高频考点02方程与不等式（专项训练，6大考点28个命题点）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以6大考点为框架，整合命题探源、知识整合、妙法指津及分层闯关，系统提炼解题技巧与易错点，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力、模型意识与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元一次方程及应用|4命题点+3预测题|等式性质应用、解含参方程技巧|从概念到应用，强调“文字转符号”建模| |二元一次方程组及应用|5命题点+4预测题|消元策略择优、整体思想速解|双变量建模，结合一次函数交点| |一元二次方程及应用|4命题点+4预测题|解法选择、韦达定理整体代入|代数变形与几何融合，需分类讨论| |分式方程及应用|3命题点+3预测题|整式化转化、增根判别|转化思想，强调验根与实际意义| |不等式（组）及应用|4命题点+4预测题|解集确定、最优方案决策|符号运算与逻辑判断，关注边界值| |方程与不等式求参数|7命题点+3预测题|逆向思维、多约束叠加分析|综合应用，考查代数推理与临界分析|

高频考点02 方程与不等式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（6大命题点+18道中考预测题，） 考点一 一元一次方程及应用 命题点 1 等式的性质 命题点 2 解一元一次方程 命题点 3 定义新运算与一元一次方程 命题点 4 一元一次方程的应用 中考预测题3道 考点二 二元一次方程组及应用 命题点 1 二元一次方程的解 命题点 2 解二元一次方程组 命题点 3 定义新运算与二元一次方程组综合 命题点 4 二元一次方程组的特殊解法 命题点 5 二元一次方程组的应用 中考预测题4道 考点三 一元二次方程及应用 命题点 1 解一元二次方程 命题点 2 韦达定理 命题点 3 利用根的判别式判断二次方程根的情况 命题点 4 一元二次方程的应用 中考预测题4道 考点四 分式方程及应用 命题点 1 解分式方程 命题点 2 分式方程的应用 命题点 3 定义新运算与分式方程综合 中考预测题3道 考点五 不等式（组）及应用 命题点 1 不等式的性质 命题点 2 解一元一次不等式（组） 命题点 3 用数轴表示不等式解集 命题点 4 不等式（组）的应用 中考预测题4道 考点六 方程与不等式求参数问题 命题点 1 一元一次方程求参数问题 命题点 2 二元一次方程组的求参数问题 命题点 3 根据一元二次方程的概念求参数 命题点 4 根据一元二次方程根的情况求参数 命题点 5 根据分式方程解的情况求参数 命题点 6 根据分式方程有无根求参数 命题点 7 根据不等式的解集求参数 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+9道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 一元一次方程及应用 1. 基础解法与定义 2. 核心等量关系建模 建模直观化：重点考查“文字转符号”能力。等量关系通常隐藏在“共、多、少、快、慢”等关键词中。 背景生活化：常以打折销售、方案选择、阶梯收费（水费/电费）为背景。 陷阱设置：在去分母时，常考查“漏乘常数项”或“分子是多项式时未加括号”。 二元一次方程组及应用 1. 消元思想的运用 2. 整数解与不定方程 3. 双变量实际问题 消元策略的多样性：命题倾向于考查“系数特征”，如系数互为相反数或倍数关系，引导学生灵活选择加减消元法。 双对象对比：应用题多涉及“甲乙两种商品”、“AB两种车型”，侧重考查建立两个独立等式方程的能力。 数形结合：常与一次函数图像结合，考查交点坐标即为方程组的解。 一元二次方程及应用 1. 三大解法选择 2. 判别式与韦达定理 3. 动态几何与变化率 代数变形能力：韦达定理常与完全平方公式、分式求值结合，考查代数式的整体代入思想。 几何融合度高：常在矩形边长变化、动点问题中出现，需结合几何图形的性质（如面积公式、勾股定理）列方程。 分类讨论：在考查二次项系数含字母时，必须讨论系数是否为 0（即方程是否退化为一次方程）。 分式方程及应用 1. 整式化转化 2. 增根条件的深度应用 3. 工作效率与行程 转化的彻底性：命题核心是“去分母”，但重点在于后续对“增根”的判别。考题常设计为“若方程有增根，求 m 的值”。 效率变化模型：应用题多为“技术革新后效率提高 20%”或“实际比原计划提前到达”，分母常含变量。 条件约束：解的实际意义（如人数不能为负，速度必须为正）是校验答案的关键。 不等式与不等式组及应用 1. 解集的确定与表达 2. 确定特定整数解 3. 决策方案优化 边界灵敏度：命题极易在“空心圆点”与“实心圆点”上设坑，即 ≤ 与 < 的区分。 寻找“最优解”：应用题常要求“最少、最多、不超过”，需通过不等式组确定取值范围，再根据实际意义（取整数）选出最优方案。 逻辑递进：不等式组的解集遵循“大大取大、小小取小”的原则，是考查逻辑判断力的标配。 方程与不等式中求参数问题 1. 根据解的特征反推参数 2. 混合体系下的参数范围 3. 临界状态分析 综合性最强：此类题型通常是中考的“分水岭”。考特征如“解为正数”、“解在某个区间内”或“无解”。 多约束叠加：求参数时需同时满足：① 计算出的参数表达式；② 方程本身的定义要求（如分式分母不为 0、二次项系数不为 0）。 逆向思维：从“结果”推导“前提”，对考生的代数运算和符号推导能力要求极高。 考点一 一元一次方程及应用 《解题指南》 易错提醒： 解方程步骤易错：去分母时，常数项容易漏乘最小公分母；分子为多项式时未加括号，导致符号全盘出错；移项忘记变号，同侧移动项错误变号；未知数系数为负数时，系数化为1符号颠倒。 概念判定易错：误将含分母且分母有未知数、未知数次数为2、含两个未知数的式子判定为一元一次方程；忽略一元一次方程“整式方程、单未知数、次数为1”三大核心条件。 含参方程易错：遇到 型方程，默认 ，忽略 的分类讨论（ 无解， 无数解）。 应用题建模易错：审题找不准等量关系，混淆“增加、增加到、减少、剩余”等关键词；单位不统一直接列方程；求解后不检验实际意义，出现人数、物品数量为小数、负数的不合理结果。 命题点01 等式的性质 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）将等式进行变形，其中变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例3】．（2026·浙江绍兴·一模）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例4】．（2025·浙江杭州·二模）将公式变形成用表示，则______． 【典例5】．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 命题点02 解一元一次方程 【典例1】．（2024·上海·中考真题）已知，则___________． 【典例2】．（2025·浙江杭州·三模）解方程：，则方程的解是________． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）若式子与式子的值相等，则的值为___________． 【典例4】．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 【典例5】．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【典例6】．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 命题点03 定义新运算与一元一次方程 【典例1】．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【典例2】．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（    ）． A． B．1 C．0 D．2 【典例3】．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 命题点04 一元一次方程的应用 【典例1】．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【典例2】．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【典例3】．（2025·浙江衢州·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【典例5】．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【典例6】．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为_____． 【典例7】．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 中考预测题 1.小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（   ） A． B． C． D． 2.当甲在赛跑中冲过终点线时，比乙领先，比丙领先．如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，丙距离终点（   ） A．12 B．10 C．8 D．5 3.若与互为相反数，则t的值为____． 考点二 二元一次方程组及应用 《解题指南》 解题技巧： 消元方法择优技巧：任意未知数系数为 ±1，优先用代入消元法，计算更简便；相同未知数系数成倍数关系，优先用加减消元法，快速消元。 整体思想速解：题干出现 x+y、x−y 整体结构，无需单独求解 x、y，直接整体加减求值，大幅简化计算。 含参问题技巧：已知解直接代入原方程组，转化为关于参数的二元一次方程组，常规求解即可；同解问题先解无参方程组，再代入含参方程求参数。 应用题建模技巧：适用于双未知量实际问题，找出两组独立、不重复的等量关系；配套问题抓“配比比例”、行程问题抓“路程和/差”、购物问题抓“总价、数量关系”，求解后验证取值合理性。 命题点01 二元一次方程的解 【典例1】．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【典例2】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【典例3】．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程，若时，则_____． 【典例5】．（2025·浙江台州·二模）若是二元一次方程的一个解，则的值为__________． 命题点02 解二元一次方程组 【典例1】．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江金华·二模）方程组的解是_____． 【典例3】．（2025·浙江·二模）解方程组： 【典例4】．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【典例5】．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 命题点03 定义新运算与二元一次方程组综合 【典例1】．（2025·河南安阳·模拟预测）对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 【典例2】．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【典例3】．（2026·重庆·模拟预测）定义一种新运算“”：，若，则的值为_____． 【典例4】．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 命题点04 二元一次方程组的特殊解法 【典例1】．（2018·四川乐山·中考真题）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2022·浙江温州·模拟预测）若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【典例4】．（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是_____ 命题点05 二元一次方程组的应用 【典例1】．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江台州·三模）晚托期间，八（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多4人；后来，羽毛球组有8人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数是羽毛球组报名人数的2倍．设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【典例6】．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 中考预测题 1.已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数，且）的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 3.方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4.新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． 【问题解决】 (1)求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 (2)利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 考点三 一元二次方程及应用 《解题指南》 解题思维： 概念与形式易错：忽略一元二次方程核心隐藏条件 a≠0；未化为一般式 ax2+bx+c=0 就套用公式、判别式。 解方程高频错：直接开平方法遗漏负根；方程两边随意除以含未知数的式子，导致丢失根；求根公式代入时，负数系数符号出错、判别式计算失误。 判别式与韦达定理易错：混淆 Δ>0、Δ=0、Δ<0 的根的情况；使用韦达定理忽略 a≠0 和 Δ≥0 双重前提。 应用题易错：增长率、面积、利润问题公式套用错误；解出两个根后不取舍，保留负数、超出实际范围的无效根。 命题点01 解一元二次方程 【典例1】．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 【典例2】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【典例3】．（2025·浙江杭州·三模）解方程： (1) (2) 【典例4】．（2025·浙江宁波·模拟预测） （1）解方程： （2）计算： 命题点2 韦达定理 【典例1】．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【典例2】．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【典例3】．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江杭州·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 【典例5】．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【典例6】．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 命题点03 利用根的判别式判断二次方程根的情况 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【典例3】．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【典例4】．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【典例6】．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【典例7】．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 命题点04 一元二次方程的应用 【典例1】．（2026·浙江宁波·模拟预测）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为步，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【典例4】．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【典例6】．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【典例7】．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 中考预测题 1.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 3.若一元二次方程的两根为、，则_____． 4.如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 考点四 分式方程及应用 《解题指南》 解题思维： 核心硬性易错点：解分式方程忘记验根，中考直接扣分；验根只形式化验算，未真正代入最简公分母判断。 去分母计算易错：整式常数项漏乘最简公分母；分母互为相反数变形时符号出错；分子多项式去分母未加括号。 增根与无解混淆：误认为增根=无解；实际无解包含两种情况：整式方程无解、整式方程的根全部是增根。 应用题易错：工程、行程、效率问题等量关系混淆；只验分母不为0，忽略实际意义，出现负数时间、负效率等不合理结果。 命题点01 解分式方程 【典例1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【典例3】．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为_______． 【典例5】．（2025·浙江丽水·二模）解方程：． 【典例6】．（2026·浙江·模拟预测）解方程：． 命题点02 分式方程的应用 【典例1】．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． (1)购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ (2)学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． (1)求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； (2)两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 【典例5】．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【典例6】．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 命题点03 定义新运算与分式方程综合 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为______． 【典例3】．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 中考预测题 1.方程的解为_____． 2.解分式方程：． 3.“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 考点五 不等式（组）及应用 《解题指南》 易错提醒： 符号变号致命易错：不等式两边同乘、除以负数时，忘记反转不等号；加减运算、乘除正数错误变号。 解集表示易错：数轴表示混淆空心点（不含等号）、实心点（含等号）；方向画反，解集范围判断错误。 解集口诀误用：记错“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”，导致不等式组解集判定错误。 整数解问题易错：求正整数、非负整数、整数解时，边界值取舍错误，出现漏解、多解；混淆非负整数（含0）和正整数（不含0）。 含参与应用易错：含参不等式忽略系数为0的分类讨论；根据解集反向求参数，端点等号取舍错误；应用题直接照搬解集，不结合实际取整。 命题点01 不等式的性质 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【典例3】．（2025·浙江台州·三模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江温州·三模）已知点在反比例函数的图象上，若，则有（　　） A． B． C． D．0 【典例5】．（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．（2025·江苏常州·中考真题）若则______0．（填、或）． 命题点02 解一元一次不等式（组） 【典例1】．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是_____． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【典例4】．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【典例5】．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【典例6】．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 命题点03 用数轴表示不等式解集 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）不等式的解在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【典例5】．（2023·河南新乡·三模）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．（2025·浙江宁波·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【典例7】．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 命题点04 不等式（组）的应用 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【典例2】．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【典例3】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【典例4】．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，则共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，则共需要资金4120元． (1)每个电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，求最多能购进多少台液晶显示器． 【典例6】．（2025·浙江温州·三模）实际应用：某工厂利用传送带运输产品，每个产品的质量为2千克． 素材一  如图，记电动机的输出功率为（瓦）、传送带的速度为、每个产品的质量为（千克）、产品的数量为（个），已知（为常数）． 素材二  经测试，当传送带以0.5米/秒的速度运输10个产品时，电动机的输出功率为50瓦． 素材三  电动机的最大输出功率为200瓦． (1)当传送带以1米/秒的速度运输15个产品时，求此时电动机的输出功率． (2)现将传送带的速度调整为0.8米/秒，求此时传送带最多能同时运输多少个产品？ 中考预测题 1.不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 2.解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 3.安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． (1)A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 4.求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来． 考点六 方程与不等式求参数问题 《解题指南》 易错提醒： 隐藏条件遗漏：一元二次方程忽略 a≠0、Δ≥0；分式方程忽略分母不为0；不等式忽略系数正负分类讨论。 分类讨论不全面：含参方程未区分一次、二次方程；含参不等式未区分系数为正、为负、为0三种情况。 端点取舍错误：根据解的个数、解集范围求参数时，临界值等号判断失误，多取或漏取端点。 综合题型逻辑混乱：方程与不等式结合题型，混淆等量关系与不等关系，条件混用导致解题错误。 命题点01 一元一次方程求参数问题 【典例1】．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A． B．6 C． D． 【典例2】．（2026·河北石家庄·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例3】．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【典例4】．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【典例5】．（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 【典例6】．（2026·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为____． 命题点02 二元一次方程组的求参数问题 【典例1】．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　） A．1 B．2 C． D． 【典例2】．（2023·浙江温州·模拟预测）已知方程组，若，的值互为相反数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【典例3】．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例4】．（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【典例5】．（2026·重庆·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组，若，则a的值是______． 【典例6】．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 命题点03 根据一元二次方程的概念求参数 【典例1】．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【典例2】．（2025·浙江宁波·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为_______． 【典例3】．（2025·浙江台州·二模）已知一元二次方程的一个根为1，则________． 【典例4】．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【典例5】．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 命题点04 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【典例2】．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是___________． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【典例5】．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【典例6】．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 命题点05 根据分式方程解的情况求参数 【典例1】．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【典例2】．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【典例3】．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是___________． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 命题点06 根据分式方程有无根求参数 【典例1】．（2022·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【典例2】．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【典例3】．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【典例4】．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【典例5】．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 命题点07 根据不等式的解集求参数 【典例1】．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式的负整数解只有，，则m的取值范围是________． 【典例2】．（2022·山东威海·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为，则________． 【典例3】．（2026·四川泸州·一模）关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 中考预测题 1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 2.关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 3.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 好题速递 1.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级下·浙江温州·期中）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为（        ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·江苏泰州·一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 6.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 7.（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式： 8.（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． (1)请用含的代数式表示长方形的面积； (2)若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； (3)若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 9.（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 10.（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 中考闯关 1.已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 2.不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 4.某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（    ） A． B． C． D． 5.关于x，y的方程组的解满足，则的值是______． 6.“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． (1)求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； (2)超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 7.甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 8.解不等式组： (1)； (2)． 9.南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点02 方程与不等式 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（6大命题点+18道中考预测题，） 考点一 一元一次方程及应用 命题点 1 等式的性质 命题点 2 解一元一次方程 命题点 3 定义新运算与一元一次方程 命题点 4 一元一次方程的应用 中考预测题3道 考点二 二元一次方程组及应用 命题点 1 二元一次方程的解 命题点 2 解二元一次方程组 命题点 3 定义新运算与二元一次方程组综合 命题点 4 二元一次方程组的特殊解法 命题点 5 二元一次方程组的应用 中考预测题4道 考点三 一元二次方程及应用 命题点 1 解一元二次方程 命题点 2 韦达定理 命题点 3 利用根的判别式判断二次方程根的情况 命题点 4 一元二次方程的应用 中考预测题4道 考点四 分式方程及应用 命题点 1 解分式方程 命题点 2 分式方程的应用 命题点 3 定义新运算与分式方程综合 中考预测题3道 考点五 不等式（组）及应用 命题点 1 不等式的性质 命题点 2 解一元一次不等式（组） 命题点 3 用数轴表示不等式解集 命题点 4 不等式（组）的应用 中考预测题4道 考点六 方程与不等式求参数问题 命题点 1 一元一次方程求参数问题 命题点 2 二元一次方程组的求参数问题 命题点 3 根据一元二次方程的概念求参数 命题点 4 根据一元二次方程根的情况求参数 命题点 5 根据分式方程解的情况求参数 命题点 6 根据分式方程有无根求参数 命题点 7 根据不等式的解集求参数 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选10道最新名校模拟试题+9道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 一元一次方程及应用 1. 基础解法与定义 2. 核心等量关系建模 建模直观化：重点考查“文字转符号”能力。等量关系通常隐藏在“共、多、少、快、慢”等关键词中。 背景生活化：常以打折销售、方案选择、阶梯收费（水费/电费）为背景。 陷阱设置：在去分母时，常考查“漏乘常数项”或“分子是多项式时未加括号”。 二元一次方程组及应用 1. 消元思想的运用 2. 整数解与不定方程 3. 双变量实际问题 消元策略的多样性：命题倾向于考查“系数特征”，如系数互为相反数或倍数关系，引导学生灵活选择加减消元法。 双对象对比：应用题多涉及“甲乙两种商品”、“AB两种车型”，侧重考查建立两个独立等式方程的能力。 数形结合：常与一次函数图像结合，考查交点坐标即为方程组的解。 一元二次方程及应用 1. 三大解法选择 2. 判别式与韦达定理 3. 动态几何与变化率 代数变形能力：韦达定理常与完全平方公式、分式求值结合，考查代数式的整体代入思想。 几何融合度高：常在矩形边长变化、动点问题中出现，需结合几何图形的性质（如面积公式、勾股定理）列方程。 分类讨论：在考查二次项系数含字母时，必须讨论系数是否为 0（即方程是否退化为一次方程）。 分式方程及应用 1. 整式化转化 2. 增根条件的深度应用 3. 工作效率与行程 转化的彻底性：命题核心是“去分母”，但重点在于后续对“增根”的判别。考题常设计为“若方程有增根，求 m 的值”。 效率变化模型：应用题多为“技术革新后效率提高 20%”或“实际比原计划提前到达”，分母常含变量。 条件约束：解的实际意义（如人数不能为负，速度必须为正）是校验答案的关键。 不等式与不等式组及应用 1. 解集的确定与表达 2. 确定特定整数解 3. 决策方案优化 边界灵敏度：命题极易在“空心圆点”与“实心圆点”上设坑，即 ≤ 与 < 的区分。 寻找“最优解”：应用题常要求“最少、最多、不超过”，需通过不等式组确定取值范围，再根据实际意义（取整数）选出最优方案。 逻辑递进：不等式组的解集遵循“大大取大、小小取小”的原则，是考查逻辑判断力的标配。 方程与不等式中求参数问题 1. 根据解的特征反推参数 2. 混合体系下的参数范围 3. 临界状态分析 综合性最强：此类题型通常是中考的“分水岭”。考特征如“解为正数”、“解在某个区间内”或“无解”。 多约束叠加：求参数时需同时满足：① 计算出的参数表达式；② 方程本身的定义要求（如分式分母不为 0、二次项系数不为 0）。 逆向思维：从“结果”推导“前提”，对考生的代数运算和符号推导能力要求极高。 考点一 一元一次方程及应用 《解题指南》 易错提醒： 解方程步骤易错：去分母时，常数项容易漏乘最小公分母；分子为多项式时未加括号，导致符号全盘出错；移项忘记变号，同侧移动项错误变号；未知数系数为负数时，系数化为1符号颠倒。 概念判定易错：误将含分母且分母有未知数、未知数次数为2、含两个未知数的式子判定为一元一次方程；忽略一元一次方程“整式方程、单未知数、次数为1”三大核心条件。 含参方程易错：遇到 型方程，默认 ，忽略 的分类讨论（ 无解， 无数解）。 应用题建模易错：审题找不准等量关系，混淆“增加、增加到、减少、剩余”等关键词；单位不统一直接列方程；求解后不检验实际意义，出现人数、物品数量为小数、负数的不合理结果。 命题点01 等式的性质 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）将等式进行变形，其中变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，即，原变形正确，故此选项符合题意； C．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【典例2】．（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据等式的性质，分式的意义，乘方，二次根式的性质解答即可． 【详解】解：A. 若，时，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； B. 若，则，正确，故本选项符合题意； C. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； D. 若，则，选项变形错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【典例3】．（2026·浙江绍兴·一模）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式两边同除以一个数时，该数不能为0，结合等式性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，∵ 当时，任意不相等的都满足， ∴ 由无法推出，A是假命题； 对于B，，等式两边同时加2，得，B是真命题； 对于C，，等式两边同时加2，得，C是真命题； 对于D， ， ，等式两边同时除以，得， D是真命题． 【典例4】．（2025·浙江杭州·二模）将公式变形成用表示，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程中代入法的运用，掌握等式的性质，代入法的计算是关键． 根据等式的性质，代入法的计算即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，得到， 移项、合并同类项得，， ∴， 故答案为： ． 【典例5】．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 命题点02 解一元一次方程 【典例1】．（2024·上海·中考真题）已知，则___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【典例2】．（2025·浙江杭州·三模）解方程：，则方程的解是________． 【答案】1/ 【分析】本题考查了解一元一次方程．先去括号，再移项，最后系数化为1即可求解． 【详解】解：∵， ∴去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：1． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）若式子与式子的值相等，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，由题意可得，再解方程即可． 【详解】解：由题可知，， ∴， 解得． 故答案为： 【典例4】．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 【典例5】．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1） （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 【典例6】．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 命题点03 定义新运算与一元一次方程 【典例1】．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则． 根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 解得． 故选C． 【典例2】．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（    ）． A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【详解】解：由题意知：， 又， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可． 【典例3】．（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 根据新定义可得，进而列出方程，即可解得． 【详解】解：由题意可知，得． 故答案为：0． 命题点04 一元一次方程的应用 【典例1】．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 【典例2】．（2025·四川资阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（   ） A．斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原本持金为斤，逐关计算税金并求和，根据已知列方程，然后解方程求得即可． 【详解】解：由题意，第1关收税：，剩余， 第2关收税：，剩余， 第3关收税：，剩余， 第4关收税：，剩余， 第5关收税：， 则五关税金之和为， 根据题意，总税金为1斤，得， 解得 故原本持金为斤， 故选：A． 【典例3】．（2025·浙江衢州·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的两种出钱情况，分别用代数式表示物品价格，建立方程即可． 【详解】解：设共有x人， 由题意得，． 故选：C． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程——配套问题，理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 根据“个笔管与个笔套是一套”，若满足制成的笔管数量与笔套数量正好配套，即“笔管数量等于笔套数量”；若设用于制作笔管的短竹数为根，用于制作笔套的短竹数为根，结合题意，列出方程；若设用于制作笔套的短竹数为y根，用于制作笔管的短竹数为根，结合题意，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：若设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：； 若设用于制作笔套的短竹数为y根，则能制成个笔套，用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：． 故选：B． 【典例5】．（2026·浙江杭州·一模）某学校一种营养快餐由蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物四种成分组成，一份营养快餐的总质量为，各种成分的质量如下表：经检测，蛋白质的质量比矿物质质量的4倍多15g，则列出方程正确的是（   ） 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 质量（g） 15 120 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据总质量求出蛋白质和矿物质的质量和，再结合两者的数量关系整理得到方程即可． 【详解】解：营养快餐总质量为，其中脂肪质量为，碳水化合物质量为， 蛋白质与矿物质的总质量为， 又蛋白质的质量比矿物质质量的倍多，矿物质质量为， 蛋白质质量为， 因此可得方程：． 【典例6】．（2025·陕西·中考真题）科技馆开展“太空遨游”和“深海探秘”两项科技体验活动，某校组织200名学生参加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”的人数的2倍还多20人，则参加“深海探秘”的人数为_____． 【答案】60 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据总人数列出方程求解即可． 【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为人，则参加“太空遨游”的人数为人，根据题意得， ， 解得， ∴参加“深海探秘”的人数为60人， 故答案为：60． 【典例7】．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 中考预测题 1.小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两段跑步的总时间等于总用时建立方程. 【详解】解：∵设小明以米/秒的速度跑了米，总路程为米， ∴剩下的路程为米， ∴以米/秒跑米的时间为秒，以米/秒跑剩下路程的时间为秒， ∵总用时为分钟，需统一单位为秒，即总时间为秒， ∴根据总时间的等量关系可列方程. 2.当甲在赛跑中冲过终点线时，比乙领先，比丙领先．如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，丙距离终点（   ） A．12 B．10 C．8 D．5 【答案】A 【分析】先求出乙和丙的速度比，再利用比例关系建立方程求解即可． 【详解】解：乙和丙的速度比为， 设当乙到达终点时，丙距离终点， ， 整理得：， 解得：， 答：当乙到达终点时，丙距离终点12米． 3.若与互为相反数，则t的值为____． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和立方根的性质，得到两个被开方数之和为，列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 考点二 二元一次方程组及应用 《解题指南》 解题技巧： 消元方法择优技巧：任意未知数系数为 ±1，优先用代入消元法，计算更简便；相同未知数系数成倍数关系，优先用加减消元法，快速消元。 整体思想速解：题干出现 x+y、x−y 整体结构，无需单独求解 x、y，直接整体加减求值，大幅简化计算。 含参问题技巧：已知解直接代入原方程组，转化为关于参数的二元一次方程组，常规求解即可；同解问题先解无参方程组，再代入含参方程求参数。 应用题建模技巧：适用于双未知量实际问题，找出两组独立、不重复的等量关系；配套问题抓“配比比例”、行程问题抓“路程和/差”、购物问题抓“总价、数量关系”，求解后验证取值合理性。 命题点01 二元一次方程的解 【典例1】．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 【典例2】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 【典例3】．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【典例4】．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二元一次方程，若时，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，依题意，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵二元一次方程， ∴把代入，得， 解得， 故答案为：2． 【典例5】．（2025·浙江台州·二模）若是二元一次方程的一个解，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的解的概念，即解能使方程左右两边相等． 将解代入即可解得答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得． 故答案为：． 命题点02 解二元一次方程组 【典例1】．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 【典例2】．（2025·浙江金华·二模）方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法求出方程组的解即可． 【详解】解： 把①代入②，得：，解得； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解是； 故答案为：． 【典例3】．（2025·浙江·二模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法解二元一次方程组的方法是关键； 根据代入消元法求解即可. 【详解】解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是. 【典例4】．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【典例5】．（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 命题点03 定义新运算与二元一次方程组综合 【典例1】．（2025·河南安阳·模拟预测）对x，y定义一种新运算：，当，时，；当，时，，则x，y的值分别为（   ） A．2， B．2，1 C．，1 D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的解法（代入消元法等）是解题的关键．根据新运算的定义，将不同、值代入运算式，得到关于、的二元一次方程组，再求解方程组得出、的值 ． 【详解】解：由题意可得 ． 由，可变形为 （通过移项，用含的式子表示，为代入消元做准备 ）． 把代入中，得到 （代入消元，将二元一次方程转化为一元一次方程 ）． 展开括号： ． 合并同类项： ． 移项可得：，即 ． 解得 ． 把代入，得 ． 故选：A 【典例2】．（2025·湖南株洲·模拟预测）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（   ） A．， B．若无论取何值时，的值均不变，则 C．若，则、有且仅有组整数解 D．若对任意有理数、都成立，则 【答案】B 【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可． 本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、由题意，得， 解得：，故选项A正确； B、， 若始终不变，则有种情况： ，则， ，少考虑一种情况，故选项B错误； C．， ， ， 当为整数时，，，， 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：， ，符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意； 当时， 解得：，不符合题意， 综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确； D．当时，则， ， ， 即， 对任意有理数，都成立， ，故选项D正确． 故选：B． 【典例3】．（2026·重庆·模拟预测）定义一种新运算“”：，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据新定义运算规则 ，将已知条件转化为关于 的方程，利用绝对值的非负性确定 的取值范围，从而去掉第二个方程中的绝对值符号，联立求解即可得出 的值，进而求得 的值． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， ， ， .， ， ， ，即 ， 将 代入 中，得 ，整理得 ， 若 ，则 ，不符合题意，舍去； 若 ，则 ， 解得 ， 当 时，， ． 【典例4】．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 【答案】(1)1； (2) ． 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，        ， 则有方程组，        解得，           ∴． 命题点04 二元一次方程组的特殊解法 【典例1】．（2018·四川乐山·中考真题）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 【典例2】．（2022·浙江温州·模拟预测）若关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用整体换元思想，对比两个二元一次方程组的结构，根据原方程组的解得到新方程组中对应整体的值，即可求解x，y． 【详解】解：∵ 原二元一次方程组的解为 待求解方程组与原方程组结构一致， 将和看作整体，可得 ，解得． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 【典例4】．（2025·浙江宁波·一模）若方程组    的解是     则方程组   的解是_____ 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解. 【详解】解：∵， ∴，即 ∵的解为， ∴， ∴. 故答案为： 命题点05 二元一次方程组的应用 【典例1】．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 【典例2】．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 【典例3】．（2025·浙江台州·三模）晚托期间，八（1）班学生积极参与文体活动．起初，篮球组的报名人数比羽毛球组报名人数的还多4人；后来，羽毛球组有8人改报了篮球组，此时，篮球组的报名人数是羽毛球组报名人数的2倍．设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，依题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设起初报名篮球组的人数为，报名羽毛球组的人数为，依题意得： ， 故选：A． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 【典例5】．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意的两个等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：由黄金9枚和白银11枚的重量相等，可列方程：， 互换1枚后，天平一边为8枚黄金和1枚白银，另一边为1枚黄金和10枚白银， ∴根据题意，可列方程：， ∴方程组为． 【典例6】．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 中考预测题 1.已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数，且）的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：∵是二元一次方程 的一组解 ∴将代入方程得 解得 ∴一次函数解析式为 ∵， ∴一次函数的图象经过第一、第二、第四象限 ∴图象不经过第三象限 2.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找准两种出钱方案对应的等量关系，分别列出方程后联立即可得到正确方程组. 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元时，总钱数比物价多3元， ∴； ∵每人出7元时，总钱数比物价少4元， ∴； 联立可得方程组， 故选：C. 3.方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 4.新学期、新气象、新面貌．开学之际，学生对书包的需求量增加． 【市场调研】 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进款式、大小、颜色、价格都不相同的A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款920元．已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵40元． 商场将B款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利． 【问题解决】 (1)求A、B两款每个书包的进价分别为多少元？ 【信息应用】 (2)利用列方程解应用题，求出信息二中B款书包的打几折出售？ 【答案】(1)每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； (2)B款书包的打九折出售． 【分析】（1）通过设A、B款书包的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设打折出售，根据利润列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设每个A款书包的进价为元，每个B款书包的进价为元， 由题意，得， 解得， 即每个A款书包的进价为60元，每个B款书包的进价为100元； （2）解：设B款书包实际销售时打折出售， 由题意得： ， 解得， 故B款书包打九折出售． 考点三 一元二次方程及应用 《解题指南》 解题思维： 概念与形式易错：忽略一元二次方程核心隐藏条件 a≠0；未化为一般式 ax2+bx+c=0 就套用公式、判别式。 解方程高频错：直接开平方法遗漏负根；方程两边随意除以含未知数的式子，导致丢失根；求根公式代入时，负数系数符号出错、判别式计算失误。 判别式与韦达定理易错：混淆 Δ>0、Δ=0、Δ<0 的根的情况；使用韦达定理忽略 a≠0 和 Δ≥0 双重前提。 应用题易错：增长率、面积、利润问题公式套用错误；解出两个根后不取舍，保留负数、超出实际范围的无效根。 命题点01 解一元二次方程 【典例1】．（2025·贵州·中考真题）一元二次方程的根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：． 故答案为：． 【典例2】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 【典例3】．（2025·浙江杭州·三模）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接利用开平方法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：． 【典例4】．（2025·浙江宁波·模拟预测） （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1）， ；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，负整数指数幂，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）根据负整数指数幂，零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ∴， 即，； （2） ． 命题点2 韦达定理 【典例1】．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【典例2】．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 【典例3】．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 【典例4】．（2025·浙江杭州·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变形是解题的关键． 根据根与系数的关系得出，，再根据，代入求解即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得： 故选：A． 【典例5】．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 【典例6】．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 命题点03 利用根的判别式判断二次方程根的情况 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 【典例2】．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 【典例3】．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【典例4】．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 【典例5】．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【典例6】．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 【典例7】．（23-24九年级上·广东潮州·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2） ，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 命题点04 一元二次方程的应用 【典例1】．（2026·浙江宁波·模拟预测）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为步，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为步，则宽为步，利用面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 【典例2】．（2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方． 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 【典例3】．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 【典例4】．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 【典例5】．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 【典例6】．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【典例7】．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 中考预测题 1.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限． 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 2.关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，， ∵ 又∵ 无论取何值，都有 ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根． 3.若一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若两根为，则两根之积，代入对应系数即可计算得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 4.如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 考点四 分式方程及应用 《解题指南》 解题思维： 核心硬性易错点：解分式方程忘记验根，中考直接扣分；验根只形式化验算，未真正代入最简公分母判断。 去分母计算易错：整式常数项漏乘最简公分母；分母互为相反数变形时符号出错；分子多项式去分母未加括号。 增根与无解混淆：误认为增根=无解；实际无解包含两种情况：整式方程无解、整式方程的根全部是增根。 应用题易错：工程、行程、效率问题等量关系混淆；只验分母不为0，忽略实际意义，出现负数时间、负效率等不合理结果。 命题点01 解分式方程 【典例1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 【典例2】．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 【典例3】．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 【典例4】．（2025·浙江丽水·二模）分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得到整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同乘 得 ， 即 ， 解得 ， 检验：当 时，分母 ，满足条件， 原分式方程的解为， 故答案为：． 【典例5】．（2025·浙江丽水·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【典例6】．（2026·浙江·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是将分式方程转化为整式方程并验根．先去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验解是否使原分式方程分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 命题点02 分式方程的应用 【典例1】．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 【典例2】．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设张技师每小时做手工艺品件，张技师比李技师每小时少做件， ∴李技师每小时做件， ∵工作时间 ， ∴张技师做件的时间为，李技师做件的时间为， 又∵张技师做件与李技师做件所用时间相等， ∴可得方程 ． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． (1)购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ (2)学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】(1)购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元 (2)学校最多可以购买50支钢笔 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式与分式方程是解此题的关键． （1）设购买一支钢笔需元，则购买一支签字笔需元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设学校购买支钢笔，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设购买一支钢笔需元，则购买一支签字笔需元． 由题意得， 解得． 经检验是原方程的解． ． 答：购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元． （2）解：设学校购买支钢笔． 由题意，得． 解得． 答：学校最多可以购买50支钢笔． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． (1)求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； (2)两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 【答案】(1)甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品 (2)乙组提高效率后每天至少加工35袋食品 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙组每天能加工袋食品，则甲组每天能加工袋食品，根据“乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”建立分式方程求解； （2）设乙组提高效率后每天加工袋食品，根据题意得到，再解不等式求解． 【详解】（1）解：设乙组每天能加工袋食品，则甲组每天能加工袋食品． 由题意，得． 解得． 经检验是分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品． （2）解：设乙组提高效率后每天加工袋食品． 由题意，得， 解得， 答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品． 【典例5】．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 【典例6】．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 命题点03 定义新运算与分式方程综合 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为______． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键； 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 【典例3】．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 中考预测题 1.方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题的解题思路是先将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，再进行验根得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 2.解分式方程：． 【答案】原方程无解 【详解】解：两边同时乘以得：， 解得：， 检验：将代入， 是方程的增根，原方程无解． 3.“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 【答案】(1)第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； (2)每个小喇叭的进价最多为4元． 【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据第二次购买的单价比第一次便宜1元建立方程求解即可； （2）设每个小喇叭的进价为m元，根据两次售出的总利润不低于400元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； （2）解：设每个小喇叭的进价为m元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为4， 答：每个小喇叭的进价最多为4元． 考点五 不等式（组）及应用 《解题指南》 易错提醒： 符号变号致命易错：不等式两边同乘、除以负数时，忘记反转不等号；加减运算、乘除正数错误变号。 解集表示易错：数轴表示混淆空心点（不含等号）、实心点（含等号）；方向画反，解集范围判断错误。 解集口诀误用：记错“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”，导致不等式组解集判定错误。 整数解问题易错：求正整数、非负整数、整数解时，边界值取舍错误，出现漏解、多解；混淆非负整数（含0）和正整数（不含0）。 含参与应用易错：含参不等式忽略系数为0的分类讨论；根据解集反向求参数，端点等号取舍错误；应用题直接照搬解集，不结合实际取整。 命题点01 不等式的性质 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 【典例2】．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 【典例3】．（2025·浙江台州·三模）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 、∵，∴，原选项正确，符合题意； 、∵，∴，原选项错误，不符合题意； 故选：C． 【典例4】．（2025·浙江温州·三模）已知点在反比例函数的图象上，若，则有（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象经过的象限，不等式的性质，根据题意可得，再由反比例函数解析式可得到反比例函数图象经过第一、三象限，则点A在第三象限，点Q在第一象限，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∴点A在第三象限，点Q在第一象限， ∴， 故选：A． 【典例5】．（2026·浙江嘉兴·一模）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质为：不等式两边加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵已知， ∴对A选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，故A错误； 对B选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，故B错误； 对C选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得，故C错误； 对D选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故D正确． 【典例6】．（2025·江苏常州·中考真题）若则______0．（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 命题点02 解一元一次不等式（组） 【典例1】．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 【典例4】．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 【典例5】．（2025·江苏盐城·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【典例6】．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 命题点03 用数轴表示不等式解集 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）不等式组的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选D． 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用； 先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）不等式的解在数轴上可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 解得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： ， 故选：B． 【典例5】．（2023·河南新乡·三模）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： 故选：B． 【典例6】．（2025·浙江宁波·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组解集，并把它表示在数轴上是解答本题的关键，注意数轴上空心点和实点的区别． 分别求出不等式①②的解集，得到不等式组的解集，再把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 【典例7】．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组的解集为． 命题点04 不等式（组）的应用 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 【典例2】．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元 (2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【分析】本题考查了运用二元一次方程组解应用题，以及综合运用一次函数和一元一次不等式设计方案问题．根据题意列出方程组，不等式组以及一次函数的关系式是解题的关键． （1）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元．先根据题意列不等式组求出a的范围为，再根据题意列出w与a的函数关系式为，根据一次函数的增减性可得时，w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 【典例3】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 【典例4】．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，则共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，则共需要资金4120元． (1)每个电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，求最多能购进多少台液晶显示器． 【答案】(1)每个电脑机箱的进价是60元，每个液晶显示器的进价是800元 (2)最多能购进26台液晶显示器 【分析】此题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）根据题意得出等量关系列出方程组，即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价； （2）根据题意列不等式计算即可求解． 【详解】（1）解：设每个电脑机箱的进价是元，每个液晶显示器的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个电脑机箱的进价是60元，每个液晶显示器的进价是800元； （2）解：设购进台显示器， 根据题意得：， 解得． 答：最多能购进26台液晶显示器． 【典例6】．（2025·浙江温州·三模）实际应用：某工厂利用传送带运输产品，每个产品的质量为2千克． 素材一  如图，记电动机的输出功率为（瓦）、传送带的速度为、每个产品的质量为（千克）、产品的数量为（个），已知（为常数）． 素材二  经测试，当传送带以0.5米/秒的速度运输10个产品时，电动机的输出功率为50瓦． 素材三  电动机的最大输出功率为200瓦． (1)当传送带以1米/秒的速度运输15个产品时，求此时电动机的输出功率． (2)现将传送带的速度调整为0.8米/秒，求此时传送带最多能同时运输多少个产品？ 【答案】(1)瓦 (2)传送带最多能同时运输个产品 【分析】本题考查表达式，函数的值，熟练根据题意得出的关系式是解题的关键． （1）先得出得出关于的关系式，然后代入，，计算解题； （2）根据题意列不等式求出n的最大值即可解题． 【详解】（1）解：把，，，代入得：， 解得， ∴， 当，，时，瓦； （2）解：， 解得， ∵n为整数， ∴此时传送带最多能同时运输个产品． 中考预测题 1.不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 2.解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点；小于向左，大于向右． 【详解】解：， ， ， ， ， 如图， 3.安徽有着得天独厚的地理环境以及适宜的气候，是有名的产茶大省，黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等均产自安徽．某商场计划购进A、B两种茶叶，已知A种茶叶每盒的进价比B种茶叶每盒的进价少20元．若购进A种茶叶6盒，B种茶叶5盒，则共需要1200元． (1)A、B两种茶叶每盒的进价分别是多少元？ (2)该商场采购了A、B两种茶叶共500盒．若A种茶叶的标价是进价的2倍，每盒B种茶叶按标价出售可获得利润180元．“五一”期间，商场对这两种茶叶进行优惠促销活动：A种茶叶每盒降价40元，B种茶叶打八折出售．将这500盒茶叶卖完后，总利润不低于40000元，求至少需要采购B种茶叶多少盒？ 【答案】(1)A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元 (2)至少需要采购B种茶叶167盒 【分析】（1）A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒，根据题意列出不等式，解得，结合为整数，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设A种茶叶每盒的进价为元，B种茶叶每盒的进价为元，由题意得， ， 解得， 答：A种茶叶每盒的进价为100元，B种茶叶每盒的进价为120元． （2）解：设采购B种茶叶盒，则购进A种茶叶盒， 根据题意，总利润， ， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴，即的最小值为． 答：至少需要采购B种茶叶167盒． 4.求不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】分别求出不等式的解集即可得到不等式组的解集，依据数轴的特点将解集表示在数轴上． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图： ． 考点六 方程与不等式求参数问题 《解题指南》 易错提醒： 隐藏条件遗漏：一元二次方程忽略 a≠0、Δ≥0；分式方程忽略分母不为0；不等式忽略系数正负分类讨论。 分类讨论不全面：含参方程未区分一次、二次方程；含参不等式未区分系数为正、为负、为0三种情况。 端点取舍错误：根据解的个数、解集范围求参数时，临界值等号判断失误，多取或漏取端点。 综合题型逻辑混乱：方程与不等式结合题型，混淆等量关系与不等关系，条件混用导致解题错误。 命题点01 一元一次方程求参数问题 【典例1】．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】把代入，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 【典例2】．（2026·河北石家庄·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将代入，即可求出m的值． 【详解】解：将代入，则方程为 解得． 【典例3】．（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解： 若时，方程化为，无解，故； 当时， ∵ 方程的根在和之间 ∴ ∴， ∵为正数， ∴ ∴ ． 【典例4】．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解． 先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：解方程，两边同时除以2，得． 把代入中，得到，即． 两边同时减去4，得． 所以的值为， 故选：A． 【典例5】．（2026·广东佛山·一模）已知是关于x的方程的解，则m的值是______． 【答案】 【分析】把代入，即可解答． 【详解】解：是关于x的方程的解， ∴可得， 解得． 【典例6】．（2026·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求出参数的值，再代入原方程求解未知数即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，得，且， 解得， 将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 系数化为得． 命题点02 二元一次方程组的求参数问题 【典例1】．（2023·浙江金华·模拟预测）已知满足和的x，y也满足，那么（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，先解即可用含m的代数式表示出x，将x的值代入方程①中便可用m的代数式表示出y，把x、y的值代入方程中进行计算即可求出m的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 把代入①得：， 解得：． 把和代入得： ， 解得． 故选：B． 【典例2】．（2023·浙江温州·模拟预测）已知方程组，若，的值互为相反数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解法求出x，y，再根据，即可求出答案． 【详解】解：， 两式相加得：， ， ， ∵x，y的值互为相反数， ∴， ， 解得：， 故选：D． 【典例3】．（2023·四川眉山·中考真题）已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键． 【典例4】．（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 【典例5】．（2026·重庆·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组，若，则a的值是______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相减可得，再结合已知得，即可求解． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴， 解得． 【典例6】．（2024·浙江·模拟预测）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式，解二元一次方程组求出x，y的值，再代入中得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 整理得 得：， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故a的取值范围为． 命题点03 根据一元二次方程的概念求参数 【典例1】．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 【典例2】．（2025·浙江宁波·模拟预测）若关于x的方程有三个不同的实数解，则k的个数为_______． 【答案】4 【分析】先求出方程的根，再根据方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可．本题主要考查了一元二次方程根的判别式及应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 【详解】解：方程， 解得或． 因为方程有三个不同实数解，方程的根需满足以下情况之一：1. 有一个不等于或的实数根（）；2. 有两个相等的实数根，且该根不等于或（）；3. 有两个不等的实数根，其中一根为或，另一根不为或。据此解答即可． 当时，方程变为，解得，此时方程有三个不同实数解，，． 当时，方程是一元二次方程． 若方程有两个相等的实数根，则，解得，此时方程的根为，与，不同，方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 若方程有一个根为，代入得，解得，此时方程为，即，因式分解为，解得或，此时方程有三个不同实数解． 综上，的值有个． 故答案为：． 【典例3】．（2025·浙江台州·二模）已知一元二次方程的一个根为1，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因为一元二次方程的一个根为，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程可以求出的值． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， 解得：． 故答案为：． 【典例4】．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 【典例5】．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 命题点04 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 【典例2】．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）如果关于x的方程没有实数根，那么实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据方程没有实数根，即可得到二次方程根的判别式小于0，求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式. 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即的取值范围为． 故答案为：． 【典例5】．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【典例6】．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知方程的根均为整数，求实数m的值． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数． 当时，该方程为一元一次方程，则，此时，满足题意；当时，该方程为一元二次方程，由韦达定理可得，，故，进而解得，，或，，此时或，满足题意． 【详解】解：若，则， 此时，满足题意； 若，即，此时方程为一个一元二次方程， 设方程的两个整数根为，，且， ， 即，由韦达定理可知，， 从而， ∴， 则，，或，， 解得，，或，， 算得对应的或，均满足判别式， 综上所述，或或． 命题点05 根据分式方程解的情况求参数 【典例1】．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 【典例2】．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 【典例3】．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题， 首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可． 【详解】 去分母得， 解得 ∴ ∴， ∴或 解得或 ∵关于x的方程的根满足， ∴或 解得（舍去），． 故答案为：6． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 命题点06 根据分式方程有无根求参数 【典例1】．（2022·四川眉山·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 【典例2】．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【典例3】．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 【典例4】．（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 【典例5】．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 命题点07 根据不等式的解集求参数 【典例1】．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的不等式的负整数解只有，，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】首先解不等式，不等式的解可以利用m表示，根据不等式的负整数解只有，，即可得到关于m的不等式组，即可求得m的范围． 【详解】解：∵只有2个负整数解， ∴，且， ∵负整数解只有，， ∴， 解得∶． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，正确求解不等式是解题关键，注意解不等式时，不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向需要改变． 【典例2】．（2022·山东威海·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为，则________． 【答案】/ 【分析】分别解不等式，根据不等式组的解集，求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：解得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴. 【典例3】．（2026·四川泸州·一模）关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰有个整数解，确定参数的取值范围. 【详解】解： 不等式①两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为，，， 可得：. 中考预测题 1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义以及判别式与根的关系，列不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得， ∴，且． 2.关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 3.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由根的判别式结合一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 且． 好题速递 1.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列各式中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质（性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，原式正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，原式错误，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原式正确，故此选项不符合题意． 2.（25-26七年级下·浙江温州·期中）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出两个等量关系：总人数不变．第一种分配方式下，总人数等于每间房7人乘以房间数加7；第二种分配方式下，总人数等于每间房9人乘以（房间数减1）． 【详解】解：设该店有客房间，房客人． 每一间客房住7人，那么有7人无房可住， 房客人数为，即． 每一间客房住9人，那么就空出一间房，实际入住的房间数为间， 房客人数为，即． 可列方程组为． 3.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，两根分别为，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ，， ∴． 4.（2026·江苏泰州·一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 【答案】1 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图1和2列出方程组得：， 得， 解得：， 所以小正方形的边长为． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【答案】 或或6 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出的长，设运动时间为秒，用含的代数式表示和的长，在和中利用勾股定理表示出和，分，，三种情况列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 设，两点同时出发秒时，是等腰三角形， 由题意得：，，且， ∴在 中，， 点在上，为中点， ， ∴在中，， 分三种情况讨论：①当时，，即 ， 解得或， ， ； ②当时，，即， 解得， ， ∴； ③当时，，即， 解得或， ， ； 综上所述，的值为或或． 6.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 7.（2026·陕西西安·模拟预测）解不等式： 【答案】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 8.（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域种植甲、乙两种花卉，且满足，设道路宽为米． (1)请用含的代数式表示长方形的面积； (2)若长方形的面积为336平方米，求道路宽的值； (3)若点为的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽的值． 【答案】(1) (2)道路宽为3米 (3)当道路宽为5米时，建造总费用为50000元 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去）， 答：道路宽为3米． （3）解：∵点为的中点，，四边形是矩形， ∴，， ∴， 由题意知： 环形道路的面积为：， 花卉甲的种植面积为：， 花卉乙的种植面积为：， ∴， 整理得： 解得（舍去） 所以当道路宽为5米时，建造总费用为50000元． 9.（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 10.（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 中考闯关 1.已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 2.不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 移项，得 ． 系数化为1，得 所以解集在数轴上位于表示的点的左侧，且包含这个点． 3.下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B 选项，， ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C 选项，， ， 方程没有实数根，符合题意； D 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 4.某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出初始营业额和平均增长率，根据两年后的营业额关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设原营业额为，平均每年营业额的增长率为， ∵两年后营业额增加，即两年后营业额为 ， 根据平均增长率的增长关系可得： ， ∵，两边同时除以得： ， 开平方得， ∵增长率为正数， ∴取， 解得：． 5.关于x，y的方程组的解满足，则的值是______． 【答案】 【分析】将方程组的两个方程相减得到，结合得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 得，， 即， 又∵， ， 解得：． 6.“彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． (1)求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； (2)超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 【答案】(1)品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元 (2)购进品牌粽子盒时，获得最大利润元 【分析】（1）利用“数量相等”的等量关系列分式方程求解进价； （2）建立利润关于品牌数量的一次函数，结合函数增减性和约束条件，求最大利润． 【详解】（1）解：设品牌粽子每盒进价为元，则品牌粽子每盒进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，则， 故品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元． （2）解：设购进品牌粽子盒，则购进品牌粽子盒，其中， 总利润， 随的增大而减小，则当取最小值时，最大， 故最大利润为：（元）． 7.甲、乙两队进行了场足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分． (1)若甲队负了场，则甲队的得分能否为分？请说明理由； (2)若乙队保持不败，得分超过分，求乙队至少胜了多少场？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)场 【分析】（1）设甲胜场，则平场，根据得分列方程求出，根据为非负整数，即可得出答案； （2）设乙胜了场，根据乙队保持不败，得分超过分，列不等式，求出，即可得答案． 【详解】（1）解：设甲队胜了场， ∵甲队负了场， ∴平的场次为场， ∵胜一场得分，平一场得分，负一场得分， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴甲队的得分不能为分． （2）解：设乙胜了场， ∵乙队保持不败， ∴平的场次为场， ∴， 解得：． ∴至少胜5场． 8.解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先解不等式组中各不等式，再根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 该不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为． 9.南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】(1) 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 (2) 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $