专题03 几何证明与解三角形4大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03几何证明与解三角形 ee。e●ee●。●。。。。●。。。●。。。●e●0e●●0e●00●。●●●9●●●。●●●●●●●●●●●●●。●。e●●●e●●●e●e●。。。。。●。●e●e●。●●●9●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 2024年：四边形综合题目内容：在四边形中，利用中点条件证明平行四边形，并计算线段长度。·核 心考点：平行四边形判定、三角形的中位线定理、解直角三角形、勾股定理。2025年：矩形与三角形 中点题目内容：在三角形中，给定两边中点，证明一个四边形是矩形，并计算多条线段长度。·核心 考点：矩形判定、三角形中位线定理、勾股定理、解直角三角形。 命题趋势：1.核心考点高度稳定几何中的中位线、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形）的判 定是每年必考的核心内容。其中，三角形中位线已连续两年作为解题的关键枢纽出现。2.图形载体趋 于综合题目不再局限于单一的三角形或四边形，而是开始融合三角形与四边形。这要求考生能熟练在 不同的基本图形间进行逻辑转换。3.设问方式保持“证明+计算”双阶模式第(1)问稳定考查几何判定 (如证明平行四边形、矩形)，第(2)问则基于第(1)问的结论，在特定条件（如垂直、给定三角函数值） 下计算线段长度。两问逻辑紧密，第(2)问往往需要利用第(1)问的结论作为计算前提。总的来说，这道 题对几何逻辑的一致性和计算与证明的结合能力要求越来越高。 2026年预测：三角形中位线依旧是解题的核心工具，同时继续围绕勾股定理、平行四边形矩形判定及 特殊三角函数值展开，基础知识仍是主流。1.回归基础规范：确保”∴”逻辑链条完整，熟练掌握含 30°、45°角的直角三角形三边比例进行速算。2.专题突破：重点训练“遇中点，想中位线”的辅助线 思维，尤其是多个中点的复杂图形。 ☑ PART 02 解题建模•通技法 >题型01平行四边形与解三角形<《 1/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 析典例.建模型 1.(2025·北京大兴二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，E,F分别是边AB,AC的中点，延长BC到点D ,使CD=BC,连接EF,CE,DF, (1)求证：四边形CDFE是平行四边形. (2)连结DE,交AC于点O,若AB=BD=6,求DE的长 研考点通技法 :1.标识已知：图中标出边长、角度、中点、垂直等条件。2.证明关系：先证平行四边形（判定：对边平 1行/相等或对角线互相平分)。3.转化边长：利用平行四边形对边相等、中位线性质，把未知边与已知直 :角三角形边建立等量关系。4.解直角三角形：在目标直角三角形中，用勾股定理或三角函数计算。 破类题提能力 2.(2024北京东城二模)如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AE∥CD, ∠ACB=∠DAC,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,EF=EG· B (1)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)若CD=4,∠B=45°，∠CEG=15°，求AB的长. 3.(2025北京十一学校中考模拟)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,延长DC到点E, 使CE=CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F,连接AE,DF· 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：四边形ADFE是平行四边形： (2)过点E作EG⊥DF于点G,若BD=2,AE=6,求EG的长. 4.(2025北京海淀·人大附中零模)如图所示，在ABC中，点D,E分别为AB,AC的中点，点H在线 段CE上，连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点. A D E H G (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； (2)若DG⊥BH,BD=3,EF=2,求BH的长 5.(2023北京大兴.二模)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,延长DC到点E,使 CE=CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F,连接AE,DF. B D (1)求证：四边形ADFE是平行四边形： (2)过点E作EG⊥DF于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长 >题型02矩形与解三角形<《 析典侧：建模型 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(2025北京平谷一模)矩形ABCD中，点E是DC上一点，连接AE、BE,过点A作BE的平行线，过 点B作AE的平行线，两条平行线交于点F,∠DAE=∠BEC. A D E (1)求证：四边形AFBE是矩形； (2)连接EF,若∠DAE=30°，DE=1,求EF的长 考点通技法 1.标识已知：在图中标出直角、边长、角度、中点等条件。2.证明矩形：常通过"平行四边形+一个直角 或“三个直角”来判定。3.边角转化：利用矩形对边相等、对角线相等，把分散的边集中到同一直角三角 形中。4.解直角三角形：在Rt△中用勾股定理或三角函数计算边长。 破类题提能力 7.(2026北京第五中学.零模)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至F点使CF=BE,连接 AF,DE,DF. B (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长. 8.(2025年北京市西城区第三十五中学中考数学零模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D, 使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE交于点E,连接BE. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：四边形ACBE是矩形： (2)连接AD,若AD=5√2， an∠BAC,求AC的长 9.(2024北京西城二模)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD于点E,CG⊥BD于点F, FG=CF,连接AG. G D (1)求证：四边形AEFG是矩形： (2)若∠ABD=30°，AG=2AE=6,求BD的长. 10.(2025·北京燕山一模)如图，平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，BE=DF, ∠AEC=90°. B (1)求证：四边形AECF是矩形： (2)连接BF,若AB=4,∠ABC=60°，BF平分∠ABC,求AD的长 >题型03菱形与解三角形<《 析典例：建摸理 11.(2025北京密云·一模)在矩形ABCD中，连接BD,延长BC至E,使BE=BD,过点E作EF∥BD交 AD延长线于点F. 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：四边形BEFD是菱形： (2)连接BF,若BC=3,CD=4,求线段BF的长. 考点通技法 ["遇菱形，想对角线”：这是最关键的思维习惯。不要只想着用边长，要把问题转移到对角线构成的直角 三角形里。留意特殊角：60°的菱形，连接较短对角线后，会直接出现两个等边三角形，这是个可以加速」 [解题的捷径。活用面积公式：菱形面积=对角线乘积的一半=底×高。这个公式常用来求高或验证结果。 灵活设参：若边长和对角线关系复杂，可设半对角线长度为参数，利用勾股定理列方程求解。 破送题提能力 12.(2025九北京石景山京源学校.零模)如图，在ABC中，BC=2AB,D、E分别是BC、AC的中点， 过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F. E B D (1)求证：四边形ABDF是菱形： (2)若AB=4,∠B=60°，求AE的长. 13.(2025北京大兴二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，CE∥AB,DE是 ∠CDB的角平分线，连接AE、BE. B D (1)求证：四边形CDBE是菱形； 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AC=AD=2,求AE的长 14.(2025北京房山中考一模)如图，AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于点C.BD平分LABF,交 AE于点D,连接CD,DG⊥BD于点D,交BF于点G D E B GF (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若BC=5,BD=4,求DG的长. 15,(2025北京东城一模)如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC,AD=2BC, ∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE. B (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长. >题型04正方形与解三角形<了 析典例：建模型 16.(2025北京海淀一模)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,过E作EF⊥AD于F. (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)连接BF交AE于点O,连接DO,若CD=2,CE=1,求OD的长. D 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 研哮点通技法 1遇45°用勾股：45°角常暗示等腰直角三角形，用比例速算。勿忘两条对角线：它们垂直相等，且交点到1 四顶点等距，可用于解三角形或证全等。·设参列方程：若直接计算困难，在直角三角形中设未知数列勾股1 方程。·避免思维定势：正方形不仅只有边和角，对角线是更灵活的辅助线。 破类题提能力 17.(2025北京燕山一模)如图，在矩形ABCD中，AH,BH,CF,DF分别是∠BAD,∠ABC, ∠BCD,∠ADC的平分线. C (1)求证：四边形EFGH为正方形： (2)若AB=72,AD=4V2,求EF的长 18.(2025北京陈经纶中学分校零模)如图，在ABC中，已知LBAC=45°，AD1BC于点D. 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB,AC为对称轴，画出△ABD,△ACD 的轴对称图形，点D的对称点分别为E,F,延长EB,FC相交于点G.请按照小明的思路，探究并解答下 列问题： G (1)求证：四边形AEGF是正方形. (2)若AD=6,BC=5,试求出BD的长 19.(2025北京海淀·人大附中零模)如图，ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分线交于点D, 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥BC于E,DF⊥AC于F; A D B E (1)问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由。 (2)若AC=6,BC=8,则CF的长为多少？ 20.(2025北京朝阳二模)如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O,点D、B是对角线 EF所在直线上两点，且DE=BF,连接AD、AB、CD、CB,∠ADO=45°. D E B (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)若正方形ABCD的面积为72，BF=4,求点F到线段AE的距离. ☑PART 03 实战刷题·冲高分 (建议用时：40分钟) 刷模拟 1.(2026北京顺义一模)如图，在口ABCD中，AC,BD交于点O,E是CD的中点，过点O,E分别作直 线BC的垂线，垂足分别为G,F. B (1)求证：四边形0GFE是矩形； (2)若∠BC0=45°，0D=V5,0G=1,求CF的长. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2026北京丰台一模)如图，在菱形ABCD中，延长AD至点E使DE=AD,延长CD至点F使 DF=CD,连接AC,CE,EF,FA. B D (1)求证：四边形ACEF是矩形： 2连接BF.若A8-3,sm∠B4C=号求BF的长。 3.(2026北京朝阳一模)如图，在口ABCD中，点E在CD边上，∠CBE=∠A,过点C作BE的平行线， 交AB的延长线于点F. D (1)求证：四边形BECF是菱形； (2)连接EF,若AB=6,DE=2,∠A=60°，求EF的长 4.(2026北京大兴.一模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,CD∥AB,点E,F分别为AC,BC的中 点，DE∥CF. (1)求证：四边形EFCD为菱形： (2)若∠ADC=90°，EF=2,求AD的长 5.(2026北京昌平.一模)如图，在ABC中，AB=BC,D,E分别为AB,AC中点，连接BE,过点 B作BE的垂线，与直线DE交于点F,连接AF. 10/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 B (1)求证：四边形AEBF是矩形； ②诺40=5，an∠ADE=}求F的长。 6.(2026北京通州一模)如图，在RIABC中，∠BAC=90°，点E,点F分别是BC,AC的中点，延长 BA到点D,使AD=AB,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O. (1)求证：四边形AEFD是平行四边形： (2)若AB=6,BC=10,求DE的长. 7.(2026北京西城统一测试)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD, 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于点E,过点B作BF∥ED,交AC于点G,交AD于点F. G F ■ E D (1)求证：四边形BEDF是矩形： (2)若点F是AD的中点，DE=9,求AB的长。 8.(2026北京平谷.一模)如图，平行四边形ABCD,E是BC延长线上一点，BD=DE,且 ∠ABC=2∠DEB. B E 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接AE交BD于F,若∠DEB=30°，AD=4,求BE和AF的长 9.(2026北京海淀.一模)如图，在ABC中，∠C=90°，M,，N分别为AB,BC的中点，点P,Q在 射线CA上，PQ=MN. B M PA O (1)求证：四边形MPQN是平行四边形： (2)若∠CQN=30°，CN=2√5，MN=5,求PA的长. 10.(2026北京三帆中学.零模)如图，在四边形ABCD中，BA=BC,E是AB的中点，DB,CE交于点 F,DF=FB,AF∥DC. D F (1)求证：四边形AFCD是菱形： 2诺AF-2,cs乙FE=,求AC的长。 12/12 专题03 几何证明与解三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：四边形综合 题目内容：在四边形中，利用中点条件证明平行四边形，并计算线段长度。 · 核心考点：平行四边形判定、三角形的中位线定理、解直角三角形、勾股定理。2025年：矩形与三角形中点 题目内容：在三角形中，给定两边中点，证明一个四边形是矩形，并计算多条线段长度。 · 核心考点：矩形判定、三角形中位线定理、勾股定理、解直角三角形。 命题趋势：1. 核心考点高度稳定 几何中的中位线、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形）的判定是每年必考的核心内容。其中，三角形中位线已连续两年作为解题的关键枢纽出现。 2. 图形载体趋于综合 题目不再局限于单一的三角形或四边形，而是开始融合三角形与四边形。这要求考生能熟练在不同的基本图形间进行逻辑转换。 3. 设问方式保持“证明+计算”双阶模式 第(1)问稳定考查几何判定（如证明平行四边形、矩形），第(2)问则基于第(1)问的结论，在特定条件（如垂直、给定三角函数值）下计算线段长度。两问逻辑紧密，第(2)问往往需要利用第(1)问的结论作为计算前提。 总的来说，这道题对几何逻辑的一致性和计算与证明的结合能力要求越来越高。 2026年预测：三角形中位线依旧是解题的核心工具，同时继续围绕勾股定理、平行四边形/矩形判定及特殊三角函数值展开，基础知识仍是主流。1. 回归基础规范：确保“∵∴”逻辑链条完整，熟练掌握含30°、45°角的直角三角形三边比例进行速算。 2. 专题突破：重点训练“遇中点，想中位线”的辅助线思维，尤其是多个中点的复杂图形。 题型01平行四边形与解三角形 析典例·建模型 1．（2025·北京大兴·二模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 研考点·通技法 1. 标识已知：图中标出边长、角度、中点、垂直等条件。 2. 证明关系：先证平行四边形（判定：对边平行/相等或对角线互相平分）。 3. 转化边长：利用平行四边形对边相等、中位线性质，把未知边与已知直角三角形边建立等量关系。 4. 解直角三角形：在目标直角三角形中，用勾股定理或三角函数计算。 破类题·提能力 2．（2024·北京东城·二模）如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·北京十一学校·中考模拟）如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 4．（2025·北京海淀·人大附中零模）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 5．（2023·北京大兴·二模）如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点E作于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2023年北京市大兴区中考二模数学试题 【分析】（1）利用和，使用证明，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据等腰三角形的三线合一性质可知，，再由求出，采用勾股定理求出的长，即的长，再用等面积法求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）过点E作于点G ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即 ∴． 题型02 矩形与解三角形 析典例·建模型 6．（2025·北京平谷·一模）矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【来源】2025年北京市平谷区中考 一模数学试题 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． 【详解】（1）解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 研考点·通技法 1. 标识已知：在图中标出直角、边长、角度、中点等条件。 2. 证明矩形：常通过“平行四边形+一个直角”或“三个直角”来判定。 3. 边角转化：利用矩形对边相等、对角线相等，把分散的边集中到同一直角三角形中。 4. 解直角三角形：在Rt△中用勾股定理或三角函数计算边长。 破类题·提能力 7．（2026·北京第五中学·零模）如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在中，于点，延长至点使 ∴ 即 在中，且 ∴且． ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积 ∴． 8．（2025年北京市西城区第三十五中学中考数学零模）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若， ，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【来源】2025年北京市西城区第三十五中学中考数学零模试卷 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）连接， ∵， ∴设，， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴． 9．（2024·北京西城·二模）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】2024年北京市西城区中考二模数学试题 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 10．（2025·北京燕山·一模）如图，平行四边形中，点，分别在边，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，平分，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【详解】（1）证明：平行四边形， ，， 又， ， 即， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形是矩形． （2）解：平分， ， ， ， ， ， 在中， ，，， ， ， ， ． 题型03 菱形与解三角形 析典例·建模型 11．（2025·北京密云·一模）在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【详解】（1）证明：由矩形可得， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：在矩形中，，，， 在中，， 由（1）得四边形是菱形， ， ， 在中，． 研考点·通技法 “遇菱形，想对角线”：这是最关键的思维习惯。不要只想着用边长，要把问题转移到对角线构成的直角三角形里。 留意特殊角：60°的菱形，连接较短对角线后，会直接出现两个等边三角形，这是个可以加速解题的捷径。 活用面积公式：菱形面积 = 对角线乘积的一半 = 底×高。这个公式常用来求高或验证结果。 灵活设参：若边长和对角线关系复杂，可设半对角线长度为参数，利用勾股定理列方程求解。 破类题·提能力 12．（2025·九·北京石景山京源学校·零模）如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【来源】2025年北京市石景山区京源学校九年级中考数学零模试卷 【详解】（1）证明：∵点、分别是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：如图，连接， ∵，四边形是菱形， ， ∴是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 13．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 14．（2025·北京房山·中考一模）如图，，平分，交于点C．平分，交于点D，连接，于点D，交于点G． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵ ∴； ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是菱形； （2）解：设交于点O，如图； ∵四边形是菱形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点， ∴； 在中，，， 由勾股定理得：． 15．（2025·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE． (1)求证：四边形BCDE为菱形； (2)连接AC，若AC平分，，求AC的长． 【答案】(1)证明见解析． (2)． 【详解】（1），E为AD的中点， ， ， ∴四边形BCDE是平行四边形， ，， ， ∴四边形BCDE是菱形． （2）解：连接AC． ，AC平分， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， 在中，， ， ． 题型04 正方形与解三角形 析典例·建模型 16．（2025·北京海淀·一模）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，过E作EF⊥AD于F． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）连接BF交AE于点O，连接DO，若CD=2，CE=1，求OD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OD的长为． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形 四边形ABEF是矩形 又平分 （角平分线的性质） 矩形ABEF是正方形 即四边形ABEF是正方形； （2）如图，过点O作于点G，则 同（1）可得：四边形CDFE是矩形 由（1）可知，四边形ABEF是正方形 ，点O是对角线AE的中点 OG是的中位线 ，点G是AF的中点 在中， 故OD的长为． 研考点·通技法 遇45°用勾股：45°角常暗示等腰直角三角形，用比例速算。 勿忘两条对角线：它们垂直相等，且交点到四顶点等距，可用于解三角形或证全等。 ·设参列方程：若直接计算困难，在直角三角形中设未知数列勾股方程。 ·避免思维定势：正方形不仅只有边和角，对角线是更灵活的辅助线。 破类题·提能力 17．（2025·北京燕山·一模）如图，在矩形中，，，，分别是，，，的平分线． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，分别是，，，的平分线， ∴， ∴，，，， ∴， ，，， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（2025·北京陈经纶中学分校·零模）如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或3 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 19．（2025·北京海淀·人大附中零模）如图，中，，、的角平分线交于点，于，于；      (1)问四边形是正方形吗？请说明理由． (2)若，，则的长为多少？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ，于点，于点， 四边形为矩形， 、的平分线交于点， 在的平分线上， ， 四边形是正方形． （2）， ， 四边形是正方形， ， 设， 则的面积的面积的面积正方形的面积的面积 ， 解得：， 即的长为2． 20．（2025·北京朝阳·二模）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积， 在中，， 设点到线段的距离为， ， 即， ． 即点到线段的距离为． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和正弦的定义求得，，然后证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，最后由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 3．（2026·北京朝阳·一模）如图，在中，点在边上，，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2026年北京市朝阳区中考一模考试数学试题 【分析】（）先证出四边形是平行四边形，再证出即可． （）根据四边形是菱形得到，结合解三角形即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，设交于点． 由（1）得，，，，． ， ． 在中，． ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，以及解三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 4．（2026·北京大兴·一模）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 5．（2026·北京昌平·一模）如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习 数学试卷 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【详解】（1）证明：，分别为，中点， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 6．（2026·北京通州·一模）如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市通州区2026年初中学业水平模拟考试（一模）数学 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点是的中点，， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴． 7．（2026·北京西城·统一测试）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2026年北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 【分析】（1）根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）证明，得到，进而利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵点F是的中点， ， ∵平分， ， ，， ， ， 在中，， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ． 8．（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【来源】北京平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一）数学试卷 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ． 9．（2026·北京海淀·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，点，在射线上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2026年北京市海淀区九年级一模数学试卷 【分析】（1）根据证明即可； （2）过点作于，利用勾股定理及平行四边形的性质、矩形的性质及判定得出的值，进而求出的长. 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 10．（2026·北京三帆中学·零模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】北京市三帆中学2026年中考零模试题 数学 【分析】（1）证明是的中位线，得，又，可得四边形是平行四边形，得；再证明，得，可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，根据求出，，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 设与交于点，则， 又，， ∴， ∴， 又三点在同一条直线上， ∴，即， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点，如图， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $