热点08 锐角三角函数及解直角三角形（热点专练7大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点08 锐角三角函数及解直角三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 锐角三角函数的定义 题型02 特殊角的三角函数值 题型03 解直角三角形的基本方法 题型04 实际应用——仰角与俯角 题型05 实际应用——坡度与坡角 题型06 实际应用——方向角 题型07 实际应用——综合模型 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：锐角三角函数及其应用部分主要考查锐角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）、30°、45°、60°特殊角的三角函数值、解直角三角形的基本方法，以及仰角与俯角、坡度与坡角、方向角等实际情境中的综合应用；这些考点中，特殊角的三角函数值、解直角三角形的实际应用题考查占比最高，试题难度中等，属于湖南中考代数与几何结合的固定考查板块。特殊角的三角函数值两年均融入实数混合运算的第19题中考查（6分），属于必拿分的基础题。解直角三角形的实际应用两年均在第24题以独立解答题形式呈现（8分），题型非常稳定，常以生活情境（测量、建筑、工程等）为载体，要求学生建立直角三角形模型，选择恰当的三角函数关系列方程求解。值得注意的是，锐角三角函数也是压轴题中进行线段计算的重要工具（如2024年第26题以圆为背景、2025年第25题以四边形为背景，均涉及解直角三角形求线段长度）。湖南统考命题注重真实情境创设与应用意识培养，实际应用题的情境设计越来越贴近生活。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 锐角三角函数的定义 未单独考查定义，融合于第19题（）、第24题实际应用 第19题（）、第24题实际应用中考查定义运用 特殊角的三角函数值 第19题（），解答题，6分 第19题（），解答题，6分 解直角三角形实际应用 第24题（晾衣装置双直角三角形模型， 综合运用，求线段长和实际高度），解答题，8分 第24题（雕塑底座测量，用 解直角三角形，求线段长和矩形面积），解答题，8分 解直角三角形与压轴融合 第25题压轴（含 角直角三角形性质，求线段长度），第26题压轴（直角三角形的边角计算） 第26题压轴（圆背景下用 、 求线段比值，解直角三角形） 预测2026年：锐角三角函数的考查呈“1基础 + 1应用”的稳定结构。基础层面，特殊角的三角函数值融入实数混合运算的解答题中（两年均在第19题出现），属必拿分项目，2026年大概率延续此形式。应用层面，解直角三角形的实际应用题（仰角俯角、坡度方向角）两年均在第24题以8分解答题独立考查，已是成熟题型，预计2026年仍将保持在该位置。预测应用情境更趋生活化与跨学科融合（可能与物理力学、地理测绘等结合），同时综合模型中“共边双直角三角形”仍将是核心考查模型。 实际应用题的书写规范：2026年起解答题分值提升至72分，应用题书写过程要求更加完整。建议规范格式为： · ① “如图，过点 作 ⊥ 于 ，则……为直角三角形” · ② 在 Rt△ 中，∠ =90° 由 代入得……” · ③ ∴ · ④ “答：……的高度约为 米” · 近似值处理：中间计算步骤多保留一位小数，最终结果按题目要求取舍 题型01 锐角三角函数的定义 解｜题｜策｜略 在 中（），三边关系如下： · 正弦： · 余弦： · 正切： 方｜法｜指｜导 记忆口诀：正弦对/斜，余弦邻/斜，正切对/邻（均以目标锐角为参照）。 同角三角函数的关系（可用于验算或转化）： · · 关键前提：三角函数必须在直角三角形中定义。非直角三角形中要使用三角函数，必须先通过作高构造直角三角形。 易｜错｜点 1. 在非直角三角形中直接套用三角函数定义，未先构造直角三角形——这是最常见错误； 2. 对边与邻边的判断基于目标角—— 的对边是 ，但 的对边是 ，不可混淆； 3. 正弦、余弦的分子分母关系记反（正→对边为分子，余→邻边为分子）。 【例题1】在中，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 【例题2】已知在中，，则的正弦值为________． 【答案】 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式1】在中，，，则的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；如图，由题意易得，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式2】已知中，，，则_____． 【答案】/ 【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题． 【详解】解：如图． ∵，， ∴设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键． 【变式3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为______． 【答案】 【分析】题目主要考查正切函数的定义，根据网格求解即可． 【详解】解：如图所示，在直角三角形中，， ∴， 故答案为：． 题型02 特殊角的三角函数值 解｜题｜策｜略 必须无条件熟记30°、45°、60°的 、、 值。 方｜法｜指｜导 角度 30° 45° 60° 记忆规律： · 30°和60°的 和 值互换：， · 45°的 （唯一正弦等于余弦的角度） · ，，两者互为倒数 · 值随角度增大而增大（30°→45°→60°）， 值随角度增大而减小 特殊直角三角形的边长比（辅助记忆）： · 含30°-60°-90°的三边比 = （30°角对最短边1，60°角对中间边，斜边为2） · 含45°-45°-90°的三边比 = 易｜错｜点 1. 与 混淆——，； 2. 误记为 （应为 ）， 误记为 （应为 ）； 3. 在实数混合运算中，特殊角三角函数值代入错误导致整题算错。 【例题1】计算：_______． 【答案】0 【详解】解：． 【例题2】的值等于________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】计算：__________． 【答案】2 【分析】先根据负整数指数幂，特殊角三角函数值计算，再进一步计算即可． 【详解】解∶ ． 【变式2】计算：； 【答案】 【分析】先化简二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值，再合并计算即可得到结果． 【详解】解： 【变式3】计算：． 【答案】 1 【分析】根据，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型03 解直角三角形的基本方法 解｜题｜策｜略 解直角三角形的两种基本情况： · 已知一边一角：用三角函数直接求其他边（求对边用 或 ，求邻边用 或 ，求斜边用 或 ） · 已知两边：先用勾股定理 求第三边，再用三角函数（、、）求角 方｜法｜指｜导 选择三角函数的策略： · 已知斜边求直角边 → 用 或 （看所求边是对边还是邻边） · 已知直角边求另一直角边 → 用 （避免引入斜边） · 一般情况下，优先选择使“未知量处于分子位置”的函数，避免解分式方程 两个特殊直角三角形的边长比（必背）： · 30°-60°-90°：三边比 = · 45°-45°-90°：三边比 = 在含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边 = 斜边的一半（逆用：一直角边 = 斜边 → 该边所对角为30°）。 易｜错｜点 1. 选错三角函数导致方程复杂化——能用 解决问题时，不要选 或 引入斜边； 2. 30°角所对直角边 = 斜边，但逆命题不成立——等于斜边一半的直角边不一定对30°角（也可能是对150°角在其他几何构造中）； 3. 含45°角的直角三角形是等腰直角三角形，两直角边相等，但这一性质在复杂图形中容易忽略。 【例题1】如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________．    【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形．由，得到，求出，，由含30度角的直角三角形的性质推出． 【详解】解：， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例题2】如图，在中，，是边上的中线，交于点 E， 则的长度为 ________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出，再解直角三角形得到，再由线段中点的定义得到，再解即可得到． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 【变式1】如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得，，求出，然后利用的正切求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式2】如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，因为是的直径，所以，由，，得，而，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，由，得，求得，所以的半径长为4． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． ； （2）解：， ， ， ∴， ， 解得， 的半径长为4． 【变式3】如图，在中，，D为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理．掌握解直角三角形和勾股定理是解本题的关键． （1）根据，，即可求出的长； （2）由解得，再利用勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：在中， ，， ． （2）解：， ， ． ． 题型04 实际应用——仰角与俯角 解｜题｜策｜略 1. 仰角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角（从水平线向上看）； 2. 俯角：视线在水平线下方，视线与水平线的夹角（从水平线向下看）； 3. 仰角与俯角均以观测点所在水平线为基准，这是画示意图的绝对准则。 方｜法｜指｜导 仰角/俯角问题的标准解题步骤： ① 画水平线：在观测点处画一条水平虚线作为基准线； ② 标角度：在水平线上方标仰角，在水平线下方标俯角； ③ 确认垂直关系：被测物体通常垂直于地面（即垂直于水平线），因此物体高度方向与水平线垂直； ④ 构建直角三角形：以水平方向为一直角边，竖直方向为另一直角边，视线方向为斜边（或部分斜边）； ⑤ 选函数列方程：通常竖直方向（高度差）与水平方向（水平距离）之间的关系用 最为方便。 常见题型的注意点： · 若题目涉及“人眼高度”或“仪器高度”，需在最终高度上加（或减）这部分高度 · 从两个不同位置观测同一物体构成经典的“共边双直角三角形模型” 易｜错｜点 1. 仰角与俯角概念混淆——仰角向上看，俯角向下看，均以水平线为基准线； 2. 示意图中将角度标错位置，导致三角函数中对边和邻边判断错误； 3. 忘记加（或减）人眼高度/仪器高度——这是仰角俯角题最常见的失分点。 【例题1】数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【详解】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 【例题2】觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题： (1)求的度数； (2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)觉华塔的通高约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，，利用三角形的外角性质可得； （2）根据等腰三角形 的判定定理得到，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵测角仪的高度是（A、B、C在同一直线上），， ∴， 由题意可知， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 答：觉华塔的通高约为． 【变式1】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 【变式2】测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，）  (1)求楼高； (2)求旗杆的高度．（结果精确到1米） 【答案】(1)建筑物的高度为 26米 (2)旗杆的高度为5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是设出未知数，根据的正切值列出方程求解． （1）在中，根据，即可求解． （2）在中，根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 在中，， 答：建筑物的高度为 26米． （2）解：在中，， ， ， 米， 答：旗杆的高度为5米． 【变式3】黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 【答案】黄鹤楼的高度约为． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴黄鹤楼的高度约为． 题型05 实际应用——坡度与坡角 解｜题｜策｜略 1. 坡度（坡比）： 坡度是 ，不是 或 ，这是最容易出错的地方 2. 坡角 ：坡面与水平面的夹角 3. 坡度常用表示法： 表示垂直高度每增加1，水平距离为 · 如 ，则 方｜法｜指｜导 坡度问题的核心解题流程： ① 由坡度 → 得 ； ② 设垂直高度为 ，则水平距离为 ； ③ 由勾股定理得斜边（坡面长）= ； ④ 据此可求，（用于后续计算）。 若题目涉及多段坡面，需分别计算每段的垂直高度和水平距离，再累加。 易｜错｜点 1. 坡度 = ，误记为 （坡面长度与垂直高度的关系用 ）； 2. 坡度比 中，1 是垂直高度， 是水平距离——顺序反了会导致 值取倒数； 3. 多段坡度出现时，各段的垂直高度和水平距离需分别计算，不能简单加减 值； 4. 坡面长（斜边）与水平距离的概念混淆——求水平移动距离用水平距离，求实际走的距离用坡面长。 【例题1】如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为的坡面行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为的坡面，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟． (1)求D点到B点之间的水平距离； (2)求山顶A点处的垂直高度是多少米？（，结果保留整数） 【答案】(1)D点到B点之间的水平距离为米 (2)山顶A点处的垂直高度是156米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，根据坡比，求出的长即可； （2）过点作，三角函数求出的长，利用求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，由题意，得：， ∵坡面的坡度为， ∴， ∴； 即：D点到B点之间的水平距离为米； （2）过点作，则：四边形为矩形， ∴， 由题意，得：，， ∴， ∴， 即：山顶A点处的垂直高度是156米． 【例题2】如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【答案】(1)斜坡的高度EF的长为m； (2)旗面宽AB的长约为m． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含的直角三角形的性质可得米； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，从而得，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）在中，， ，由勾股定理． 斜坡的高度的长为； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，即四边形为矩形， 则， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， （m）， 旗面宽的长约为m． 【变式1】某数学兴趣小组测量太湖山国家森林公园内望江塔的高度，如图，已知望江塔与水平地面垂直，望江塔与斜坡之间的距离长为14米，测得斜坡的坡度，斜坡长为米，坡顶D处有一个测角仪，，从点E测得塔顶点A的仰角为，已知测角仪长为米，求望江塔的高度．（精确到1米，图中所有点都在同一平面，参考数据：，，） 【答案】望江塔的高度约为20米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点E作干点G，延长交于点H，则四边形是矩形，分别在和中，利用锐角三角函数，解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作干点G，延长交于点H，则四边形是矩形， ，．                         在中，由斜坡的坡度， 设，则， 米， 解得：， ∴米，米．                                     米，米．         在中，米． 米． 答：望江塔的高度约为20米． 【变式2】2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图所示为某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．雪道长为，雪道长为．求该滑雪场的高度． 【答案】 【分析】过点B作，过点A作于点E，过点B作垂直地面于点F，则，，，由含角的直角三角形的性质得出的长，再由坡度设，则，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，过点A作于点E，过点B作垂直地面于点F， 则，，， ∴， ∵雪道的坡度， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴， 答：该滑雪场的高度h为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握仰角俯角和坡度坡角以及勾股定理是解题的关键． 【变式3】如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． (1)求线段的长度；（精确到0.1米） (2)求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)约为1.5米 (2)约为2.5米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成的形式，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系是坡度是坡角的正切值． （1）根据的坡比为，推出 ．由米，即可得（米）； （2）根据正弦的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：攀登梯的坡比为， ， 在中，． 米， （米） 答：线段的长度约为1.5米； （2）解：在中，， ， （米）． 答：滑道的长度约为2.5米． 题型06 实际应用——方向角 解｜题｜策｜略 1. 方向角表示法：“北偏东 ”表示从正北方向顺时针旋转 所得的射线方向； 2. 另一种表示法：“东偏北 ”表示从正东方向逆时针旋转 ，即与“北偏东 ”表示同一方向； 3. “北偏东 ” ≠ “东偏北 ”，两者表示不同方向（前者是北起向东偏，后者是东起向北偏）。 方｜法｜指｜导 方向角问题的求解核心是建立方位坐标系： ① 以正北为基准方向（或正东，保持一致即可）； ② 画出各方向线，标注角度； ③ 将方向角转化为坐标系中线段与坐标轴的夹角； ④ 利用三角函数或勾股定理解三角形。 典型几何模型： · 两艘船/两个观测点与某目标点构成三角形 · 已知一边（两观测点间距离）和两个方向角 · 用正弦定理或构造直角三角形求解目标距离 实用技巧：在方向角问题中，南北方向线与东西方向线互相垂直→可构造矩形或直角三角形。过目标点作南北（或东西）方向线的垂线，常能将复杂图形分割为若干个直角三角形分别求解。 易｜错｜点 1. “北偏东 ”与“东偏北”方向不同——前者是从北起向东偏 ，后者是从东起向北偏 ，两个方向在南-北-东-西坐标轴上的表示完全不同； 2. 示意图绘制不准确，导致各角之间的关系分析错误——建议先用铅笔画出标准的方向坐标系，再在坐标系中标出各方向角； 3. 方位角（从正东逆时针起算的角度）与方向角（从正北或正南起算）的换算关系混淆。 【例题1】为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）过点作于点，求出，得；通过解直角三角形得出，，从而可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴ （2）解：过点作于点，如图， ∴， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 所以，此时A，C两个小组之间的距离为． 【例题2】如图，一艘小船从处出发向正北方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向，航行2小时后到达处，测得灯塔在南偏东方向，处与灯塔的距离为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）． 【答案】海里/小时 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．作于点，求出，根据速度的求出答案． 【详解】解：作于点， 在中，， ，． 在中，， ， ， 又， 小船的航行速度为（海里/小时）． 答：小船的航行速度为海里/小时． 【变式1】如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，方位角的计算，等角对等边，三角形内角和定理等等： （1）过点作于点，由方位角的定义可得，，据此可得答案； （2）先求出得到海里，再解直角三角形求出的长即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 由题意得，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴海里， ∵中，， ∴， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 【变式2】如图，是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点A处测得灯塔C位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点D处，在D处测得灯塔C位于南偏东：方向，已知灯塔C距离海岸的距离是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离．(结果精确到，参考数据：，) 【答案】42.7海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．过点 D 作 交的延长线于点E，作 于点F，先求得海里，再求得海里，最后解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点 D 作 交的延长线于点E，作 于点F， ∵， 在 中， 海里， 海里， 海里， ，     ， ， 在 中， ． 答：此时货船与灯塔之间的距离CD 约为42.7海里． 【变式3】如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    (1)求的长； (2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】(1)km (2)km 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键． （1）用正弦三角函数求解即可． （2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． （2）， ． 题型07 实际应用——综合模型 解｜题｜策｜略 实际应用中的综合模型常涉及两个或以上直角三角形，主要有以下三种经典结构： 模型一：共边双直角三角形（侧方交会） · 特征：两直角三角形共用一条直角边（如建筑物高度），从两个不同观测点测量仰角 · 策略：设公共边为 ，在两三角形中分别用 和 表示水平距离 → 利用两观测点间的水平距离列方程 模型二：嵌套直角三角形 · 特征：一个直角三角形位于另一个直角三角形内部（如斜坡上建建筑物） · 策略：分别设未知数表示两层高度和距离，利用共有线段建立方程组 模型三：“人”字形双三角形 · 特征：两直角三角形在同一底边的两端，向中间或向外侧倾斜 · 策略：分别计算后在公共底边上建立数量关系 方｜法｜指｜导 解综合模型的一般步骤： ① 画出清晰的示意图，标出所有已知条件（长度、角度、特殊角标记）； ② 识别属于哪种模型，判断是否需要添加辅助线（通常是在目标点向基线作垂线）； ③ 设出关键未知量（通常是公共垂线段长度，如塔高、树高）； ④ 在两个（或多个）直角三角形中分别用三角函数表示其他线段； ⑤ 利用水平距离之和（或差）= 已知底边长度，联立方程求解。 关键技巧： · 设未知数时优先设在公共边上（如高度），因为它在所有三角形中都出现，便于建立关系 · 若两个观测点在建筑物同侧：两水平距离相减 = 观测点间距 · 若两个观测点在建筑物异侧：两水平距离相加 = 观测点间距 · 能用一个未知数解决问题的，不要引入两个未知数 2025年第24题（晾衣装置）即为典型的共边双直角三角形模型：已知两立柱间的水平距离，通过 解直角三角形求出衣裙下端到地面的距离。 易｜错｜点 1. 两个观测点的水平距离是“加”还是“减”——取决于观测点是否在建筑物同侧（同侧减，异侧加）； 2. 设未知数时方向搞反——如设塔高为 ，在三角函数中应是 ，而非 ； 3. 单位不统一（如距离用千米、高度用米）——统一换算后再代入计算； 4. 仰角与俯角同时出现时，水平线的位置需要特别标注清楚，避免混淆。 【例题1】如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案． 【详解】解： 设， 在中，，      在中，，   ， 解得，．            答：宝塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 【例题2】如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，） 【答案】河宽约为33.6米 【分析】过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到河的宽度． 【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，并设AD=x米， ∵ ∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°， ∴CD=AD=x， ∵∠B=64°， ∴BD=， ∵BC=50 米，∴， 解之得：x≈33.6， 答：河宽约33.6米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键． 【变式1】某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米 【分析】解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：由题意知，米，米，设米，在中， 米，， 米， 米， 在中， ， ， 即， 解得米， 米， 故魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米； (2)广告牌的高度为米． 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 【变式3】某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值． 【详解】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． （20分钟限时练） 1．（2026·天津武清·二模）的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出，的长，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据正切函数可求河宽的长度． 【详解】解：根据题意可知， ， 米，， （米）． 4．（2026·湖南·模拟预测）在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角正弦的定义计算即可得到结果． 【详解】∵ ，，， ∴ 由勾股定理可得， ∵ 在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，的对边为， ∴ ． 5．（25-26九年级下·湖南株洲·月考）如图所示，，，，利用此图求得的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，解直角三角形表示出，，然后得到，然后求出，然后利用正切的定义求解即可． 【详解】解：设， 在中，，， ，， ， ， ， 在中，， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在中，，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是关键．设，由正切函数的定义表示出，再使用勾股定理计算出，最后使用余弦函数的定义求出． 【详解】解：如下图，设， 在直角中，， ∴， 由勾股定理可得，， 由余弦函数的定义可得，． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知，如图，在中，，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是______m． 【答案】12 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键． 利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡度为， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：12． 9．（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）如图，在中，，，，则的值为_____． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义（在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值）是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中，等于的对边与斜边的比值，直接结合已知边长计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)没有触礁的危险 【分析】（1）如图（见解析），先根据题意可得，，，，再根据平行线的性质和角的和差求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，再与进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点， 设， 由题意和（1）得：，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即在点与上所有点的连线得到的线段中，长度最小的是， ∴如果货船沿着原来的方向行驶，没有触礁的危险． 12．（2026·湖南·模拟预测）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度．    测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③．    任务1 (1)求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 (2)当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳棚前端到墙面的距离约为 (2)线段的长度约为 ． 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； （2）延长交于点，则，在中，，，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； （2）解：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 线段的长度约为 ． 13．（2026·湖南·一模）学完了三角函数知识后，某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量当地一塔楼的高度，他们把“测量塔楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量塔楼的高 测量说明 测量示意图    说明：是高为的测角仪，在点C处测得楼顶A的仰角，点E处测得此时楼顶A的仰角（B，F，D三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 请根据表中的测量数据，求塔楼的高．（精确到，参考数据，，，） 【答案】 【分析】设，可得，再结合三角函数进一步求解即可． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：塔楼的高约为． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点08 锐角三角函数及解直角三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 锐角三角函数的定义 题型02 特殊角的三角函数值 题型03 解直角三角形的基本方法 题型04 实际应用——仰角与俯角 题型05 实际应用——坡度与坡角 题型06 实际应用——方向角 题型07 实际应用——综合模型 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：锐角三角函数及其应用部分主要考查锐角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）、30°、45°、60°特殊角的三角函数值、解直角三角形的基本方法，以及仰角与俯角、坡度与坡角、方向角等实际情境中的综合应用；这些考点中，特殊角的三角函数值、解直角三角形的实际应用题考查占比最高，试题难度中等，属于湖南中考代数与几何结合的固定考查板块。特殊角的三角函数值两年均融入实数混合运算的第19题中考查（6分），属于必拿分的基础题。解直角三角形的实际应用两年均在第24题以独立解答题形式呈现（8分），题型非常稳定，常以生活情境（测量、建筑、工程等）为载体，要求学生建立直角三角形模型，选择恰当的三角函数关系列方程求解。值得注意的是，锐角三角函数也是压轴题中进行线段计算的重要工具（如2024年第26题以圆为背景、2025年第25题以四边形为背景，均涉及解直角三角形求线段长度）。湖南统考命题注重真实情境创设与应用意识培养，实际应用题的情境设计越来越贴近生活。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 锐角三角函数的定义 未单独考查定义，融合于第19题（）、第24题实际应用 第19题（）、第24题实际应用中考查定义运用 特殊角的三角函数值 第19题（），解答题，6分 第19题（），解答题，6分 解直角三角形实际应用 第24题（晾衣装置双直角三角形模型， 综合运用，求线段长和实际高度），解答题，8分 第24题（雕塑底座测量，用 解直角三角形，求线段长和矩形面积），解答题，8分 解直角三角形与压轴融合 第25题压轴（含 角直角三角形性质，求线段长度），第26题压轴（直角三角形的边角计算） 第26题压轴（圆背景下用 、 求线段比值，解直角三角形） 预测2026年：锐角三角函数的考查呈“1基础 + 1应用”的稳定结构。基础层面，特殊角的三角函数值融入实数混合运算的解答题中（两年均在第19题出现），属必拿分项目，2026年大概率延续此形式。应用层面，解直角三角形的实际应用题（仰角俯角、坡度方向角）两年均在第24题以8分解答题独立考查，已是成熟题型，预计2026年仍将保持在该位置。预测应用情境更趋生活化与跨学科融合（可能与物理力学、地理测绘等结合），同时综合模型中“共边双直角三角形”仍将是核心考查模型。 实际应用题的书写规范：2026年起解答题分值提升至72分，应用题书写过程要求更加完整。建议规范格式为： · ① “如图，过点 作 ⊥ 于 ，则……为直角三角形” · ② 在 Rt△ 中，∠ =90° 由 代入得……” · ③ ∴ · ④ “答：……的高度约为 米” · 近似值处理：中间计算步骤多保留一位小数，最终结果按题目要求取舍 题型01 锐角三角函数的定义 解｜题｜策｜略 在 中（），三边关系如下： · 正弦： · 余弦： · 正切： 方｜法｜指｜导 记忆口诀：正弦对/斜，余弦邻/斜，正切对/邻（均以目标锐角为参照）。 同角三角函数的关系（可用于验算或转化）： · · 关键前提：三角函数必须在直角三角形中定义。非直角三角形中要使用三角函数，必须先通过作高构造直角三角形。 易｜错｜点 1. 在非直角三角形中直接套用三角函数定义，未先构造直角三角形——这是最常见错误； 2. 对边与邻边的判断基于目标角—— 的对边是 ，但 的对边是 ，不可混淆； 3. 正弦、余弦的分子分母关系记反（正→对边为分子，余→邻边为分子）。 【例题1】在中，，则的值是__________． 【例题2】已知在中，，则的正弦值为________． 【变式1】在中，，，则的值为______________． 【变式2】已知中，，，则_____． 【变式3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为______． 题型02 特殊角的三角函数值 解｜题｜策｜略 必须无条件熟记30°、45°、60°的 、、 值。 方｜法｜指｜导 角度 30° 45° 60° 记忆规律： · 30°和60°的 和 值互换：， · 45°的 （唯一正弦等于余弦的角度） · ，，两者互为倒数 · 值随角度增大而增大（30°→45°→60°）， 值随角度增大而减小 特殊直角三角形的边长比（辅助记忆）： · 含30°-60°-90°的三边比 = （30°角对最短边1，60°角对中间边，斜边为2） · 含45°-45°-90°的三边比 = 易｜错｜点 1. 与 混淆——，； 2. 误记为 （应为 ）， 误记为 （应为 ）； 3. 在实数混合运算中，特殊角三角函数值代入错误导致整题算错。 【例题1】计算：_______． 【例题2】的值等于________． 【变式1】计算：__________． 【变式2】计算：； 【变式3】计算：． 题型03 解直角三角形的基本方法 解｜题｜策｜略 解直角三角形的两种基本情况： · 已知一边一角：用三角函数直接求其他边（求对边用 或 ，求邻边用 或 ，求斜边用 或 ） · 已知两边：先用勾股定理 求第三边，再用三角函数（、、）求角 方｜法｜指｜导 选择三角函数的策略： · 已知斜边求直角边 → 用 或 （看所求边是对边还是邻边） · 已知直角边求另一直角边 → 用 （避免引入斜边） · 一般情况下，优先选择使“未知量处于分子位置”的函数，避免解分式方程 两个特殊直角三角形的边长比（必背）： · 30°-60°-90°：三边比 = · 45°-45°-90°：三边比 = 在含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边 = 斜边的一半（逆用：一直角边 = 斜边 → 该边所对角为30°）。 易｜错｜点 1. 选错三角函数导致方程复杂化——能用 解决问题时，不要选 或 引入斜边； 2. 30°角所对直角边 = 斜边，但逆命题不成立——等于斜边一半的直角边不一定对30°角（也可能是对150°角在其他几何构造中）； 3. 含45°角的直角三角形是等腰直角三角形，两直角边相等，但这一性质在复杂图形中容易忽略。 【例题1】如图所示，在中，，，于点．若，则的长是_________．    【例题2】如图，在中，，是边上的中线，交于点 E， 则的长度为 ________． 【变式1】如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为____________． 【变式2】如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式3】如图，在中，，D为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 题型04 实际应用——仰角与俯角 解｜题｜策｜略 1. 仰角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角（从水平线向上看）； 2. 俯角：视线在水平线下方，视线与水平线的夹角（从水平线向下看）； 3. 仰角与俯角均以观测点所在水平线为基准，这是画示意图的绝对准则。 方｜法｜指｜导 仰角/俯角问题的标准解题步骤： ① 画水平线：在观测点处画一条水平虚线作为基准线； ② 标角度：在水平线上方标仰角，在水平线下方标俯角； ③ 确认垂直关系：被测物体通常垂直于地面（即垂直于水平线），因此物体高度方向与水平线垂直； ④ 构建直角三角形：以水平方向为一直角边，竖直方向为另一直角边，视线方向为斜边（或部分斜边）； ⑤ 选函数列方程：通常竖直方向（高度差）与水平方向（水平距离）之间的关系用 最为方便。 常见题型的注意点： · 若题目涉及“人眼高度”或“仪器高度”，需在最终高度上加（或减）这部分高度 · 从两个不同位置观测同一物体构成经典的“共边双直角三角形模型” 易｜错｜点 1. 仰角与俯角概念混淆——仰角向上看，俯角向下看，均以水平线为基准线； 2. 示意图中将角度标错位置，导致三角函数中对边和邻边判断错误； 3. 忘记加（或减）人眼高度/仪器高度——这是仰角俯角题最常见的失分点。 【例题1】数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【例题2】觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底．想知道觉华塔的通高（塔顶到水平地面的距离），于是某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知，测角仪的高度是1.1m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题： (1)求的度数； (2)求觉华塔的通高．（，结果保留一位小数） 【变式1】随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【变式2】测量计算是日常生活中常见的问题，在现实生活中，往往当物体的高度不方便测量，此时我们可以借助所学的知识，利用直角三角形边角关系得到我们需要的数据．如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，小雅站在距离楼底端C点26米处的D点，测得此时旗杆顶点A的仰角为，观测旗杆底部B点的仰角为．（点A、B、C在同一直线上，且点A、B、 C、D处于同一平面内）（参考数据：，）  (1)求楼高； (2)求旗杆的高度．（结果精确到1米） 【变式3】黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 题型05 实际应用——坡度与坡角 解｜题｜策｜略 1. 坡度（坡比）： 坡度是 ，不是 或 ，这是最容易出错的地方 2. 坡角 ：坡面与水平面的夹角 3. 坡度常用表示法： 表示垂直高度每增加1，水平距离为 · 如 ，则 方｜法｜指｜导 坡度问题的核心解题流程： ① 由坡度 → 得 ； ② 设垂直高度为 ，则水平距离为 ； ③ 由勾股定理得斜边（坡面长）= ； ④ 据此可求，（用于后续计算）。 若题目涉及多段坡面，需分别计算每段的垂直高度和水平距离，再累加。 易｜错｜点 1. 坡度 = ，误记为 （坡面长度与垂直高度的关系用 ）； 2. 坡度比 中，1 是垂直高度， 是水平距离——顺序反了会导致 值取倒数； 3. 多段坡度出现时，各段的垂直高度和水平距离需分别计算，不能简单加减 值； 4. 坡面长（斜边）与水平距离的概念混淆——求水平移动距离用水平距离，求实际走的距离用坡面长。 【例题1】如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为的坡面行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为的坡面，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟． (1)求D点到B点之间的水平距离； (2)求山顶A点处的垂直高度是多少米？（，结果保留整数） 【例题2】如图，旗杆上有一面宽为的旗子．在同一水平线上，小明在距旗杆m的点处测得点的仰角为，随后小明沿坡角（）为的斜坡走了m到达点处，测得点的仰角为． (1)求斜坡的高度的长； (2)求旗面宽的长度（参考数据：，结果精确到）． 【变式1】某数学兴趣小组测量太湖山国家森林公园内望江塔的高度，如图，已知望江塔与水平地面垂直，望江塔与斜坡之间的距离长为14米，测得斜坡的坡度，斜坡长为米，坡顶D处有一个测角仪，，从点E测得塔顶点A的仰角为，已知测角仪长为米，求望江塔的高度．（精确到1米，图中所有点都在同一平面，参考数据：，，） 【变式2】2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图所示为某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．雪道长为，雪道长为．求该滑雪场的高度． 【变式3】如图1是某小区投放安装的儿童游乐设施，如图2是滑梯部分的示意图，，经过测量可知，攀登梯的坡比为，且米，． (1)求线段的长度；（精确到0.1米） (2)求滑道的长度．（精确到0.1米）（参考数据：，，，） 题型06 实际应用——方向角 解｜题｜策｜略 1. 方向角表示法：“北偏东 ”表示从正北方向顺时针旋转 所得的射线方向； 2. 另一种表示法：“东偏北 ”表示从正东方向逆时针旋转 ，即与“北偏东 ”表示同一方向； 3. “北偏东 ” ≠ “东偏北 ”，两者表示不同方向（前者是北起向东偏，后者是东起向北偏）。 方｜法｜指｜导 方向角问题的求解核心是建立方位坐标系： ① 以正北为基准方向（或正东，保持一致即可）； ② 画出各方向线，标注角度； ③ 将方向角转化为坐标系中线段与坐标轴的夹角； ④ 利用三角函数或勾股定理解三角形。 典型几何模型： · 两艘船/两个观测点与某目标点构成三角形 · 已知一边（两观测点间距离）和两个方向角 · 用正弦定理或构造直角三角形求解目标距离 实用技巧：在方向角问题中，南北方向线与东西方向线互相垂直→可构造矩形或直角三角形。过目标点作南北（或东西）方向线的垂线，常能将复杂图形分割为若干个直角三角形分别求解。 易｜错｜点 1. “北偏东 ”与“东偏北”方向不同——前者是从北起向东偏 ，后者是从东起向北偏 ，两个方向在南-北-东-西坐标轴上的表示完全不同； 2. 示意图绘制不准确，导致各角之间的关系分析错误——建议先用铅笔画出标准的方向坐标系，再在坐标系中标出各方向角； 3. 方位角（从正东逆时针起算的角度）与方向角（从正北或正南起算）的换算关系混淆。 【例题1】为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东方向上，B与A相距，C在A的北偏东方向上，且在B的南偏东方向上． (1)求的度数； (2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【例题2】如图，一艘小船从处出发向正北方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向，航行2小时后到达处，测得灯塔在南偏东方向，处与灯塔的距离为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）． 【变式1】如图，海中有一小岛，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【变式2】如图，是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点A处测得灯塔C位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点D处，在D处测得灯塔C位于南偏东：方向，已知灯塔C距离海岸的距离是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离．(结果精确到，参考数据：，) 【变式3】如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    (1)求的长； (2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 题型07 实际应用——综合模型 解｜题｜策｜略 实际应用中的综合模型常涉及两个或以上直角三角形，主要有以下三种经典结构： 模型一：共边双直角三角形（侧方交会） · 特征：两直角三角形共用一条直角边（如建筑物高度），从两个不同观测点测量仰角 · 策略：设公共边为 ，在两三角形中分别用 和 表示水平距离 → 利用两观测点间的水平距离列方程 模型二：嵌套直角三角形 · 特征：一个直角三角形位于另一个直角三角形内部（如斜坡上建建筑物） · 策略：分别设未知数表示两层高度和距离，利用共有线段建立方程组 模型三：“人”字形双三角形 · 特征：两直角三角形在同一底边的两端，向中间或向外侧倾斜 · 策略：分别计算后在公共底边上建立数量关系 方｜法｜指｜导 解综合模型的一般步骤： ① 画出清晰的示意图，标出所有已知条件（长度、角度、特殊角标记）； ② 识别属于哪种模型，判断是否需要添加辅助线（通常是在目标点向基线作垂线）； ③ 设出关键未知量（通常是公共垂线段长度，如塔高、树高）； ④ 在两个（或多个）直角三角形中分别用三角函数表示其他线段； ⑤ 利用水平距离之和（或差）= 已知底边长度，联立方程求解。 关键技巧： · 设未知数时优先设在公共边上（如高度），因为它在所有三角形中都出现，便于建立关系 · 若两个观测点在建筑物同侧：两水平距离相减 = 观测点间距 · 若两个观测点在建筑物异侧：两水平距离相加 = 观测点间距 · 能用一个未知数解决问题的，不要引入两个未知数 2025年第24题（晾衣装置）即为典型的共边双直角三角形模型：已知两立柱间的水平距离，通过 解直角三角形求出衣裙下端到地面的距离。 易｜错｜点 1. 两个观测点的水平距离是“加”还是“减”——取决于观测点是否在建筑物同侧（同侧减，异侧加）； 2. 设未知数时方向搞反——如设塔高为 ，在三角函数中应是 ，而非 ； 3. 单位不统一（如距离用千米、高度用米）——统一换算后再代入计算； 4. 仰角与俯角同时出现时，水平线的位置需要特别标注清楚，避免混淆。 【例题1】如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程．                    【例题2】如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在中，测得，，米，求河宽（即点A到边的距离）（结果精确到0.1米）． （参考数据：，，，） 【变式1】某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【变式2】如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【变式3】某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              （20分钟限时练） 1．（2026·天津武清·二模）的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，要测量湘江两岸相对的两点的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2026·湖南·模拟预测）在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·湖南株洲·月考）如图所示，，，，利用此图求得的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在中，，，则______． 7．（25-26九年级上·湖南益阳·期末）已知，如图，在中，，若，则______． 8．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是______m． 9．（24-25九年级下·湖南永州·开学考试）如图，在中，，，，则的值为_____． 10．（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 12．（2026·湖南·模拟预测）数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度．    测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③．    任务1 (1)求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 (2)当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 13．（2026·湖南·一模）学完了三角函数知识后，某中学“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量当地一塔楼的高度，他们把“测量塔楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量塔楼的高 测量说明 测量示意图    说明：是高为的测角仪，在点C处测得楼顶A的仰角，点E处测得此时楼顶A的仰角（B，F，D三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 请根据表中的测量数据，求塔楼的高．（精确到，参考数据，，，） 14．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $