热点07 相似三角形（热点专练4大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点07 相似三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 相似三角形的判定 题型02 相似三角形的基本模型 题型03 相似三角形的性质 题型04 相似三角形与函数综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：相似三角形部分主要考查相似三角形的判定方法、相似三角形的基本模型（A型、8型、K型、母子型等）、相似三角形的性质（对应边成比例、面积比等于相似比的平方）、以及相似三角形与二次函数、圆等知识的综合运用；这些考点中，相似三角形的判定与性质考查占比最高，难度中等偏上至较难，属于湖南中考几何证明与计算的核心板块，也是压轴题中最常用的几何工具之一。题目主要以两种形式出现：一是在压轴题中作为中间桥梁，通过相似比建立线段间的数量关系，进而用方程求解；二是在解答题中结合圆、四边形考查相似判定与性质的直接应用。湖南统考命题注重几何直观与代数运算的融合，相似三角形常与函数（二次函数为背景，动点构成三角形）、圆（同弧推等角为相似提供条件）深度融合。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 相似三角形的判定 第25题压轴（全等为主含相似判定思想），10分；第26题压轴（相似判定+性质综合），10分 第26题压轴（圆背景下的全等与相似判定，斜边直角边对应成比例），10分 相似三角形的性质 第26题第（3）问（相似比→线段比→含参运算），10分 第26题压轴（相似比→对应线段比→解直角三角形），10分 相似三角形与函数综合 第26题（二次函数背景→动点→相似判定→求参数→最值），压轴题，10分 第25题（二次函数背景→面积定值→线段最值，含相似思想），解答题，10分 预测2026年：相似三角形是湖南中考压轴题中最核心的几何工具之一，两年压轴题均以此为媒介解决线段比、面积比和存在性问题。2026年相似三角形预计将继续在压轴题中承担关键的“桥梁”作用——连接几何条件与代数计算。值得注意的是，2026年解答题分值提升至72分，对相似问题的分类讨论过程和书写规范性要求更高。复习时需重点关注：① 相似的基本模型（A型、8型、K型/一线三等角、母子型）的识别口诀与快速判定；② 面积比与相似比的关系（平方运算）；③ 相似与二次函数、圆的综合题型中，如何通过相似将几何条件转化为代数方程。 2026年起解答题分值提升至72分，相似问题的分类讨论过程和书写规范性尤为重要。建议规范格式为： · 判定书写：“在△ABC和△DEF中，∵∠A = ∠D，∠B = ∠E，∴△ABC ∽ △DEF” · 分类讨论书写：“由题意，△PQR与△ABC相似，分以下两种情况讨论：情况一：当P与A对应时……情况二：当P与B对应时……” · 比例式书写：“由相似得 ，代入数据得……解得……” 题型01 相似三角形的判定 解｜题｜策｜略 1. 一般三角形的判定方法： · AA（两角对应相等）——最常用，优先使用 · SAS（两边对应成比例且夹角相等） · SSS（三边对应成比例） 2. 直角三角形的特殊判定：斜边与直角边对应成比例（HL类比）。 方｜法｜指｜导 优先使用AA判定（找两组相等的角），这是最通用、最高效的方法。寻找等角的常见途径： · 对顶角（8字型中常用） · 公共角（A字型中常用） · 平行线间的同位角/内错角（正A型、正8型中常用） · 同弧所对的圆周角（圆背景下常用） · 等腰三角形的底角 · 同角（或等角）的余角/补角（K型中常用） · 直角都相等 易｜错｜点 1. SAS判定遗忘“夹角”条件——必须是夹角，不是任意一个角； 2. AAA不能作为相似判定依据——两个角足矣，三个角对应相等只能说明形状相同，需结合边的比例才能确定相似比； 3. 在非直角三角形中误用“斜边直角边”判定方法。 【例题1】如图，在中，，． (1)求证：； (2)求的值． 【例题2】如图，已知，，求证：． 【变式1】已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【变式2】如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【变式3】如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 题型02 相似三角形的基本模型 解｜题｜策｜略 熟记以下五大基本模型，可快速识别相似关系： 模型一：A字型（正A型） · 特征：共角 + 一边平行于对边（如 DE∥BC） · 结论：△ADE ∽ △ABC；对应边成比例 模型二：斜A型 · 特征：共角 + 不平行，但另一组角相等（如 ∠ADE = ∠C） · 结论：△ADE ∽ △ACB（注意对应顶点的顺序变化） 模型三：8字型（正8型） · 特征：对顶角 + 两边平行（如 AB∥CD） · 结论：△AOB ∽ △COD； 模型四：斜8型 · 特征：对顶角 + 不平行，但另一组角相等 · 结论：△AOB ∽ △DOC 模型五：K型（一线三等角） · 特征：一条直线上有三个相等的角（通常为直角或60°角） · 结论：两侧的三角形相似（如 ∠B = ∠ACE = ∠D = 90° → △ABC ∽ △CDE） 模型六：母子型（射影定理模型） · 特征：直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形 · 结论：三个三角形两两相似（△ACD ∽ △ABC ∽ △CBD） · 重要推论（射影定理）：；； 方｜法｜指｜导 压轴题中相似模型的识别是关键步骤。建议解题时按以下思维流程操作： · 看到了什么模型 → 能推出什么结论 → 还需要什么条件 → 怎样获取条件 将常用模型与对应结论熟记于心，可大幅提高解题效率，避免在考场上重新推导模型浪费时间。 易｜错｜点 1. A型与斜A型混淆——A型有平行（对应边与第三边平行），斜A型没有，对应顶点的顺序也不同； 2. 8型与斜8型混淆——同理，8型有平行，斜8型没有； 3. K型中三个角必须相等且在同一直线上，缺一不可； 4. 对应顶点顺序写错——如A字型中DE∥BC时，△ADE ∽ △ABC（A对应A，D对应B，E对应C），不能写成△ADE ∽ △ACB。 【例题1】如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【例题2】（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【变式1】如图，在中，于，求证：． 【变式2】综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【变式3】【问题情景】 图①                       图②                              图③ （1）如图①，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为____________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3） 如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 题型03 相似三角形的性质 解｜题｜策｜略 设相似比为 （即对应边之比），则： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例（比例系数为 ）； 3. 对应线段之比（高、中线、角平分线、周长等）= ； 4. 面积之比 = （最容易出错，也是最常考的性质）； 5. 体积之比 = （若涉及立体图形）。 方｜法｜指｜导 在综合题中，相似三角形的性质主要承担“建立等量关系”的功能：通过相似比建立已知线段与未知线段的比例式 → 解方程求未知量。 面积问题的处理步骤： ① 先判断两个三角形是否相似； ② 求相似比 （对应边之比）； ③ 面积比 = ； ④ 用已知面积求未知面积。 易｜错｜点 1. 面积比直接等于相似比，忘记平方——这是相似三角形中最常见、最致命的错误； 2. 相似比与对应边比例式的顺序写反——始终保持A↔A‘、B↔B’、C↔C‘的一致性； 3. 求面积时，对应高之比 = 相似比，而非面积比直接用高的比来算。 【例题1】已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 【例题2】如图，已知，．若的面积为4，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 【变式2】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【变式3】如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 型04 相似三角形与函数综合 解｜题｜策｜略 函数背景下的相似应用是湖南中考压轴题的经典模式，通常涉及以下步骤： 1. 在二次函数图像上取点，构成三角形； 2. 利用坐标差表示各边长（或平方）； 3. 根据相似条件列方程； 4. 解方程获取参数值； 5. 验证点是否满足题意（在函数图像上、在定义域内、三点不共线等）。 方｜法｜指｜导 相似存在性问题的标准解法套路： ① 设点：用参数 表示动点坐标（横坐标为 ，纵坐标用函数表达式表示，如 ）； ② 表示：用坐标差公式表示与相似判定相关的线段长（如 ）； ③ 分类：根据相似三角形的对应关系分情况讨论——这是最容易遗漏的步骤。如要判定 △ABC ∽ △DEF，需分： · 情况一：A ↔ D，B ↔ E，C ↔ F · 情况二：A ↔ D，B ↔ F，C ↔ E · 情况三：A ↔ E，B ↔ D，C ↔ F …… （具体分几种情况取决于哪些点的位置是确定的） ④ 列式：每种情况下根据对应边成比例列出方程； ⑤ 求解：解方程得 值； ⑥ 验证：检验 是否使点在函数图像上、是否在定义域内、三点是否共线等。 易｜错｜点 1. 相似三角形的对应关系有多种可能，忘记分类讨论导致漏解——这是压轴题失分的主要原因； 2. 用坐标差表示线段长时，注意代入绝对值或平方避免符号问题； 3. 求出参数后未验证该点是否在函数图像上或是否满足隐含条件（如三点是否共线、是否在指定象限内等）； 4. 列比例式时分子分母颠倒，导致方程解错。 【例题1】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【例题2】如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线轴于，交线段于，轴于，交线段于． (1)点E的坐标为 　 　，点F的坐标为 　 　(用a，b的式子表示)； (2)当点运动且线段、均与线段有交点时，在下列个问题中任选一题探究； ①与是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由； ②、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由． (3)的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由． 【变式2】如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点是抛物线上位于上方的一点，点在线段上，直线交轴于点． (1)求点的坐标，并求出直线的函数表达式； (2)若点与点重合，当时，求点的坐标； (3)连接，当与相似，且相似比为时，请直接写出直线的函数表达式． 【变式3】在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图象过点，点、是该抛物线上不重合的点，横坐标分别，． (1)求该抛物线对应的函数关系式，并写出顶点坐标． (2)设直线与x轴所夹锐角为，则______． (3)当抛物线上两点之间部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标之差为5时，求m的值． (4)当点在点左侧时．直线与x轴交于点B，过点P作轴于点，过点Q作于点，当与相似且相似比为时，直接写出m的值． （20分钟限时练） 1．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南邵阳·一模）下列命题中，真命题是（　　） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．在中，若，则是直角三角形 4．（19-20九年级上·全国·单元测试）如图，中，P为上的点，请你添加一个条件：____________________，使和相似． 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为_________． 6．（2026·湖南娄底·一模）如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 7．（2026·湖南郴州·一模）如图，在中，，平分交于点D，点E是延长线上一点，，则________度，且下列结论正确的是________（填序号）． ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，点E在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的值； (3)F是上的一点，与互补，若，，求线段长度的最大值（用含m的代数式表示）． 10．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点07 相似三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 相似三角形的判定 题型02 相似三角形的基本模型 题型03 相似三角形的性质 题型04 相似三角形与函数综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：相似三角形部分主要考查相似三角形的判定方法、相似三角形的基本模型（A型、8型、K型、母子型等）、相似三角形的性质（对应边成比例、面积比等于相似比的平方）、以及相似三角形与二次函数、圆等知识的综合运用；这些考点中，相似三角形的判定与性质考查占比最高，难度中等偏上至较难，属于湖南中考几何证明与计算的核心板块，也是压轴题中最常用的几何工具之一。题目主要以两种形式出现：一是在压轴题中作为中间桥梁，通过相似比建立线段间的数量关系，进而用方程求解；二是在解答题中结合圆、四边形考查相似判定与性质的直接应用。湖南统考命题注重几何直观与代数运算的融合，相似三角形常与函数（二次函数为背景，动点构成三角形）、圆（同弧推等角为相似提供条件）深度融合。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 相似三角形的判定 第25题压轴（全等为主含相似判定思想），10分；第26题压轴（相似判定+性质综合），10分 第26题压轴（圆背景下的全等与相似判定，斜边直角边对应成比例），10分 相似三角形的性质 第26题第（3）问（相似比→线段比→含参运算），10分 第26题压轴（相似比→对应线段比→解直角三角形），10分 相似三角形与函数综合 第26题（二次函数背景→动点→相似判定→求参数→最值），压轴题，10分 第25题（二次函数背景→面积定值→线段最值，含相似思想），解答题，10分 预测2026年：相似三角形是湖南中考压轴题中最核心的几何工具之一，两年压轴题均以此为媒介解决线段比、面积比和存在性问题。2026年相似三角形预计将继续在压轴题中承担关键的“桥梁”作用——连接几何条件与代数计算。值得注意的是，2026年解答题分值提升至72分，对相似问题的分类讨论过程和书写规范性要求更高。复习时需重点关注：① 相似的基本模型（A型、8型、K型/一线三等角、母子型）的识别口诀与快速判定；② 面积比与相似比的关系（平方运算）；③ 相似与二次函数、圆的综合题型中，如何通过相似将几何条件转化为代数方程。 2026年起解答题分值提升至72分，相似问题的分类讨论过程和书写规范性尤为重要。建议规范格式为： · 判定书写：“在△ABC和△DEF中，∵∠A = ∠D，∠B = ∠E，∴△ABC ∽ △DEF” · 分类讨论书写：“由题意，△PQR与△ABC相似，分以下两种情况讨论：情况一：当P与A对应时……情况二：当P与B对应时……” · 比例式书写：“由相似得 ，代入数据得……解得……” 题型01 相似三角形的判定 解｜题｜策｜略 1. 一般三角形的判定方法： · AA（两角对应相等）——最常用，优先使用 · SAS（两边对应成比例且夹角相等） · SSS（三边对应成比例） 2. 直角三角形的特殊判定：斜边与直角边对应成比例（HL类比）。 方｜法｜指｜导 优先使用AA判定（找两组相等的角），这是最通用、最高效的方法。寻找等角的常见途径： · 对顶角（8字型中常用） · 公共角（A字型中常用） · 平行线间的同位角/内错角（正A型、正8型中常用） · 同弧所对的圆周角（圆背景下常用） · 等腰三角形的底角 · 同角（或等角）的余角/补角（K型中常用） · 直角都相等 易｜错｜点 1. SAS判定遗忘“夹角”条件——必须是夹角，不是任意一个角； 2. AAA不能作为相似判定依据——两个角足矣，三个角对应相等只能说明形状相同，需结合边的比例才能确定相似比； 3. 在非直角三角形中误用“斜边直角边”判定方法。 【例题1】如图，在中，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【例题2】如图，已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 方法一：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似即可得证； 方法二：在上截取，作，交于点，则可得，再证出，由此即可得证． 【详解】证明：方法一：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 方法二：如图，在上截取，作，交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据圆内接四边形可得，，根据两角对应相等即可得证． 【详解】证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 【变式2】如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】证明：， ． ， ． 平分． 【变式3】如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 题型02 相似三角形的基本模型 解｜题｜策｜略 熟记以下五大基本模型，可快速识别相似关系： 模型一：A字型（正A型） · 特征：共角 + 一边平行于对边（如 DE∥BC） · 结论：△ADE ∽ △ABC；对应边成比例 模型二：斜A型 · 特征：共角 + 不平行，但另一组角相等（如 ∠ADE = ∠C） · 结论：△ADE ∽ △ACB（注意对应顶点的顺序变化） 模型三：8字型（正8型） · 特征：对顶角 + 两边平行（如 AB∥CD） · 结论：△AOB ∽ △COD； 模型四：斜8型 · 特征：对顶角 + 不平行，但另一组角相等 · 结论：△AOB ∽ △DOC 模型五：K型（一线三等角） · 特征：一条直线上有三个相等的角（通常为直角或60°角） · 结论：两侧的三角形相似（如 ∠B = ∠ACE = ∠D = 90° → △ABC ∽ △CDE） 模型六：母子型（射影定理模型） · 特征：直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个小直角三角形 · 结论：三个三角形两两相似（△ACD ∽ △ABC ∽ △CBD） · 重要推论（射影定理）：；； 方｜法｜指｜导 压轴题中相似模型的识别是关键步骤。建议解题时按以下思维流程操作： · 看到了什么模型 → 能推出什么结论 → 还需要什么条件 → 怎样获取条件 将常用模型与对应结论熟记于心，可大幅提高解题效率，避免在考场上重新推导模型浪费时间。 易｜错｜点 1. A型与斜A型混淆——A型有平行（对应边与第三边平行），斜A型没有，对应顶点的顺序也不同； 2. 8型与斜8型混淆——同理，8型有平行，斜8型没有； 3. K型中三个角必须相等且在同一直线上，缺一不可； 4. 对应顶点顺序写错——如A字型中DE∥BC时，△ADE ∽ △ABC（A对应A，D对应B，E对应C），不能写成△ADE ∽ △ACB。 【例题1】如图，在中，，，，为边上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． (1)求证：； (2)若，求与的面积比． 【答案】(1)证明见解析； (2)与的面积比为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据平行相似证明、，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，得出边的关系，再运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． 同理： ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴设，， ∴． ∵由（1）得， ∴． ∴与的面积比为． 【例题2】（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目，如图，在中，点O在线段上，，，，，求的长．经过数学小组成员讨论发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决问题（如图2） 请回答：　　　　　，　　　　　 （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 【答案】（1）75，；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出即可求解； （2）过点B作交AC于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，再在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）如图2中，过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵∠，， ∴， ∴； 故答案为：75， ． 在四边形中对角线与相交于点O，，，，，求的长 （2）如图3中，过点B作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在中， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 【变式1】如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 【变式3】【问题情景】 图①                       图②                              图③ （1）如图①，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为____________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1），详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先利用直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，进而得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ∴， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3）解：在平行四边形中，，， ，， 又， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 题型03 相似三角形的性质 解｜题｜策｜略 设相似比为 （即对应边之比），则： 1. 对应角相等； 2. 对应边成比例（比例系数为 ）； 3. 对应线段之比（高、中线、角平分线、周长等）= ； 4. 面积之比 = （最容易出错，也是最常考的性质）； 5. 体积之比 = （若涉及立体图形）。 方｜法｜指｜导 在综合题中，相似三角形的性质主要承担“建立等量关系”的功能：通过相似比建立已知线段与未知线段的比例式 → 解方程求未知量。 面积问题的处理步骤： ① 先判断两个三角形是否相似； ② 求相似比 （对应边之比）； ③ 面积比 = ； ④ 用已知面积求未知面积。 易｜错｜点 1. 面积比直接等于相似比，忘记平方——这是相似三角形中最常见、最致命的错误； 2. 相似比与对应边比例式的顺序写反——始终保持A↔A‘、B↔B’、C↔C‘的一致性； 3. 求面积时，对应高之比 = 相似比，而非面积比直接用高的比来算。 【例题1】已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 【答案】 【分析】先利用翻折的性质得到平分，再结合相似三角形的对应角相等推出三角形各内角度数，利用直角三角形的性质求出的长度，最后在 中计算的长． 【详解】解：设翻折后点落在斜边上的点处， 由折叠的性质可知，平分，即， ， ， ， 在中，， ， 代入得， 解得，， 在中，，， ， 在中，，，， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）． 【例题2】如图，已知，．若的面积为4，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的面积为4， ∴． 【变式1】如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先证，可得，进而得出结论； （2）利用（1）中相似比求解即可； （3）过B作交的延长线于E，先证，可得， 再证，即可得解． 【详解】（1）证明：中，， ． ， ． ， ． ， ； （2）解：， ． ． ， ． ． ． （3）解：过B作交的延长线于E， ， ． ． ， ． 在与中 ． ． ， ． ， ， ； ． ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 【变式3】如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意得到，求出，根据轴，是中点，得到是的中位线，求出，即可得到答案； （2）根据题意得到，，求出，联立得到面积，没有实数根，即可得到答案． （3）分和两种情况，利用相似三角形对应线段成比例进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， 时，，， ∴， 轴， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （2）解：动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 轴， ， ， ， ， 整理得， ， 故方程没有实数根， 故不存在使得的面积等于160（平方单位）； （3）解：动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 当时，，即， 解得秒； 当时，，即， 解得秒； 综上所述，当秒或秒时，与相似． 型04 相似三角形与函数综合 解｜题｜策｜略 函数背景下的相似应用是湖南中考压轴题的经典模式，通常涉及以下步骤： 1. 在二次函数图像上取点，构成三角形； 2. 利用坐标差表示各边长（或平方）； 3. 根据相似条件列方程； 4. 解方程获取参数值； 5. 验证点是否满足题意（在函数图像上、在定义域内、三点不共线等）。 方｜法｜指｜导 相似存在性问题的标准解法套路： ① 设点：用参数 表示动点坐标（横坐标为 ，纵坐标用函数表达式表示，如 ）； ② 表示：用坐标差公式表示与相似判定相关的线段长（如 ）； ③ 分类：根据相似三角形的对应关系分情况讨论——这是最容易遗漏的步骤。如要判定 △ABC ∽ △DEF，需分： · 情况一：A ↔ D，B ↔ E，C ↔ F · 情况二：A ↔ D，B ↔ F，C ↔ E · 情况三：A ↔ E，B ↔ D，C ↔ F …… （具体分几种情况取决于哪些点的位置是确定的） ④ 列式：每种情况下根据对应边成比例列出方程； ⑤ 求解：解方程得 值； ⑥ 验证：检验 是否使点在函数图像上、是否在定义域内、三点是否共线等。 易｜错｜点 1. 相似三角形的对应关系有多种可能，忘记分类讨论导致漏解——这是压轴题失分的主要原因； 2. 用坐标差表示线段长时，注意代入绝对值或平方避免符号问题； 3. 求出参数后未验证该点是否在函数图像上或是否满足隐含条件（如三点是否共线、是否在指定象限内等）； 4. 列比例式时分子分母颠倒，导致方程解错。 【例题1】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【例题2】如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线轴于，交线段于，轴于，交线段于． (1)点E的坐标为 　 　，点F的坐标为 　 　(用a，b的式子表示)； (2)当点运动且线段、均与线段有交点时，在下列个问题中任选一题探究； ①与是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由； ②、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由． (3)的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①与一定相似，理由见解析，②BE、EF、FA这三条线段能组成一个直角三角形，理由见解析 (3)的大小不变，为 【分析】（1）根据点的坐标得出的纵坐标以及的横坐标，分别代入一次函数即可求解； （2）①根据（1）的坐标，得出，继而得出，又，即可判断，继而证明； ②根据点的坐标得出，根据勾股定理的逆定理来进行判断即可求解； （3）同（2）①得，得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ，， 故答案为：，； （2）①与一定相似， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， 点在上， ， ， ， 、、这三条线段能组成一个直角三角形； （3）的大小不变， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 的大小不变，为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)点，点，点，直线 (2)最大值为8； (3)2或 【分析】（1）对于，当时，，令，则或，故点、点、点，进而求解； （2）由，即可求解； （3）当为直角时，则点和点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，则；当为直角时，证明，则，得到点的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则或， 故点、点、点， 设直线的表达式为：， 则将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）过点P作轴交于点G， ∵， ∴， ∴， 设点，则点， ， ， 当时，，此时点； （3）能相似，理由： ①当为直角时， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 而抛物线的对称轴为直线， 则； ②当为直角时， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， 则， 即， 则， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：(舍去)或； 综上，或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【变式2】如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点是抛物线上位于上方的一点，点在线段上，直线交轴于点． (1)求点的坐标，并求出直线的函数表达式； (2)若点与点重合，当时，求点的坐标； (3)连接，当与相似，且相似比为时，请直接写出直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)点的坐标或 (3)直线的函数表达式或 【分析】本题考查二次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）令，解得，即可得到抛物线与轴交于点，，再利用待定系数法求直线的函数表达式； （2）过作轴交于，则，设，则，证明得到，代入解得，再求出点的坐标即可； （3）设，，，则，，，，由与相似，且相似比为，，得到或，代入求解即可． 【详解】（1）解：令，解得， ∴抛物线与轴交于点，， ∵， ∴设直线的函数表达式为，， 把代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， （2）解：如图，过作轴交于，则， 设，则， ∴， ∵点与点重合，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，当时，点的坐标或； （3）解：设，，， ∵，，， ∴，，，，， ∴，， ∵与相似，且相似比为，， ∴或， 当时，，解得，，此时，， 设直线的函数表达式为，， 把，，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 即直线的函数表达式为， 同理当时，直线的函数表达式为， 综上所述，当与相似，且相似比为时，直线的函数表达式或． 【变式3】在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图象过点，点、是该抛物线上不重合的点，横坐标分别，． (1)求该抛物线对应的函数关系式，并写出顶点坐标． (2)设直线与x轴所夹锐角为，则______． (3)当抛物线上两点之间部分（包含两点）最高点与最低点的纵坐标之差为5时，求m的值． (4)当点在点左侧时．直线与x轴交于点B，过点P作轴于点，过点Q作于点，当与相似且相似比为时，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线的函数关系式为，顶点坐标为 (2)2 (3)m的值为或 (4)m的值为或． 【分析】（1）直接将点A的坐标代入抛物线表达式中，再化为顶点式求解顶点即可； （2）首先将点P，Q的坐标表示出来，利用两点间的斜率公式，求出直线的斜率，进而利用即可求解； （3）首先点P和点Q的位置情况不确定，所以分为点P在点Q左侧时，点P在点Q右侧时，两种情况进行讨论，在讨论时注意对称轴的位置也要进行讨论，进而判断每一种的情况下符合题干情况的m的值即可； （4）首先判断相似三角形存在的情况是否需要讨论，发现此时只存在这一种情况，再将线段利用含m的代数式表示出来，再代入相似三角形中，去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象过点， ∴，解得：， ∴， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的函数关系式为，顶点坐标为； （2）解：设点，， ∵点P，Q在是抛物线上两个不重合的点， ∴将点，，代入抛物线， 解得：，， ∴， 故答案为：2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵点P和点Q的位置情况不确定， ∴分为点P在点Q左侧时，点P在点Q右侧时，两种情况进行讨论： 情况一：当点P在点Q左侧时，即，解得：， 此时再判断对称轴位于点P，Q的位置： ①当对称轴在点Q右侧时，即，解得：， ∴， ∵此时点P、点Q均在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴最高点为点P，最低点为点Q， ∴，即，解得：， ∵， ∴不符合m的取值范围，此情况不存在； ②当对称轴在点P、Q中间时，即，解得：， ∴， ∵此时点P、点Q均在对称轴两侧， ∴此时最高点暂不确定，最低点为顶点， 若最高点为点P，则，∴，解得：， ∴存在此情况， ∴，即，解得：， ∵， ∴； 若最高点为点Q，则，∴，解得：， ∵， ∴不符合m的取值范围，此情况不存在 ③对称轴在点P左侧时，即， ∵， ∴不存在m的值，此情况不存在； 情况二：当点P在点Q右侧时，即，解得：， 此时再判断对称轴位于点P，Q的位置： ①当对称轴在点P右侧时，即， ∴， ∵此时点P、点Q均在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∴最高点为点Q，最低点为点P， ∴，即，解得：， ∵， ∴不符合m的取值范围，此情况不存在； ②当对称轴在点P、Q中间时，即，解得：， ∵此时点P、点Q均在对称轴两侧， ∴此时最高点暂不确定，最低点为顶点， 若最高点为点P，则，∴，解得：， ∴不存在m的值，此情况不存在； 若最高点为点Q，则，∴，解得：， ∴存在此情况， ∴，即，解得：， ∵， ∴； ③对称轴在点Q左侧时，即，解得：， ∵， ∴不存在m的值，此情况不存在； 综上所述：m的值为或； （4）解：∵点P在点Q左侧， ∴，解得：， ∵轴于点H，于点M， ∴，， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为,将，代入， 得，解得， ∴， ∴， ∴， ∵，，与相似且相似比为， ∴只存在这一种情况， ∴，即， ∴， 当时，即或，此时，解得：， ∵或， ∴； 当时，即，此时，解得：， ∵， ∴； ∴m的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质和二次函数分类讨论，相似三角形的性质，注意进行分类讨论和取绝对值解方程是解题的关键． （20分钟限时练） 1．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 2．（2023·湖南邵阳·一模）下列命题中，真命题是（　　） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】D 【详解】直接利用等腰三角形、直角三角形、菱形、等边三角形的性质，结合相似图形的判定方法判断得出答案． 【分析】解：A．两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意； B．两个直角三角形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意； C．两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，故此选项不合题意； D．两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了命题与定理以及相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）下列命题中，是真命题的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于相似比 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、矩形、相似三角形以及三角形内角和定理的相关性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：A选项： 平行四边形无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，A选项错误，不符合题意； B选项： 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而不是矩形，B选项错误，不符合题意； C选项： 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是相似比，C选项错误，不符合题意； D选项： 已知在中，，设，则，． 因为三角形内角和为，所以，即，解得． 那么，有一个角为的三角形是直角三角形，所以是直角三角形，D选项正确，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了真命题，平行四边形的性质、矩形和菱形的判定、相似三角形的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握轴对称图形的定义、矩形和菱形的判定定理、相似三角形面积比与相似比的关系以及三角形内角和定理是解题的关键． 4．（19-20九年级上·全国·单元测试）如图，中，P为上的点，请你添加一个条件：____________________，使和相似． 【答案】或或，（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：在和中，； 若两个三角形相似，可添加的条件为： ①，符合两角相等的两个三角形相似； ②，符合两角相等的两个三角形相似； ③，即，符合两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 故答案为：或或，（答案不唯一）． 5．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为_________． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 6．（2026·湖南娄底·一模）如图，在四边形中，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】9 【分析】延长，两线交于点，可证，所以，求出，过点作于点，则四边形是矩形，所以，，设，则，最后通过勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：延长，两线交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 如图所示，过点D作于点H，则四边形为矩形， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． 7．（2026·湖南郴州·一模）如图，在中，，平分交于点D，点E是延长线上一点，，则________度，且下列结论正确的是________（填序号）． ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】 45 ①③/③① 【分析】先根据角平分线的定义求出和的度数，再利用三角形内角和定理结合已知条件求出的度数；根据全等三角形的判定定理判断和是否全等，通过证明和相似，利用相似三角形的性质得到对应边的比例关系，最后根据勾股定理求出的长度，再利用三角形面积公式求出的长度． 【详解】解：∵平分，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 验证①：在和中， ， ∴，故①正确； 验证②：∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故②错误； 验证③：在中，， ∵平分， ∴点D到和的距离相等，设为h， ∴，即， 解得， 又∵， 在中，，即， 解得，故③正确， 综上，正确的结论有①③． 8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）世界陶瓷看中国，釉下五彩看醴陵．如图，小宜将两根木条，在点处固定，测量一件醴陵花瓶内径的宽度．若，且量得，则的宽度为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键，连接、，由得，根据对顶角相等，可得，进而可证，所以，进而可求出． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，点E在上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的值； (3)F是上的一点，与互补，若，，求线段长度的最大值（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）利用及同弧所对圆周角相等，将转化为，进而证明； （2）由两角对应相等证明，利用相似比和等腰求解； （3） 利用对称构造点，证明，建立与的等量关系，结合二次函数性质求最值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴令，则， ∴作于，则， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴平分， ∴作点关于直线的对称点，连，则落在射线上，且， ∵，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 又∵，， ∴， ∴， ∴在时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴． 10．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $