5.2菱形（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

5.2 菱形 （第二课时） 第5章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解菱形的判定定理，掌握判定一个四边形是菱形所需的几何条件（如边的关系、对角线的关系），能准确区分判定与性质的逻辑差异。 掌握菱形判定方法的选择策略，会根据已知条件（如已知是平行四边形还是普通四边形），灵活选择最简便的判定定理（定义法、对角线法或四边法）进行推理。 理解菱形判定定理与性质定理的互逆关系，能综合运用判定与性质解决复杂的几何证明问题，规范书写证明过程。 旧知复习 菱形的性质 性质类别 具体内容 边的性质 菱形的对边平行且四条边长度相等 角的性质 菱形的对角相等，邻角互补 对角线性质 菱形的对角线互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角 对称性 菱形是轴对称图形（2条对称轴：对角线所在直线），也是中心对称图形（对称中心：对角线交点） 合作学习 取一张长方形纸片，按图的方法对折两次，并沿图③中的斜线（虚线)剪开,把剪下的I这部分展开,平铺在桌面上。 （1）剪出的这个图形（I部分展开）是哪一种四边形？一定是菱形吗? （2）通过折叠、裁剪，议一议，这个四边形的边和对角线分别具有什么 一个平行四边形具备怎样的条件，就可以判定它是菱形? 新知探究 问题：如果我不告诉你它是平行四边形，只给你四根一样长的木条，钉成的四边形一定是菱形吗？ 探究活动 1：边的视角（脱离平行四边形） 猜想：四条边都相等的四边形是菱形。 新知探究 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。 求证：四边形 ABCD是菱形。 探究活动 1：边的视角（脱离平行四边形） 证明：∵AB=CD，BC=DA ∴四边形ABCD是平行四边形 又：AB=BC ∴平行四边形 ABCD是菱形 定理 1：四边相等的四边形是菱形。 新课探究 问题：观察一个菱形，它的对角线有什么特殊性质？ 探究活动2：对角线的视角 猜想：如果一个平行四边形的对角线互相垂直，它是菱形吗？ 新知探究 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD。求证：平行四边形ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)。∵AC⊥BD(已知), ∴BD是线段AC的垂直平分线。 ∴AB=CB ∴平行四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 典例分析 例题1. 如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点：PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF， 求证：平行四边形ABCD是菱形. 证明：PE⊥AB,PF⊥AD,PE=PF, ∴AC平分∠DAB,即∠DAC=∠CAB, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB|I CD, ∴∠ACD=∠CAB, 则∠ACD=∠DAC, ∵AD=DC, ∴平行四边形ABCD是菱形. 变式训练 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//DC，CE与BE交于点E.猜想四边形DCEB的形状并说明理由. 解：四边形DCEB是菱形，理由如下： 证明：∵CE//AB,BE//CD, ∴四边形CDBE为平行四边形. ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°, CD为斜边AB边上的中线 CD=AB=BD ∴平行四边形DCEB是菱形. 典例分析 例题2.如图，在四边形ABCD，AD∥BC，连接BD，点O为BD的中点，连接CO并延长交AD于点E，EC⊥BD，连接BE.求证：四边形BCDE 是菱形. 证明：∵点0为BD的中点，∴BO=DO, ∵AD∥BC, ∴∠EDO=∠CBO,∠DEO=∠BCO, △DEO≌△BCO(AAS), ∴EO=CO,∵BO=DO, ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵EC⊥BD, ∴▱ BCDE是菱形. 变式训练 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是BD上的两点，且BE=DF。求证：四边形AECF是菱形 证明：∵四边形ABCD是菱形， OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, ∵BE=DF, ∴OB-BE=OD-DF, ∴OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD,即AC⊥EF, ∴四边形AECF是菱形. 典例分析 例题3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在线段AD上，点F在AD的延长线上，且DE=DF，连结 BE、CE、BF、CF. (1)求证：四边形BECF是菱形； (1)证明：∵AB=AC,AD平分∠BAC于点D,∴AD⊥BC,BD=CD. ∵DE=DF, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵AD⊥BC,点F在AD的延长线上， ∴EF⊥BC, ∴▱BECF是菱形. 典例分析 例题3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在线段AD上，点F在AD的延长线上，且DE=DF，连结 BE、CE、BF、CF. (2)∠ABF=90°,∠BAF=30°,EF=3,则菱形BECF的周长是多少？ (2)解：∵四边形BECF是菱形， ∴BE=BF=CE=CF, ∵∠ABF=90°,∠BAF=30°,∴∠AFB=60°. ∴△BEF是等边三角形， ∴BE=EF=3, ∴菱形BECF的周长是3×4=12, 变式训练 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC. (1)求证：四边形OCED是菱形； (1)证明：∵CE//BD,DE//AC, ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD=OC, ∴四边形OCED是菱形； 变式训练 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC. (2)当CD=3,DE=4,求AD的长 (2)解：∵四边形OCED是菱形， ∴OC=ED=4, ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2OC=8, ∴在Rt△ACD中， AD== 课堂练习 1.下列说法正确的是（ ) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 课堂练习 2 .如图，菱形ABCD的对角线相较于O，则下列结论不一定正确的是（ ） A. AC平分∠BAD B.AB=AD C.AC=BD D.AC⊥BD 课堂练习 3.如图，▱ABCD,对角线AC,BD交于点O,添加下列条件，能使ABCD变为菱形的是( ) A. AB=AC B. AC=BD C. ∠ABC=90° D. AC⊥BD 课堂练习 4 . 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2α，EF垂直平分AB，垂足为E，与对角线AC交于点F，连接DF，则∠CDF的大小为 （用含 α的代数式表示） 180°-3α 课堂练习 5 .如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C、B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD、AD、CD.若∠ABD=130°，则∠CDA= ° 课堂练习 6 . 如图，DE//AC交AB于点E,DF//AB交AC于点F,∠1=∠2.若AE=10,则四边形AEDF的周长为 . 40° 课堂练习 7. 如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，AB∥CD,AD∥EC,若AC平分∠DAE。求证：四边形AECD是菱形. 证明：∵AB∥CD，AD∥EC, ∴四边形AECD是平行四边形，∠DCA=∠BAC, ∵AC平分∠DAE, ∴∠DAC=∠BAC, ∴∠DAC=∠DCA, ∴AD=CD, 平行四边形AECD是菱形. 课堂练习 8 .如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BCD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE (1)求证：四边形ABCD是菱形； (1)证明：∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA, ∵AC平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA, ∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD, 又∵CD=BC, ∴AD=BC, 又∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵CD=AD, ∴平行四边形ABCD是菱形； 课堂练习 8 .如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BCD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE (2)若OE=8,BD=12,求BC的长. (2)解：∵四边形ABCD是菱形，, ∴BD⊥AC,OB=OD,OA=OC, ∵CE⊥AB,OE=8,BD=12, ∴AC=2OE=16, AO=AC=8,OB=BD=6, 在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10, ∴BC=AB=10. 课堂小结 菱形的判定 判定方法1：基于“边”的判定 ①定义判定法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 ②四边判定法：四条边都相等的四边形是菱形。 判定方法2：基于“对角线”的判定 ①对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ②(先证平行四边形，再证对角线互相垂直) 感谢聆听! $