易错12 统计与概率（易错专练，6大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题12 统计与概率 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 实际问题中数据决策选择错误 易错点 2 求中位数、众数不对数据进行排列 易错点 3 平均数与加权平均数的计算 易错点 4 方差的公式及其计算 易错点 5 未按要求补全统计图 易错点 6 求概率时忽略放不放回的问题 易错点 7 混淆频率和概率的概念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 实际问题中数据决策选择错误 错因剖析 概念混淆：分不清平均数、中位数、众数各自的适用场景，只会硬算不会选用。 认知偏差：默认一律用平均数决策，忽略极端数据、多数水平、集中趋势的实际需求。 基础薄弱：不会结合实际问题背景（进货、招聘、评优、成绩分析、稳定性判断）匹配对应统计量。 【例1】（2026·广东广州·一模）有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 避错秘籍 【防错指南】 看一般平均水平→选平均数 看出现次数最多、进货销量、最常见标准→选众数 看中等水平、排名中间、避免极端值影响→选中位数 看波动大小、稳定性、整齐程度→选方差 口诀：普通平均用平均，最多销量找众数，中等排名看中位，稳定波动看方差 【知识链接】 平均数：反映整体平均水平，无极端值时用； 中位数：反映中等水平，受极端值影响小，适合工资、房价、成绩排名； 众数：反映大多数水平，适合进货、选尺码、销量决策； 方差：反映波动、稳定程度，方差越小越稳定。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式1-2】（2026·河南商丘·一模）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择__________． 项目 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 195 198 198 196 方差 2.8 4.5 6.3 2.8 【变式1-3】（2025·广西南宁·三模）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 易错点2 求中位数、众数不对数据进行排列 错因剖析 概念混淆：误以为中位数随便找中间一个数就行，不懂中位数定义必须先排序再取中间。 认知偏差：凭直觉看原数据找中间数、找出现次数最多的数，忽略无序数据不能直接判断。 基础薄弱：没养成 “先排序、再统计” 的固定解题步骤，数据一多就漏数、重数。 【例2】（2025·四川雅安·中考真题）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分，60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（   ） A．60分 B．59分 C．58分 D．57分 避错秘籍 【防错指南】求中位数先排序，奇数取中偶平均；求众数数次数，最多全写不遗漏。 【知识链接】 1. 求中位数步骤（必按顺序） ① 把所有数据从小到大依次排列； ② 数据个数为奇数：取正中间那一个数； ③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2. 求众数注意 可以先排序再统计每个数出现次数，出现次数最多的数就是众数； 若多个数次数一样且都是最多，都是众数。 变式迁移 【变式2-1】（2026·广东广州·一模）下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）： 30，20，15，20，20，25，30，5，25，20，10，15，20，45，10，20，12，30，20，15，20，20，10，5，8，20，20，5，20，15． 若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是______分钟． 【变式2-2】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 易错点3 平均数与加权平均数的计算 错因剖析 概念混淆：把带权重的评分、占比问题，直接当成普通算术平均数计算。 认知偏差：不会把比例、百分比、频数统一转化为标准权重，建模转化能力弱。 基础薄弱：不会套用加权平均数公式，权重是百分比、人数、比例时不会换算。 【例3】（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 避错秘籍 【防错指南】 无比例、无重复、同等地位 → 用算术平均； 有比例、有计分权重、有频数表格 → 必用加权平均； 分组统计表求平均：必须用组中值代表本组； 权重求和一定要算总分母，不能只加数据不加权。 【知识链接】 1、算术平均数 适用：每个数据地位相同、权重一样。 2、加权平均数 适用：有比例、分值、频数、占比，地位不一样。 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【变式3-2】（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 易错点4 方差的公式及其计算 错因剖析 概念混淆：误以为方差是各数据与平均数和的平均，忽略先求差、再平方。 认知偏差：偏差 正负不影响，不会利用平方消去 “正负”。 基础薄弱：负数平方算错、运算粗心，不会分步列式，一步算完极易出错。 【例4】（2026·山西晋中·一模）为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分（满分为分）如下： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 乙 下列说法正确的是（   ） A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 避错秘籍 【防错指南】求方差固定四步法 1、先算这组数据的平均数 2、每个数据分别减去平均数 3、差值全部平方 4、平方和除以数据总个数 【知识链接】方差标准公式 设有数据：，平均数 标准差： 变式迁移 【变式4-1】（2026·福建莆田·模拟预测）小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【变式4-2】（2026·山东青岛·一模）“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 【变式4-3】（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 易错点5 未按要求补全统计图 错因剖析 概念混淆：分不清条形图、扇形图各自能提供什么信息，不会互相借力求总量、求部分量。 认知偏差：只补画图形不算数据、不标数字，以为画上线就可以，忽略答题规范要求。 基础薄弱：不会用「部分 ÷ 对应百分比 = 总数」，扇形圆心角度数计算公式记不住。 【例5】（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 避错秘籍 【防错指南】 典型易错陷阱 算出数据但不画图、不标注； 扇形图随便估角度，不用公式精确计算； 百分比加和不等于 100%，不检查验算； 条形图高度画错，和计算数值不匹配。 【知识链接】 1. 解题固定步骤 先用已知部分量 ÷ 对应百分比，求出总数； 求出缺失的部分数量和所占百分比； 补画条形图：高度对应数量，上方必须标数据； 补全扇形图：算出对应圆心角度数，标注类别 + 百分比。 2. 必记公式 总数 = 部分数量 ÷ 该部分所占百分比 部分数量 = 总数 × 所占百分比 扇形圆心角：360°× 该部分所占百分比 变式迁移 【变式5-1】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【变式5-2】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 易错点6 求概率时忽略放不放回的问题 错因剖析 概念混淆：分不清有放回和无放回的本质区别，以为每次可选数量都一样。 认知偏差：习惯性统一按有放回计算，审题不看 “不放回、依次抽取、一次性取两个” 这类关键词。 基础薄弱：画树状图、列表时，无放回场景没剔除重复元素，没减少总个数。 【例6】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 避错秘籍 【防错指南】关键词快速判定 1、有放回：摸出一个放回摇匀再摸第二次；每次总数不变。 2、无放回：依次抽取、一次性取两个、拿出不放回；后面总数变少、不能重复选取。 【知识链接】解题步骤 1、先圈题中关键词：放回 / 不放回； 2、画树状图或列表： 有放回：每行每列元素全部保留； 无放回：去掉自身组合、不重复选取； 3、数清：总等可能结果数、符合条件结果数； 4、概率公式： 变式迁移 【变式6-1】（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【变式6-2】（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【变式6-3】（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子． (1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____； (2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平． 易错点7 混淆频率和概率的概念 错因剖析 概念混淆：把频率和概率当成同一个概念，用频率直接等同于概率；不理解大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，填空、判断、选择题极易丢分。 认知偏差：做几次试验的频率，就直接当作概率使用。 基础薄弱：不理解大数定律：次数越多，频率越靠近概率；次数少，波动很大。 【例7】（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 避错秘籍 【防错指南】 频数是次数，频率比值算，概率是定值；少量试验频不稳，大量逼近概率边；频率只能去估计。 【知识链接】 1、定义 频数：事件实际出现的次数。 频率：频率 = ，是变化值，每次试验可能不一样。 概率：事件本身固有的理论固定值，不变，与试验次数无关。 2、二者关系 单次、少量试验：频率≠概率； 大量重复试验：频率会逐渐稳定在概率附近，可以用频率估计概率； 概率是真理定值，频率是试验波动值。 变式迁移 【变式7-1】（2026·河南南阳·一模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一、某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有________棵． 【变式7-2】（2025·陕西商洛·一模）在一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的小球共4个，这些小球除颜色外其他都相同，每次将小球搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右． (1)请估计袋子里红、白两种颜色的小球各有多少个？ (2)小华与小红计划周末外出游玩，小华想去大唐芙蓉园，小红则想去兵马俑景区，由于时间原因，仅能选择其中一个景区前往，因此小华提议用上述袋中的球通过摸球游戏来决定选择哪个景区．游戏规则：小华先从袋中摸出一个小球，记下颜色后，放回，搅匀后，小红再从袋中摸出一个小球；若两人摸出的小球颜色相同，则小华获胜，前往大唐芙蓉园；反之小红获胜，前往兵马俑景区，请用列表或画树状图的方法，求两人前往大唐芙蓉园的概率． 1. （2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2. （2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 3. （2026·福建莆田·模拟预测）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 4. （2026·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的盒子里装有标号分别为①②③④的四个完全相同的小球，它们分别对应四种物理实验器材：凸透镜、凹透镜、平面镜、玻璃板．小明先随机摸出个小球，不放回，再随机摸出第个小球．已知能对光起会聚作用的器材只有凸透镜，则两次摸到的器材中至少有一个能对光起会聚作用的概率为（   ） A． B． C． D． 5. （2025·贵州铜仁·三模）为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 6. （2026·宁夏银川·一模）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 及以下 人数 则本次测试成绩的中位数是________． 7. （2025·福建·中考真题）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 8. （2026·河南郑州·模拟预测）某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各20株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表．则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是___________． 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.1 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 9. （2025·山东东营·三模）某班级计划利用暑假去黄河入海口研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为___________L． 10. （2026·江苏苏州·一模）如图是的正方形地砖，大课间小苏利用该地砖玩起了投掷石子的游戏，假设石子投中每一处是等可能的（投中边界或没有击中该地砖，则重投一次），任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是__________． 11. （2026·浙江衢州·一模）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 12. （2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 13. （2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 14. （2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4) 文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 15. （2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94． 数据扇形统计图         数据统计表 分数段 等次 人数 A B 6 C 6 D E 2 (1)扇形统计图中 ，统计表中 ； (2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ； (3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人； (4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 统计与概率 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 实际问题中数据决策选择错误 易错点 2 求中位数、众数不对数据进行排列 易错点 3 平均数与加权平均数的计算 易错点 4 方差的公式及其计算 易错点 5 未按要求补全统计图 易错点 6 求概率时忽略放不放回的问题 易错点 7 混淆频率和概率的概念 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 实际问题中数据决策选择错误 错因剖析 概念混淆：分不清平均数、中位数、众数各自的适用场景，只会硬算不会选用。 认知偏差：默认一律用平均数决策，忽略极端数据、多数水平、集中趋势的实际需求。 基础薄弱：不会结合实际问题背景（进货、招聘、评优、成绩分析、稳定性判断）匹配对应统计量。 【例1】（2026·广东广州·一模）有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据总人数判断哪个统计量对应前8名的分界位置即可求解． 【详解】解：∵15个成绩按大小排序后，中位数是排序后的第8个成绩， ∴小明只需将自己的成绩和中位数比较，若自己的成绩大于等于中位数，就进入前8名，否则不能进入， 因此只需要了解全部成绩的中位数即可． 避错秘籍 【防错指南】 看一般平均水平→选平均数 看出现次数最多、进货销量、最常见标准→选众数 看中等水平、排名中间、避免极端值影响→选中位数 看波动大小、稳定性、整齐程度→选方差 口诀：普通平均用平均，最多销量找众数，中等排名看中位，稳定波动看方差 【知识链接】 平均数：反映整体平均水平，无极端值时用； 中位数：反映中等水平，受极端值影响小，适合工资、房价、成绩排名； 众数：反映大多数水平，适合进货、选尺码、销量决策； 方差：反映波动、稳定程度，方差越小越稳定。 变式迁移 【变式1-1】（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可． 【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 【变式1-2】（2026·河南商丘·一模）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择__________． 项目 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 195 198 198 196 方差 2.8 4.5 6.3 2.8 【答案】乙 【详解】解：乙运动员的成绩的平均数高且方差小， 若要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择乙运动员． 【变式1-3】（2025·广西南宁·三模）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进___________的鞋子．（选择一个尺码） 尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 7 3 1 【答案】23.5 【分析】一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多． 【详解】解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进的鞋． 故答案为23.5． 易错点2 求中位数、众数不对数据进行排列 错因剖析 概念混淆：误以为中位数随便找中间一个数就行，不懂中位数定义必须先排序再取中间。 认知偏差：凭直觉看原数据找中间数、找出现次数最多的数，忽略无序数据不能直接判断。 基础薄弱：没养成 “先排序、再统计” 的固定解题步骤，数据一多就漏数、重数。 【例2】（2025·四川雅安·中考真题）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分，60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（   ） A．60分 B．59分 C．58分 D．57分 【答案】A 【分析】根据众数的定义解答即可． 【详解】解：∵57分出现1次，58分出现1次，59分出现1次，60分出现3次， ∴ 60分出现次数最多， ∴该组成绩的众数是60分． 避错秘籍 【防错指南】求中位数先排序，奇数取中偶平均；求众数数次数，最多全写不遗漏。 【知识链接】 1. 求中位数步骤（必按顺序） ① 把所有数据从小到大依次排列； ② 数据个数为奇数：取正中间那一个数； ③ 数据个数为偶数：取中间两个数的平均数。 2. 求众数注意 可以先排序再统计每个数出现次数，出现次数最多的数就是众数； 若多个数次数一样且都是最多，都是众数。 变式迁移 【变式2-1】（2026·广东广州·一模）下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）： 30，20，15，20，20，25，30，5，25，20，10，15，20，45，10，20，12，30，20，15，20，20，10，5，8，20，20，5，20，15． 若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是______分钟． 【答案】20 【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可． 【详解】解：统计题中各上学时间的出现次数：分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次， 可知这组数据的众数为， 因此随机问一个学生上学路上所用时间，最可能得到的回答是分钟． 【变式2-2】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下： 1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数． 【答案】(1)105；110 (2)图象见解析 (3)480 【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键． （1）根据众数和中位数的概念求解即可； （2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可； （3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可． 【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数； 中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110， 故答案为：105，110； （2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本， 由（1），可知这一组共有15个样本， 由题意可知，样本总量为50， 故这一组共有个样本， 补全频数分布直方图如下： （3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次， ∴（人） 故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480． 易错点3 平均数与加权平均数的计算 错因剖析 概念混淆：把带权重的评分、占比问题，直接当成普通算术平均数计算。 认知偏差：不会把比例、百分比、频数统一转化为标准权重，建模转化能力弱。 基础薄弱：不会套用加权平均数公式，权重是百分比、人数、比例时不会换算。 【例3】（2025·四川乐山·中考真题）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（   ） A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】 无比例、无重复、同等地位 → 用算术平均； 有比例、有计分权重、有频数表格 → 必用加权平均； 分组统计表求平均：必须用组中值代表本组； 权重求和一定要算总分母，不能只加数据不加权。 【知识链接】 1、算术平均数 适用：每个数据地位相同、权重一样。 2、加权平均数 适用：有比例、分值、频数、占比，地位不一样。 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________． 【答案】10 【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为， ∴平均数为． 故答案为：10． 【变式3-2】（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 【答案】乙 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：甲的最终得分是分， 乙的最终得分是分， 丙的最终得分是分， ∵， ∴乙将被择优录用， 故答案为：乙． 易错点4 方差的公式及其计算 错因剖析 概念混淆：误以为方差是各数据与平均数和的平均，忽略先求差、再平方。 认知偏差：偏差 正负不影响，不会利用平方消去 “正负”。 基础薄弱：负数平方算错、运算粗心，不会分步列式，一步算完极易出错。 【例4】（2026·山西晋中·一模）为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分（满分为分）如下： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 乙 下列说法正确的是（   ） A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查的是统计中的平均数与方差，掌握平均数的计算和方差的意义是解题的关键．根据平均数的定义分别求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算出两人的方差，根据 “平均分高的同学获胜；若平均分相同，则发挥较稳定（方差小）的同学获胜” 的规则进行判断． 【详解】解：，， 两人平均分相同，比较稳定性， ， ， 甲同学发挥更稳定，故甲同学获胜， 故选：． 避错秘籍 【防错指南】求方差固定四步法 1、先算这组数据的平均数 2、每个数据分别减去平均数 3、差值全部平方 4、平方和除以数据总个数 【知识链接】方差标准公式 设有数据：，平均数 标准差： 变式迁移 【变式4-1】（2026·福建莆田·模拟预测）小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【答案】11 【分析】根据方差的定义，方差公式中的是题目给出的这组数据的平均数，由方差公式可得这组数据，求出这组数据的平均数即可得到结果． 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为5，8，8，14，15，16， ∴这组数据的平均数． 【变式4-2】（2026·山东青岛·一模）“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 【答案】0.4 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果. 【详解】解：， ∴. 【变式4-3】（2026·北京海淀·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1)8 (2)，9 (3)丙，乙 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【详解】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：对于甲课程：，， 甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为； 方差为； 对于乙课程：，， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，6，7，8，8，9，9， 中位数为7，平均数为； 方差为； 对于丙课程：，， 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲、乙的平均数都是7，方差都是，但甲的中位数8高于乙的中位数7，所以这三门课程中满意度最低的是乙． 易错点5 未按要求补全统计图 错因剖析 概念混淆：分不清条形图、扇形图各自能提供什么信息，不会互相借力求总量、求部分量。 认知偏差：只补画图形不算数据、不标数字，以为画上线就可以，忽略答题规范要求。 基础薄弱：不会用「部分 ÷ 对应百分比 = 总数」，扇形圆心角度数计算公式记不住。 【例5】（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 【答案】(1)①40；②见解析；③90 (2)280人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数（16人）和对应百分比（）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数． （1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以，求出对应扇形圆心角； （2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数． 【详解】（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，   ∴ 调查总人数为（名）．   故答案为：40；   ② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．   补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；   ③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为 故答案为：90； （2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为， ∵ 该校共有800名学生参加课程，   ∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．   答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人． 避错秘籍 【防错指南】 典型易错陷阱 算出数据但不画图、不标注； 扇形图随便估角度，不用公式精确计算； 百分比加和不等于 100%，不检查验算； 条形图高度画错，和计算数值不匹配。 【知识链接】 1. 解题固定步骤 先用已知部分量 ÷ 对应百分比，求出总数； 求出缺失的部分数量和所占百分比； 补画条形图：高度对应数量，上方必须标数据； 补全扇形图：算出对应圆心角度数，标注类别 + 百分比。 2. 必记公式 总数 = 部分数量 ÷ 该部分所占百分比 部分数量 = 总数 × 所占百分比 扇形圆心角：360°× 该部分所占百分比 变式迁移 【变式5-1】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】(1)10%，30%，见解析 (2)4 (3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； （3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 【变式5-2】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 易错点6 求概率时忽略放不放回的问题 错因剖析 概念混淆：分不清有放回和无放回的本质区别，以为每次可选数量都一样。 认知偏差：习惯性统一按有放回计算，审题不看 “不放回、依次抽取、一次性取两个” 这类关键词。 基础薄弱：画树状图、列表时，无放回场景没剔除重复元素，没减少总个数。 【例6】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）利用画树状图法或列表法计算概率即可． 本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， 故答案为：． （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． 避错秘籍 【防错指南】关键词快速判定 1、有放回：摸出一个放回摇匀再摸第二次；每次总数不变。 2、无放回：依次抽取、一次性取两个、拿出不放回；后面总数变少、不能重复选取。 【知识链接】解题步骤 1、先圈题中关键词：放回 / 不放回； 2、画树状图或列表： 有放回：每行每列元素全部保留； 无放回：去掉自身组合、不重复选取； 3、数清：总等可能结果数、符合条件结果数； 4、概率公式： 变式迁移 【变式6-1】（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 【变式6-2】（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 【变式6-3】（2026·甘肃平凉·一模）中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子． (1)李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____； (2)游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)公平 【分析】（1）利用简单事件的概率公式直接计算即可； （2）将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图，则可得在两人摸到的棋子中的所有等可能的结果，以及两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果、汉字没有“士”的结果，再利用概率公式计算他们各自获胜的概率，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：∵李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子共有4种等可能的结果，其中，摸到的棋子正面上的汉字是“马”的结果有2种， ∴李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为． （2）解：将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图如下： 由图可知，在两人摸到的棋子中，共有12种等可能的结果，其中，两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果有6种，汉字没有“士”的结果也有6种， 则李颖胜的概率为，张彤胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对双方公平． 易错点7 混淆频率和概率的概念 错因剖析 概念混淆：把频率和概率当成同一个概念，用频率直接等同于概率；不理解大量重复试验下频率才会稳定在概率附近，填空、判断、选择题极易丢分。 认知偏差：做几次试验的频率，就直接当作概率使用。 基础薄弱：不理解大数定律：次数越多，频率越靠近概率；次数少，波动很大。 【例7】（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 频数是次数，频率比值算，概率是定值；少量试验频不稳，大量逼近概率边；频率只能去估计。 【知识链接】 1、定义 频数：事件实际出现的次数。 频率：频率 = ，是变化值，每次试验可能不一样。 概率：事件本身固有的理论固定值，不变，与试验次数无关。 2、二者关系 单次、少量试验：频率≠概率； 大量重复试验：频率会逐渐稳定在概率附近，可以用频率估计概率； 概率是真理定值，频率是试验波动值。 变式迁移 【变式7-1】（2026·河南南阳·一模）“良种壮苗”是造林的基本措施之一、某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗1000棵，成活的大约有________棵． 【答案】800 【分析】根据折线图可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算成活数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∵移植这种树苗1000棵， ∴成活的大约有：（棵）． 【变式7-2】（2025·陕西商洛·一模）在一个不透明的布袋中装有红、白两种颜色的小球共4个，这些小球除颜色外其他都相同，每次将小球搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右． (1)请估计袋子里红、白两种颜色的小球各有多少个？ (2)小华与小红计划周末外出游玩，小华想去大唐芙蓉园，小红则想去兵马俑景区，由于时间原因，仅能选择其中一个景区前往，因此小华提议用上述袋中的球通过摸球游戏来决定选择哪个景区．游戏规则：小华先从袋中摸出一个小球，记下颜色后，放回，搅匀后，小红再从袋中摸出一个小球；若两人摸出的小球颜色相同，则小华获胜，前往大唐芙蓉园；反之小红获胜，前往兵马俑景区，请用列表或画树状图的方法，求两人前往大唐芙蓉园的概率． 【答案】(1)红球有1个，白球有3个 (2) 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到红色小球的概率为，再根据概率计算公式求出红球的数量，进而求出白球的数量即可得到答案； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人前往大唐芙蓉园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右， ∴摸到红色小球的概率为， （个），（个）， 估计袋子中红球有1个，白球有3个； （2）解：将红球记为，白球分别记为，，，列表如下： 小华小红 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中两个小球颜色相同的结果有10种， ． 1. （2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 2. （2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 【答案】A 【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可． 【详解】解：平均数为：， 5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14， 故选：A． 3. （2026·福建莆田·模拟预测）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（    ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【分析】本题主要考查中位数的定义及性质，首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，逐个分析各选项． 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在3.5分钟以下，其中编号2的点位于分钟虚线上，编号为1、5的选手演讲时长在3.5分钟以上，则原来5名选手演讲时长从小到大排列，第3个数（中位数）等于3.5分钟， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为， 选项A、，，则新增一个小于m的数和一个大于的数，中位数保持为，符合题意； 选项B、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项C、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 选项D、、，新增两个数都大于，中位数变大，不符合题意； 故选：A． 4. （2026·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的盒子里装有标号分别为①②③④的四个完全相同的小球，它们分别对应四种物理实验器材：凸透镜、凹透镜、平面镜、玻璃板．小明先随机摸出个小球，不放回，再随机摸出第个小球．已知能对光起会聚作用的器材只有凸透镜，则两次摸到的器材中至少有一个能对光起会聚作用的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算总等可能结果数，再计算对立事件的结果数，即可求出目标概率． 【详解】解：∵第一次摸球有种等可能，不放回抽取后第二次摸球有种等可能， ∴总共有种等可能的结果， ∵仅个凸透镜对光有会聚作用，事件“至少有一个能对光起会聚作用”的对立事件是“两次都没摸到凸透镜”， ∵两次都没摸到凸透镜时，第一次有种选择，第二次有种选择，共有种结果， ∴满足“至少有一个能对光起会聚作用”的结果数为， ∴两次摸到的器材中至少有一个能对光起会聚作用的概率为． 5. （2025·贵州铜仁·三模）为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【分析】本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由图可知，击中率在上下波动，故可估计击中的频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8，可判断A选项正确，B选项正确,利用击中概率乘以投球次数即可求得投球击中次数，可判断C选项，利用概率的意义，可判断D选项． 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 6. （2026·宁夏银川·一模）某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 及以下 人数 则本次测试成绩的中位数是________． 【答案】 【分析】本题考查中位数的概念，找中位数需要先把数据按从小到大的顺序排列，数据个数为偶数时，中位数为最中间两个数的平均数，据此确定中间位置的数，计算得到结果． 【详解】解：由题意得，这组数据共有个，将数据从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数． 累计人数可得，成绩为及以下和的数据共有个， 因此第个和第个数据均为， 则中位数为 7. （2025·福建·中考真题）某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为；． 8. （2026·河南郑州·模拟预测）某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各20株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表．则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是___________． 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.1 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 【答案】丁 【分析】先通过平均数比较开花时间长短，再通过方差判断稳定性即可得到结果． 【详解】解：∵， 开花时间最长的是甲、丁， ∵， 丁的方差更小，开花时间更平稳， 开花时间最长且最平稳的是丁． 9. （2025·山东东营·三模）某班级计划利用暑假去黄河入海口研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为___________L． 【答案】29 【分析】本题考查了利用众数的意义做决策，由众数的定义得这组数据的众数是，即可求解；理解众数的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 这组数据的众数是， 为了满足大多数人的需求， 此次订做的双肩包容量为， 故答案为：． 10. （2026·江苏苏州·一模）如图是的正方形地砖，大课间小苏利用该地砖玩起了投掷石子的游戏，假设石子投中每一处是等可能的（投中边界或没有击中该地砖，则重投一次），任意投掷石子一次，石子投中阴影部分的概率是__________． 【答案】 【分析】首先设小正方形的面积为，计算出大正方形的总面积，然后利用割补法或观察法计算出阴影部分的面积，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：设每个小正方形的面积为，则的正方形地砖的总面积为， 观察图形可知，四个角处的阴影部分分别为个面积为的小三角形，中间阴影部分为个面积为的小三角形拼成的菱形， 所以阴影部分的总面积为， 根据几何概率公式可得，石子投中阴影部分的概率为． 11. （2026·浙江衢州·一模）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 【答案】9600 【分析】观察表格得到合格头盔频率的稳定值，再用总生产数量乘稳定频率得到估计的合格头盔数． 【详解】解：由表格可知，随着抽查头盔数增大，合格头盔的频率逐渐稳定在， 因此估计生产个头盔，合格头盔数为 （个）． 12. （2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； (2)甲排名第一，乙排名第二； (3)设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； （3）解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 13. （2025·四川雅安·中考真题）聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A．非遗传承人；B．运动打卡师；C．睡眠科学家；D．今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： (1)求该班此次调查的学生人数； (2)求的值，并补全条形统计图； (3)开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】(1)该班此次调查的学生人； (2) ，见解析； (3)恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可； （2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； （2）解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图如下： （3）解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 14. （2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：(1)； 故答案为：120； (2)喜爱玩偶的人数为， ； 故答案为：； (3)(人) 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人． (4)根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即． 所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)． 15. （2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94． 数据扇形统计图         数据统计表 分数段 等次 人数 A B 6 C 6 D E 2 (1)扇形统计图中 ，统计表中 ； (2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ； (3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人； (4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议． 【答案】(1)15；3； (2)87；78； (3)60 (4)大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度 【分析】本题主要考查了扇形统计图和统计表，利用样本估计总体，理解题意，根据图象获取相关信息是解题关键． （1）根据扇形统计图直接确定m的值即可；再用抽取的人数乘以相应比例即可； （2）根据题意得出▲在D组，★在A组，然后利用众数和中位数的定义求解即可； （3）用总数乘以相应比例即可； （4）提出合理建议即可． 【详解】（1）解：， ∴； ∴； 故答案为：15；3； （2）解：根据题意得：D组人数为：人， ∵20个数据为：54， 57，▲，65，67，71，73，76，76，77，79，82，87， 87，87，88， 89，★，92，94． ∴▲在D组，★在A组， ∵87出现的次数最多为3次， ∴众数为87； 中位数为第10、11位数据77,79的平均数即， 故答案为：87；78； （3）解：根据题意得：人， 故答案为：60； （4）解：大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $