专题03 几何综合题（解答25题压轴题6大题型） （压轴题专练）（上海专用）【上好课】2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03几何综合题（解答25题压轴题） 01压轴命题透视 1.载体预判（最高频） 主载体：平行四边形/等腰梯形（近5年4次考查） 次载体：圆（含切线、圆周角、垂径定理），与四边形嵌套 动态元素：点在线段/边上运动、线段旋转/翻折，参数化设元（如设(DE=x) 2.设问结构（固定3层） 第(1)问(4分)：基础性质+简单证明/计算（如证角相等、求线段长），90%得分率 第(2)问(4分)：相似判定+比例/面积计算，需导比例或构造辅助线，70%得分率 命题预测 第(3)问(6分)：存在性（等腰/直角/相似三角形）+分类讨论+最值，30%满分率， 重严谨性 3.难度与风格 去套路化：减少“死模型”，强化辅助线构造+几何性质灵活运用（如四点共圆、角平分线定 理》 代数融合：参数方程、勾股定理列方程、面积比转相似比，渗透高中参数思想 无超纲：不考高中知识，聚焦相似、等腰/直角三角形、圆、四边形核心考点 模块1：四边形综合（必考) 模块2：相似三角形（核心） 高频考法 模块3：圆综合（高频） 模块4：压轴存在性问题（最高频）；最值问题。 02压轴题型精讲 典例靶向突破。 口题型01一线三等角(K型) 1.(2026上海闵行一模)如图，已知在ABC中，点D是边AC上的一点. 1/97 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)当∠ABC=90°时. ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2=AD·CD; ②如图2，AD=AE,点F在边BC上，且CF=CD,顺次连接DE、EF、FD.如果 1 EF=DR,tan∠EFB=2'求coC的值. (2)如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD=∠ACB,点G在线段DB延长线上，且BG=BC,连接CG, 取CG中点H,分别延长HB、CA交于点0，求S的 【详解】(1)①证明：“BD是边AC上的高， ∠ADC=∠BDC=90°， :∠ABC=90°， ∴.∠A+∠C=LCBD+∠C=90°， ∠A=LCBD, △ADB∽△BDC, :AD、BD BD CD :BD2=ADICD: ②如图，分别过点C,D作CG⊥DF,DH⊥CF, 0 E B FH AD=AE,CF=CD,EF=DF, :.∠AED=∠ADE,∠CDF=∠CFD,∠FED=∠FDE,△AED,△EFD,ACDF都是等腰三角形， DG=FG,LDCG=∠FCG2∠ACB 2197 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设∠AED=∠ADE=au,∠CDF=∠CFD=B,∠FED=∠FDE=Y, 则∠ACB=180°-2p,∠FEB=180°-a-y,a+B+y=180°， .∠FEB=B=∠CFD, 在△BEF与△HFD中， ∠B=∠DHF=90° ∠BEF=∠DFH, EF=DF .△BEF≌△HIFD(AAS, ∴BE=FH,BF=DH, :1an∠EFB=2' 1 :BE、1 8F2: 设BE=x,BF=2x,则BE=FH=x,BF=DH=2x, EF=DF=FH2+DH2=5x, :△CDF是等腰三角形，CG⊥DF, FG=DG=1DF-5 x 21 :∠BEF=∠CFG=B,∠B=∠CGF=90°， .△BEF∽△GFC, BE EF FGcF,即5cF, ..CF=x, 2 3 :CH CF-FH=x, 2 -CH=2*3: DH 2x 4 (2)解：如图，过点A作AM⊥OB, 3197 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D B H G 设∠ABD=∠ACB=Q,∠ADB=B, :∠BAC=∠BAC,∠ABD=∠ACB, △ABD∽△ACB, ∠ADB=∠ABC=B,4=4D AC-AB ∠CBD=∠ABC-∠ABD=B-a, BC=BG, LG=∠BCG, :∠G+∠BCG=∠CBD, ·∠G=∠BCG=∠CBD=B-& 1 2 ∠ACH=∠ACB+∠BCG=a+B-&_B+a 2 2 :BC=BG,点H是CG的中点， BH⊥CG,即∠BHC=90°， ÷∠CBH=90°-∠BCG=90°_B,0,∠0=90°-∠ACH=90°-B+a 2 2 ÷∠AB0=180°-∠ABC-∠CBH=180°-B-90-B,a）=90°-B+a, 2 2， ∠0=∠AB0, OA=AB, AB AD AC AB OA AD ·ACOA :点D是AC的中点， AD-C. 4/97 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.24c AC OA ÷042=4C, 2 :0A=2AC,即AC=20M, 2 :∠OMA=∠OHC=90°，∠O=∠0， .△OAM∽△0CH, :0A、0M 0C0H, OM OAOAOA 1 0hoco1+4c01+W2041+52-l, Sow=2-1=3-22, S.COH 设5aw=a,则8omg2N万B+2同ja, :OA=AB,AM⊥OB, .0B=20M, S.04B=2a, o-94c,4D-号4c 2 OM=54D,即4D=204, 2 ÷0D=0A+AD=2+50A, 2 2S.o-2+s.ou-(2+)a. 2 S.BOD S.COH 器-ea 2.(2026安徽蚌埠.二模)综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互 垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形 (1)【模型初探】如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE，AD⊥DE于点 D,BE⊥DE于点E,求证：DE=AD+BE; 5/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 (2)【深入探究】如图2，在RtAA0B中，∠A0B=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰 RIAOBC,连接DC交OB延长线交于点E.求E的值； OA D 图2 (3)【拓展延伸】如图3，点D是ABC内一点，连接DA,DB,DC,∠ADB=90°，∠ABD=∠BCD=30°，若 CD=1,BC=2V3,求AC的长. 图3 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, .∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE .AC=CB ACAD≌△BCE(AAS), .CD=BE,CE=AD :DE =CE+CD =AD+BE (2)解：过点D作DT⊥OB的延长线于点T,连接CT. 6/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 T :∠A0B=∠ABD=∠DTB=90°， ∴.∠TBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°， ∠TBD=∠BAO BD BA △DTB≌△BOA(AAS ∴DT=OB=BC,BT=OA, :∠OBC=∠TBC=∠BTD=90° BC∥DT :四边形BCTD是平行四边形， :BE =TE, :.0A=2BE BE 1 0A29 (3)解：过点A作AM⊥CD的延长线于点M,过点B作BN⊥CD的延长线于点N,如图， D :∠BCN=30°， M B N :BN=BC=V3,CN=BC.cos3?0°=3， DN=CN-CD=3-1=2, :∠ADB=90°，AM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N, ∴.∠AMD=∠DNB=90°，∠ADM+∠BDN=90°，∠DBN+∠BDN=90°， .∠ADM=∠DBN, .△ADM∽△DBN 7197 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM DM AD DN BN DB :∠ABD=30°， AD DB =tan30°= 3 AM DM 32 AM=23 ,DM=1, :CM=CD+DM=2 、2 ∴.AC=VAM2+CM2 25 3 +22=45 3 口题型02四边形+比例点：构造AX型相似，求面积比/线段比 3. (2026·上海黄浦.一模)如图，过菱形ABCD顶点A分别作边BC、CD的垂线，垂足为E、F,交对角 线BD于点M、N. (1)求证：BM=DN; (2)连接EN,如果EN∥AB,求cos ZABC的值； (3)如果。ABM与五边形CFNME的面积均为1，求菱形ABCD的面积. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， AB=AD,∠ABE=∠ADF, :AE⊥BC,AF⊥CD, .∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE和△ADF中， ∠AEB=∠AFD=90° ∠ABE=∠ADF AB=AD △ABE≌△4DF(AAS, :BE DF, :∠MBE=∠ABE,∠NDF= 1 ZADF, 2 .∠MBE=∠NDF, 8197 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在△BME和△DNF中， ∠MBE=∠NDF BE=DF ∠AEB=∠AFD=90° :△BME≌△ONF(ASA), :BM DN (2)解：如图， A M B D E :EN∥AB,∠BMA=∠NME, .△BAM∽△NEM, EN MN ·ABBM 又，EN∥CD,∠NBE=∠DBC, ∴△BNE∽△BDC, EN BN CD BD AB=CD, ..MN BN BM BD 设MN=a,BM=b, :0+b b a+2b' :a2+2ab=ab+b2, .a2+ab-b2=0, 解得：a=-b±B2+462 -b±5b 2 a>0, a=5-b, 2 ∴cos∠ABC=BE-BE=BN-MW-&=V5-1 AB BC BD BM b 2 9197 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：如图，连接AC交MN于点O, H A B D 1 .S四边形CEMO= ,S五边形CFNME=2' 设S△AMO=X, S△MBO=S△ABM+S&AMO=1+x, :S△BOc=S△MB0=1+x, 六S2w=5asac-Sa造6cE0=1+x-r+号 2x+2 :∠BME=∠AMO,∠BEM=∠AOM=90°， .△BME∽△AMO, 1 S.BME BE SAMO :∠EAC=∠OMA,∠AEC=LAOM, △AEC∽△AOM, S.AEC =2, SAOM AO) .BE AE, ∠BAE=∠ABE=45°， 过点M作MH⊥AB, .AH =HM .AM=√2HM, :∠ABM=∠EBM, .HM EM, :SABEM EM1 SAABM AM互=2， 10/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 SAREMx+22 1 SAAMO=x= V2-1 2 =4(S.v+SAo小=4×1+V5-I =2+22 2 4.(2026上海.一模)在边长为4的正方形ABCD中，过点C的直线1垂直于对角线AC,点E是直线1上 一点，且在直线BC上方，连接BE交AC于点F,连接DE· 图1 图2 备用图 4如图1，若BE=8,求 FE的值， 2如图2，连接DF,设BE、CD相交于点G,若气品，求证：DP14E; (3)如图2，连接DF,若△DFE是以DF为腰的等腰三角形，求tan∠DEB的值. 【详解】(1)(1)解：如图1，过点E作EH⊥BC交BC延长线于点H,连接BD交AC于点O, C 图1 :正方形ABCD, ∠ACB=45°， :直线1垂直于对角线AC, ∠ACE=90°， .∠ECH=45°， 设EH=CH=x,则BH=4+x, :∠EHB=90°， :BE2 EH:HB2, 即82x2(x4)2, 11/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x,=2V7-2,x2=-2V7-2(舍去)， 则CE√2x21422, :四边形ABCD是正方形， 对角线AC⊥BD, :直线1垂直于对角线AC, .BD∥I, :正方形ABCD,边长为4， 0B=BD=22, OB 2V2 √71 FE CE2W142√2 6 (2)证明：连接BD交AC于点O,过点G作GM⊥AC于M,设BD与AE交于点K,DF与AE交于点N, 图2 :四边形ABCD是正方形， ∠ACD=45°， :GM⊥AC, .GM =MC, :直线1垂直于对角线AC, .GM∥CE, FG FM FM FC GE MC MG CE :Ec FG CA GE EC FC cA CE ∴.△ECF∽△ACE, .FEC EAC, 又：四边形ABCD是正方形， :.对角线AC和BD互相垂直平分， 12/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BF FD, ∴∠FBD=∠FDB, 又BD∥1， ·.FBD FEC EAC, 即∠EAC=∠FDB, :∠AKO=∠DKE, 又：∠A0K=180°-∠EAC-∠AK0,∠DNK=180°-LFDB-LDKE, .∠AOK=∠DNK, :四边形ABCD是正方形， .∠A0K=90°， .∠DNK=90°， DF⊥AE. (3)解：如图3，若DF FE BF, 图3 则∠FBD=∠FDB,∠FDE=∠FED, :2∠FDB+2∠FDE=180°， ∠FDB+∠FDE=90°， 即∠BDE=90°， :四边形ABCD是正方形， ∠D0C=90°，∠ACD=45°， :直线1垂直于对角线AC, .∠0CE=90°， ∴.∠DEC=90°， :∠ACD=45°，∠0CE=90°， DCE=45°， :正方形ABCD,边长为4， 13/97 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE-DC=2 BD=DC-4 2 在Rt△EDB中， BD4√2 tan∠DEB= =2; DE2√2 如图4，若DF=DE,过点D作DP⊥直线1于P, B 图4 同理可知∠D0C=∠0CP=∠DPC=90°，0D=0C, :四边形DOCP是正方形， :DO=DP, 在Rt△DOF与Rt△DPE中 DO=DP DF=DE' .RtADOF≌RtADPE(HL), ∠ODF=∠PDE, ∴.∠ODF+∠FDP=∠PDE+∠FDP, 即∠FDE=∠0DP=90°， 则∠DEF=45°， .tan∠DEB=l; 综上，tan∠DEB=l或2. 5.(2026·上海松江.一模)在口ABCD中，P是边BC上一点，将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的 点E处，AE的延长线交射线BC于点F. D D B 图1 图2 (1)如图1，当四边形ABCD是矩形时，如果BP=4,PF=5,求四边形ABCD的面积； 14/97 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 2如图2，如果BP=1,CP=2,四边形CDEF的面积是2，求ADP的正弦值： B)如果AB=AP且CF=PF,求 B的值： 2 AD 【答案】(1)240： )V22-6或2 4 2 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， .∠ABP=∠C=90°，AD∥BC,AB=CD, :将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处， :∠AEP=90°，BP=EP=4,EA=AB=CD, 即∠FEP=90°， :PF=5, ∴EF=V52-42=3, :AD∥BC, ADE∽FPE, :AD=DE AE FP PE FE 即4D-DE-4E 5 43 :∠FEP=LC=90°，LEPF=LCPD, .△EPFCPD, CP PD CD EP PF EF' 即CP-PDCD 45=3 EA=CD, .AE_CD 33 即4D-DE=CPPD 5445 设4D-DE-CP-PD =k, 5445 .AD PD=5k,DE CP=4k, 15/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PD DE PE =4k+4=5k, 六k=4, .AD PD=5k=20,DE CP=4k=16, .DE AE 43 :164E 43 .AE=12, 即AB=12, :四边形ABCD的面积=AB×AD=12×20=240; (2)解：：将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处，BP=1 ∠APB=∠APE,BP=EP=1, :BP=1,CP=2, .BC=3, 口ABCD, .AD∥BC,AD=BC=3, ∠APB=∠DAP,∠ADP=∠DPC, 即∠APE=∠DAP, :PD=AD=3, DE=2, AD∥BC, ∴.ADE∽FPE, .AD DE FP PE 解料P- :FC=2' 1 如图，连接CE, 16/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B CG 设PEF的面积是3S,则△CEF的面积是S, .△CEP的面积是4S, EP=1,DE=2, ∴.△CED的面积是8S, :四边形CDEF的面积是？ 2 :△CED的面积是 -S, 即85=3-5， 2 解得：S= 6 ·△CEP的面积是4S=2, 3，△CED的面积是8S=4 3， △CDP的面积是2+ =2, 33 作DG⊥BC交BC延长线于G, 则S,cP=2 xPCxDG=2x×2×DG=2, 解得：DG=2, :PD=3 sin DPC DG 2 DP 3' :∠ADP=∠DPC, .sin ADP 2 (3)解：：将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处， ∴∠APB=∠APE,BP=EP,∠BAP=∠EAP,△ABP≌△AEP,AB=AP=AE, :ABCD, AD∥BC,AD=BC, ∠APB=∠DAP,∠ADP=∠DPC, 17/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即∠APE=∠DAP, :PD AD, AB=AP, ∠APB=∠ABP, 即∠APB=∠ABP=∠APE=∠DAP, .△ABP∽△DAP, AB BP AP AD AP DP :△ABP≌△AEP, .△AEP∽△DAP AEEPAP AD AP DP 即B-BP-AP-AEEP AD AP DP AD AP 设AB =x,AD=a,则PD=AD=a, AD :AB、AP AD DP 即AP=ax, AB=BP EP AD AP AP' ·BP=EP=AB AP=a·ax=a2x, D :ED=PD-PE a-ax2=a(1-x2), ED>0,a>0, 1-x2>0, 即x2<1, AD BC=a,BP=a'x, ..CP=BC-BP=a-ax2=a(1-x2), 如图，当点F在线段PC上时， 18/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B cjr. :PF-3pC=3alI-x). 2 3 3 :AD∥BC, ADE∽FPE, .AD_DE FP PE a1-x2） . 3a1-x2) 1-x2 即21-x)’ 3x2=21-x2)2, 整理得2x4-7x2+2=0, 解关于X2的方程得x2=7±V33 4 x2<1, x2=7-33 4 =14-2V33 8 -1+3-2W33 (而+(3-233 8 (-. 8 (Vi-3 X=1 8 19/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 而-5 2V2 =22-V6 4 即AB-22-V6 AD 如图，当点F在线段PC的延长线上时， CF-PF. :.PF=2PC=2a(1-x2), :AD∥BC, ADE∽FPE, AD DE FP PE a a1-x2) 2a1-x2）ax2 1(1-x2） 即20- x2=21-x2), 整理得2x4-5x2+2=0, 解关于倒的方程得r=2分： x2<1, 2 X= 21 即AB、V AD 2 6.(2026·上海金山一模)在四边形ABCD中，点E在边AB上，BE=3AE,点F在边BC上. 20/97 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A A E B F B F 图1 图2 图3 (1)如图1，若四边形ABCD为矩形，且BF=3CF,连接EF、AC, 求证：△BEF∽△DCA; (2)如图2，若四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC.请连接FE并延长，交DA的延长线于点G,连接BG, 如果BG⊥GD,∠EFB=2∠GBA,AG=6,求CD的长； (3)如图3，若四边形ABCD为平行四边形，点F是BC中点，连接DE、AF交于点K,连接CK,过点A作 AM∥CK交DK于点M,连接CM,求SKMC:S.xFc值. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， AB=CD,BC=AD,BC∥AD,∠B=∠D=90°， .∠BCA=∠CAD, BE=3AE,BF =3CF, :BE、BF AB BC :∠B=∠B, .△BEFn△BAC, :ZBFE ZBCA, ∠BFE=LCAD, 又：∠B=∠D=90°， △BEF∽△DCA; (2》解：取AB的中点H,连接G,则AH=BH=方B, GA D H :BG⊥DG, :.GH=- 5B=AH=B即 .∠BGH=∠ABG, 21/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠AHG=∠ABG+∠BGH=2LABG, :∠BFE=2LABG, ∠AHG=∠BFE, :AD∥BC, ∠BFG=∠AGE, .∠AHG=∠AGE, 又：∠GAE=LGAH, ∴.△AGE∽△AHG, :4G、4H AE AG' .AG2=AE·AH, :AGP =1AB.AE, 2 设AB=x,则6=xAB, 2 AF=22 :BE 3AE, AB=4AE,即x=4.72 解得x=12√2（负值舍去）， AB=12V2, :四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC, CD=AB=12√2： (3)解：延长CB,DE,交于点H,连接AC, E :平行四边形ABCD, AD∥BC,AD=BC, ∴△DAE∽△HBE,△AKDP△FKH, ADAE1 AKAD BH BE3'FK HF 22/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BH =3AD, :F为BC的中点， ÷B=BC=4D, 2 2 HIF=34D+14D-1 AD, 2 AK AD 2 FKH7’ S.AKC=AK=2 S.CEK FK 7' :AM∥CK, ∴S。ACK=SMcK, .S.KMC S.KFC =2:7. 题型03翻折（轴对称） 7.(2026上海浦东新.二模)折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术.学校折纸社团的同学 们用12cm×12cm正方形纸片开展折纸活动 【发现问题】如图1，将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕交AD于点E、交BC于点F,点E、F分别 是边AD、BC的二等分点.在第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的 等分点.按 照这样的方式对折n次(n是正整数)可以得到边的 等分点（用含的代数式表示），但这样折 的方式都不会得到边的三等分点。 El E!(B) D D B C) 图1 图2 图3 【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？ 【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论。 小明：要得到边的三等分点，得想想别的折法. 小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出1：2的比 例？ 小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图1）的基础上，将点B沿着直线翻 23/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 折到点E处（如图3），折痕分别交正方形的边于点G、H.边BC交正方形的边于点 M,M就是边CD的一个三等分点. 【解决问题】 (1)完成填空； (2)求AG的长； 3)判断小海的折法是否正确并说明理由. 【答案】(1)四，2； (2）4.5cm 3)正确，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】(1)根据题意可得答案： (2)设AG=x,则由折叠的性质可得GE=(12-x)cm,求出AE的长，利用勾股定理可得方程 x2+62=(12-x),解方程即可得到答案： (3)证明∠AEG=∠DME,得到an∠ABG:an∠DME.则二=DN,可求出DM=8cm,据此可得结 AG DE 论。 【详解】(1)解：由题意得，第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的四等分点.按照这 样的方式对折n次(n是正整数)可以得到边的2"等分点： (2)解：设AG=x,则由折叠的性质可得GE=(12-x)cm :四边形是ABCD正方形， ∠A=90°. :E是AD的中点，AD=12cm, .AE 6cm, 在RtAAGE中，由勾股定理得AG2AE2GE2, x2+62=(12-x}2, 解得x=4.5, .AG=4.5cm; (3)解：小海的折法正确，理由如下： 24/97 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠的性质和正方形的性质可得∠D=∠GEC=90°. ∴.∠AEM=∠DME+∠D,∠AEG+∠CEG=LDME+∠D, ·.∠AEG=∠DME .tan∠AEG=tan∠DME. AE_DM AG DE 6 DM 4.56’ 解得DM=8cm, 由8：12=2：3可知，M是边CD的一个三等分点， 8.(2026·上海浦东新·二模)在口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE,EF, DE=DC. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，连结BD,如果EF∥BD,求证：△ECFn△ADE; (2)已知tanC=√5，连结AF. ①如图2，如果点D,E关于直线AF对称，求S△ADF:S。4BcD的值； ②如图3，如果AF=5DF,∠AFE=∠EDC,求CF的值， ED 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， BC=AD,AD∥BC, .∠ADE=LDEC. DE =DC, .ZC ZDEC. ∠C=LADE. :BC=AD,∠C=∠ADE,CD=DE, △BCD≌△ADE. :EF∥BD, 25/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·△ECF∽△BCD. ∴△ECF∽△ADE, (2)解：①作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC于Q,延长AF交 BC延长线于点G. 设HC=a,则HD=HC.tanC=√5a,DE=DC=VHD2+HC2=√6a. B E :点D,E关于直线AF对称， :AD AE. ∠ADE=∠AED. DE =DC, ∠DEC=∠DCE. :∠ADE=LDEC, ∠ADE=∠AED=∠DEC=∠DCE. .△ADE∽△DEC. AD DE DE EC :DE=DC,DH⊥BC, :EC=2HC=2a. AD6a a 2a .AD 3a. .AD AE =3a. :D,E关于直线AF对称， ·∠DAF=∠EAF. AD∥BC. ∠DAF=LG ∠G=∠EAF. 26/97 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AE EG 3a .CG=a. :AD∥BC, ∴△ADFn△GCF,△DPF∽△COF. DF AD DF PF FC CG =3,rcF0 =3. :FO PF 3 P04· 1 :S△ADr=7ADPF，SARCD=AD·PO, 2 S40r=2 3 SABCD PO 8 ②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P, B E 设DP=m. :AD∥BC, ∠PDF=LC. PF=DP,tan∠PDF=V5m,sin∠DFP=6 DF=DP2+PF2 =V6m. AF=5DF, .AF=√30m. .AP=√AF2-DF2=5m. :AD 4m. PEAP DP PE △DPF∽△FPA .∠DFP=∠PAF. 27/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设∠DFP=∠PAF=a. ∠PDF=90°-a. ∠C=∠DEC=∠ADE=90°-a. ∴∠FAP+∠ADE=90°. ∴.∠A0D=90°. .∠F0D=90°. 0D=AD.sin∠PAF=4msin∠DFP=26m 3m. :∠EDF=∠AFE,∠EDF+∠DFO=90°， ∴∠EFD=LAFE+∠DF0=90°. ∠EFD=LFOD. 又∠ODE=∠FDE, .△DEF∽△FOD. DF DE DO DF 5=6 0c-26m cr-分6m .CF 1 DF √6m2 题型04三角形：+中点/比例点：构造AX型相似，求面积比/线段比 9.(2026上海虹口.一模)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB且AC=AD. D B 图1 图2 图3 (1)求证：2AC2=CD·AB; (2)连接BD交AC于点E,过点C作CF∥AD交BD于点F, @过点C作CG上AD分别交AD、BD于点G、H,如图2所示.已知AB=5tan∠ABC=,求CF和Cm 28/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的长； ②如图3，如果F为BE的中点，求4c的值y 【详解】(1)解：如图，作401CD于点O, B :AC=AD,A0⊥CD, :.Co=ICD, 2 :CD∥AB, ∠ACO=∠BAC, :∠A0C=∠BCA=90°， .△C0Am△ACB, 1 AC CO BA AC ,即4C.2CD BA AC ACCD-AB. .2AC2=CD·AB; (2)解：①：AB=5,tan∠ABC= 设AC=3k,BC=4k, ∴.在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2,解得：k=1(负值舍去)， AC=3,BC=4, 18 由(1)得：2AC2=CD,AB,解得：CD= :CF∥AD, ∠DFC=∠BDA, :CD∥AB, .∠CDF=∠ABD, △DCFn△BAD, 29/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 35 AD AB ,即CF8,解得：CF=4 CF CD 5 :CD=18 由(a得：c0=Cn-号易得：40-号 CD:A0-4D.CG CG-72 5 在R1△CGD中，DG=VCD2-CG-4 5 :CF∥AD, ∴△DGH∽aFCH, DC-Gl,即G-1. FC CH' CH ∴.GH=CH=二CG, 2 CH=36 CF的长为4 25CH的为 ②：如图，作DM⊥AC于点M, M B S.ADC= 1 AC.DM 2 DM SABC 1AC.BC BC' :DM⊥AC,BC⊥AC, ∴.△DMEn△BCE, DM DE BC BE' :CD∥AB, ∠CDF=∠ABD,△DCE∽△BAE, 30/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE CD BE AB CF∥AD, .∠DFC=∠BDA, .△DCFn△BAD, DF CD BD AB 85.甲055+E DE+BE BE DE+BE DE+BE ·DE DE+I 2 ,即DE'+DE·BE=DEBE+BE, BE DE+BE -即距要 BE 2 DM 2 BC 2 S匹-2 S。ABC 2 10.(2026上海长宁一模)如图1，在4BC中，D为4C边上一点，始终满足=D BC CD E D E (图1) (图2) (图3) (1)求证：∠ABD=∠CBD. (2)在ABC中，当∠C=90°时. ①咖图2，已知m4-,过点D作ED1D交B于点E,若助G的面积为5，求4C长. ②如图3，E为BD中点，如LABC=2LDAE,设BE长为x,记AB与BC的差为y,求y关于x的函数关系 式及函数定义域. 【详解】(1)解：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC, 31/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 0 B 则： S.ABD=2 1 AB.DE AB·DE_AD BC·DF BC·DFCD 2 又：4B=4D BC CD :DE DF, .BD平分∠ABC, .∠ABD=LCBD; (2)解：①：∠C=90°， sin4=BC 3 AB5' 设BC=3k,AB=5k,则AC=√AB2-BC2=4k, :AB、A BC CD ,即D-5 CD3' .:CD= 3 BD=BC+CD=35k 2 由(1)知：∠ABD=∠CBD, ∴tan∠ABD=tan∠CBD, :ED⊥BD,∠C=90°，tan ZABD=tan /CBD, DE CD I BD-BC-2' k, 4 S.BDE= DE-8- 35k35k=5 2 k· 4 k=4 3 (负值舍去)； 4AC=4k=4×4=16 339 ②作DF⊥AB于点F, 32/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F C :∠ABD=∠CBD,∠ACB=90°， .DF=CD, 又：BD=BD, ∴Rt△BCD≌Rt△BFD(直角三角形全等的判定定理)， BC=BF, .AB-BC=AB-BF=AF=y, :∠ABC=2∠DAE, ∠CBD=∠ABD=LDAE, 又：∠ADE=∠ADB, △ADE∽△BDA, AD DE BD AD .AD2=DE·BD, :E为BD中点，BE=x, :DE =x,BD =2x, .AD2=x2x=2x2, ·AD=V2x, 连接CE, :∠ACB=90°，E为BD中点， CE-TBD=BE=DE=X. ∠BCE=∠CBD=∠DAE, ∴∠DAE+LACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°， ∠AEC=90°=∠ACB, .△AEC∽ABCD, EC AC ·CDBD 33/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC·CD=ECBD, （AD+CD·CD=EC·BD,即V2x+CDCD=2x2, 解得CD=0-V 2x或cD=0-5x(舍去)， 2 2 BC=√BD2-CD2=VW5+1x, AB AD BC CD y+v5+Ix ".C品： √2x BC BC √10-√2 -Y 2 y=VW5-1x(x>0). 11.(2026上海闵行.一模)如图，已知在ABC中，点D是边AC上的一点. B 图1 图2 图3 (1)当∠ABC=90°时. ①如图1，BD是边AC上的高，求证：BD2=AD·CD; ②如图2，AD=AE,点F在边BC上，且CF=CD,顺次连接DE、EF、FD.如果 EF=DF,am∠EFB=?求coC的值， (2)如图3，如果点D是边AC的中点，∠ABD=∠ACB,点G在线段DB延长线上，且BG=BC,连接CG, 取cG中点H,分别延长HB、CA交于点O,求△的值. SACOH 【详解】(1)①证明：·BD是边AC上的高， ∠ADC=∠BDC=90°， :∠ABC=90°， ∴.∠A+∠C=∠CBD+∠C=90°， ∠A=∠CBD, △ADB∽△BDC, :D、BD BD CD 34/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·BD2=ADCD; ②如图，分别过点C,D作CG⊥DF,DH⊥CF, A E GA B C FH AD=AE,CF=CD,EF=DF, ·∠AED=∠ADE,∠CDF=∠CFD,∠FED=∠FDE,△AED,△EFD,△CDF都是等腰三角形， DG=FG,∠DcG=∠PcG=4CB, 设∠AED=∠ADE=a,∠CDF=∠CFD=B,∠FED=∠FDE=Y, 则∠ACB=180°-2B,∠FEB=180°-a-Y,a+B+y=180°， ∠FEB=B=∠CFD, 在△BEF与△HFD中， ∠B=∠DHF=90° ∠BEF=DFH, EF=DF .△BEF≌HFD AAS), .BE =FH,BF=DH, :tan∠EFB=2' 1 、BE1 BF 2 设BE=x,BF=2x,则BE=FH=x,BF=DH=2x, .EF=DF=FH2+DH2=5x, :△CDF是等腰三角形，CG⊥DF, FG-DG-1DF-5 x 2 2 :∠BEF=∠CFG=B,∠B=∠CGF=90°， △BEFn△GFC, 35/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE EF 5x FG CF 即5 CF, x 2 CF-7x .CH=CF-FH= , 3 cotC=CH 3 2 DH 2x 4 (2)解：如图，过点A作AM⊥OB, H G 设∠ABD=∠ACB=Q,∠ADB=B, :∠BAC=∠BAC,∠ABD=∠ACB, ∴△ABD∽△ACB, ·∠ADB=∠ABC=B, AB AD AC AB ∠CBD=∠ABC-∠ABD=B-, BC=BG, .∠G=∠BCG, :∠G+LBCG=∠CBD, ∠G=∠BCG=∠CBD=B-& 2 2 ÷∠ACH=∠ACB+∠BCG=a+B-&-B+a 2 2 :BC=BG,点H是CG的中点， .BH⊥CG,即∠BHC=90°， ÷∠CBH=90°-∠BCG=90°-B,a,∠0=90°-∠4CH=90°-B+ 2 2 :∠AB0=180°-LABC-∠CBH=180°-B-90°-Ba）=90°-B+& 2 36/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠0=∠AB0, :OA =AB, AB AD AC AB OA AD AC OA :点D是AC的中点， :AD=TAC, 2 AC OA 0r-号4C :0A=5AC,即4AC=20A, 2 :∠OMA=∠OHC=90°，∠O=∠O, △OAMn△OCH, 0A-0M OC OH' OM OA OA OA 1 ”0H0C0A+AC0A+V20A1+√2 =√2-1， 0w=(2-1=3-22, S.COH 设5aw=a,则5.cam3-2万-3+2w2ja, a :OA=AB,AM⊥OB, .0B=20M, :S.oB =2a, :0A=5Ac,4D=4C, 2 2 ÷0A=24D,即AD=50A, 2 ÷0D=0A+AD=2+50A, 2 ÷sm2+25w-2+]a, 2 是间-明 37/97 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05圆：构造AWX型相似，线段比 12.(2026上海闵行·二模)已知：如图，AB为半圆0的直径，点E为CD的中点，连接OE交弦CD于点 G、交弦AD于点P,且LAPO=∠ABD,连接AC、BD. G G F P M O 图① 图② 备用图 (1)如图①，求证：四边形ABDC是等腰梯形； (2)点M在直径AB上(M不与A、B重合)，连接CM交AD于点F. I.如图②，当CM1AD,且M为40的中点时，求 C7的值， IⅡ.连接BF,半圆O的半径为1，∠BFM=∠ACM.当△AFM为直角三角形时，求AM的长. 【详解】(1)解：AB为半圆0的直径， ∠ADB=90°. ∠DAB+∠ABD=90°. .∠APO=∠ABD, ∠DAB+LAP0=90°. ∠A0E=∠E0B=90°. :AE=BE :点E为CD的中点， .CE DE. :AC BD. ..AD=BC,ZCDA=ZDAB,AC BD. ∠CAB=LDBA,AB∥CD. 四边形ABDC是等腰梯形. (2)解：I,设AM=a, M为A0的中点， :AM =OM a. .0A=0B=2a. 38/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BM =3a. 'CM⊥AD,∠ADB=90°， .CM∥BD AB CD, :四边形CMBD是平行四边形. :CD =BM =3a. :AB CD :△AFM∽△DFC. FM AM=a=1 CF CD 3a 3 FM 1 CM 4 IⅡ.如图，当∠AFM=90°时， D M 设AM=x,则BM=2-x, 由(1)可得四边形CMBD是平行四边形， :CD BM =2-x,CM BD. :∠BFM=∠ACM,∠BFM+∠DFB=∠ACM+∠CAF=90°， .∠DFB=∠CAF. :∠CFA=∠FDB=90°， :△CAF∽△BFD. CFAF BD FD :CM∥BD, AMAF FM_AM MB FD BD AB CF AM BD MB CM-FM AM CM MB 39/97 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.1-FM_AM CM MB :.1-FM_AM BD MB :.1-AM_AM AB MB 1-=x, 解得x=3+√5（舍），x2=3-√5. 22-x :.AM =3-5 如图，当∠AMF=90°时， :∠BFM=LACM,∠BFM+∠FBM=∠ACM+∠CAM=90°， A M .∠FBM=LCAM, :∠CAM=∠DBA, ∠FBM=∠DBA. 此时点F与点D重合，此种情况不存在. 当∠MAF=90°时， :∠MAF=∠DAB<90°， :此种情况不存在 综上所述，AM=3-5. 13.(2026上海宝山二模)如图1，AB是⊙0的直径，C是AB延长线上一点，CP是O0的切线，P为切 点，连接BP、OP D P 图1 图2 备用图 (1)求证：CP2=AC·BC; (2)如图2，过点B作BD∥OP交⊙0于D, ①如果BD=18,BP=6√5，求CP的长： 40/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②连接CD、DP,如果△CDP是以CD为腰的等腰三角形， BC的值· C 【详解】(1)证明：连接AP, 4 B D C :AB是OO的直径， .∠APB=90°， .∠A+∠ABP=90°， :CP是OO的切线，P为切点， OP⊥PC, ∠0PB+∠CPB=90°， 0B=0P, .∠OPB=∠ABP, ∠A=∠CPB, 又，∠C=LC, △CPB∽△CAP, :CP_AC CB CP ∴.CP2=AC.BC; (2)解：①作O11BD于点H,作BG10P于点G,则8H=BD=9, :OP∥BD, BG⊥BD, :四边形OGBH为矩形， 41/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.OH=BG,OG=BH=9, 设⊙0的半径为r,则0P=0B=r, PG=0P-0G=r-9, 在Rt△0BH中，由勾股定理得OH2=OB2-BH2=r2-92, 在Rt△BGP中，由勾股定理得BG2=BP2-PG2=(6N5-(r-9)2, OH=BG, 2-92=(65-(r-92, 解得r=15或r=-6(舍去)； BG=0H=V152-92=12, :BG⊥OP,OP⊥PC, BG∥CP, .△OGBm△0PC, COP,即C15 BG OG 129 ∴PC=20; ②当CD=PD时，延长DB交CP于点E, OP∥BD,OP⊥PC, DE⊥PC, .DE垂直平分PC, .BP BC, ∠BPC=∠BCP, :∠BPC+∠OPB=90°，∠OCP+∠POC=90°， ∠OPB=∠POB, .BP=OB, .BP=OB =OP, 42/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :POB为等边三角形， ∴∠P0B=60°， .∠0CP=30°， BC=BP.BP=OP, .BC=OP, .BC OP PC CP =an30°=V5」 3 当CD=CP时，连接OD,PD交OC于点E,则OP=OD, A B P ∴.OC垂直平分DP,∠OPD=∠ODP, .∠0ED=∠BED=90°， :OP∥BD, ∠OPD=∠BDP,∠POB=∠DBO, ∠ODP=∠BDP, ∠DOB+∠ODP=LDB0+LBDP=90°， .∠DOB=∠DBO, .OD DB ..OD=OB=DB, ∴△OBD为等边三角形， ∠DB0=60°， .∠P0B=∠DB0=60°， 0P=0B, ∴△OPB为等边三角形， ∠0PB=60°，BP=0P, :∠0PC=90°， ∴.∠PCO=30°，∠BPC=∠OPC-∠OPB=30°， 43/97 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BPC=∠BCP, .BC=BP=OP, BC OP PC CP =an30°= 3 综上： BC3 PC 3 14.(2026上海奉贤.二模)如图，AB、AC是⊙0的弦，AB=AC,过点C作AB的平行线，交半径A0的 延长线于点D,连接BD. 0 ·0 备用图 备用图 (1)求证：四边形ABDC是菱形： 2如果C是有CB的中点，求4C的值： AD (3)连接C0,如果⊙0的半径是2，且△C0D是等腰三角形，求边AB的长， 【详解】(1)证明：如图，连接0C、OB, C AB=AC,OA=0A,OB=OC, ∴AOAC≌OAB(SSS), .∠OAC=∠OAB, AB CD, .∠OAB=LCDA, ∠0AC=LCDA, :AC=DC, AB=AC :AB=DC, 44/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：ABCD, ·四边形ABDC是平行四边形， AB=AC, ·平行四边形ABDC是菱形； (2)解：C是ACB的中点， :点C在弦AB的垂直平分线上， :.CA=CB, AB=AC, :AB=AC =CB, ∴△ABC是等边三角形， ∠BAC=60°， :四边形ABDC是菱形， :AC=CD,且对角线AD平分∠BAC, 六∠CAD=∠BAC=30, 2 如图，过点C作CH⊥AD于点H, D B 在RtA ACH中，∠AHC=90°，∠CAH=30°， CH-TAC.AH-VAC-CH5AC 2 :AC=CD,CH⊥AD, :AD =2AH=3AC, AC AC 3 ADAC3 (3)解：若⊙0的半径0A=0C=2,设L0AC=a, 由(1)知，AC=CD=AB,∠0DC=L0AC=a,连接CO, 当△COD是等腰三角形，分类讨论： 45/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当0C=0D=2时，则∠0DC=∠0CD=∠0CA=a,∠C0D=2a, 由三角形内角和定理可得，a+a+2a=180°，解得a=45°， ∠C0D=90°， 根据勾股定理得CD=√OC2+0D2=2√2， 故AB=CD=2V2; ②当0C=CD=2时， 则∠C0D=∠0DC=a, :0A=0C, ∴∠OAC=∠OCA=a, ∠C0D=a+a=2a, 即2a=a,解得a=0,不符合题意，舍去： D ③如图，当D0=CD时， D :0A=0C, B ∠OAC=∠0CA=a, :∠0DC=∠0AC=, ∴.∠OAC=∠CAD,∠OCA=∠CDA, AOAC∽△CAD, 46/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC OA AD AC 即AC2=OA·AD, 设AC=CD=DO=x,则AD=x+2, x2=2(x+2), 即x2-2x-4=0, 解得x=V5+1,x2=-V5+1(舍)， CD=5+1, :四边形ABDC是菱形， :AB=CD=5+1. 题型06圆与圆的位置关系 15.(2026上海静安.二模)菱形ABCD中，点E在线段AD上，连接CE、BE. D 图1 图2 备用图 (1)如图1，连接AC交BE于点F,若EC=DC,求证：∠EBC=∠BAC; (2)如图2，AB=6,∠ABC=60°，点P在线段BE上，且满足LBCP=∠BEC,设AE=x,BP=y, ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当AE=3时，以AE为半径的0A和以BP为半径的⊙B是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果 不相交，请说明理由， 【详解】(1)证明：：EC=DC, ∠D=∠CED, 四边形ABCD为菱形， ∠ABC=∠D,∠BAC=∠CAE, LABC=∠CED, :∠AEC+LCED=180°， ∠AEC+∠ABC=180°， 点A、B、C、E四点共圆， 47/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠EBC=∠CAE, ∴∠EBC=LBAC; (2)解：①如图，作BH⊥DA,交DA的延长线于点H, H-- D 四边形ABCD为菱形， AB=BC=6,AD∥BC, ∠BAH=∠ABC=60°， .∠ABH=90°-∠BAH=30°， :.AH=-AB=3, 21 BH=AB2-AH2=33, .HE=AH AE =x+3, BE=BH2+HE2=x2+6x+36, :∠BCP=∠BEC,∠CBE=LPBC, △BCP∽△BEC, BC BP BE BC 6 . V2+6x+366' 36 .y= √2+6x+36 (0≤x≤6)： ②当AE=3时，y= 36 12√7 V32+6×3+36 71 =AE=3,与=BP=127 7 :48=6,且l25-3<6< 2v7 7 7+3, :以AE为半径的OA和以BP为半径的OB相交， 如图，设两圆相交于MN,连接AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于点G, 48/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B AM=AN AE-3.BM-BN-BP-12 7 由垂径定莲可得：GM=GN=号MN,AB1MX, 设AG=a,则BG=AB-AG=6-a, 76w=-G=-o-8w-86-2y9-6-a 32-a2=12万 7 -(6-a2, 解得：a= 57 28' ·4G=57 8 GN=VAN-AG947 28 ·MW=2GN= 9V47 1✉ 16.(2026上海青浦二模)已知ABC中，AC=BC=5,AB=25,点D是射线CB上一点，连接AD, 圆O经过A、B、D三点. 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点D在线段BC上时， ①记圆O交AC于点F,求证：AF=BD; ②设CD=m,用m表示圆O的半径； 49/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，在线段AD的右侧，以AD为底边作等腰△EAD,且始终满足LEAD=LBAC.若以C为圆心， CE为半径的圆C与圆O有公共点，请直接写出线段CD的取值范围. 【答案】(1)0见详解；②V5m2-30m+125 (2)0≤m≤3 【详解】(1)①证明：连接BF,DF ABC中，AC=BC=5, ∴.∠BAC=∠ABC, :在圆O中，DF=DF, 根据圆周角定理可知，∠DBF=∠DAF, ∠BAD=∠ABF, ∴AF=BD; ②解：：圆O是△ABD的外接圆， 所以O是三边中垂线的交点， 如图，取AB的中点H,连接CH,取BD的中点G,连接OG, 1 B D CH⊥AB,OG⊥BC, AC=BC=5,AB=25, .BH-TAR-5. CH=BC2-BH2=25, 50/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BH5 1 ∴.tan∠BCH= H252' CD =m, .BD=5-m, GD=BG=5-m 2 CG=CD+GD=5+m 2 tan∠BCH= 0G1 CG2' ∴.OG= 5+m15+m 22 4 0B=V√BG+0G 5+m "v V5m2-30m+125 则圆0的半径为： V5m2-30m+125 (2)解：由题意可得， (H) D 当点D在BC线段上时， :ABC中，AC=BC=5, ∠BAC=∠ABC, :△EAD是以AD为底边的等腰三角形， ∠EAD=∠EDA, :LEAD=∠BAC, ∠ABC=∠EDA, △ABC∽△ADE, 片AB-AD-25 AC AE 5 :∠BAD=∠CAE, 51/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △ABD~△ACE, ∴∠ABD=LACE, :点E的运动轨迹为直线CE, AB BD 25 AC CE 5 设CD=m, 由1)可知0G=5”,8D=-R, sin∠BCH= BH 5 OG BC 5 OC ÷0c.55+m,cE-55-m 4 2 由(1)可知0B=0D=V5m2-30m+125 =R, 当OC≤CE+OD,以CE为半径的圆C与圆O有公共点， 55+ms55-m+V5m2-30m+125 4 2 4 解得：0≤m≤3. 17.(2026上海虹口.二模)如图1，在扇形A0B中，∠A0B=90°，点C是弧AB上一点，点D是半径OB上 的点，连接CD,∠OCD的平分线和∠COD的平分线相交于点P,连接BP, D 图1 图2 备用图 山求证：∠0PB=90P+号<0DC; (2)连接BC(如图2)，如果CD⊥OB,CP=10,△0PB的外接圆⊙M与扇形A0B所在的圆⊙0相交， ①当c∠C8D-时，求0M与00的公共装的长， ②连接AM和AP,AP交OC于点E,当AM⊥OP时，求tanZPAM的值和OE的长， 【详解】(1)解：：CP平分∠OCD,OP平分LCOD, :ZPOC ZPOD,ZPCO=ZPCD, OC=0B,ZPOC=ZPOB,OP=OP, 52/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △OCP≌aOBP(SAS), :∠0PC=∠0PB, 在△0CD中，∠C0D+∠0CD+∠0DC=180°， 即2∠P0D+2∠PC0+∠0DC=180☐， ∠POD+∠PC0=90- 2<0Dc, :∠0PC=180C-∠P0C-∠PC0=180-(90D-;∠0DC)=90+)∠0DC, 2 :∠0PB=∠OPC=90°+}∠0DC: 2 (2)①CD⊥0B, ∠CD0=90☐，即∠0DC=900, 由(1)结论可得，∠0PB=90+∠0DC=90+45=135C, :△OCP≌aOBP(SAS), CP=BP=10,∠0PC=∠0PB=135☐， ∠CPB=360☐-1350-1350=900， :BC=VCP2+BP2=V100+100=10V2, .cos∠CBD= BD 1 BC=4' 设BD=k,则BC=4k=10√2， k=5V ，即BD=5 2 ∴CD=VBc2-BD=200-25x2-V20-125=1875-5y30 4 设圆0半径为R,则0B=0C=R,OD=OB-BD=R-5N2, 2 在R1a0DC中，0C2=OD2+CD2, 2 即R2=R- 5√2,375 2 2 解得R=20V2, 设圆O与圆M的另一个交点为Q,连接BQ、OM, “BQ是两圆的公共弦， 53/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠0PB=135☐，优弧OB所对的圆心角为2x135☐=270☐， :劣弧OB所对的圆心角∠0MB=360☐-270I=90☐， OM⊥BM, 又OM垂直平分公共弦BQ, ∴OM⊥BQ, :BM⊥OM,BQ⊥OM,且B为公共点， B、M、Q三点共线， BQ过圆心M,即BQ是圆M的直径， :0、B都在圆上， .OM BM △OMB是等腰直角三角形， :8M-508=5x205-20. 2 2 .BQ=2BM=40, .⊙M与00的公共弦长为40； ②延长CD交圆O于点N, CD⊥OB, ∴OB垂直平分弦CN, :BC=BN,BC=BN, .∠BCD=∠BNC, ∠BNC=∠BOC, /RCD-BOC. :AM⊥OP,M是圆心，OP是圆M的弦， :OG=PG,即AM是OP的垂直平分线， 54/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AO=AP, W平分t0P,即∠PAW=<0P, :AM⊥OP,CB⊥OP, AM∥BC, .∠AF0=∠CB0, :OA⊥OB,CD⊥OB, ∠A0B=∠CDB=90°， ·∠OAF=∠BCD,即∠PAM=∠BCD, .∠OAP=∠BOC, 在△AOP和△0OBC中， :A0=OB,∠OAP=∠B0C,AP=A0=0C, △AOP≌aOBC(SAS, .OP=BC=102,∠OAP=∠B0C, C∠PAM=号∠BOC=∠BCD 延长OP交BC于R, :OP平分∠B0C,OC=0B, OR⊥BC,R为BC中点， .BR=BC=5 2 :△CPB是等腰直角三角形，R为BC中点， PR=BR=52, .OR=OP+PR=10v2+52=152 ÷在R1aBOR中，tam∠BOR=BR=5V2_, OR 152 3 :∠0AP=∠BOC,∠PAM=∠OAP,∠BOR=∠COP=∠BOC, ∠PAM=LBOR=∠COP, 1 ∴tan∠PAM=tan∠BOR 3, :AM⊥OP, 55/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PAM+∠APG=90°， ∴∠C0P+∠APG=90°， .∠0EP=90°， :∠B0R=∠COP, 1 .tan∠COP=tan∠BOR= PE 1 0E-3 设PE=x,则OE=3x, :PE2+0E2=0P2, x2+3x2=102)}, 解得x=2√5， 0E=3x=65. 四B 03压轴强化训练 1.(2025安徽中考真题)己知点A在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA'的垂直平分线， 连接A'E,A'B. 图1 图2 图3 (1)如图1，若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长； 56/97 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，点F是AA的延长线与CD的交点，连接CA. ①求证：∠CAF=45°； ②如图3，设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA'.若CG=CB,判断△ADG的形状，并说明理由 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形，BA'的延长线经过点D, ∠ADB=45°，AD=AB,∠DAB=90°， 由垂直平分线的性质知，A'E=AE,BA'=BA, 又BE=BE, △EA'B≌△EAB, ∠EA'B=∠EAB=90°. 又∠ADB=45°， ∴△A'DE是等腰直角三角形， :A'E=AE=1, ∴DE=V2A'E=V2, AB=AD=AE+DE=1+√2 (2)解：①证明：由题意知，BA=BA'=BC, ∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C. .∠AA'C=LAA'B+∠CA'B =180-∠AB)+l80P-∠CBa0 =180°-∠ABA+∠CBA) =180°-450 =135°， .∠CA'F=180°-∠AA'C=45° ②解：△ADG是等腰直角三角形. 理由如下： A B 57/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (方法一)作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N. CG=CB, M为BG的中点. 又AA'⊥BE, CN∥AF, :BN=BM=1. AN GM “N是AB的中点， :MN是aABG的中位线，BN=)AB. :∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE=∠CBN=90°，且AB=BC, ∴△ABE≌△BCN, .AE=BN=1AB=1AD, 2 2 即E为AD的中点. 又AG=GA', .EG‖AD, ∠DA'G=LEGA=90°. 同理可证△ADA'≌△BAG, ·A'D=AG=A'G ·△A'DG是等腰直角三角形 (方法二)设∠ABG=0,则LCBG=90°-0. CG=CB, ∴.LCGB=∠CBG=90°-0， ∠BCG=180°-2∠CBG=20, 又：△EA'B≌△EAB, ∠A'BG=∠ABG=0, ∴.∠CBA'=90°-20. BA'=BA=BC, ∠BCA'=∠BA'C. .2LBCA'=180°-∠CBA'=90°+20， 58/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCA'=45°+0. ∴.∠GCA'=LBCA'-∠BCG=45°-0. ∠DCA'=90°-∠BCA'=45°-0=∠GCA', 又A'C=A'C,CG=CB=CD, △A'CG≌△A'CD. .GA'=DA',∠CA'D=∠CA'G. 由①知∠CA'G=180°-∠CA'F=135°， ∴.∠DA'G=360°-2LCA'G=90°. 又GA'=DA', ∴△A'DG为等腰直角三角形. 2.(2025·甘肃.中考真题)四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角 三角形，EG=EF,点G在CD的延长线上 G D G D A(E) A 4 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P, 如果EF=EP,写出AE和DG的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BF,写出BF和DG的数量关系，并说明理由， 【详解】(1)解：BF=DG,理由如下： :正方形ABCD, AB=AD,∠BAD=90°， :△EFG是直角三角形，EG=EF, ∠FEG=90°， 当点E与点A重合时，则：∠FAG=90°=∠BAD, LDAG=∠BAF=90°-∠DAF, 又：AB=AD,AG=AF, △ADG≌ABF, 59/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BF=DG; (2):正方形ABCD, ∠ADC=∠DAB=90°， :点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P, ∴.∠PAE=∠EDG=90°， .∠P+∠AEP=90°， :∠FEG=∠DEF+∠DEG=90°，∠AEP=∠DEF, ∴.∠P=∠DEG, EG=EF,EF EP, .EG=EP, 在APE和△DEG中， [∠PAE=∠EDG=90° ∠P=∠DEG EP=EG △PAE≌AEDG, :AE=DG; (3)BF=√5DG,理由如下： 由(2)可知：△PAE≌△EDG, :AE=DG,AP=DE, 作FH⊥AB于点H,则：∠FHB=LFHA=90°=LPAE, G D H AE∥FH, PA PE AH EF =1, ·PA=AH, PE =EF, :AE为△PHF的中位线， 60/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·HF=2AE, AP=DE,PA=AH, .DE AH, 又：AD=AB, AE =BH, 在Rt△BHF中，由勾股定理，得：BF=V√HF2+BH2=√5AE, .AE=DG, :BF =5DG. 3.(2025·新疆.中考真题)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4,AD=aBN,点M是 AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点. A M D (1)当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； (2)当a=√2时，以点C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值； (3)当a=√2时，求MN+ND的最小值. 【详解】(1)解：：等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠A=90°，BC=4,AB2+AC2=2AB2=BC2, .AB=AC-BC=2 2 :点D和点N分别是AC和BC的中点， AD-=4C=5,BN=5BC=2, AD aBN, .a= AD2 BN 2 A M B C (2):a=√2，AD=aBN, AD=√2BN, 61/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设BN=x,则：AD=√2x,CN=BC-BN=4-x, :等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, AB=AC=2√2， CD=AC-AD=2V2-√2x, :M是AB的中点， AM=BM=√2， ∠B=∠C=45°， 当点C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： D当CDN△BMN时，则：A北=X 22-2x_4-x √2 此方程无解，不符合题意： ②当aCND∽aBMN时，则： CN CD BM BN' 4-x_22-V2x 2 解得：x=3+V5(不符合题意，舍去)或x=3-√5； “BN=3-5; 综上：BN=3-V5; (3):a=√2，AD=aBN, :AD=2BN, 作DE∥BC,AE⊥DE于点E,连接BE, 则：∠ADE=∠C=45°， ∴△AED为等腰直角三角形， ·AD=√2DE=√2AE,∠DAE=45°， AE=DE=BN,∠BAE=45°， 又DE∥BN, :四边形EDNB为平行四边形， :BE DN 将AB绕点B旋转90度得到BF,连接NF,MF,则：BF=AB=2√2，∠ABF=90°， 62/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D :∠ABC=45°， ∠NBF=45°=∠BAE, 又：AB=BF,AE=BN, ∴△AEB≌△BNF, :BE NF, :DN NF, .MN+ND=MN+NF≥MF, :当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长， 在Rt△MBF中，BM=AB=V2,BF=2√2， MF=BM2+BF2=10, MN+ND的最小值为10. 4.(2025·甘肃平凉中考真题)四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是 直角三角形，EG=EF,点G在CD的延长线上. D D D G G F F A(E) 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与B的延长线交于点P,如 果EF=EP,写出AE和DG的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，连接BF,写出BF和DG的数量关系，并说明理由. 【详解】(1)解：BF=DG,理由如下： 63/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :正方形ABCD, AB=AD,∠BAD=90°， :△EFG是直角三角形，EG=EF, ∠FEG=90°， 当点E与点A重合时，则：∠FAG=90°=∠BAD, .∠DAG=∠BAF=90°-∠DAF, 又：AB=AD,AG=AF, .△ADG≌ABF, BF DG (2):正方形ABCD, ∠ADC=∠DAB=90°， :点G在CD的延长线上，FE的延长线与BA的延长线交于点P, ∴∠PAE=∠EDG=90°， ∠P+∠AEP=90°， :∠FEG=∠DEF+∠DEG=90°，∠AEP=∠DEF, ∠P=∠DEG, EG=EF,EF EP, 六EG=EP, 在APE和△DEG中， ∠PAE=∠EDG=90° ∠P=∠DEG EP=EG △PAE≌△EDG, :AE=DG; (3)BF=√5DG,理由如下 由(2)可知：△PAE2△EDG, .AE DG,AP=DE, 作FH⊥AB于点H,则：∠FHB=∠FHA=90°=∠PAE, 64/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F A H AE∥FH, PAPE =1, AH EF :PA=AH, PE EF, AE为△PHF的中位线， :HF=2AE, AP DE,PA=AH, :DE=AH, 又：AD=AB, :AE BH, 在Rt△BHF中，由勾股定理，得：BF=√HF2+BH?=√5AE, AE=DG, BF =5DG. 5.(2025四川巴中.中考真题)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4,∠C=90°，点P是边AB中点， ∠MPN=90°，∠APN=0. N P B M B 备用图 (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上. ①当θ=45°时，CM的值是； ②当0°<0<90°时，求CM+CN的值； 65/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)点N在射线AC上，点M在射线CB上.当0°<0<135°时，直线MN与射线PC相交于点F,若 CM=2Cw,求CE 的值. PF 【答案】(1)①2：②4 2)CF-4 PF5 【详解】(1)①如图所示， N: ABC为等腰直角三角形， B M C ·∠A=∠B=45°， 又：∠0=45°， ∠ANP=90°， :△APN为等腰直角三角形， :∠NPM=90°， .PN⊥AC,PM⊥BC, .PN∥BC,PM∥AC, ,P为AB中点， M、N为BC、AC的中点， BC=AC=4, :CM =BM =2; 故答案为：2. ②连结CP, 66/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 N :∠ACB=90°，AC=BC=4, 1 M C ∠A=45°， 又：点P为AB的中点， CP⊥AB,CP=AP=BP,∠PCM=∠A=45°， ∴.0+∠2=90°， 又：∠1+∠2=90°， .∠1=0， .△APN≌△PCM(ASA) :CM AN, :CM+CN =AN +CN AC=4. (2)第一种情况如图所示，0°<0<90°，设CN=x.则CM=2x, ∴.2x+x=4, 4 8 ∴.CM=2x= 3 过点P作PH⊥BC于H交MN于点G, 4 :CH=BC=2,∠PHB=90°， 2 F B M H ..MH= 3 又：∠ACB=90°， 67/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PH∥AC, .△GMH∽△NMC, GH_NC MH CM 4 33 a1-写 :.PG=PH-GH-2-3-3 15 又：PH∥AC △VCFGPF, CF CN 454 PF PG 3 35 第二种情况：如右图所示，90°≤0<135°，连接PM、PN, B W 易知，当0=90°时，点M、N分别与B、A重合，与题意不符，不成立： 由(1)可知：△PMB≌△PCN(ASA), :BM =CN, .:CM CN =CM -BM =BC=4, 又：CM=2CN, CN=4.CM=8, 可得MH=6,CH=2,CN=4, :PC∥AN, :△MHGn△MCN, 68/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 HG MH 6 CN MC8' HG=4×3 :PG=PH+HG=2+3=5, 又：PH⊥BC,∠ACB=90°， PG∥AC, △NCFAGPF, CF CN 4 ∴PFPG5 6.(2025四川攀枝花.中考真题)如图1，正方形ABCD的边长为2.E、F分别为边BC、CD上的动点， △CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB=DF, BE BE M 图1 图2 (1)求证：AG⊥AF: (2)试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF,垂足为H,求MH的最小值. 【详解】(1)证明：：正方形ABCD, AB=AD,LABC=∠BAD=∠D=90°， .∠ABG=90°， .∠ABG=∠D=90°， 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF △ABG≌△ADF(AS), ∠BAG=∠DAF, ∠BAG+LBAF=∠DAF+∠BAF, ∠GAF=∠BAD=90°， 69/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG⊥AF; (2)解：：△CEF的周长为4， .CF +CE+EF=4, :正方形ABCD的边长为2， .BC=CD =2, .BC+CD=4, .CF+CE+EF =BC+CD BE+CE CF+DF, :EF=BE +DF, :GB=DF, .EF=BE DF BE +GB =EG 由(1)得△ABG≌△ADF,∠GAF=90°， .AG=AF, 在△AEG和△AEF中， AG=AF AE=AE EG=EF △AEG≌aAEF(SSS), ∴∠EAG=∠EAF, :∠EAG=1∠FAG=1x90°=45°， 2 .∠EAF的大小是定值，定值为45°； (3)解：连接AM, D G BE M :正方形ABCD的边长为2， AB=BC=2,∠ABC=90°， AB是△AEG的高， :AH⊥EF, 70/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·AH是△AEF的高， 由(2)得，△AEG≌△AEF, S.EG =S.AEF EGAEF 2 由(2)得，EG=EF, .AH AB=2, :M为边BC的中点， BM=号BC AM=AB2+BM2=2+1=5, :AH+MH≥AM, 2+MH≥V5, 解得MH≥√5-2， ∴MH的最小值为√5-2. 7.(2025山东德州.中考真题)已知点O是正方形ABCD的中心，点P,E分别是对角线AC,边BC上的 动点（均不与端点重合），作射线PE, O(P B E 图1 图2 图3 (1)将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F. ①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE=PF; ②如图2，当P=时，请判斯心是否为定值。如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由， S正方形ABCD 2如图3，连接BP,当∠BPE=45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90，交边AB于点F,若=太， PC PE=a,求四边形PEBF的面积（用含a,k的式子表示）. 【详解】(1)①证明：过点P作PG⊥BC、PH⊥CD,如图所示： 71/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D O(P).H F BE G C 则∠PGE=∠PHF=90° :四边形ABCD是正方形 ∠BCD=90° :四边形PGCH是矩形 ∠PCH=45° 在Rt△PCH中，∠CPH=90°-45°=45° :PH CH :四边形PGCH是正方形 .PG=PH,∠GPF+∠HPF=90 :∠GPF+∠EPG=90° .∠FPH=∠EPG ∴△PFH≌△PEG :PE PF; ②过点P作PG⊥BC、PH⊥CD,如图所示： O(P)..H 分 B E G 由①可知四边形PGCH是正方形 ∴.PG=PH、∠PGC=∠PHC=∠BCD=90° '△PFH≌aPEG SPFH =S.PEG “S医边形PECF=SPEG+S县边形PGCF=S.PFH+Sg边形PGCr=S正方影pGCH AP 1 ”PC2 72/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PC2 AC3 .PH∥AD △CPH∽△CAD S.PCH= 224 S.ACD SL边形PECE S正方形PGCH 2Sc1=4 S正方形ABCD S正方形ABCD 2SACD 9 故 1为定值，该定值为号 S正方形ABCD (2)解：过点P作PG⊥BC、PH⊥AB,连接EF,如图所示： D F :LPGE=∠PHF=90° H EG :四边形ABCD是正方形 :ZABC=909 LACB=∠CAB=45° :射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F ∠EPF=90° .∠EPG=∠FPH △PFH∽aPEG PF PH AP PE PG PC =k PE=a :PF=ak :∠BPE=45°、∠BCP=45° ∠BPF=∠BCP=459 ∠PBE=∠CBP ∴△PBE∽△CBP PB2=BE·BC 同理可得PB2=BF·AB 73/97 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=BC :BE=BF :△BEF是等腰直角三角形 在Rt△PEF中， S.pr-PE.PF-a-ka-1ka 2 由勾股定理得EF2=PE2+PF2=a2+(ka2=(1+k2）a EBFEFEF-EF1kd 2 4 1 S四边形PEBF=SPEF+SBEP= a2+1+23 2 4 答：四边形PEBF的面积为k+ -a2 4 8. (2025山东东营.中考真题) 项目1组方案：过 项目2组方案：过点 项目3组方案：过点C作CF⊥AD 点D作DE∥AC交 C作CE∥AD交BA的 于点F,过点B作BE⊥AD交AD AB于点E。 延长线于点E 的延长线于点E。 E B300 D 图1 图2 图3 图4 D E 图5 (1)探索发现 东营市全面落实国家课程方案.某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，折叠ABC,使AC边落在AB边上，折痕为AD,则BD、CD与∠BAC的两 边AB、AC存在着某种关系。如图1，请你帮助项目组判断8与BD的数量关系为 AC CD (2)猜想验证 项目组猜想：当ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立.为了验证这一猜想，项目组按照(1)中 的方法折叠，AD为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形.请选择任意一种方案证明。 (3)拓展应用 BD DE 如图5，在ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,E为BC延长线上一点，AE=DE·求证：CDCE 74/97 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：∠ACB=90°，∠ABC=30°， .∠BAC=60°. 由折叠可得，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°， 2 ∠ADC=60°，∠ABC=∠BAD=30°， :AD =BD. :∠ABC=∠CAD=30°，∠BCA=∠ACD=90°， :△ABC∽△DAC, AB AC 即ABAC DA DC BD DC' AB BD AC CD 故答案为： AB BD AC CD (2)方案①： 证明：：DE∥AC, ∠2=∠ADE， BD BE CD AE :∠1=∠2， .∠1=∠ADE. :AE DE. BD BE CD DE DE∥AC, ∴△BDE∽aBCA, BEAB DE AC AB BD AC CD 方案②： 证明：：CE∥AD, ∠1=∠E,L2=LACE. ×∠1=∠2， 75/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠E=∠ACE, .AE=AC. :CE∥AD, BD AB CD AE' 中器 方案③ 证明：：CF⊥AD,BE⊥AD, ∠AFC=∠CFD=∠BED=90°. :∠1=∠2， △ABE∽△ACF, AB BE AC CF :∠BDE=LCDF, △BDE∽△CDF, BE BD CF CD AB BD AC CD (3)证明：：AD平分∠BAC, AB BD ∠1=∠2， AC CD AE =DE, ∠ADE=∠DAE. .LB+∠1=∠2+∠CAE. LB=∠CAE. 又：∠AEC=LBEA, △ABE∽△CAE. .AB AE AC CE BD AE CD CE 又：AE=DE, 76/97 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD DE CD CE 9.(2026上海杨浦·二模)如图，在梯形ABCD中，BC>AD,AB=CD,AD‖BC, A D 图(1) 图(2) (1)当AD=8,BC=11,AB=5时，求cosB的值 (2)若等腰梯形ABCD的腰长等于上、下底的比例中项，F为边CD上一点，E为边AD上一点； 书祭-%证w=Sm ②连接BD,是否存在等腰梯形ABCD,使得△BCD为等腰三角形，若存在，请直接写出cosLABC的值， 若不存在，请写出理由 【详解】(1)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H, D B H :在梯形ABCD中，AD‖BC, .AG⊥AD,DH⊥AD, .四边形AGHD是矩形， .GH=AD=8,AG=DH, AB=CD, ∴.Rt△ABG≌Rt△DCH(HL), .BG=CH BC=11, BG=(BC-HG)÷2=3 ·c0sB=BG、3 AB10 (2)解：①等腰梯形腰长是上下底的比例中项， ÷AB=ADBC,变形得BC=AB ADAD’ 77/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE BC C2 AD AE2 AB2 CFT-AD 得AE=AB.CF AD 如图，过点B作BT⊥DA延长线于点T,过点B作BR⊥CD于点R, E D R :在等腰梯形ABCD中，∠B=∠C,AD∥BC, ∠BAT=LB=LC, .sin∠BAT=sinC, :sin∠BAT=B ,sin C=BR B C .BT=AB sin /BAT,BR BC sin C, 1 1 S.ABE= AE·ABsin∠BAT AB.ABCF AD= AB AD-BC=1, SCBF CF.BCsin∠BCD BC.CFAD·BCAD·BC .S△MBE=S△cBFi ②存在，理由： 设AB=a,BC=b,AD=c,其中b≠c, :等腰梯形腰长是上下底的比例中项， :a2=be, 过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H, B C G H 同(1)可得cos∠ABC= BG b-c AB 2a 当BD=CD时， .ZC ZCBD 78/97 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :在等腰梯形ABCD中，LABC=LC, :∠ABC=∠CBD,即AB与BD共线，不存在； 当BC=CD时， AB=CD =a,BC=b, ..b=a, :a2=bc, b2=bC,得b=c,即BC=AD,不存在； 当BD=BC时，如图，过点B作BP⊥CD于点P, O C ∴.CP=DP=二CD= 2 2, cosC=CP、a BC 2b' :∠C=LABC, :0=b- ,得a2=b2-bc, 2b 2a :a2=bc, .b2-bc=bc,得b=2c, a2=bc=2c2,得a=V2c, :COSLABC=b-c=2c-c 2a22c=49 综上，存在，os∠ABC= 4 10.(2026上海崇明·二模)如图1，AB是半圆0的直径，点C是半圆上一点，过点C的直线交BA的延长 线于点D,点E是线段OB上一点，且满足OE=AD,过点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC于 点G,且LF=2LABC. C G D B D A OE 图1 图2 备用图 79/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠ACD=∠ABC; 2如图2，当BB=30E时，求C 的值； CD (3)设EF与BC的交点为P,连接OP,交BC于点M,若以O为圆心，OE长为半径的圆与以P为圆心， PM为半径的圆外切，求sin∠ABC的值. 【详解】(1)证明：连接0C,如图， F :EF⊥BD, G B E .∠DEF=90°， ∠D+∠F=90°， :∠AOC=2∠ABC,∠F=2∠ABC .∠F=∠AOC, .∠D+∠AOC=90°， .∠DC0=90°， .∴.∠DCA+∠ACO=90° :AB是OO的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， .∴.∠ACD=∠OCB. OC =OB, ∴.∠OCB=∠ABC, .∠ACD=∠ABC; (2)解：连接0C,如图， C D B OE 80/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设OE=x,则AD=x,BE=30E=3x, :.0B=0E BE =4x, .0A=0B=4x,AB=20B=8x, :BD=AD+AB=9x,DO=AD+A0=5x, DE=D0+0E=6x, 由(1)可知∠ACD=∠ABC,∠DCO=∠DEF=90°， ∠D=∠D, ∴.△ACD∽ACBD,△DCO△DEF, AD CDCD DO CD BD'DE DF ∴.CD2=ADBD=x9x=9x2 解得CD=3x或CD=-3x(舍去)， 3x 5x 6x DF 解得DF=10x, :CF=DF-CD=1x, CF 7x 7 CD3x3 (3)解：如图， D A 设OM=OE=y,BE=a, .DA=OE=y,OB=y+a, .BD=DA+20B=3y+2a, AB=20B=2y+2a, :BC切于以OE为半径的OO于点M, ∴.OM⊥BC,OM=OE=y, ∴.∠OMB=∠ACB=90°， 81/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .'∠OBM=∠ABC ∴.△OBM∽△ABC, OM OB 1 AC AB 2' ∴.AC=20M=2y, 由(2)可知CD2=AD·BD=y(3y+2a=3y2+2ay, :△DACADCB, AD AC CD BC' 即y=2y CD BC' :BC 2CD BC2 =(2CD)2=12y2+8ay, .AC2+BC2=AB2, .(2y)+12y2+8ay)=(2y+2a2, 4y2+12y2+8ay=4y2+8ay+4a2, 3y2=a2, 解得a=√5y或-3y(舍去)， 0B=y+5y=5+1y, sin∠ABC=OM 5-1 0B(3+1y 2 11.(2026上海金山二模)如图，点C在以AB为直径的半圆0上，AB=4,联结0C,过点C作 OC⊥CE,交AB的延长线于点E,在AC上取点D,使BC=CD,联结OD、BD 0 备用图 (1)求证：BD∥CE; (2)联结BC、CD,若四边形0OECD为梯形，求四边形OBCD的面积： (3)直线CD与直线AB交于点F,若△CEF为等腰三角形，求BE的长. 【详解】(1)证明：：BC=CD, 82/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OC⊥BD, 又：OC⊥CE, BD∥CE; (2)解：：BD∥CE,且BD与OD,OE都有交点， CE与OD,OE都有交点， 又：CE与CD有交点， :当四边形0ECD为梯形时，只能是CD川OE, .L0CD=∠C0B; BC=CD, .∠C0D=∠C0B, .∠C0D=∠OCD, .OD=OC, .L0DC=∠0CD, ∴.∠0DC=∠0CD=∠C0D, :∠0DC+∠OCD+∠COD=180°， ∠0DC=∠0CD=∠C0D=60°， △COD是等边三角形，∠C0B=60°， 又：0B=0C, ·aCOB是等边三角形； 如图所示，过点C作CK⊥AB于点K, :AB=4,且AB是直径， .0C=0B=2, 8OK=50B=1y …CK=V0C2-0K2=V5, S=0n-CK=5, 83/97 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理可得SA0oc=V3, S四边形0BcD=S△B0c+SACOD=2V5; (3)解：如图所示，当点F在点E右侧时， B :CE⊥OC, ∴∠0CE=90°， .∠CE0<90°， .90°<∠CEF=180°-∠CE0<180°， :此时只存在CE=FE这种情况， ∴.LF=LECF, 设∠F=∠ECF=x,则∠CEO=∠F+∠ECF=2x, :BD∥CE, ∠BDF=∠ECF=x, ∠OBD=∠BDF+∠F=2x, :0D=0B, ∠0DB=∠0BD=2x, ∠ODC=∠ODB+∠BDF=3x; 0D=0C, .∠0CD=∠0DC=3x, ∴∠C0F=∠0CD-∠F=2x, ∠COE=∠CE0, .0C=CE=2, 0E=V0C2+CE2=2V2, ∴BE=OE-OB=2√2-2： 当点F在点E左侧时，：OC⊥CE, .∠0CE=90°， 84/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠FCE=∠0CF+∠0CE>90°， :此时只存在CF=CE这种情况， LE=∠F, 设∠E=∠F=y, :BD∥CE, .∠OBD=∠E=y, :0B=0D, ∠ODB=∠OBD=y, .∠DOF=∠ODB+∠OBD=2y, .∠ODC=∠F+∠DOF=3y, :0D=0C, ∠OCD=∠ODC=3y, .∠COE=∠F+∠OCD=4y, 在RtAOCE中，∠COE+∠E=90°， .y+4y=90°， y=18°： 如图所示，在OA上取一点M,连接DA,DM使得DA=DM,过点D作DN⊥OA于点N, F.. ANM :0A=0D, ÷∠0AD=∠0DA=180°-∠40D=720, 2 DA=DM, ∠DAM=∠DMA=72°， .∠ADM=180°-72°-72°=36°，∠MD0=∠DMA-∠M0D=36°， ∴.∠ADM=∠AOD=∠MDO, .DM=OM=AD 又：∠DAM=∠OAD, .△DAM△OAD, 85/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AD、AM OA AD .AD-2-AD 2 AD :AD=√5-1或AD=-√5-1（舍去）， :AM=0A-0M=2-(N5-1=3-V5, :DN⊥AM, MNM5.ZNDM-Z4DM-18 2 3-5 sin∠NDM=sinI8°=MN= 2 5少 DM=5-1=4 .OE = OC 2 =2N5+2, sinE sin18 ∴BE=0E-0B=2V5 综上所述，BE的长为22-2或25. 12.(2026上海松江·二模)已知正方形ABCD,点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于 点G. D FB E F 图1 图2 备用图 (1)如图1，如果CE=CG,求证：BC2=BE·BF; (2)如图2，如果∠EAF=45°，且CE=CF,求∠F的正切值； (3)以点C为圆心CE为半径画圆，OC与以AE为直径的⊙0的另一个交点记为点P,如果AB=2, CF=2CE,EP=CG,求EF的长. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AD=AB=BC=CD,∠B=∠D,AD∥BC CE=CG ∴BC-CE=CD-CG .BE=DG .△ADG≌△ABE(SAS 86/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAG=∠BAE, :AD∥BC, ∠DAG=LF, ∠BAE=∠F, :∠B=∠B .△BAE∽△BFA, BA BE BF BA BC BE BFBC BC2=BE·BF; (2)解：连接4C, D G B 图2 设正方形的边长为1，CE=x, 由题意得，CF=CE=x :四边形ABCD是正方形， BA=BC=1,∠ECA=∠BCD=45°，∠B=900 :∠EAF=45° .∠EAF=∠ECA, ZCEA=ZAEF ∴.△CEA∽△AEF, CE AE AE EF ∴AE2=EC×EF=x,2x=2x2, :AE2=AB2+BE2=1+(1-x=x2-2x+2, .x2-2x+2=2x2, 整理得，x2+2x-2=0, 87/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得x=V5-1,:2=-3-1(舍去)， tan F=4B BF1+3-13 (3)解：如图，设以AE为直径的圆记为OJ,连接CJ交PE于点L,过点J作JK⊥BC于点K, G B 由题意得可设CE=x,则CF=2x, .EF =3x, :正方形ABCD, .AB∥CD,AB=BC=2 △FCGn△FBA CG_FC AB FB CG 2x 22+2x .CG=- 2x +1 ∴.EP=CG= 2x x+1' :JK⊥BC,∠ABC=90° .∠ABC=∠JKE=90 .ABI JK △EJK∽△EAB EK KJ EJ 1 EB AB EA 2' -4B=1,K-B=2-=1 :KC=EK+CE=1-二x+x=1+二x, (,1)2 JC=VJK2+CK2=,1+1+x 2 88/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :OJ与⊙C相交于点E,P CJ L PE,EL=EP= EL JK 'sin∠ECL= x+1= 1 ,12 V1+2x 1+1+ 解得x=2或r:0（舍) 3 EF=3x2-=2. 3 13.(2026上海黄浦·二模)如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦AB所在的挡板上，且 ∠AOB=90°，现在弦AB上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧AB上的两个亮 点C、D恰好能将弧AB三等分. 备用图 (1)求证：CD∥AB; (2)试说明：点M、N不是弦AB的两个三等分点； 3)假设弦AB上的开缝位置P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光 束通过缝隙P、Q后最终照射在弧AB上的两个亮点恰好是C、D,并求∠ASB的大小， 【详解】(1)证明： :点C、D恰好将AB三等分， :AC=CD=DB, ∴∠A0C=∠COD=LB0D, 如图：取AB的中点E,连接OE, 89/97 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0A=0B, .OE⊥AB,∠AOE=∠BOE, :∠A0C=∠B0D=30°， ∠AOE-∠AOC=∠BOE-∠BOD, ∠COE=∠D0E ∴.OE平分∠C0D. 在△C0D中，OC=OD,OE平分∠C0D. .OE⊥CD. OE⊥AB,OE⊥CD .CD∥AB; (2)解：由(1)可得：∠A0C=∠C0D=∠B0D, :∠A0B=90°， ∴.∠C0B=60°， ∠A0B=90°，0A=0B, ∠AB0=∠0AB=45°， :点C、D恰好将AB三等分， AC=CD=DB,AC CD BD, :∠A0B=90°， ∴∠A0C=∠C0D=∠B0D=30°， :0A=0C=0D, ÷∠0AC=∠0CA=∠0CD=180°-30 =75°， 2 :CD∥AB, ∠0MN=∠0CD=75°，同理可得：∠0NM=∠0DC=75°， .∠0MN=∠0NM=75°， 90/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作M1⊥AO于点L,则四边形MIOF是矩形，MF=BF, 0F=IA,∠FMB=45°， :∠OMF=∠0MN-∠FMB=30°， .0M=20F, 设0F=a,则OM=2a,IA=IM=a BF=MF=VOM2-0F2=3a,AM=A12+M12=2a MB=VBF2+MF2=√6a, :AB=AM+MB=V2+⑥)a, AM √2a 1 AB (W2+6a1+V53,即点M不是AB的三等分点， 同理：点N不是AB的三等分点， .点M、N不是弦AB的两个三等分点. (3)解：如图：连接AC,CD,BD, B D :点C、D恰好将AB三等分， :AC=CD=DB,AC CD BD, ∠A0B=90°， .∠A0C=∠C0D=∠B0D=30°， 91/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :0A=0C=0D, ÷∠0AC=∠0CA=∠0CD=180°-30 =75°， 2 :CD∥AB, .∠0MN=∠0CD=75°，同理可得：∠0NM=∠0DC=75°， .∠0MN=∠0NM=75°， .0M=0N, :∠0MN=∠AMC=75° .∠ACM=∠AMC=75° .AC=CM, 设AC=CD=BD=2b,则AM=NB=2b, 由(2)解答过程可知： AM 1 AB3+1' AB5+解得：AB=2V5+1b, 2b 如图：取AB的中点E,则OE⊥AB, B :0A=0B,∠A0B=90°， :0E=AB=EA=EB=(V5+1b,∠MOE=号∠COD=15°， :ME=AE-AM=3+1b-2b=5-1b, itn∠M0E=tanl5°=ME_3-1b OE (3+1b 2-V3,即tanl5°=2-3； 如图：连接CP,DP并延长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线上， 连接SO延长交AB、CD于G,H, AG=4B=5+b,CH=CD=b,∠4SB8=2∠4sG 92/97 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，AB=2V3+1b, ·AP=AB= 25+1 b· 3 pG=4G-4P=5+b-25+56: 3 3 如图：连接AC,过C作CI⊥AP,则AC=2b,∠CAI=∠OAC-∠OAB=30°，HG=1C D H B D ∴.HG=CI=-AC=b, 2 设SG=h,则SH=h+b, :CD∥AB, .△SPG∽△SCH, SG PG ,即 5+b,解得：h V3+1 =3 b, SH CH 2-V51 h+bb 5G=3+1 b 2-5 :an∠aSG=4GV5+1jb 2-√5 SG3+1 2-V5 :tanl5°=2-V3, .∠ASG=15°， .∠ASB=2∠ASG=30°. 14.(2026上海徐汇.二模)在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边CD上，且CE=3DE,AB=2AE,连 接AE、BE, 93/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠AEB=∠ABC; 2如图2，当AB=CD=BE时，求4D BC的值， (3)如图3，当四边形ABCD为矩形且AB=8时，点O在线段BE上，且⊙O截AB、CD两边所得的两条弦相 等.如果⊙0与⊙C的公共弦所在直线恰好经过点B,⊙C的半径为3，求此公共弦的长. 【详解】(1)证明：如图，延长AE交BC延长线于点F, A B :AD∥BC, ∴△ADEn△FCE, 、DEAE CE FE' CE =3DE, .AE DE 1 FECE-3 ∴FE=3AE, ∴AF=AE+EF=4AE, AB=2AE, 指是提片即指治 AB AF :∠BAE=∠FAB, .△BAE∽△FAB, .∠ABE=∠AFB, :∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE,∠ABF=180°-∠AFB-∠FAB, 94/97 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEB=LABC. (2)解：如图，延长AE交BC延长线于点G,过点A作AH⊥BC于点H,过点D作DM⊥BC于点M, 过点E作EN⊥BC于点N, H MN C 同理(1)可得，△ADE∽△GCE, CE=3DE, AD DE 1 CG CE3' .CG=3AD, 同理(1)可得，△BAEn△GAB, BE AE 1 BG AB 2' .BG=2BE, AD x,AB=CD BE =4a,CG=3x,BG=8a,DE =a,CE=3a, :AD∥BC,AH⊥BC,DM⊥BC, .四边形AHMD是矩形， .HM AD =x,DM =AH, 在Rt△ABH和Rt△DCM中 (AB=DC AH=DM' ∴Rte ABH≌RtADCM(直角三角形全等的判定定理)， ∴BH=CM, .BH+CM =BG-CG-HM =8a-3x-x=8a-4x, CM=8H=8a-4=4a-2x. 在Rt△ABH中，DM2=AH2=AB2-BH2=(4a2-(4a-2x)=16xa-4x2, :DM⊥BC,EN⊥BC, .△CEN∽aCDM, 95/97 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CE=EN CN CD DM CM' C,即3 CE2 EN2 CN2 EN2 CN2 CD DM2 (4a16a-4e24a-2x' 9 3 .EN2 =9xa- t, x2,CN=3a- 在RtBNE中，BN2+NE2=BE2, 32 5a-3x+9xa-9x2=(4al2, 2 4 解得a=二x, 3 :BC=BG-CG-8a-3x=8xx-3x=3x 2 7 3 AD x 3 BC=T 7. (3)解：如图，过点0作0H⊥CD于点H,连接OC,CF,设FG与OC交于点P, D :四边形ABCD为矩形且AB=8, EDEcD2 CE-CD-DE6 28CD-2D 在RtAADE中，AD=√AE2-DE2=√42-22=2N5, 在RtaBCE中，BE=VBC2+CE-V25°+62-45， :OO截AB、CD两边所得的两条弦相等， ·点O到AB和CD的距离相等， OH⊥CD,∠BCD=90°， 96/97 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .OH∥BC, ∴△EOH AEBC, EO OH1 EB BC2' .EB=2E0, .点O为EB的中点， :0C=BE=0B=2V5, 0C=0B=BC=2N5, △OBC是等边三角形， ∠0CB=60°， :FG中O0和OC的公共弦， ∴OF=OG,CF=CG, ∴.CE垂直平分FG, ∴∠BPC=90°，FG=2FP, .∠PBC=90°-∠0CB=30°， CP-C 在R△PCF中，FP=CF2-Cp=32-(N=6, FG=2FP=26 97/97 专题03 几何综合题（解答25题压轴题） 命题预测 1. 载体预判（最高频） · 主载体：平行四边形 / 等腰梯形（近 5 年 4 次考查） · 次载体：圆（含切线、圆周角、垂径定理），与四边形嵌套 · 动态元素：点在线段 / 边上运动、线段旋转 / 翻折，参数化设元（如设 (DE=x)） 2. 设问结构（固定 3 层） · 第 (1) 问（4 分）：基础性质 + 简单证明 / 计算（如证角相等、求线段长），90% 得分率 · 第 (2) 问（4 分）：相似判定 + 比例 / 面积计算，需导比例或构造辅助线，70% 得分率 · 第 (3) 问（6 分）：存在性（等腰 / 直角 / 相似三角形）+ 分类讨论 + 最值，30% 满分率，重严谨性 3. 难度与风格 · 去套路化：减少 “死模型”，强化辅助线构造 + 几何性质灵活运用（如四点共圆、角平分线定理） · 代数融合：参数方程、勾股定理列方程、面积比转相似比，渗透高中参数思想 · 无超纲：不考高中知识，聚焦相似、等腰 / 直角三角形、圆、四边形核心考点 高频考法 模块 1：四边形综合（必考） 模块 2：相似三角形（核心） 模块 3：圆综合（高频） 模块 4：压轴存在性问题（最高频）；最值问题。 典例·靶向·突破 题型01 一线三等角（K 型） 1．（2026·上海闵行·一模）如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 2．（2026·安徽蚌埠·二模）综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； (3)【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 题型02 四边形 + 比例点：构造 A/X 型相似，求面积比 / 线段比 3．（2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 4．（2026·上海·一模）在边长为4的正方形中，过点的直线l垂直于对角线，点E是直线l上一点，且在直线上方，连接交于点F，连接． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，连接，设、相交于点G，若，求证：； (3)如图2，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 5．（2026·上海松江·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 6．（2026·上海金山·一模）在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值． 题型03 翻折（轴对称） 7．（2026·上海浦东新·二模）折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用正方形纸片开展折纸活动． 【发现问题】如图1，将正方形纸片对折再展开，折痕交于点、交于点，点、分别是边、的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图2），可得到边的________等分点．按照这样的方式对折次（是正整数）可以得到边的_________等分点（用含的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点． 【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？ 【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论． 小明：要得到边的三等分点，得想想别的折法． 小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出的比例？ 小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图1）的基础上，将点沿着直线翻折到点处（如图3），折痕分别交正方形的边于点、．边交正方形的边于点，就是边的一个三等分点． 【解决问题】 (1)完成填空； (2)求的长； (3)判断小海的折法是否正确并说明理由． 8．（2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 题型04 三角形：+ 中点 / 比例点：构造 A/X 型相似，求面积比 / 线段比 9．（2026·上海虹口·一模）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 10．（2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 11．（2026·上海闵行·一模）如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 题型05 圆：构造 A/X 型相似， 线段比 12．（2026·上海闵行·二模）已知：如图，为半圆的直径，点为的中点，连接交弦于点、交弦于点，且，连接、． (1)如图①，求证：四边形是等腰梯形； (2)点在直径上（不与、重合），连接交于点． Ⅰ．如图②，当，且为的中点时，求的值； Ⅱ．连接，半圆的半径为1，．当为直角三角形时，求的长． 13．（2026·上海宝山·二模）如图1，是的直径，C是延长线上一点，是的切线，P为切点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于D， ①如果，，求的长； ②连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值． 14．（2026·上海奉贤·二模）如图，、是的弦，，过点作的平行线，交半径的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，求的值； (3)连接．如果的半径是2，且是等腰三角形，求边的长． 题型06 圆与圆的位置关系 15．（2026·上海静安·二模）菱形中，点E在线段上，连接、． (1)如图1，连接交于点F，若，求证：； (2)如图2，，，点P在线段上，且满足，设，， ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当时，以为半径的和以为半径的是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如果不相交，请说明理由． 16．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 17．（2026·上海虹口·二模）如图，在扇形中，，点是弧上一点，点是半径上的点，连接，的平分线和的平分线相交于点，连接． (1)求证： ； (2)连接（如图）．如果，，的外接圆与扇形所在的圆相交． ①当时，求与的公共弦的长； ②连接和，交于点，当时，求的值和的长． 1．（2025·安徽·中考真题）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 2．（2025·甘肃·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 3．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 4．（2025·甘肃平凉·中考真题）四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 8．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 9．（2026·上海杨浦·二模）如图，在梯形中，，，， (1)当，，时，求的值 (2)若等腰梯形的腰长等于上、下底的比例中项，F为边上一点，E为边上一点； ①若，求证：． ②连接，是否存在等腰梯形，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请写出理由． 10．（2026·上海崇明·二模）如图1，是半圆的直径，点是半圆上一点，过点的直线交的延长线于点，点是线段上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)设与的交点为，连接，交于点，若以为圆心，长为半径的圆与以为圆心，为半径的圆外切，求的值． 11．（2026·上海金山·二模）如图，点在以为直径的半圆上，，联结，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，联结、． (1)求证：； (2)联结、，若四边形为梯形，求四边形的面积； (3)直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长． 12．（2026·上海松江·二模）已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，且，求的正切值； (3)以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长． 13．（2026·上海黄浦·二模）如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦所在的挡板上，且，现在弦上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧上的两个亮点C、D恰好能将弧三等分． (1)求证：； (2)试说明：点M、N不是弦的两个三等分点； (3)假设弦上的开缝位置P、Q恰好是弦的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧上的两个亮点恰好是C、D，并求的大小． 14．（2026·上海徐汇·二模）在四边形中，，点在边上，且，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $