热点05 圆的性质（热点专练6大题型）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点05 圆的性质 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 垂径定理及其推论 题型02 圆周角定理及其推论 题型03 切线的性质 题型04 切线的判定 题型05 与圆有关的计算（弧长、扇形面积） 题型06 圆与三角形、四边形的综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：圆的性质部分主要考查圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、弧长与扇形面积的计算，以及圆与三角形、四边形的综合运用；这些考点中，切线的性质与判定、圆周角定理考查占比最高，试题难度中等偏上，属于湖南中考几何证明与计算的核心板块，题目多以选择题、填空题及切线证明、圆中计算类解答题呈现；湖南统考命题注重几何直观与逻辑推理的融合，切线证明是解答题的固定高频题型，常与等腰三角形、直角三角形、相似三角形结合考查，压轴题则围绕圆进行多知识点的深度融合。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 圆周角定理及其推论 未单独考查（融合于其他题） 第7题（圆周角定理，），选择题，3分 切线的性质 第21题第（1）问（切线性质→求角度），解答题，8分 第26题压轴题（切线性质+旋转+矩形+解直角三角形），压轴题，10分 切线的判定 第21题第（2）问（由角度相等→证明线段平行，含切线判定思维），解答题，8分 第26题压轴题含切线判定，压轴题，10分 垂径定理 未单独考查 未单独考查 与圆有关的计算（弧长等） 第10题（劣弧长计算，地球经线圈场景），选择题，3分 未单独考查 圆周角定理及其推论 未单独考查（融合于其他题） 第7题（圆周角定理，），选择题，3分 预测2026年：圆的考查呈现“基础+综合”的双轨模式。基础层面，圆周角定理（2024考）在选择题中轮换出现概率高，弧长与扇形面积的计算（2025考）也是必考基础考点。垂径定理两年均未单独考查，2026年在选择或填空题中出现的概率较大，需重点关注。综合层面，切线证明是解答题的固定高频题型（两年均考），2025年第21题为8分解答题，2024年融合于压轴题。2026年解答题分值提升至72分，圆与三角形、四边形的综合题分量可能加重，垂径定理与勾股定理结合的计算题型需重点训练。 题型01 垂径定理及其推论 解｜题｜策｜略 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 2. 要素关系（知二推三）：在“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”五个要素中，知道任意两个可推其余三个； 3. 注意：被平分的弦不能是直径（若被平分的弦是直径，则垂径定理退化，结论不成立）。 方｜法｜指｜导 垂径定理的核心应用模型：连接圆心与弦中点 → 构造直角三角形，其三边分别为半径 、半弦长 、弦心距。用勾股定理建立关系：。 识别信号：当题目中出现“弦的中点到圆心的距离”或“圆心到弦的垂线”时，立即构建这个直角三角形模型。 易｜错｜点 1. 垂径定理的逆命题有条件限制——平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但如果弦是直径，结论不成立； 2. 计算时将弦长 直接代入勾股定理公式，忘记用半弦长 。 【例题1】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 【例题2】（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧长公式；连接，，先由垂径定理求出圆的半径，进而求出，从而求出的长度，再加上的长度即是该图形的周长． 【详解】解：连接，，如图所示， 设圆O的半径为r，则， ∵， ∴， ∵，过圆心点O，， ∴， ∵在中， ∴，解得：， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长度为， ∴该图形的周长是． 故答案为：． 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是上两点，于点，若，则（   ） A．10 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的性质．连接，根据垂径定理得出，根据，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：或（舍去）， 即，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平分圆心角，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 题型02 圆周角定理及其推论 解｜题｜策｜略 1. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角 = 它所对的圆心角的一半； 2. 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等； 3. 推论②：直径所对的圆周角是直角（90°）——圆中证明直角最重要的工具； 4. 推论③：圆内接四边形的对角互补（∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°）。 方｜法｜指｜导 解圆中角度问题的核心思路：“找弧 → 化角”。看到多个圆周角，先找它们是否对同一条弧 → 等弧推等角。看到直径，立即连接直径两端点与圆上一点 → 得到直角 → 转化为直角三角形进行后续计算。圆内接四边形中，外角 = 内对角，可作为角度转化的辅助工具。 易｜错｜点 1. 圆周角定理使用前提是“同弧或等弧”，忘记确认弧的对应关系会导致角度关系错乱； 2. 圆心角与圆周角的倍数关系记反——圆周角 = 圆心角。 【例题1】（2026·湖南永州·一模）如图，为的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 为的外接圆，， ∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ． 【例题2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，已知是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理得，再通过直角三角形性质可得，最后再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 【变式1】（2026·湖南岳阳·一模）如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵ ∴． 【变式3】（2026·湖南湘西·一模）如图，把一块含的直角三角板的顶点A放在半径为3的圆盘上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆交于B，C两点，则图中的长为________． 【答案】 【分析】连接，圆周角定理得到，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则由题意，得，， ∴的长为． 题型03 切线的性质 解｜题｜策｜略 1. 切线定义：直线与圆有且只有一个公共点（该点称为切点）； 2. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连 方｜法｜指｜导 遇到“切线”条件，第一步永远是连接圆心与切点，得到垂直关系（半径 ⊥ 切线）。这个垂直关系是整个切线问题的基础，有了它就可以构造直角三角形、利用勾股定理或结合相似三角形进一步推理。 2025年第21题第（1）问的解题流程：BC与⊙O相切于B → 连接OB → OB ⊥ BC → ∠OBC = 90° → 由已知∠ABC = 35° → 求出∠OBA = 55° → 再结合OA=OB → 等边对等角 → ∠OAB = 55° → 三角形内角和 → ∠AOB = 70°。 易｜错｜点 1. 看到切线条件却没有连接圆心与切点，导致无法利用垂直条件，是切线题最致命的错误； 2. 切线长定理中，两条切线长相等，但从圆心到两切点的半径与切线的垂直关系不能被忽略。 【例题1】（2026·湖南株洲·一模）如图，是的直径，与相切于点B，D是的中点，连接．已知，则的度数为________． 【答案】40 【分析】首先根据切线的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数；然后根据三角形中位线定理证明，利用平行线的性质求出的度数；最后三角形的外角求出的度数，通过角的和差关系即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， . 在中，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 【例题2】（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的度数，再利用平行线的性质得，最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线长定理易得，则可得，即可得证； （2）先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式得到，然后根据扇形的面积公式计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵分别与相切于三点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质得到，结合求出的长度，再分别计算的面积和扇形的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ， ． 故答案为： 【变式3】（2026·湖南·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，求半径的长及阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，根据等边对等角和对顶角相等得到，，则可证明，据此可证明结论； （2）设，则，，，由勾股定理得，解得，则，，，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 为的切线， ， ，， ，， ， ，即． （2）解：设， ，， 中，，，， 由勾股定理得，解得， ，， 又， ， ， 又， ． 型04 切线的判定 解｜题｜策｜略 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两类证法： · 类型一（有明确交点）：已知直线与圆有一个公共点P → 连接OP → 证明OP ⊥ 该直线 → 该直线是⊙O的切线 · 类型二（无明确交点）：不知直线是否与圆有交点 → 过圆心O作直线的垂线，垂足为P → 证明OP = 半径 → 该直线是⊙O的切线 方｜法｜指｜导 判定切线的关键在于根据已知条件选择正确的证法路径。证明垂直的常用方法：① 已知角度和 = 90°；② 全等三角形对应角为90°；③ 勾股定理逆定理；④ 平行线性质。 易｜错｜点 1. 只证了垂直但忘记说明直线“经过半径的外端”——判定切线必须同时满足“过外端”和“垂直”两个条件； 2. 类型一和类型二的证明方向弄反：有交点时应连半径证垂直，无交点时应作垂直证半径。 【例题1】（2026·湖南长沙·一模）如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． (1)求证：是该半圆的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，利用等腰三角形的性质得到，进而得到，易证明，进而得到，从而得到，进而得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，由（1）知，根据含角的直角三角形的性质求出、长，根据证明，进而得到，从而得到． 【详解】（1）证明：是半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半圆的直径 是该半圆的切线； （2）解：在中，， ， 由（1）知，， ， 在中，， ， 在中，， 、， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定定理、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【例题2】（2026·湖南张家界·一模）如图，是的直径，，是的弦，过圆心O作的平行线与过点C的切线交于点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证得，从而，进一步得出结果； （2）可推出，结合得出，进而得出结果； （3）可结合（1）（2）得出，，，从而求得和扇形的面积，进而得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ， ， ，， ， ，， ， ， 是的切线， ， ， ， 点在上， 是的切线； （2）解：如图， 由（1）知：， ， ， ， ， ； （3）解：如图，设交于， 由（1）（2）知，，，， ，， ． 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则是的切线； （2）根据三角形的内角和定理得到，推出，从而求得，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 【变式2】（2026·湖南永州·一模）如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． (1)当时，______； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径对应的圆周角等于得，，即可求解； （2）连接，由得，则结合已知可推出，再根据得，即可得出结论； （3）设交于，连接，，由切线长定理得到垂直平分，则，则，设，则，，根据，解得，再根据是中位线，得到，最后证明，，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是的直径， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：设交于，连接，， ∵、是的切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∴是中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 【变式3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，为的外接圆，的三边均不经过圆心，的直径，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点到的距离为，，，求的长． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2)． 【分析】（1）连接，证明，即可证明是的切线； （2）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵点到的距离为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 题型05 与圆有关的计算（弧长、扇形面积） 解｜题｜策｜略 1. 弧长公式：（ 为弧所对圆心角的度数） 2. 扇形面积公式：（ 为弧所对圆心角的度数） 3. 弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积（劣弧取减，优弧取加） 4. 圆锥侧面积： （r为底面圆的半径，l为母线长） 方｜法｜指｜导 2025年第10题考查了劣弧长计算（地球经线圈场景）：已知地球半径 ，纬度差 → 圆心角 → 代入弧长公式计算。阴影部分面积的核心方法是割补法：将不规则图形面积转化为规则图形面积的加减。 易｜错｜点 弧长公式与扇形面积公式混淆——弧长分母180且无平方，面积分母360且有平方。 【例题1】（2026·湖南·模拟预测）为了配合国家文物数字化战略，某团队在扫描一件菱形文物时，将边长为1的菱形的顶点A设为扫描原点，当菱形绕点A旋转，使B、C两点恰好落在扇形的弧上时，求扫描路径中弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明出是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：连接， ∵菱形的边长为1， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴弧的长度． 【例题2】（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 【答案】 【分析】首先得到此几何体为圆锥，再根据圆锥全面积等于侧面积加底面积求解即可． 【详解】解：根据三视图得，此几何体为圆锥， ∵直径为，母线长为， ∴半径为， ∴这个几何体的全面积为． 【变式1】（2023·江苏连云港·一模）如图，将扇形方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据平移的性质和中点的定义得出的长度，在中利用勾股定理求出的长，利用锐角三角函数求出的度数，进而求出和，最后根据计算即可 【详解】解：连接， 点是的中点，， ， 扇形沿方向平移得到扇形， ，即， 在中，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，连接、，根据正六边形内接于，可得：，又因为，可知是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一定理可得：，利用勾股定理求出的长度，再利用弧长公式求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，则， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 故选：B． 题型06 圆与三角形、四边形的综合 解｜题｜策｜略 圆与三角形、四边形的综合常涉及以下模式： · 圆 + 等腰三角形：两条半径相等构成等腰三角形，等边对等角转移角的关系 · 圆 + 切线 + 三角形：连接圆心与切点得直角，结合其他三角形推理 · 圆内接四边形：对角互补、外角 = 内对角 · 圆 + 相似三角形：通过同弧所对圆周角相等为相似提供角的条件 方｜法｜指｜导 综合题拆解策略：① 先标出圆的基本信息（半径、圆心角、圆周角等）；② 根据问题类型添加辅助线（连接圆心与切点、直径两端点、作弦心距等）；③ 找到圆的部分和直线形的部分的关联点（通常是某个角度或某条公共边）；④ 用方程思想把几何条件数量化。 易｜错｜点 1. 综合题中条件较多，容易遗漏某个定理的适用前提或混淆不同定理； 2. 圆与相似三角形结合时，通过同弧找等角是关键，弧与角的对应关系辨认错误会导致相似判定失败。 【例题1】（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接， 可得，由圆周角定理得，可得，再等量代换证明即可； （2）先证明，则，求出，，那么，再由求解即可； （3）过点E作于点G，当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距离最大，点F是的中点，可得是等腰直角三角形，再由圆周角定理得到，得到为等腰直角三角形，则，而，则由勾股定理得，即再由求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，则， 当四边形面积最大时，面积最大，此时点F到的距离最大，即点F是的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例题2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求切线的长； (3)记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：； (4)设，求关于的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）连接，根据，可得，证明，得出，即可得证 （2）设，，则，进而根据完全平方公式变形，勾股定理，求得，进而即可求解； （3）过点作于,记的面积为，的面积为，的面积为的面积为，四边形的面积为，根据已知等式变形，得出，进而证明，证明得出，结合，即可得证； （4）证明满足，进而根据，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线； ∴，即 ∵，， ∴ ∴,即 又∵是半径， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴ 又∵， ∴ 设，，则 ∴ ∵，则 ∴， 又∵ ∴（负值舍去） 又, 解得：（舍去）或， ∴； （3）如图，过点作于, 记的面积为，的面积为，的面积为的面积为，四边形的面积为， ∴ ∴ 由得， ∴ ∴ ∴ 即, ∴ ∴， ∴，即 ∴到的距离和到的距离相等， ∴ 又∵ ∴ ∵是的切线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， （4）解：∵是的切线， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴，即， 如图，连接并延长交于点，连接， ∴ ∴ 又∵是切线， ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 又∵ ∴， 又∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ ∴ 即 ∴， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2025·湖南郴州·二模）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)①；②证明过程见详解 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角得到，根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等即可求解； （2）①如图所示，连接，可证是等边三角形，得到，由此即可求解； ②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是直径， ∴， ∵过点作，即， ∴， ∴； （2）解：①∵是直径，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 如图所示，连接， ∵所对圆周角是，所对圆心角， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可知，，且， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查圆与三角形，四边形的综合，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对弦相等，等腰直角三角形的，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，平分交于点D，过点D作 交的延长线于点 E，连接交于点 F，已知，． (1)求证：是的切线； (2)求的长度； (3)求的值． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】（1）由圆周角定理可得，得到，进而得出，即可证明结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而证明，得出，再利用勾股定理求解即可； （3）连接、交于点，由垂径定理可得，证明四边形是矩形，得到，，从而求出，再证明是的中位线，得到，从而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ， （3）解：如图，连接、交于点， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线 的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． (1)若，求证：是的切线． (2)连接，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定，解直角三角形的应用，掌握圆周角的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，则，即可证明结论； （2）由直径可得，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，从而得出，然后利用勾股定理求出，即可得到的半径长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． （20分钟限时练） 1．（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同弧所对圆周角相等得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 2．（2026·湖南娄底·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到的度数，再由圆心角定理即可求得结果． 【详解】在中，C，D是上的点，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由圆周角定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，掌握这些知识是关键． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理可得：，，，，无法得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的直径，为弦，于点E， ，，， ∴，， B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，不符合题意， ∵无法判断， D选项结论不成立，不符合题意， 故选：B． 5．（2026·湖南邵阳·二模）已知某扇形的半径为6厘米，弧长为厘米，则该扇形的面积是__________平方厘米（结果保留）． 【答案】 【分析】直接利用扇形面积公式计算得到结果. 【详解】解：扇形的面积公式为 ，其中是扇形的弧长，是扇形的半径， 将，代入公式得： . 6．（2026·湖南株洲·一模）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为________． 【答案】 【分析】证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和都是的切线， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴（负值舍去）． 7．（2026·湖南长沙·一模）如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 【答案】6 【分析】连接，先根据垂径定理可得的长和，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是中弦的中点，经过圆心，且， ∴，， ∵的半径长为， ∴， ∴在中，， ∴． 8．（2026·湖南·模拟预测）将正三角形绕其任意一条高旋转，得到的几何体的侧面积与底面积之比为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，圆锥的侧面积和底面积的计算，熟练掌握正三角形绕高旋转得到圆锥，圆锥的侧面积和底面积的计算方法是解题的关键． 先确定正三角形绕高旋转得到的几何体为圆锥，设正三角形边长为参数，分别求出圆锥的侧面积与底面积，再计算两者的比值即可求解． 【详解】解：设正三角形的边长为，将正三角形绕其高旋转，得到的几何体是圆锥，其中圆锥的底面半径，母线长， 则圆锥的侧面积， 圆锥的底面积， ∴侧面积与底面积之比为． 故答案为：． 9．（2022·湖南株洲·模拟预测）如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 【答案】 【分析】连接交于点F，由垂径定理得，，由是的中位线，可得，由圆周角定理得，证明，推出，进而可得，最后由勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接交于点F， 是的中点， ，， 又， 是的中位线， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 的直径， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（2026·湖南株洲·一模）已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接．          (1)【基础感悟】如图1，若，求的长； (2)【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； (3)【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）设，则，先证明是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补得出，，根据平行四边形的性质得出，则，即可得出，则； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点，在线段上截取线段，连接，则，证明，再根据平行线的性质，即可得证； ②根据得出是的直径，则，即可得出，进而证明，则，设，则，，分别解直角三角形，求得，代入比例式，求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的运动速度是点的运动速度的倍 ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①连接，作于点，作交的延长线于点， 在线段上截取线段，连接，则， ， 设 ，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ∵ ②∵， ∴是的直径 ∴， 又∵ ∴ 设，则， ∵ ∴ ，，， ， 解得：（舍去）， 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由、求解出、的等量关系，然后代入计算即可； （3）①先证明，得到点与点重合，根据垂径定理得到，设，则，由勾股定理得，根据得到； ②在中，，在中，，由①知，，则，代入整理得，由得，，结合，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， ， 为公共角， ， 根据已知得， ， ， 解得或（舍）， ； （3）解：①， ， ， ， 为直径， ， ，即点与点重合， 如图， ， ∴， ，设，则， 由勾股定理得， ， ， ， ； ②在中，， 在中，， 由①知，， ， ， 整理得， ， ， ， 又， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点05 圆的性质 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解｜题｜策｜略与实战方法技巧。 题型01 垂径定理及其推论 题型02 圆周角定理及其推论 题型03 切线的性质 题型04 切线的判定 题型05 与圆有关的计算（弧长、扇形面积） 题型06 圆与三角形、四边形的综合 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 两年：圆的性质部分主要考查圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、弧长与扇形面积的计算，以及圆与三角形、四边形的综合运用；这些考点中，切线的性质与判定、圆周角定理考查占比最高，试题难度中等偏上，属于湖南中考几何证明与计算的核心板块，题目多以选择题、填空题及切线证明、圆中计算类解答题呈现；湖南统考命题注重几何直观与逻辑推理的融合，切线证明是解答题的固定高频题型，常与等腰三角形、直角三角形、相似三角形结合考查，压轴题则围绕圆进行多知识点的深度融合。 知识点 2025 年湖南统考 2024 年湖南统考 圆周角定理及其推论 未单独考查（融合于其他题） 第7题（圆周角定理，），选择题，3分 切线的性质 第21题第（1）问（切线性质→求角度），解答题，8分 第26题压轴题（切线性质+旋转+矩形+解直角三角形），压轴题，10分 切线的判定 第21题第（2）问（由角度相等→证明线段平行，含切线判定思维），解答题，8分 第26题压轴题含切线判定，压轴题，10分 垂径定理 未单独考查 未单独考查 与圆有关的计算（弧长等） 第10题（劣弧长计算，地球经线圈场景），选择题，3分 未单独考查 圆周角定理及其推论 未单独考查（融合于其他题） 第7题（圆周角定理，），选择题，3分 预测2026年：圆的考查呈现“基础+综合”的双轨模式。基础层面，圆周角定理（2024考）在选择题中轮换出现概率高，弧长与扇形面积的计算（2025考）也是必考基础考点。垂径定理两年均未单独考查，2026年在选择或填空题中出现的概率较大，需重点关注。综合层面，切线证明是解答题的固定高频题型（两年均考），2025年第21题为8分解答题，2024年融合于压轴题。2026年解答题分值提升至72分，圆与三角形、四边形的综合题分量可能加重，垂径定理与勾股定理结合的计算题型需重点训练。 题型01 垂径定理及其推论 解｜题｜策｜略 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 2. 要素关系（知二推三）：在“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”五个要素中，知道任意两个可推其余三个； 3. 注意：被平分的弦不能是直径（若被平分的弦是直径，则垂径定理退化，结论不成立）。 方｜法｜指｜导 垂径定理的核心应用模型：连接圆心与弦中点 → 构造直角三角形，其三边分别为半径 、半弦长 、弦心距。用勾股定理建立关系：。 识别信号：当题目中出现“弦的中点到圆心的距离”或“圆心到弦的垂线”时，立即构建这个直角三角形模型。 易｜错｜点 1. 垂径定理的逆命题有条件限制——平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但如果弦是直径，结论不成立； 2. 计算时将弦长 直接代入勾股定理公式，忘记用半弦长 。 【例题1】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【例题2】（2026·湖南株洲·一模）如图，是由圆O截去下面的弓形形成的图形．过点O作的垂线，交该图形于点C，D，已知的长是，的长是20，则该图形的周长是________． 【变式1】（2026·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是上两点，于点，若，则（   ） A．10 B．5 C．6 D．3 【变式2】（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型02 圆周角定理及其推论 解｜题｜策｜略 1. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角 = 它所对的圆心角的一半； 2. 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等； 3. 推论②：直径所对的圆周角是直角（90°）——圆中证明直角最重要的工具； 4. 推论③：圆内接四边形的对角互补（∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°）。 方｜法｜指｜导 解圆中角度问题的核心思路：“找弧 → 化角”。看到多个圆周角，先找它们是否对同一条弧 → 等弧推等角。看到直径，立即连接直径两端点与圆上一点 → 得到直角 → 转化为直角三角形进行后续计算。圆内接四边形中，外角 = 内对角，可作为角度转化的辅助工具。 易｜错｜点 1. 圆周角定理使用前提是“同弧或等弧”，忘记确认弧的对应关系会导致角度关系错乱； 2. 圆心角与圆周角的倍数关系记反——圆周角 = 圆心角。 【例题1】（2026·湖南永州·一模）如图，为的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，已知是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南岳阳·一模）如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南湘潭·一模）如图，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·湖南湘西·一模）如图，把一块含的直角三角板的顶点A放在半径为3的圆盘上，三角板的一条直角边及斜边分别与圆交于B，C两点，则图中的长为________． 题型03 切线的性质 解｜题｜策｜略 1. 切线定义：直线与圆有且只有一个公共点（该点称为切点）； 2. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连 方｜法｜指｜导 遇到“切线”条件，第一步永远是连接圆心与切点，得到垂直关系（半径 ⊥ 切线）。这个垂直关系是整个切线问题的基础，有了它就可以构造直角三角形、利用勾股定理或结合相似三角形进一步推理。 2025年第21题第（1）问的解题流程：BC与⊙O相切于B → 连接OB → OB ⊥ BC → ∠OBC = 90° → 由已知∠ABC = 35° → 求出∠OBA = 55° → 再结合OA=OB → 等边对等角 → ∠OAB = 55° → 三角形内角和 → ∠AOB = 70°。 易｜错｜点 1. 看到切线条件却没有连接圆心与切点，导致无法利用垂直条件，是切线题最致命的错误； 2. 切线长定理中，两条切线长相等，但从圆心到两切点的半径与切线的垂直关系不能被忽略。 【例题1】（2026·湖南株洲·一模）如图，是的直径，与相切于点B，D是的中点，连接．已知，则的度数为________． 【例题2】（2026·湖南长沙·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，，，分别与相切于，，三点，且，，． (1)求证：； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式2】（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【变式3】（2026·湖南·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且． (1)求证：； (2)若，，求半径的长及阴影部分的面积． 型04 切线的判定 解｜题｜策｜略 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两类证法： · 类型一（有明确交点）：已知直线与圆有一个公共点P → 连接OP → 证明OP ⊥ 该直线 → 该直线是⊙O的切线 · 类型二（无明确交点）：不知直线是否与圆有交点 → 过圆心O作直线的垂线，垂足为P → 证明OP = 半径 → 该直线是⊙O的切线 方｜法｜指｜导 判定切线的关键在于根据已知条件选择正确的证法路径。证明垂直的常用方法：① 已知角度和 = 90°；② 全等三角形对应角为90°；③ 勾股定理逆定理；④ 平行线性质。 易｜错｜点 1. 只证了垂直但忘记说明直线“经过半径的外端”——判定切线必须同时满足“过外端”和“垂直”两个条件； 2. 类型一和类型二的证明方向弄反：有交点时应连半径证垂直，无交点时应作垂直证半径。 【例题1】（2026·湖南长沙·一模）如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． (1)求证：是该半圆的切线； (2)若，，求的长． 【例题2】（2026·湖南张家界·一模）如图，是的直径，，是的弦，过圆心O作的平行线与过点C的切线交于点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 【变式1】（2026·湖南长沙·一模）如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式2】（2026·湖南永州·一模）如图，在中，已知是的切线，A为切点，连接并延长与交于C，D两点，B是上一点，弦与交于点E，．连接并延长，交的延长线于点Q． (1)当时，______； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【变式3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，为的外接圆，的三边均不经过圆心，的直径，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点到的距离为，，，求的长． 题型05 与圆有关的计算（弧长、扇形面积） 解｜题｜策｜略 1. 弧长公式：（ 为弧所对圆心角的度数） 2. 扇形面积公式：（ 为弧所对圆心角的度数） 3. 弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积（劣弧取减，优弧取加） 4. 圆锥侧面积： （r为底面圆的半径，l为母线长） 方｜法｜指｜导 2025年第10题考查了劣弧长计算（地球经线圈场景）：已知地球半径 ，纬度差 → 圆心角 → 代入弧长公式计算。阴影部分面积的核心方法是割补法：将不规则图形面积转化为规则图形面积的加减。 易｜错｜点 弧长公式与扇形面积公式混淆——弧长分母180且无平方，面积分母360且有平方。 【例题1】（2026·湖南·模拟预测）为了配合国家文物数字化战略，某团队在扫描一件菱形文物时，将边长为1的菱形的顶点A设为扫描原点，当菱形绕点A旋转，使B、C两点恰好落在扇形的弧上时，求扫描路径中弧的长度等于（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·湖南·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的全面积为______． 【变式1】（2023·江苏连云港·一模）如图，将扇形方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为________． 【变式2】（2025·湖南湘西·模拟预测）如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型06 圆与三角形、四边形的综合 解｜题｜策｜略 圆与三角形、四边形的综合常涉及以下模式： · 圆 + 等腰三角形：两条半径相等构成等腰三角形，等边对等角转移角的关系 · 圆 + 切线 + 三角形：连接圆心与切点得直角，结合其他三角形推理 · 圆内接四边形：对角互补、外角 = 内对角 · 圆 + 相似三角形：通过同弧所对圆周角相等为相似提供角的条件 方｜法｜指｜导 综合题拆解策略：① 先标出圆的基本信息（半径、圆心角、圆周角等）；② 根据问题类型添加辅助线（连接圆心与切点、直径两端点、作弦心距等）；③ 找到圆的部分和直线形的部分的关联点（通常是某个角度或某条公共边）；④ 用方程思想把几何条件数量化。 易｜错｜点 1. 综合题中条件较多，容易遗漏某个定理的适用前提或混淆不同定理； 2. 圆与相似三角形结合时，通过同弧找等角是关键，弧与角的对应关系辨认错误会导致相似判定失败。 【例题1】（2026·湖南娄底·一模）如图1，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度． 【例题2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，过点作的切线，是上一点（点与点不重合），且，连接交于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求切线的长； (3)记的面积为的面积为，四边形的面积为，若满足，试证明：； (4)设，求关于的函数解析式． 【变式1】（2025·湖南郴州·二模）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，平分交于点D，过点D作 交的延长线于点 E，连接交于点 F，已知，． (1)求证：是的切线； (2)求的长度； (3)求的值． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、． (1)若，求证：是的切线． (2)连接，若，，求的半径长． （20分钟限时练） 1．（2026·湖南郴州·一模）如图，点A，B，C，D在上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南娄底·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，为弦，于点E，连接，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南邵阳·二模）已知某扇形的半径为6厘米，弧长为厘米，则该扇形的面积是__________平方厘米（结果保留）． 6．（2026·湖南株洲·一模）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为________． 7．（2026·湖南长沙·一模）如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 8．（2026·湖南·模拟预测）将正三角形绕其任意一条高旋转，得到的几何体的侧面积与底面积之比为___________． 9．（2022·湖南株洲·模拟预测）如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是________． 10．（2026·湖南株洲·一模）已知四边形是平行四边形，，．点从点出发沿边向点运动（不与、重合），同时点从点出发沿边向点运动，点的运动速度是点的运动速度的倍．连接，，作的外接圆与射线相交于另一个点，连接．          (1)【基础感悟】如图1，若，求的长； (2)【初步探索】如图2，当点运动到线段的中点时，求证：； (3)【深度探索】如图3，随着点的运动，点的位置也在变化，当点与重合时，连接，①求证：；②求的值． 11．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，作的外接圆，圆心为，点为上一个动点（不与，重合），过点作交于点，且点在点上方，交于点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)将，，的面积分别记为，，，若，求的值； (3)若． ①当时，求的值； ②设为，圆的半径为，请用含和的式子表示的长．（提示：） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $