5.2菱形（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

5.2 菱形 （第一课时） 第5章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1 2 3 理解菱形的性质定理，掌握菱形常见性质的形式特征，能准确描述菱形的几何特征。 掌握菱形性质的应用条件，会根据已知条件（如边、角、对角线的关系），选择合适的性质定理来解决计算或证明问题。 理解菱形性质定理与判定定理的区别与联系，能初步运用菱形的性质定理解决简单的几何证明和计算问题。 旧知复习 矩形的判定 判定方法 具体条件 适用场景 定义法 有一个角是直角的平行四边形 已知四边形是平行四边形，且有一个角是直角 对角线法 对角线相等的平行四边形 已知四边形是平行四边形，且对角线相等 直角法 有三个角是直角的四边形 未知四边形类型，但已知有三个角是直角 情境引入 菱形具有工整、匀称、美观等许多优点，常被人们用在图案设计上，如图所示。 我们把一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 新课探究 “同学们，这是一个普通的平行四边形。如果我保持四条边的长度不变，拉动它的对角，它的形状会发生变化。请大家注意观察， 当一组邻边变得相等时，这个图形变成了什么？” 探究 1：菱形的性质 前提：它是平行四边形（具备平行四边形的一切性质） 特殊条件：一组邻边相等（这是菱形独有的“基因”） 新知探究 请学生拿出准备好的菱形纸片，进行折叠。 折纸探秘（感性认识） 菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它们的位置关系是什么？ 四条边重合吗？这说明了什么？ 对角线互相垂直吗？对角线平分内角吗 新知探究 提出猜想 猜想1（边）：菱形的四条边都相等。 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O。 求证：AB = BC = CD = DA 证明：∵四边形ABCD是菱形(已知), ∴四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD(菱形的定义)。∵四边形ABCD是平行四边形(已证), ∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等)。∵AB=AD(已证), ∵AB=BC=CD=DA(等量代换)。 新知探究 提出猜想 猜想2（对角线）：菱形的对角线互相垂直 已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O。 求证：AC⊥BD。 证明：∵四边形ABCD是菱形(已知), ∴AB=AD, ∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO 在△ABD中， ∵AB=AD(已证),BO=DO(已证), ∴AO⊥BD ∵点O在AC上， ∴AC⊥BD。 新知探究 提出问题 “我们计算平行四边形面积通常用‘底×高’。菱形也是平行四边形，当然可以用这个方法。但是，如果我们只知道两条对角线的长度，能不能算出面积呢？” 证明：菱形被两条对角线分成了四个全等的直角三角形。 S菱形=4×S△AOB S△AOB=2×AO×BO 因为AC=2AO,BD=2BO 所以S菱形=4××AC×BD=AC•BD。 结论： 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 典例分析 例题1. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴.如图，小华家有一个菱形中国结装饰，边长和较短对角线的长都为60cm，则这个中国结菱形部分较大的内角是 度. 120 变式训练 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，点A、C、E在同一直线上，根据实际需要可以调节A、E之间的距离，若AE=90cm,AB=30cm,则∠D的度数是 。 60° 典例分析 例题2.如图，已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点，若OE=3,则菱形的周长为 。 解：四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA,DO=BO, E为BC的中点， ∵OE是△BDC的中位线， OE=DC=3, ∴DC=6, ∴四边形ABCD的周长为：4×6=24, 变式训练 如图，在菱形ABCD中，连接AC BD交于点O,E为BD上一点，连接CE 若AC=24,OD=9,DE=4,则CE= 。 解：∵四边形ABCD是菱形， OC=AC=12，AC⊥BD ∴∠COE=90°, ∵OD=9,DE=4, OE=OD-DE=9-4=5, CE===13, 典例分析 例题3.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC=16，菱形ABCD的面积为96，则OH的长为 . 60° 变式训练 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB=8，菱形ABCD的面积为48，则OE的长为 。 3 典例分析 例题4.如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF。求证：∠AEF=∠AFE. 证明：证明：∵四边形ABCD是菱形， AB=AD,∠B=∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥DC, ∴∠AEB=∠AFD=90°, ∵在△ AEB与△AFD中 △AEB≌△AFD(AAS),∴AE=AF, ∴∠AEF=∠AFE. 变式训练 如图，在菱形ABCD中，点E、点F在对角线AC上，连接BE、BF,∠ABF=∠CBE.求证：AE=CF 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA, ∵∠ABF=∠CBE, ∴△ABF△CBE, ∴AF=CE, ∴AF-EF=CE-EF, 即AE=CF. 课堂练习 1.如图为汽车常备的一种干斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCD=54°时，则∠BAC的度数为( ) A．26° B. 27° C. 28° D. 29° 课堂练习 2 .如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H,则DH的值为( ) A．4.8 B．5 C．6 D．8 课堂练习 3 . 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若AC=8，BD=4，则△BOE与△COF的面积之和为( ) A．1 B．2 C．4 D． 课堂练习 4 . 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2α，EF垂直平分AB，垂足为E，与对角线AC交于点F，连接DF，则∠CDF的大小为 （用含 α的代数式表示） 180°-3α 课堂练习 5 .如图，两条宽为2cm的长方形纸条叠放得到四边形ABCD,若∠ABC=45°,则这个四边形的面积为 . 课堂练习 6 . 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,E是AD边上的动点，作∠BEF=60°交CD于点F,在AB上取点G,使AG=EG,连接EG (1)解：∵∠A=60°,AG=EG, ∴△AGE是等边三角形， ∴∠AGE=60°, ∴∠EGB=120°; (1)求∠EGB的度数； 课堂练习 6 . 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,E是AD边上的动点，作∠BEF=60°交CD于点F,在AB上取点G,使AG=EG,连接EG (2)证明：由(1)知，∠EGB=120°， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB//CD，AB=AD， ∴∠A+∠D=180° ∵∠A=60°，∴∠D=120° ∴∠DEF+∠DFE=60°，∠D=∠EGB. ∵ ∆AGE是等边三角形，∴AE=AG，∠AEG=60°， ∴DE=GB,∵∠BEF=60°∴∠DEF+∠GEB=60°， ∴∠DFE=∠GEB， ∴△DFE≌△GEB（AAS） ∴EF=BE (2)求证：EF=BE. 课堂练习 7 .如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E. (1)求证：四边形OCED是矩形； (1)解：四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线， ∴AC⊥BD,OA=OC,OD=OB, ∴∠DOC=90°, ∵CE//BD,DE//AC, 四边形OCED为平行四边形， 又∵∠DOC=90°, 四边形OCED为矩形. 课堂练习 7 .如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E. (2)连接OE，若AC=10，BD=24， 求OE的长. (2)解：∵AC=10,BD=24,OA=OC,OD=OB, ∴OD=BD=12,OC=AC=5, ∵∠DOC=90°, CD==13, ∵四边形OCED为矩形，∴OE=CD=13, 课堂小结 菱形的性质 边的性质： ①两组对边分别平行（它是平行四边形） ②四条边都相等（这是菱形最独特的性质） 角的性质：①对角相等；②邻角互补 对角线的性质 ①对角线互相平分（它是平行四边形）。 ②对角线互相垂直。 ③每一条对角线平分一组对角。 感谢聆听! $