边三角形， 7/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 AC=AD,∠ACD=60°， S∠CAE=∠DAF ∴.△ACE2AADF, ,.∠ADF=∠ACD=60°， .DF∥AC, BG BO “GFOD' BO=OD, .GB=GF: 3BC2+CE2=4BG2 (3)解： ,理由如下： :DF∥AC,BD⊥AC, DF⊥BD, 在RtABFD中， BD2+DF2=BF2=(2BG=4BG2 :△ABC是等边三角形，BO⊥AC, <0c-48c=30. cos30°=c0s∠0BC=OB=V5 BC 2' BC-25O8 3 则BC2=B0, 则3BC2=4B02=(2B02=BD 3BC2+CE2=BD2+DF2=4BG2 即3BC2+CE2=4BG2. 4.(2025北京陈经纶中学分校零模)在△ABC中，已 ∠ACB=a0°<a<180),以点B为中心，将线 段AB逆时针旋转a得到线段BD,连接CD. 8/67 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，当a=90°时，若AB=CD,求sin∠BAC的值： (2)如图2，当a=120°时，点E为CD中点，连接BE. ①依题意补全图形： ②用等式表示线段AC,BC,BE的数量关系，并证明. 25 【答案】(1)5 (2)①图形见详解②AC+BC=2BE,理由见详解 【详解】(1)解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E, B 由旋转可得AB=DB, 又：AB=CD, :BD=CD, ·△BCD是等腰三角形， .BE=CE=BC :DBAC +DABC=90°，DDBE +DABC=90°， ∴.∠BAC=∠DBE 在△ABC和△DBE中， 9/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=∠DBE ∠ACB=∠BED=90° AB=BD ∴△ABC≌DBE(AAS \AC=BE -1BC. 假设1C=x,则8C=2x,根据勾股定理得4B=√4C+5C-V5x sin DBAC -BC =2x _25 AB5x 5 (2)解：①补全图形如图所示 B D ②AC+BC=2BE,理由如下： 如图，延长DB到H,使HB=BD,连接HA,HC, --M B 是的中点， D..E CD BE是△HCD的中位线， \HC =2BE, 10/67 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 由题意知BD=BA,∠ABD=120°， ∴.BA=BH,∠ABH=60°， △ABH是等边三角形， .AH=AB=HB,∠AHB=60°， 又DACB=a=l20°， \DACB+DAHB=180°， .在四边形ACBH中，DHAC +DHBC=360°-(DACB+DAHB)=180° 如图，作HF⊥BC于F,作HG⊥AC交CA延长线于G,则DG=DHFB=90°， 又DHAG +DHAC=l80°， \DHAG =DHBC, 在△HAG和△HBF中 ∠G=∠HFB=90° ∠HAG=∠HBF HA=HB \△HAG≌△HBF(AAS) ∴.HG=HF, 又：HG^CA,HF^CB, ∴HC平分∠ACB, ∠ACH=60°， 在CH上截取CM=CA,连接AM则△ACM是等边三角形， .AC=AM,∠CAM=60°， 由△HAB是等边三角形得∠HAB=60°，HA=BA, DHAM -DBAC =60-DMAB, 在△AMH和△ACB中 AM=AC ∠HAM=∠BAC AH=AB \△AMH≌△ACB(SAS) :MH BC, .CM +MH =CH,CH=2BE, AC +BC =2BE 11/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025·北京朝阳·一模)在正方形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A,D重合），将线段CB沿直 线CE翻折，得到线段CF,连接FD并延长，与线段CE的延长线相交于点G,连接AG. (1)依题意补全图形： (2)求∠CGF的度数： (3)用等式表示线段AG与DF的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)450 (3)DF=√2AG,证明见解析 【详解】(1)解：补全图形如图1所示： 图1 (2)解：设∠DCG=a 四边形ABCD是正方形， ∴.CB=CD,∠BCD=90°， .∠BCG=90°-a, ·将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF, CF=CB,∠FCG=∠BCG=90°-au, ∴.CF=CD,∠FCD=∠FCG-∠DCG=90°-2a ∠CDF=∠F=180°-FCD=45°+a, 2 ∴.∠CGF=∠CDF-∠DCG=45° 12/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：DF=√2AG,证明如下： 如图2，作AH⊥AG,交FG的延长线于点H,连接BG. H 图2 :AH⊥AG .∠HAG=90°， '四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠HAG+∠GAD=∠BAD+∠GAD,即∠HAD=∠GAB, ·将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF, GB=GF,∠GBC=∠F, ∠ABG=90°-∠GBC,∠ADH=90°-∠CDF=90°-∠F, ∴.∠ABG=∠ADH ∴.△ABG≌ADH(ASA) .AG=AH,GB=HD, ∴△AGH是等腰直角三角形，GF=HD, .GH=2AG .DF =GF-DG=HD-DG=HG=2AG :DF=2AG. >题型2最值问题 折典例建模翠 13/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 6.(2026北京八一教育集团，零模联考)如在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,BC绕点C顺时针旋转 角度a(0°<a<360°)得到DC D 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=30°，连接AD交BC于点E,若AC=6,求DE的长： (2如图2，若0<a<90°，CF平分∠BCD交AD于点F,连接BF,过点C作CG⊥AD,在射线CG上取 点G使得∠BGC=45°，连接BG,请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明： 3)如图3，若BC=8,点P是线段1B上一动点，将CP绕点P逆时针旋转0°得到Q,连接40，M为 CP 90°，QP AQ AQ的中点，当2CM+CQ取得最小值时，请直接写出△ABM的面积. 【答案】25 ②CG=BF+V2cF 见解析： (3)8. 【详解】(1)解：由旋转可得∠BCD=0a=30°，CB=CD=CA, .∠CAD=∠CDA,∠ACD=90°+30°=120°， ,∴.∠CAE=∠D=∠BCD=30°， ..DE =EC,AE=2EC, 在Rt△AEC中，AC2+EC2=AE2, 6+EC2=(2BC2, ..EC=23 DE-EC-AC 3 (2)证明：连接BD,AD与CG交于点O,如图2， 14/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 图2 由旋转可得∠BCD=a,CB=CD=CA, ,.∠CBD=∠CDB=90°-a,∠ACD=90°+a, CF平分∠BCD, A∠BCF=∠DCF=20, 1 :aBCF≌aDCF(SMS) .BF DF, ,∴.∠FDB=∠FBD, CG⊥AD, °∠G0D=∠F0c=90,∠4CG=∠DCG=45°+)a, 2 :∠0Cr=∠DCG-∠FCD=45+a-a=45°， 1 1 :∠0CF=∠0FC=45°， ,∴.△OFC是等腰直角三角形， OC=OF=CF 2 ∠FDC=∠OFC-∠FCD=45°-Ia .∠FDB=∠FBD=45°， :∠BGC=45°，∠GOD=90°，∠FDB=45°， ∴G、B、D三点共线，且△OGD是等腰直角三角形， ∴OG=OD, 15/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 CG-OG+0C-OD+0C-OF+FD+0C-CF+CF+BF 2 2 整理得CG=V2CF+Br 3)知图，过P作PH LAC交4C于,交0于O,过0作0H1PH交PH于G,延长CM交手 交“ N延长CB至E,使CB=BE=8,过A作 F⊥QG、QG 于F, E N B F 图3 CP OP ,将绕点P逆时针旋转90°得到， CP=QP∠CPQ=90° QH⊥PHPH⊥AC ∠CPQ=∠PHC=∠PGQ=90°∠HPC=∠PQG=90°-∠GPQ aPHC≌aQGP(AMS PH=GO GP=CH 设GP=CH=a, ∠ACB=90°，AC=BC=8, ∴AH=AC-CH=8-a,∠BAC=∠APH=45°， 16/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 AH=PH=GO=8-a ,∴.GH=GP+PH=8=BC, 四边形BCHG是矩形， OG CB⊥QGHC=BG=a 点B在上， 四边形ACBF是正方形， ..BF=AF=8, AH=GQ=8-a∠AHP=∠PGQ=90°∠GOQ=∠AOH △AHO≌△QGO(AAS) OH=0G OA=00 AO ∴0为的中点， AQ M为的中点， 1 M与0重合，S.4v=2S0, ..MG=MH =OG=OH, △NMG≌△CMH(ASA ∴.CM=MN,NG=CH=a, CN=2CM NO=NG+GO=8-a+a=8=AC ACON 四边形 是平行四边形， CO=AN ,CB=BE=8CB⊥QG ∴.CN=NE, 17/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2CM+CO=CN+AN=AN+NE2AE 2CM+CO 当A、N、E三点共线时 取得最小值，此时△1FN≌aEBN .FN=BN=BF =4=2a ∴a=2, GB=a=2 GO=8-a=6 BO=CO-BG=4 1 11 BQ.AF=1x4x8=8 4 ~研考点通技法 1.确定运动轨迹：先明确动点是怎么运动的。常见的有：·直线型：点在某线段或直线上滑动。·圆弧 型：一个点绕固定点旋转，它的路径就是圆（或圆弧）。2.明确目标线段：想清楚要求的是哪条线段的 最值，以及它的两个端点谁是动点、谁是定点。3.转化或构造：将目标线段与一个已知定长或特殊位置 (如垂线段最短、点圆距离、三点共线)联系起来。4.计算求解：在确定的最优位置，利用勾股定理、 相似或三角函数算出最终长度。 破类题提能力、 7.(2024北京·模拟)如图，在等边△ABC中，D是BA的延长线上一动点，连接CD,点E在线段CD上 (不与端点重合)，将射线BE绕点B逆时针旋转60°得到的射线与射线CA交于点F. 图1 备用图 (1)依题意补全图1，并证明∠BFC=∠ABE: 18/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AF-AD=BC,判断点E的位置，并证明. (3)在(2)的条件下，连接AE.若等边△ABC的边长为a,当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时 线段AD的长（用含a的式子表示） 【答案】(1)详见解析 (2)点E为CD的中点，证明见解析 3)50 【来源】2024年北京市中考数学模拟猜题卷01 【分析】(1)依题意补全图形，由等边三角形的性质，可得∠EBF=60°，从而得到 ∠FBA+∠AB=60,∠FB4+∠BFC=∠B4C=60°，即可解答： (2)过点D作DG∥BC,交BE的延长线于点G,可证∠BAF=∠BDG,由N-AD=BC,可得 AF-DB,可证明△B42△CDB,可得到BA-DG,即可得△EG≌△CEB,即可解答： (3)取BC的中点N,连接EN,过C作CP⊥AE交AE延长线于P,可得EN是△CBD的中位线，从而 得到E在过N且与BD平行的直线上运动，当AE⊥EN时，AE最小，可证明△AED≌aPEC,即可解答. 【详解】(1)解：补全图形如下： 证明：，△ABC是等边三角形， ,.AB=BC,∠ABC=∠B4C=60°， 由旋转的性质得：∠EBF=60°， ∴.∠FBA+∠A8E=60°， ∠FB4+∠BFC=∠B4C=60, .∠BFC=∠ABE; (2)解：点E为CD的中点，理由如下： 过点D作DG∥BC,交BE的延长线于点G,如图： 19/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 -------5G :∠BDG+∠A8C=180, :∠ABC=60°， ∠BDG=120°， .∠BAC=60°， ,.∠BAF=120°， ∠BAF=∠BDG, .AF-AD=BC. ∴.AF=AD+BC=AD+AB=B, 由(1)得∠BFC=∠ABE, △BAF≌△GDB|ASA) ∴.B4=G, .BC=DG, :DG∥BC, ,.∠G=∠EBC,∠GD正E=∠ECB. ADEG≌ACEB(ASA ..DE =CE, 点E为CD的中点； (3)解：取BC的中点N,连接EN,过C作CP⊥AE交AE延长线于P,如图： 20/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 由(2)知E为CD中点， :EN是△CBD的中位线， ∴EN∥BD,即E在过N且与BD平行的直线上运动， 当AE⊥EN时，AE最小， BD⊥AE, .∠GP=∠PAB-∠CA8=90°-60=30， 1」 、P三上三白 在△AED和△PEC中， ∠EAD=∠EPC,∠AED=∠PEC,ED=EC, AED≌APEC(AAS) 1 ..AD=P= 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形性质及应用，三角形中位线定理， 解题的关键是正确画出图形和作出辅助线， 8.(2025北京四中二模)如图所示，四边形ABCD为菱形，AB=2,∠ABC=60°，点E为边BC上动点 (不含端点)，点B关于直线AE的对称点为点F,点G为DF中点，连接AG. (1)依题意，补全图形： (2)点E运动过程中，是否可能EFAG?若可能，求BE长；若不可能，请说明理由： (3)连接CG,点E运动过程中，直接写出CG的最小值， A ⊙ 【答案】(1)见解析：(2)不可能，见解析：(3) 3-1 【详解】解：(1)图形如图1所示： 21/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B D C 图1 (2)如图1中，结论：不可能 理由：连接BD ,四边形ABCD是菱形， LABC=∠ADC=60°，AB=AD, ∴LADB=∠BDC=30°， ',点B关于直线AE的对称点为点F, ,AF=AB=AD,∠AFE=∠ABE=60°， 点G为DF中点， ∴FG=DG, ..AGLDF, 若EF/IAG,则EF⊥DE, ∴LEFG=90°， ∴LAFG=30°， :LAFD=∠ADF, ∴LADF=30°， LADB=∠ADF,此时点F与B重合，不符合题意， 不可能存在EF/IAG (3)如图2中，取AD的中点T,连接GT,CG,CT,AC G 图2 22/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是菱形， LB=∠ADC=60°，DA=DC, ∴△ACD是等边三角形， AT=TD, ∴CT⊥AD, √5 .∴CT=CD.sin60°= AG⊥DF, ∴LAGD=90°， AT=TD, ∴TG=2AD=1, CG≥CT-GT, coe -1, CG的最小值为 -1. 9.(2025北京石景山一模)如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB=90°且∠BAE<45°，过 点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F. (1)依题意补全图形： (2)用等式表示线段EF,DF,BE之间的数量关系，并证明： (3)连接CE,若B=25,请直接写出线段CE长度的最小值. y D E B 【答案】(1)见解析：(2)EF=DF+BE,证明见解析：(3)CE的最小值为 -5 【详解】解：(1)依题意补全图形，如图， 23/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D B (2)线段EF,DF,BE的数量关系为：EF=DF+BE, 理由如下：如图，过点A作AMLFD交FD的延长线于点M, M D :LM=∠F=∠AEF=90°， ,四边形AEFM是矩形， ∴LDAE+LMAD=90°， :四边形ABCD是正方形， ∴LBAE+LDAE=90°，AB=AD, ∴LBAE=∠MAD 又：∠AEB=∠M=90°， ,∴△AEB=△AMD(AAS) ,∴BE=DM,AE=AM, 矩形AEFM是正方形， ..EF=MF, .MF=DF+DM, ,∴EF=DF+BE: (3)如图，取AB中点O,连接OC, 24/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 E B B25 0B5 ,∴0C=VOB2+BC2 =5, LAEB=90°， 点E在以O为圆心，OB为半径的圆上， ∴当点E在OC上时，CE有最小值， CE的最小值为3-V5 10.(2023·北京海淀首师大附中三模)如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线 AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F,连接CF C B C D 图1 备用图 (1)补全图形，求∠APFE的大小： (2)用等式表示线段CF,BE之间的数量关系，并证明； (3)连接CE,G是CE的中点，AB=2,若点P从点B运动到点C,直接写出DG的最大值. 【答案】(1)45° (2)BE=c ,证明见解析 B2+1 25/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：补全图形如图1， B C P E D 图1 ,线段AE与AD关于直线AP对称， ∠DAF=∠EAF=∠I+∠2，AB=AE, ∠A5B=∠ABE=180°-4=90- 2 2· .'∠DAF+∠2=2∠2+∠1=90° ∠APE=180-∠E4-∠AEB=90-22+24=45 ∠AFE为45°： (2)解： BE=2CF ,证明如下： 如图2，连接DF,DB,连接DE交AF于H, F E 图2 由对称的性质可得，DF=FE,∠AFD=∠AFE=45°，DE⊥AF, ∴.∠DFE=90°，∠FHD=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ,∴.∠FDE=45°， ∠CDB=45°， ,∴∠CDB-∠FDB=∠FDE-∠FDB,即∠CDF=∠BDE, 26/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 CD 又：BD Cos45°=DF BE· ..ACDFABDE, CF CD BEBD2,解得BE=V2CF, BE=√2CF (3)解：如图3，连接AC,BD,交点为O, D 图3 由正方形的性质可得AD=AB=2,∠ADB=45°，O为AC的中点， DO=AD·cOS∠ADB=V2AE=AD=2 又，G是CE的中点， .OG是△ACE的中位线， 1 0G= AE=1, 由题意知，E在以A为圆心，以2为半径的4的圆上运动， ∴G在以O为圆心，以1为半径的4的圆上运动，如图3， ∴当DO、G三点共线时，DG最大， DG=DO+0G=2+1 DG 最大值为5+1 >题型03含相似的几何证明<《 27/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 折典例建模里、 ∠OPQ=0 ,点1在P吧上，过点4作P0的平行线，与 OPQ 11.(2024北京广渠门中学.二模)如图， 的平分线交于点B,M为PB的中点，点C在PM上，（不与点P,M重合），连接AC,将线段AC绕点 A顺时针旋转I80°-a,得到线段AD,连接BD O ① ①①直接写出线段与1B之间的数量关系： ②用等式表示线段BD,BM,MC之间的数量关系，并证明： (2)连接DC并延长，分别交AB,PO于点E,F,过点M作OP的垂线，交DC于点N.依题意补全图 形，用等式表示线段CF,CN,E之间的数量关系，并证明. 【答案】(1) ①AP=AB 理由见解析： ②BD+MC=BM ,证明见解析： (2)CN=NE+CF,理由见解析. 【详解】(1) ①AP=AB,理由如下： 由题意得：OP∥AB, ∠OPB=∠PBA, :PB平分 ∠OPQ .∠OPB=∠BPA, ,.∠PBA=∠BPA, ∴AP=AB; ②BD+MC=BM, 证明：由题意得：OP∥AB, ∠BAQ=∠OPQ=a ∠PAB=180°-∠BAQ=180°-a 28/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可得：∠CAD=180°-a,AC=BD, ,.∠PAB=∠CAD ,.∠PAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB,即∠PAC=∠BAD, AP=AB, ÷aPAC≌BAD(SAS) ·BD=PC, :M为PB的中点， .MB=MP, .DB+CM=PC+CM=PM=BM: (2)补全图形如图所示： B G H D C A Q 连接DC并延长，分别交AB,PO于点E,F,过点M作OP的垂线，交DC于点N, CN=NE+CF,理由如下： 在PO上截取PH=BE,连接CH, 由(L)可得△PMC≌aB1D(SAS, .∠APC=∠ABD,BD=PC, PB平分 ∠OPQ .∠OPB=∠BPA, ∴∠HPC=∠EBD △PCH≌△BDE(SAS) DE=CH,∠PHC=∠BED, OP∥AB, ,∴.∠OFE=∠BED, 29/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠HFC=∠FHC, ..CF=CH=DE, OP∥AB,MN⊥OP, .MN⊥AB, 在BM上截取BI=BD,由(I)可得：BD+CM=BM, .BI+IM BM, ..CM=IM, OP∥AB, ∠OPB=∠PBA, ,∠OPB=∠BPA,∠APC=∠ABD, ..DABD =DPBA, △BEI≌△BED SAS) CM_CN=1 EI=ED'IM ND BE垂直平分ID,即D⊥AB, .MN∥ID, ∴.CN=ND=NE+ED=NE+CF 研考点通技法 !1.先找“确定“的角：公共角、对顶角、已知等角（由旋转/平行得到）往往是突破口。用铅笔标出所有 相等角，相似三角形通常就“浮出水面”了。2.利用旋转造相似：共顶点且相等的线段（如旋转产生的 对应边)，常能构造出“手拉手”相似模型。例如，将三角形绕顶点旋转后，新图形与原图形中隐含着一 对相似三角形。3.借助中间比例：直接证明相似困难时，通过等量代换找到比例关系。有时需要引入两 个中间相似比来传递。 破类题提能力、 12.(2025·北京二中一模)在△ABC中，AB=AC,D是△ABC外一点，且∠BAC=∠BDC=Q,将射线 AD绕点A顺时针旋转C,与BD相交于点E. 30/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明： (2)如图2，当a=90°时，过点E作EG∥AD交BC于点G,射线AD与射线BC相交于点F.请补全图形， 写出FG与AB的数量关系，并证明. 【答案】(1)∠AEB=∠ADC,证明见解析 GF=2AB (2)图见解析， ,证明见解析 【详解】(1)∠AEB=∠ADC,证明如下： :∠BAC=∠BDC, A,B,C,D四点共圆 ∠ABD=∠ACD, :∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAE=∠CAD」 ∴.∠AEB=∠ADC, (2)GF=2AB ,证明如下： 在BD上取点M使得MD=DC,连接CM,过C作CN⊥DF于N, D M 同(1)可得∠DBC=∠DAC, 由题意得△DAE,ACDM为等腰直角三角形， ,.∠ADE=∠DMC=45°， .∠ADC=∠BMC=135 ∴△ADC~△BMC, BM_CM- AD DC 31/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .BM=2AD=ED ∴.BE=MD=DC=CN, 又'∠BEG=∠CNF,∠EGB=∠F ∴ABEG兰ACNF, ..BG=CF, ..BC=GF. BC=2AB, .GF=2AB △ABC 13.(2024北京西城一模)在 中， ∠ABC=∠ACB=45°AM⊥BCM,D C于点M,D是射线B上的动 点（不与点A,B重合），点E在射线AC上且满足.AE=AD,过点D作直线BE的垂线交直线BC于 点F,垂足为点G,直线BE交射线AM于点P. K B M D 图1 图2 (1)如图1，若点D在线段AB上，当AP=AE时，求∠BDF的大小： (2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF,MP,AB的数量关系， 并证明 【答案】(1)67.5° CF=2MP+√2AB 2 证明见解析 【详解】(1)解：如图4. 32/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 分 B 图4 :在△ABC中，∠ABC=∠ACB=45°， AB=AC,∠BAC=90°，∠1+∠2=90° :AM⊥BC于点M, A3=∠B1C=459,BM=CM. 2 .AP=AE, ∠2=180°23_180°，45°=67.50 2 2 :DF⊥BE于点G, ,1+∠BDF=90°， ∴∠BDF=∠2=67.5°. (2)解：补全图形，如图5. G F Mh E 图5 CF=2MP+√2AB. Q∥AP BE 证明：如图4，作 交于点Q. CQ∥AP 33/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .△BMP∽aBCQ MP BM CO-BC' BM=CM,AM⊥BC, CQBC-2'∠BC0=∠AMC=90 MP BM 1 .CQ=2MP,∠5=180°-∠ACB-∠BCQ=45. :∠4=∠ABC=45°， ∠4=∠5， :∠DBG=∠ABE,DG⊥BE于点G,∠BAC=90°， ∴∠D=∠E AD=AE,AB=AC, AD-AB=AE-AC,即BD=CE. .ABDF≌aCEQ :BF=CO. CF BF+BC,BC=2AB, ∴.CF=CQ+V2AB=2MP+√2AB. 14.(2025北京东城二模)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是AB边上一点（不与A,B重合）， 点F与点A关于直线DE对称，连接DF.作射线CF,交直线DE于点P,设∠ADP=a. D E (1)用含a的代数式表示∠DCP: (2)连接AP,AF.求证：△APF是等边三角形： (3)过点B作BG⊥DP于点G,过点G作CD的平行线，交CP于点H.补全图形，猜想线段CH与PH之间 的数量关系，并加以证明 【答案】(1)∠DCP=a+30 (2)见解析 34/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)CH=PH,证明见解析 【详解】(1)解：：点F与点A关于直线DE对称，∠ADP=a, ,AD=DF,∠PDF=∠ADP=a, 在菱形ABCD中，∠BAD=60°， AD=CD,AB∥CD, .DF=CD,∠ADB=180°-∠BAD=120°， ∠DCP=∠CFD :∠CDF=∠ADC-∠ADP-∠PDF=120°-2a, ∠DCP=∠CFD=)180°-∠CDF)=30P+a, 即∠DCP=a+30°： (2):点F与点A关于直线DE对称， AP=FP,∠DPF=∠DPA, .△APF是等腰三角形， ',∠CFD=30°+a=∠DPF+∠PDF=∠DPF+a, ∠DPF=30°， .∠DPF=∠DPA=30°， ∠APF=60°， .△APF是等边三角形： (3)如图所示，猜想CH=PH,证明如下： 过点B作BGL DP 于点G,过点G作CD的平行线，交CP于点H.连 CP PB.BD y D EG B :△APF是等边三角形， AF=AP,∠PAF=60 ∠PAF+∠BAF=60°+∠BAF=∠BAD+∠BAF, 35/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠PAB=∠FAD, .DA=BA, aDAF≌BAP(SAS) ..DF =PB, AB=AD,∠BAD=60° .△ABD是等边三角形， .BD=AB=AD=DF=PB, BG⊥DP于点G, .PG=GD, CD∥GH, PH_PG=1. ·CHGD .CH=PH 15.(2024北京门头沟二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，过点C作CE⊥AD,交 AD于点E,交AB于点F,作点E关于直线AC的对称点G,连接AG和GC,过点B作BMLGC交GC的 延长线于点M. 公 F D B (1)①根据题意，补全图形： ②比较∠BCF与∠BCM的大小，并证明. (2)过点B作BN⊥CF交CF的延长线于点N,用等式表示线段AG,EN与BM的数量关系，并证明. 36/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)LBCF=BCM,见解析； 2EN2=AG·BM (2 【详解】(1)①如图， A G F ⊙ C D M ②：LACB=90°， ∴.LACG+∠BCM=LACE+LDCM=90°， 点G与点E对称， ∴LACE=LACG, ∴LBCF=BCM: (2)如图，过点B作BNLCF交CF的延长线于点N,连接DN, 37/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 E F B D M CN⊥BN,点D为BC的中点， ..DN=CD=BD, CE⊥AD, ∴CE=NE, ',∠BCF=BCM,BN⊥CN,BM⊥CM, ∴BN=BM, .BC=BC, ∴△BCN=△BCM(HL), ∴.CM=CWN=2EN, 由轴对称得AG=AE,∠CAG=LCAE, :LACG+LBCM=LACG+LCAE=90°， ∴LCAE=LBCM, LAEC=LBMC, ∴△4EC~△CMB, AE CM AG 2EN CE-BM,即EN=BM, 2EN2=AG·BM 38/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 >题型04几何与相似三角形综合<《 折典例建模理 16.(2025北京昌平，二模)如图1，△ABC中，AB=AC,点P为线段BC上一点，∠BAP的平分线交 BC于点E,∠PAC=Qa,将线段EC绕点E顺时针旋转a,与射线AP交于点D. y B4 图1 图2 (1)求证：AD=AC: ∠BAC=60 、BD F (2)若 ,如图2，连接CD,连接BD交射线1E」 于点 ①补全图形： ②判断BD,CD与AF之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 BD+CD=AF (2)①见解析：②2 ,证明见解析 【详解】(1)解：AB=AC, ∠B=∠C. :在△EPD和△APC中，∠PED=∠PAC=a,∠EPD=∠APC, ∴.∠D=∠C=∠B AE平分∠BAP, ∴.∠BAE=∠DAE 在△ABE和△ADE中， 39/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠D ∠BAE=∠DAE AE=AE △ABE≌△ADE(AAS） .AB=AD=AC: (2)解：①如图， B E F D 3BD+CD=AF ②判断：2 证明：如图，在线段AF上取一点G,使得∠DBG=60°，连接DG. P B F D :∠BAC=60°，AB=AC, .△ABC是等边三角形， ,.∠ABC=60°，AB=BC ,AB=AD,∠BAE=∠DAE, .AF⊥BD ∴AF是BD的垂直平分线。 .BG=DG :∠DBG=60°， ∴△BDG是等边三角形. ..BG=BD 40/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=60°， ∴.∠ABG=∠CBD. ∴.△ABG≌△CBD(SAS) ..AG=CD 在RIABFG ∠BFG=90° 中， :∠GBF=60°， .FG=BF.tan60°=√3BF FG= BD 2 3BD +CD=AF. 2 研考点通技法✉ 模型一：已知特殊角·直接利用特殊角的三角函数值，表示边长比例，简化计算。模型二：已知三角函数 值将该角放入直角三角形中，对边与邻边比例即为已知值，通常设为k表示两边长。模型三：旋转+三 角函数旋转角已知时，在旋转产生的等腰三角形中作高，利用顶角三角函数求底边或腰长。 破类题提能力 17.(2024北京师达中学.零模)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,D是AB的 中点，连接CD,过A作AE⊥CD于点G,与BC交于点E. A G B E (1)求tan∠CAG的值： 41/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)F是线段GC上一点，且∠GAF=45°，过点F作AF的垂线交BC于点H,请在图中补全图形，用等式 表示HB和HC的数量关系，并证明. 【答案】(1)tan∠CAG=2; (2)HB=HC.见解析 【详解】(1)解：∠BAC=90°，AE⊥CD, ∴.∠DAC=∠DGA=90° 又∠ADG=∠CDA, :△ADG∽△CDA, .DG:AD=AG:AC, 即DG:AG=AD:AC, :点D为AB的中点，AB=AC, :.AC=2AD, AD:AC=1:2, .DG:AG=1:2, 设DG=a,AG=2a, 在Rt△ADG中，DG=a,AG=2a, 由勾股定理得：D=VDG+AG=5a .AB=AC=2AD=25a, 在Ria1CG中，AG=2a,AC=25a 由勾股定理得： CG=AC2-AG2=4a tan∠C4G=CC-4扣=2 AG 2a i (2)解：补全图形如下图所示，HB=HC,证明如下： D G E C∠GAF=45°AG⊥CD .△AGF为等腰直角三角形， 42/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ,AG=GF,∠AFG=45°， HF⊥AF, ∴.∠GFH=∠AFG=45° ·∠HFC=∠CFA=135°， 设DG=a, AG=2a CG=4a AC=AB=25a 由(1)可知： ..GF=AG=2a, ..CF=CG-GF=4a-2a=2a, 在Rt△AGF中，∠BAC=90°，GF=AG=2a,则∠ACB=45°， 由勾股定理得：4F=VGF2+AG=2V2a 在Rt△ABC中，AC=AB=2N5a, 由勾股定理得： BC=√AB2+AC2=2N10a ∠GFH=45°，∠ACB=45°， ∠FHC+∠FCH=L45°，∠FCH+∠FCA=45°， ∴.∠FHC=∠FCA 又∠HFC=∠CFA=135°， △HFCn△CFA, ..HC:AC=CF:AF, 即HC:2W5a=2a:2W2a, .HC=10a, :BC=2W10a, HB=BC-CH=210a-√oa=√10a, ∴.HB=HC 18.(2024北京海淀一模)在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转 a(0°<a≤60) 得到线段1D.点D关于直线C的对称点为E.连接1E, BC AE DE 43/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D D B dc 图1 图2 (1)如图1，当a=60°时，用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明： (2)连接BD,依题意补全图2.若AE=BD,求Q的大小 AE=3BD 【答案】(1) 证明见解析： (2)a=30°. 【详解】(1)解：线段1E与BD的数量关系： AE=3BD 证明：连接BE,如图1. :点D,E关于直线BC对称， ∴.直线BC是线段DE的垂直平分线. .BD=BE ∴.∠DBC=∠EBC=30°. ∠DBE=60°. ∴.△DBE是等边三角形. D B E 图1 .BD=BE=DE∠BDE=∠BED=6O △ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， :AB=2AC 依题意，得AD=AC,点D在AB上 ∴.AB=2AD .BD=AD 44/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .DE=AD ∴.∠DAE=∠DEA=30°. ∠BEA=90°. AE :在Rt△ABE中，BE =tan∠ABE=tan60°=√5 AE=√3BE :AE=3BD (2)解：依题意补全图2，如图. B 图2 方法一：延长AC至F,使CF=AC,连接BF,BE,EF,CD,CE,如图2. ∠ACB=90°， .AB=BF. ∠BAC=60°， ∴.△ABF是等边三角形。 AB=AF=BF,∠BFC=60°. :点D,E关于直线BC对称， ∴.直线BC是线段DE的垂直平分线. ∴BD=BE,CD=CE. .∠DCB=∠ECB :∠ACB=∠DCF=90°， ∴，∠DCA=∠ECF .AC=FC, ∴.△DAC≌△EFC ∴.∠CAD=∠CFE 45/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .AE BD, :.BE=AE, :EF=EF,BF=AF, ∴.△BEF≌△AEF ∴.∠BFE=∠AFE=30° ∴.∠CAD=∠AFE=30°. =30°. 方法二：如图3，取AB中点F,连接DF,BE,CD,CE,设∠DBC=B. D 点，关于直线 对称， B 图3 .·DE BC ∴.直线BC是线段DE的垂直平分线. ∴BD=BE,CD=CE ∴∠DBC=∠EBC=B. .∠EBA=30°+B,∠DBA=30°-B .AE BD, .AE=BE ∴.∠EAB=∠EBA=30°+B ∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∠BAC=60°. .∠EAC=30°-阝 ∴.∠EAC=∠DBA 由(1)可得AB=2AC. :F为AB中点， .AB=2AF=2BF .AC=AF=BF 46/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 AC=BF,∠EAC=∠DBA,AE=BD, ∴.△ACE≌△BFD ∴.CE=FD .CD=FD .AD=AD,AF=AC, .△ADF≌△ADC ∴，∠FAD=∠CAD=30°. ∴.0=30° 19.(2025北京房山一模)如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，连接AE,将射线AE绕点 A逆时针旋转9O°交CD的延长线于点F,连接EF,取EF中点G,连接DG. D C E (1)依题意补全图形：用等式表示∠ADG与∠CDG的数量关系，并证明： 2)若DG=V2DF 用等式表示线段BC与BE的数量关系，并证明. 【答案】(1)补全图形见解析，∠ADG=∠CDG,理由见解析 (2)BC=3BE,理由见解析 【详解】(1)补全图形如下： D C G ,理由如下： E B ∠ADG=∠CDG 连GA,GC, ,四边形ABCD为正方形 AD=DC=BC=AB,∠ADC=∠DAB=∠B=∠DCB=90° ,将射线AE绕点A逆时针旋转90°交CD的延长线于点F 47/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAF=90° 在RtAEF和RILACFE中， AG-CG-FE 在△ADG和ACDG中 「AD=DC DG=DG AG=CG ,△ADG△CDG(SSS) ·.∠ADG=∠CDG (2)BC=3BE,理由如下： 过G作NG⊥AD于点N,设EF与DA交于M ∠ADG=∠CDG,∠ADC=90° 由(1)知 ∠ADG=号x90°=450 2 ∴.∠ADG=∠DGN=45° DN-GN-sin45x DG=DG 2 DG=V2DN =2NG DG=DF ,∴.NG=DF=DW 由(1)知：∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AD=AB ∠DAF=∠BAE=90°-∠DAE 片ADF =ABE(ASA DF=BE=NG=DN.AE=AF 48/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ,∠FDA=∠DNG=90° DF IING “四边形DFNG为平行四边形 DM=a-0N-专G AE=AF,G EF 为的中点 ,AG⊥EF ·.'∠FMN=90°+∠MFD=90°+∠MAG ∴.∠DFM=∠MAG ∴.tan∠DFM= _DM=。=tan∠MAG=WG DF DN AN即AN=2NG .AD=DN+AN DN+2NG=DN+2DN=3DN =3DF =3BE .AD=BC ∴BC=3BE D C G B 20.(2024北京西城二模)如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转a(0°<a<180°)得到线段 BD,边AC绕点C逆时针旋转I80°-a得到线段CE,连接DE,点F是DE的中点. B B D A 备用图 (1)以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G,连接BG,DG. ①依题意补全图形，并证明AC=DG; 49/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ②求证：∠DGB=∠ACB: (2)若u=60°，且FH⊥BC于H,直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系. 【答案】(1)①补全图形见解析，证明见解析；②见解析 FH-5BC (2 4 【详解】(1)①依题意补全图形如图所示： 证明：点F是DE的中点， ..DF =EF, 点C关于点F的对称点为G, ..CF=GF, 又，∠DFG=∠EFC, ,'△DFG≌△EFC, ..DG=CE, 由旋转的性质可得：AC=CE, ..AC DG: B H D ∠ACB=x,ABC=y ∠BAC=180°-x-y ②证明：设 则 在四边形BDEC中，∠BDE+∠CED=36O°-∠DBC-∠BCE =360°-(a+x+y+180°-) =180°-x-y, 由(1)①得△DFG≌△EFC, :∠CED=∠GDF, ∠BDE+∠GDF=180°-x-y 50/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDG=∠BAC, 又BD=BA,DG=AC, ,△BDG≌△BAC(SAS) ∠DGB=∠ACB: (2)解：连接AD,BF,如图，由题意得∠DBA=a=60°， :△BDG=△BAC, .∠DBG=∠CBA, ,∴，∠GBC=∠DBA=60°， .BG=BC, ,△BGC是等边三角形， .∠BCF=∠GBC=60°， :点F是CG的中点， BF⊥CG,∠CBF=∠CBG=30°， 2 1 CF=BC, 2 FH⊥BC,∠BCF=60°， FH-CF.sin60=5CF=5Bc 2 4 ∴FH与BC的数量关系是 PH -BC 4 D A F 51/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ☑PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：50分钟) 刷模拟、 1.(2026北京丰台一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC,D为AC的中点，过点D作 DELAC,交BC于点E,点F在线段DE上，且DF=4C,连接 (1)求证：AF平分∠BAC: (2)连接BF,将射线FB绕点F顺时针旋转90°，交CA的延长线于点G. ①依题意补全图形： ②用等式表示EF,AF与CG之间的数量关系，并证明 【答案】(1)见解析 2)①见解析；②CG=2EF+V2AF 证明见解析 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【详解】(1)证明：：点D为AC的中点， .AD=1AC 2 DF=1AC 2 :AD=DF, .∠DAF=∠AFD 52/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 :DE⊥AC,∠BAC=90° :∠BAC=∠EDC=∠ADF=90°， ,AB∥DE ,∴∠BAF=∠AFD, ,.∠BAF=∠DAF, ∴AF平分∠BAC, (2)解：①如图即为所求： G H B E ②数量关系： CG=2EF+2AF .证明如下： 如图：连接CF并延长交AB于点H. G A 4 D H B E 点D为AC的中点，DE⊥AC, ..AF=CF,AD=CD, 又：AF平分∠BAC,∠BAC=90°， .∠DAF=∠DCF=45°， .∠CFD=∠AFD=45°. ∴.∠AFC=90°」 在R△1FC中，根据勾股定理，4C=VAF+CF=V2AF DE⊥AC, ·∠EDC=∠BAC=90° 53/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DE∥AB CD CF CE ADFH BE· .AD=CD, ..CF=FH,CE=BE. ,.EF是△CBH的中位线. ..BH =2EF. ∠AHF=180°-∠BAC-∠ACF=45°， ∴∠AHF=∠2. AF=HF,∠AFH=90°. ∠BFG=90°， ·.∠BFG-∠HFG=∠AFH-∠HFG,则∠3=∠4. ,∠1+∠GAF=180°，∠AHF+∠BHF=180°，∠1=∠AHF=45°， .∠GAF=∠BHF. △GAF≌△BHF(ASA ..AG=BH. ..AG=2EF. .CG=AG+AC, CG=2EF+√2AF 2.(2022北京朝阳二模)在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且 MN⊥DE,垂足为点F. E C(N)B 图1 图2 (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：MN=DE; (2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H. ①依题意补全图2： 54/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ②用等式表示线段MH,HF,FV之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②MH+FN=HF,见解析 【来源】2022年北京市朝阳区中考二模数学试题 △BCM≌△CDE(ASA) 【分析】(1)根据正方形的性质证明 即可： (2)按题意补充图形即可；在FH上截取FG=FN,连接EG交AC于点K,作CT∥MN交AB于点T, 根据题意证明Rt△BCT≌Rt△CDE(I),△EFG≌△DFN(SAS),△AMH≌△KGH(AAS)即可求解。 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是长方形， ∴.BC=CD,∠B=∠BCD, MN⊥DE, ,∴.∠BCM+∠DCF=∠DCF+∠CDE=90°， ∠BCM=∠CDE, △BCM≌△CDE(ASA) ..MN DE (2)①过DE的中点F作MN⊥DE,分别与AB、AC、CD交于点M、H、N,如图即为补全的图形： 图2 ②MH+FN=HF,理由如下： 如图，在FH上截取FG=FN,连接EG交AC于点K,作CT∥MN交AB于点T, AB∥DC ,四边形MTCN是平行四边形， ..MT =NC, MN⊥DE, ..CT⊥DE 由(1)知：CT=DE,∠B=∠DCE=90° 55/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BCT和RtVDCE中， CT=DE BC=CD, Rt△BCT≌Rt△CDE(HL) ..BT=CE, 在△EFG和△DFN中， FG=FN {∠EFG=∠DFN EF=DF △EFG≌△DFW(SAS) ∴.EG=DN,∠EGF=∠DNF, EG∥CD∥AB, .GE⊥BC, :∠ACB=45°， ,△CEK是等腰直角三角形， ..EK =CE=BT, .AB=CD,MT=NC, .AM+BT=DN EG=EK +KG, .AM=KG, AB∥EG, .∠MAH=∠GKH, 在△AMH和△KGH中， ∠MAH=∠GKH ∠AHM=∠KHG AM=KG △AMH≌△KGH(AAS) ..MH GH, .GH+FG=HF, 56/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .MH FN HF. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练利用正 方形的性质确定全等三角形是解本题的关键， 3.(2024北京二中模拟预测)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，D为AB边上一点， DE⊥AB于D,连接BE,P为BE中点. B 图1 图2 (1)连接PD、PC,判断PD与PC的数量关系，并直接写出∠DPC的度数： 2)如图2，将△1DE绕点4顺时针旋转&度0°<a<180), ①请你依据题意补全图形： ②在旋转过程中，∠DPC的度数是否发生改变？若不变，写出它的度数，并证明；若变化，请说明理由， 【答案】(1)PD=PC,∠DPC-120° (2)①补全图形见详解，②度数不变，为120° 【来源】2024年北京市东城区北京二中教育集团模拟预测数学试题 【分折】a)“DELAR:∠ACB=90,点P为BE中，点则PD=PB=PC=E故1=∠2.∠3=∠4， 2 而∠DPC=∠DPE+ZBPC=2∠1+∠3)，代入∠ABC=60°即可求解 AE,AB H,G HD,HG,HP,GP,GC (2)①依据题意画出图形即可；②取 中点为，连接 ,利用三角形的中位 线定理和直角三角形的性质证明△PGC≌△DHP,再根据全等三角形的性质即可求证. 【详解】(1)解：如图： 57/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3 4 B C :DE L AB,∠ACB=90°，点P为BE中点， ·PD=PB=PC=BE 2 ∠1=∠2，∠3=∠4 ∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠I+∠3） :∠ABC=60°， .∠1+∠3=60°， ∠DPC=∠DPE+∠EPC=2(∠1+∠3)=120° (2)解：①补全图形如图： D E B AE,AB H,G D,HG,HP,GP,GC ②取 中点为，连接 58/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D H G ∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴.∠BAC=30°， 由旋转得，∠DAE=∠BAC=30°，∠ADE=90°， .LAED=60°， 同上可得，HD=HE, △HDE是等边三角形， ∠DHE=60°， 同理△BGC是等边三角形， ∠BGC=60°， P,G BE,BA 为 中点， ∴PG为△ABE的中位线， .PG=AE,PG/I ∠2=∠3， 同理可得：PH为△ABE的中位线， PH=2AB,PHIAB。 .∠1=∠2， ∠1=∠3， ∠DHP=∠PGC, 同上可得，GC=)4B, 2 ..GC=PH, 59/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 同上可得， PG-AF.PGU AF 2 ..DH=PG, ∴△PGC≌△DHP, ∴.PC=PD,∠PCG=∠DPH, :∠BGC=60°， ,.∠PCG+∠GPC+∠3=120° PG∥AE, .∠3=∠4， ,∴.∠DPH+∠GPC+∠4=120° ∴∠DPC=120° 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，全等三角形的 判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键， 4.(2024北京师大附实验中学，零模)如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=a(0<a<90),点D为 线段BC上一点，连接AD,作射线AE使得∠DAE=9O°-Q.过点D作AD的垂线交AE于点F,连接 CF,取CF中点M,连接BM,DM. (1)补全图形： (2)求证：∠BAC=∠DAF: (3)①判断△MBD的形状，并证明. ②直接写出∠MDB的大小（用a表示）· 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3)①△MBD为等腰三角形，证明见解析；②∠MDB=90°-C 【来源】2024年北京师范大学附属实验中学中考零模数学试题 【分析】本题主要考查了考查等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键， (1)依据题意，读懂题意即可作图： (2)依据题意，由∠ABC=90°，∠ACB=a,从而∠BAC=90°-∠ACB=90°-a,又∠DAE=90°-C,进而 60/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 可以判断得解； (3)①依据题意，延长FD到点F',使得DF'=DF,连接AF',FC,延长CB到点C,使得BC'=BC, 连接AC,CF:由M是CF中点，从而MD=CP,MB=2CF,又D1DF,从而AF=AP,可得 ∠FAF'=180°-2∠AFF'=180°-2a,同理可得，∠CAC'=180°-2∠ACC'=180°-2a,进而可得∠CAF'=∠FAC', 证得△CAF'≌aC'AF(SAS),故CF'=CF即可判断得解： ②依据题意，由∠AF'D=∠ACD,可得A、F'、C、D四点共圆，则∠ACF'=∠ADF'=90°，进而可得 ∠DCF'=90°+a,从而∠DFC+∠CDF'=180°-(90°+)=90°-a,故 ∠MDB=∠MDF+∠BDF=∠DF'℃+∠CDF'=90°-a,最后可以判断得解。 【详解】(1)补全图形如图. B M (2)证明：∠ABC=90°，∠ACB=a, ∠BAC=90°-∠ACB=90°-. ∠DAE=90°-a, ∴.∠BAC=∠DAF (3)①△MBD为等腰三角形，DM=BM. 证明：延长FD到点F',使得DF'=DF, 连接AF',FC,延长CB到点C',使得BC=BC,连接AC,CF. C B 是 中点， .M CF DF'=DF MD= h, 1 由题意，AD⊥DF, 又DF'=DF, .AF'=AF .∠ACB=a,∠BAC=∠DAF=90°-a 61/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .∠AFD=∠ACB=& .∠FAF'=180°-2∠AFF'-180°-2a, 同理可得，AC=AC' ∴.∠CAC'=180°-2∠ACC'=180°-2a ∴∠FAF'=∠CAC'. ∠CAF'=∠FAC'. ∴，△CAF'≌△CAF(SAS) CF=CF ∴.MD=MB ∴.△MBD为等腰三角形. ②：∠AF'D=∠ACD,AD=AD ∴A、F'、C、D四点共圆 又：∠ADF'=90°，则AF'是圆的直径 ∠ACF'=∠ADF'=90°： 又∠ACB=a, .∠DCF'=90°+a. ∠DF'℃+∠CDF'=180°-(90°+a)=90°-a. DF'=DF,M是CF中点， .DM∥CF' .∠MDF=∠CF'D .∠FDB=∠CDF .∠MDB=∠MDF+∠BDF=∠DF'C+∠CDF'=90°-a, .∴∠MDB=90°-a 5.(2024北京二中.一模)如图，在正方形ABCD中，将边AD所在直线绕点D逆时针旋转C度得到直线 DM,作点A关于直线DM的对称点P,连接CPDP. M 62/67 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)依题意补全图形： (2)求∠DPC的度数： (3)延长DP、CP分别交直线AB、AD于点E、F,试探究：线段DE、BE和AF之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)∠DPC=45°+a (3)点E在线段AB上时，DE=BE+AF:点E在线段AB延长线上时，AF=DE+BE;点E在线段BA延 长线上时，BE=DE+AF,见解析 【来源】2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题 【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键. (1)作点A关于直线DM的对称点P,连接CP、DP即可： (2)连接AP,根据轴对称性质可得AD=PD,∠ADM=∠PDM=a,可求出∠CDP=9O°-2a,根据等 腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出∠DPC=180°-90°+2a)=45°+a: (3)分三种情况，当DP交线段AB、线段AB延长线上、线段BA延长线上于点E时，分别可证 △CDF≌△DAK,进而可得DE=EK,即可求证. 【详解】(1)解：如图，作点A关于直线DM的对称点P,连接CPDP: B M (2)连接AP, 63/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 p 点 关于直线 对称， B M A,P DM ∴.DM垂直平分AP, ∴.AD=PD .∠PDM=∠ADM=a, .∠PDC=90°-2a, :四边形ABCD为正方形， .AD=DC, :.DP=DC, :∠DPC=180°-∠PDC ∠DPC=45°+a: O当DP (3) 线段 延长AB至K,使BK=AF,连接DK, D K E B M 4 .·AD=AB,BK=AF ..DF=AK 又CD=AD,∠CDA=∠DAK=90°， 在△CDF和△DAK中 64/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 DC=AD ∠CDF=∠DAK DF=AK △CDF≌△DAK, ∠F=∠K, ∴由(2)可知，∠DCP=∠DPC=45°+a, ∴，∠K=∠F=90°-∠DCP=45°-a, DC∥AB, .∠CDK=∠K=45°-a, .∠EDK=90°-∠ADE-∠CDK=45°-a, ∠EDK=∠K, :DE =EK, .DE BE+BK=BE+AF, 即DE=BE+AF; ②当DP交线段AB延长线于点E时，在AB延长线上截取BK=AF,连接DK, K B 由①同理可证△CDF≌△DAK, ∠K=∠F=45°-a, ∴∠EDK=90°-∠ADE-∠CDK=45°-a, .∠K=∠KDE :ED=EK, .ED=BK-BE=AF-BE, 65/67 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 即AF=DE+BE: ③当DP交线段BA延长线于点E时，在BA上截取BK=AF,连接DK, D E M A K 由题意可知，DP=DC, 2Dcp-I0-∠PmC. .∠PDC=∠ADM+∠MDP+∠ADC=2(360°-a)+90°=810°-2a ∠Dcp-l80-810+2a=a-315, 又AD=AB, ..DF =AK, 在△CDF和△DAK中 DC=AD ∠CDF=∠DAK DF=AK ∴.△CDF≌△DAK, ∴.∠ADK=∠DCP=-315°， ∴.∠AKD=∠DFC=90°-a-315)=405°-a 又“∠EDK=∠EDA+∠ADK=2360°-a+a-315°=405°-& ∴.∠EDK=∠AKD, ED=EK, :DE=BE-BK BE-AF, 即BE=DE+AF. 66/67 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 67/67