湖南岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高三下学期4月月考试数学试题

**基本信息** 以莱洛三角形面积计算、新能源汽车销量回归分析等真实情境为载体，通过体育比赛赛制决策、立体几何轨迹探究等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高三一轮复习综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、几何、统计|莱洛三角形结合几何直观，考查空间观念| |多选题|3/15|三角函数、概率统计|独立事件判断与回归方程应用，培养推理意识| |填空题|3/15|二项式定理、导数极值|曲线最小距离问题，体现数学审美与创新意识| |解答题|5/80|概率、抛物线、回归分析、立体几何、导数|体育比赛赛制决策（五局三胜vs三局两胜）、新能源汽车利润计算，强化应用意识与数学建模|

2026年4月高三数学月考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则A，B之间最适合的关系为（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（   ） A． B． C． D． 4．某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（   ） A．75%分位数为1 B．平均数为1.2 C．方差为1 D．极差为4 5．若，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，曲线上的点列满足：以为圆心的圆与轴相切，且．若与外切，则为（    ） A．2 B．1 C． D． 8．已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共15分） 9．下列命题正确的是（    ） A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件 B．若为第一象限角，则 C．在中，若，则为锐角三角形 D．已知，且，则 10．下列说法正确的是（    ） A．若事件、满足：，，且，则事件、相互独立 B．已知一组成对数据、、、的经验回归方程为，则 C．是、、两两独立的充分条件 D．若，记函数，，则的图象关于点对称 11．如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线E．若对于y轴上一定点，E上恰有3对不同的点关于点对称，则实数a的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D． 三、填空题（每题5分，共15分） 12．在的展开式中常数项为80，则____________． 13．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为__________． 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______． 四、解答题（共80分） 15．（本题16分）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以获胜的概率； (2)设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 16．（本题16分）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 . (1)求的方程； (2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求. 17．（本题16分）某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月 月份代码 1 2 3 4 5 6 销量千辆 6 7 10 11 12 14 (1)已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量； (2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具． （Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率； （Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：经验回归方程，其中，． 参考数据：． 18．（本题16分）已知是棱长为2的正方体表面上一动点，，分别是线段和的中点，点满足，且，设的轨迹围成的图形为多边形． (1)证明：为平行四边形； (2)是否存在，使得和底面的夹角为．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)证明：点和形成的多面体的体积为定值． 19．（本题16分）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，若存在，使得．证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C D A A A ACD AD 题号 11 答案 BCD 12． 13． 14． 15．(1) (2)分布列见解析， (3)甲应该采用“五局三胜制”． 16．(1)； (2). 17．(1)，千辆 (2)（Ⅰ）； （Ⅱ）28 18（1），截面， 当在点处时，在平面内的射影为， 当在点时，在平面内的射影为， 令分别为的中点，过的截面与和均垂直，即与垂直，即截面为， 当在点处时，在平面内的射影为，在平面内的射影为， 过的截面为与和均垂直，即与垂直，即截面为， 当在上移动时，截面绕转动， 当在点时，在面射影为， 由面面平等的性质可知截面总为平行四边形； （2）不存在 理由：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 过作于，由题意得平面， 是平面的一个法向量， 为平面的一个法向量，为和底面的夹角， ， 存在，使得和底面的夹角大于； 不否存在，使得和底面的夹角为． （3）设截面与交于点，与交于， 四棱锥被平面分成两个三棱锥为三棱锥，三棱锥， 两个三棱锥底面无论截面变化，底面面积均不变，两个三棱锥的高均为正方体的棱长， 三棱锥，三棱锥的体积为定值， 点和形成的多面体为定值． 19．(1) (2) （3）由函数， 可得， 设，由， 可得， 则， 又由，可得， ∴函数为单调递增函数， ∴，即， ∴， 由（2）知，当时，，， ∴， 即， ∴， 代入可得： ， 则， ∴， 又因为时，， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $