专题01 图形运动、新定义、圆与正多边形（填空压轴题5大题型）（压轴题专练）（上海专用）【上好课】2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦中考填空压轴，以图形运动、新定义、圆与正多边形为核心，通过分层命题预测与靶向典例，构建空间观念与推理意识培养体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形的翻折|2题|无图翻折+相似+分类讨论（矩形/菱形）|以轴对称性质为基础，关联相似判定与面积关系推导| |图形的旋转|2题|旋转+隐圆+共线讨论（平行四边形/矩形）|基于旋转不变性，结合圆的定义与线段位置关系分析| |圆与圆位置关系|2题|圆与三边交点+相切半径范围|通过圆心距与半径关系，构建动态几何模型| |新定义|2题|阅读理解+等腰/相似（黄金矩形/等对角四边形）|抽象新定义内涵，转化为几何性质应用| |几何动点与存在性|2题|动点构成特殊三角形/面积最值|结合函数思想，探究图形存在性与数量关系|

专题01 图形运动、新定义、圆与正多边形（填空压轴题） 命题预测 1. 第一梯队（极大概率） · 无图翻折 + 相似 + 分类讨论（矩形 / 菱形为主） · 圆 + 正多边形（正五 / 六边形）+ 角的多解（延续 2025 热点） · 新定义几何（阅读理解 + 等腰 / 相似） 2. 第二梯队（中等概率） · 无图旋转 + 隐圆 + 共线讨论 · 动点构成等腰 / 直角 / 相似三角形（两解） · 圆与圆位置关系（内切 / 外切 + 半径范围） 高频考法 1.图形运动：翻折（折叠）—— 最高频 2.图形运动：旋转 —— 次高频 3.圆与正多边形 ——2025 热点、2026 必重点 4.新定义几何 —— 区分度最高、2026 成标配 典例·靶向·突破 题型01 图形的翻折 1．（2026·上海黄浦·一模）如图，在中，，，，、是边、上的点，且，将沿翻折至，与交于点．如果的面积是面积的，那么线段的长是______． 2．（2026·上海杨浦·二模）将一张矩形纸片（如图），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，则___________． 题型02 图形的旋转 3．（2026·上海闵行·二模）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 题型03直线与圆、圆与圆位置关系 5．（2026·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________． 6．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 题型04 新定义 7．（2026·上海徐汇·一模）我们将宽和长之比为（约为）的矩形称为“黄金矩形”，它可以通过折纸获得．如图1所示，将长方形纸片第一次沿折叠，使点和点重合，展开后再将纸片沿对折叠，使点和点重合；如图2所示，展开后连接，再将纸片第三次沿折叠，使得落在长方形纸片的边上且点落在点处，再次展开，过点作的垂线，垂足为点．请在阅读理解的基础上写出图中的“黄金矩形”：_________． 8．（2026·上海崇明·二模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 题型05 几何动点与存在性 9．（2026·上海·一模）某山丘在建造旅游景区时，在两山丘间建造吊桥，其抽象图如图所示，其中山丘，均为等腰直角三角形，山丘的底在一条直线上，为让处于最佳位置，建筑师连接，其和的交点记作M、N，那么桥梁和山丘底的数量关系为____． 10．（2026·上海松江·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 1．（2026·上海青浦·二模）定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这个圆的同心正多边形．已知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为．设点在圆上，点在正六边形的边上，那么、两点之间的最小距离为__________． 2．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为_________． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 4．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 5．（2026·上海虹口·二模）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，联结，把沿翻折得到，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 6．（2026·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 9．（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 10．（2026·上海杨浦·二模）如图，圆O为的外接圆，与相交于圆心，且，，直线与圆O交于，则___________． 11．（2026·上海松江·二模）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 12．（2026·上海金山·二模）在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 13．（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 14．（2026·上海长宁·一模）在矩形中，，，为射线上一点，将沿翻折，得到（点的对应点为）．联结，当为等腰三角形时，长是___________． 15．（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01图形运动、新定义、圆与正多边形（填空压轴龈题） 01压轴命题透视 1.第一梯队（极大概率） 无图翻折+相似+分类讨论（矩形/菱形为主） 圆+正多边形（正五/六边形）+角的多解（延续2025热点） 新定义几何（阅读理解+等腰/相似） 命题预测 2.第二梯队（中等概率） 无图旋转+隐圆+共线讨论 动点构成等腰/直角/相似三角形（两解） 圆与圆位置关系（内切/外切+半径范围） 1.图形运动：翻折（折叠)一一 最高频 2.图形运动：旋转一 次高频 高频考法 3.圆与正多边形— 2025热点、2026必重点 4.新定义几何一一 区分度最高、2026成标配 02压轴题型精讲 典例靶向突破一 题型01图形的折 1.(2026·上海黄浦.一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,D、E是边AB、AC上 的点，且DE∥BC,将ADE沿DE翻折至FDE,DF与BC交于点G,如果△FCG的面积是ADE面积 的子，那么线段DE的长是 【答案】4 【详解】解：：将ADE沿DE翻折至FDE, EF=AE,AD=FD,∠AED=∠FED, ∠A=∠F, :∠AED+∠FED=180° .∠AED=∠FED=90°， :∠ACB=90°， 1/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AED=∠GCF=90°， ∴.△FCG∽△AED, :△FCG的面积是ADE面积的}， AE2即AE=2FC, FC 1 设FC=x,则AE=2x, CE=8-2x, .EF=CE+FC=8-2x+x=8-x, 由EF=AE,得8-x=2x,解得：x=氵， AE=16 , :∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A, ∴.△AED∽△ACB, .AE DE AC BC 16 ·3DE, 86 .DE=4, 故答案为：4. 2.(2026·上海杨浦·二模)将一张矩形纸片ABCD(如图)，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问 题 ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G; ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F; ③沿过点E的直线折出矩形ENCD,折痕EN交线段CG于点M,连接MH. 如果MH⊥EN,则AG:AB= 2139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】3-⑤ 2 【详解】解：由题意，作图如下： A M B :矩形ABCD, :AB∥CD,AB=CD,∠A=∠ABC=∠ADC=90°， :折叠，点B落在边AD上的点E处， ∴∠GEC=∠ABC=90°，BG=EG,∠BGC=∠EGC, ∴∠AEG=∠ECD=90°-∠DEC, .△AEG∽aDCE, .AG AE DE=DC'ZDEC LAGE. AG=a,BG=b,AB=CD=a+b,EG=BG=b,AE=EG2-AG2=b2-a2, a b2-a2 DE a+b a(a+b) .DE= Vb2-a2 :折叠，点D落在线段CE上的点H处， ∴HE=DE= a(a+b) b2-a2 矩形ENCD, EN∥CD,DE⊥EN, 3/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EN∥BA, ∴.∠GME=∠BGC, .∠GME=∠EGC, ∴EM=EG=b, :MH⊥EN,DE⊥EN, .MH∥AD, ∠MHE=LDEC=LAGE, ∴.sin∠MHE=sin∠AGE, Vb-d b AE EM EGEH,即： b a(a+b), Vb2-a2 ..b2=a(a+b),a2+ab-b2=0, a=5-6或a=5-b(舍去)， 2 2 “a+b=5+b. 2 ÷AG:AB=a=5-16-253-5 a+b5+1 4 2 口题型02图形的旋转 3.(2026上海闵行·二模)如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落 EBA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F,连接BF,如果B-G,那么∠FBE 的正切值是。 A D B 【18 【详解】解：如图，过点F作FG⊥BC于点G 4/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A D G AE 8 AB15 .设AE=8x,AB=15x .BE BA+AE=23x :四边形ABCD是平行四边形 CD=AB =15x,AB//CD,BC=AD 根据题意得，DE=CD=15x,∠CDE=90° ∴∠AFE=∠AED=90° BC=AD=√AE2+DE2=17x 设FE=y :FG⊥BC,FC平分∠BCD ∴.FG=FD=FE+DE=y+15x 又：∠FGC=∠FDC=90°，FC=FC ∴.Rt△FGC≌RtAFDC(HL ..GC=CD=15x ∴.BG=BC-GC=2x BG2+FG2=BF2=BE2+FE2 (2x)2+(y+15x)2=(23x2+y2 .y=10x .FE=10x ZAFE=90 :tan∠FBE=FE-10x-10 BE 23x 23 “∠FBE的正切值是0 ￥23 5/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2026·上海宝山·二模)如图，在矩形ABCD中，将△BCD绕点B旋转至△BC'D'的位置，点D在BA的 延长线上，AD与BC'交于点E,如果AE=4,DE=5,那么四边形AECD'的面积是 【答案】15 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠C=90°， AE=4,DE=5, .AD=AE +DE=9, BC=9, 由旋转的性质可知：△BCD≌△BC'D', BC'=BC=9,∠C'=∠C=90°，∠D'BC'=∠DBC, :点D在BA的延长线上， ·点B,A,D在同一直线上， .∠ABE=∠D'BC', ∠ABE=∠DBC, 在△ABE和△CDB中 :∠BAE=∠C=90°，∠ABE=LDBC, AABE△CBD, 片4E、AB CD CB 即4=AB AB 9' AB2=36, :AB>0, AB=6, .CD=6, :点E在BC'上，点A在BD上， S四边形AEcD=SDBC-S4BE, 6/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S.=S.owe -BC-CD= *9x6=27,8m4BA6 1 2×6x4=12, S四边形4Ec0=27-12=15, 题型3直线与圆、圆与圆位置关系 5.(2026上海浦东新·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12.点D、E分别在边 AC、BC上，且二的值为子以E为圆心，ED为半径作圆，知果0E与4BC的三边有三个公共点，那 Ce 么CD的值为 A D B E 【答案】4或36 17 【详解】解：设CD=3x,则CE=4x, 在Rt DCE中，DE=VCD2+CE2=5x, 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=VAC2+CB2=V52+122=13, 如图1，当OE与AB相切时，切点为F,则OE与ABC的三边有三个公共点， A D E 图1 “⊙E与AB相切， ·EF⊥AB,EF=ED=5x, :∠C=90°， 7/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B, ·△BFE∽△BCA, BEEF BAA之即5=5四BE=13x :BC=BE+CE=13x+4x=17x, :BC=12, 12 ·17x=12,解得x 17 CD=3x=17 36 如图2，当ED=EB时，则OE与ABC的三边有三个公共点， B E 图2 “ED=EB, ·BC=BE+CE=5x+4x=9x, 9x=12,解得x= 3 ·CD=3x=4: 综上所述：CD的值为4或36 17 6.(2026上海闵行·二模)如图，在ABC中，AB=AC,A0⊥BC,垂足为点0，点G是ABC的重心， BC=18,A0=12,点D为边AB上一动点，如果以点0为圆心OG为半径的⊙0与以点D为圆心的⊙D相 切，那么⊙D的半径r的取值范围是 8/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 16 【答案】 ≤r≤8 56<r≤16 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,交⊙O于点F, A E B :在ABC中，AB=AC,AO⊥BC, ∴.BO=OC= .AB=V0B2+0A2=15 1 So=24B.0E 20B.40 1 .。×15OE=5×9×12 ÷0E=36 :A0=12,点G是ABC的重心， 0G=40=4 :以点O为圆心OG为半径的⊙0与以点D为圆心的⊙D相切 当00与⊙D外切时，如图，当点D在点E处时， .EF=OE-OF= ：6 1 “⊙D的半径r取得最小值，即EF的长度 5 如图，当点D在点A处时， 9/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A(D) B .AG=A0-G0=12-4=8, ∴⊙D的半径r取得最大值，即AG的长度8； :16sr≤8： 5 当⊙0与⊙D内切时，如图，当点D在点E处时，⊙0与EO的延长线交于点H, (D E .EH=OE+OH= 3 2+4= 56 :⊙D的半径r取得最小值，即EH的长度56 如图，当点D在点A处时，⊙0与G0的延长线交于点L, A(D) G B A1=A0+01=12+4=16, ∴⊙D的半径r取得最大值，即AⅡ的长度16； 10/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 56 ≤r≤16 5 综上所述，⊙D的半径r的取值范围是 6≤≤8或56≤r≤16. 5 题型04新定义 7.(2026-上海徐汇.一模)我们将宽和长之比为5-」（约为0.618）的矩形称为黄金矩形，它可以通过 2 折纸获得.如图1所示，将长方形纸片第一次沿MC折叠，使点N和点B重合，展开后再将纸片沿AG对折 叠，使点M和点B重合；如图2所示，展开后连接AB,再将纸片第三次沿AF折叠，使得AB落在长方形 纸片的边上且点B落在点D处，再次展开，过点D作MB的垂线，垂足为点E,请在阅读理解的基础上写出 图中的“黄金矩形”： M.GB B A D 图1 图2 【答案】矩形BCDE,矩形MNDE 【详解】解：由第一次沿MC折叠可知四边形MNCB为正方形， 则MB=BC=MN=NC, 再将纸片沿AG对折，则可知MG=BG,NA=AC, M G B M G 图1 图2 设MG=BG=NA=AC=1,则MN=NC=2, 连接AB,则AB=VAC2+BC2=V1+4=V, 再将纸片第三次沿AF折叠，AB落在长方形纸片的边上且点B落在点D处， :AD=AB=5, :CD=AD-AC=5-1, CD 5-1 MN 2 5-1 DE 2 ND 1+5 2 即图中的“黄金矩形"为矩形BCDE,矩形MNDE. 11/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：矩形BCDE,矩形MNDE. 8.(2026上海崇明.二模)定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.己 知在ABC中，AB=AC,∠A=36°，将ABC沿着过点B的直线l翻折，使点C落在AB边上的点D处， 点E是边4C上一点，若四边形BCED是等对角四边形，则4仁的值为 AC 【答案】5-或5-2 【详解】解：在ABC中，AB=AC,∠A=36°， ∴∠ABC=∠4CB=180°，36°=729. 设过点B的直线I与AC相交于点P,连接PD, 1 由翻折的性质可知∠BDP=∠ACB=72°，BD=BC,∠DBP=∠CBP=二∠ABC=36°， 2 当四边形BCED是“等对角四边形"时，有以下两种情况： ①当∠BDE=∠C=72°时， :∠BDP=∠C=72°， E和点P重合，如图所示， D E(P) B 图1 此时，∠DEC=360°-（∠ABC+∠BDE+∠C=144° .∠DEC≠LABC 四边形BCED是“等对角四边形”； 设AE=x,AB=AC=a,其中x>0,a>0 .CE=AC-AE=a-x, AE x AC a :∠A=∠DBP=36°， :BE AE =x, 由折叠可知，∠BEC=∠DEC=72, 12/39 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BEC=∠C=72, .BC=BE =x 在ABC和BEC中， ∠CPA=∠A=36°，∠C=∠C=72°， △ABC∽△BEC :AC、BC BC CE =x :.1 x a-x 整理得到，x2+ax-a2=0 解得，x=-a±V+4a.-a±5a。-1±5 2 2 2 2a,5-1 即x=5- 2a<0(不合题意，舍去)， x=5-la时，S-5-l, 2 a 2 即4E-x-5-1 AC a 2 ②当∠DEC=∠ABC=72°时，如图所示， D 图2 同理可得，∠BDE=144°， ∴LBDE≠LC 四边形BCED是“等对角四边形”； 设AE=y,AB=AC=a,其中x>0,a>0 :E=上 AC a :∠EDA=180°-∠BDE=36°， ∠EDA=∠A=36°， .DE=AE=y 13/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠EDA=∠DBP=36° DE∥BP, △ADE∽△ABP AE AD AP AB :AE·AB=AD·AP 由O可知，BC=BD=BP=AP=5-l。 2 AD.5- 2 a=ay, AD=5+1 2, AD=AB-BD=a-5-1。=3-5 20 2, :5+1v=3-5 2)= Q 2 :y=5-2, a AE=兰=5-2， AC a 综上可知， 的值为5-l或5-2. AC 2 题型05几何动点与存在性 9.(2026上海.一模)某山丘在建造旅游景区时，在两山丘间建造吊桥MN,其抽象图如图所示，其中山 丘△ADC,△ECB均为等腰直角三角形，山丘的底AC、BC在一条直线上，为让MN处于最佳位置，建筑 师连接AE、BD,其和DC、CE的交点记作M、N,那么桥梁MN和山丘底AC、BC的数量关系为， M ℃ B 【答案】 1 1 1 MNAC BC 【详解】解：：△ADC,△ECB均为等腰直角三角形， :AD=DC,CE=BE,∠DAC=∠DCA=∠ECB=∠EBC=45°， AD∥CE,CD∥BE,∠MCN=180°-∠DCA-∠ECB=90°， CM EM EM BC ∴△BNC∽△BDA, CD AE AE BA 14/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CN BC AD BA CM CN CD AD .CM =CN, :aCMN为等腰直角三角形， .∠CMN=∠DCA=45°， .MN∥AC, :.△DMN∽△DCB,△EMN∽△EAC, MN DN MN EM BCDB'AC EA' :AD∥CE,CD∥BE, DN AC EM BC DB AB'EA BA M=4CO,M=BC②， BC AB AC BA 由①+②得， MN MN BC AC AB BC*AC BA*ABAB =1, 1 1 MNAC BC 1 故答案为： MN=AC+BC 10.(2026上海松江.一模)已知ABC中，∠ACB=90°，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACQ与 P巴的值是 BPQ相似，且△MPQ是等腰三角形，那么 【等】要攻 3 【详解】解：：△ACQ与BP2相似，且LACB=90°>∠B, :.只存在∠BQP=90°和∠BPQ=90°这两种情况， 如图所示，当∠BQP=90°时，则∠BQP=90°=∠C, AC∥P2, ∴∠QPB=∠BAC>∠CAQ, :此时只能是△ACQ∽△BQP, ∠AQC=∠BPQ: :∠QPB是锐角， .∠APQ一定是钝角， 15/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△APQ是等腰三角形， .AP =PO, .∠PAQ=∠PQA, ∴∠AQC=∠BPQ=∠PAQ+∠PQA=2∠POA, ∠PQC=∠AQC+∠PQA=3∠PQA=90°， ∠PQA=30°， 如图所示，过点P作PH⊥AQ于点H,则AQ=2HQ,HQ=PQ·cos∠PQH= 2 A0=3P0, P№=3 A0 3 如图所示，当∠BPQ=90°时，则∠APQ=90°， B :△APQ是等腰三角形， .AP PO, A0=AP2+PO2=2P0, P№-2 A0 2 综上所述， 的值为2或 A0 2 3 故答案为： 2 3 03压轴强化训练 1.(2026·上海青浦.二模)定义：如果一个圆的圆心与一个正多边形的中心重合，那么称该正多边形为这 16/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个圆的同心正多边形.己知一个圆的半径为1，该圆的同心正六边形的边长为√5.设点P在圆上，点Q在 正六边形的边上，那么P、Q两点之间的最小距离为 【答案】 【详解】解：如图，连接OA,OB,过点O作OR⊥AB于点R A 360° 由题意得，正六边形的中心角为∠AOB= =60° 6 :0A=0B ·AOB为等边三角形， L0BA=60°，0B=AB=V5 OR=OBxsin ZOBA=x3 2=2' P030-0n≥0R-op-1- :PO的最小值为，当点P在线段0Q上，且点Q与点R重合时，PQ取得最小值， “P、0两点之间的最小距离为号 2.(2025山东烟台中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm,点M从点A出 发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以√3cm/s的速度向点D 运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN,DM交于点P.在此过程中，点P的运动路径 长为 m. D M B 【答案】2 3 17/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】如图，连接BD交AC于J.求解LDAC=30°=LDCA,AJ=CJ=3,DJ=BJ=AJ.tan30°=√5 ,AD=AB=BD=2√5=CD,设运动时间为t,则AM=1,CN=√5t,证明△ADM∽△CAW,可得 ∠APD=180°-30°=150°，作等边三角形ADO,以O为圆心，OD为半径作圆，取点K,连接AK,DK, 证明P在OO上，且在弧AD上，再利用弧长公式计算即可 【详解】解：如图，：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm,连接BD交AC于J. .∠DAC=30°=∠DCA,AJ=CJ=3,DJ=BJ=AJ.tan30°=V3,AD=AB=BD=2V3=CD, B :设运动时间为t,则AM=1,CN=√31， 256 AD CA' △ADM∽△CAN, ∴.∠ADM=∠CAN, .∠APM=∠DAP+∠ADM=∠DAP+∠CAN=30°， .∠APD=180°-30°=150°， 作等边三角形ADO,以O为圆心，OD为半径作圆，取点K,连接AK,DK, :0A=0D=AD=2V5,∠A0D=60°，∠4KD=x600=300, .∠AKD+∠APD=180°， ∴P在OO上，且在弧AD上， ÷在此过程中，点P的运动路径长为60π×25_23π 180 3 故答案为： 2W3元 3 3.(2025江苏镇江.中考真题)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中 点，M是边4C上的动点，作DN1DM,交BC于点N,延长MD到点P,使得DP=MD.当aPNB面 积最大时，AM的长等于， 18/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A D 【答案】2 【详解】解：连接CD,取BD的中点Q,连接PQ并延长交BC于点E, M E D B :∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中点， :B=反AC=8V2,∠A=∠CB4=45eCD=4B=AD=BD=45,∠4CD=∠BCD=45,CD1AB, ∠ADM+∠CDM=90°， :DM⊥DN, ∴∠CDN+∠CDM=90°， .∠CDN=∠ADM, .△ADM≌△CDN, :AM =CN, :Q为BD的中点. :DQ-1BD=1AD. 2 DP=IMD, 2 MD AD DP DO =2, :∠ADM=∠PDQ, ·.△ADM∽△QDP, AM=2, :∠MAD=∠POD, PQ∥AM,AM=2PQ, ∴∠PEB=∠ACB=90°，即：PE⊥BC, 19/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CBA=45°， ∴△BEQ为等腰直角三角形， BE-E0BBD-2. 2 4 设PQ=x,则：CN=AM=2x,PE=x+2, .BN BC-CN =8-2x, 8BN-PE-28-2x+2=-X+2x+8E :.当x=1时，△PNB面积的面积最大； 此时AM=2; 故答案为：2， 42026上海口一如图，在4BC中，AB=AC0,sinB子点D在边BC上，连接4D,格 △ABD沿AD翻折得到△AED,点B对应点E,连接CE,如果CE∥AB,那么BD的长是 B 【答案】35 【详解】解：过点A作AH⊥BC,如图所示： 4B=4C-10.sin B=2.AH L BC. 3 sin B=AH2 AB3 BH=CH. 即A弘2 103' AH=20 , 则8H=8-An-0-4o-105 9 3 20/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A BA x D H 20 E :折叠， ∠BAD=∠EAD,AB=AE=AC=I0, .ZAEC ZACE .设∠BAD=∠EAD=Q, .∠BAE=2a, :CE∥AB, ∴LAEC=∠BAE=2a,∠ABC=LECB, 即∠AEC=∠ACE=2a, :AB=AC, ∴∠ACE=LACB+∠ECB=∠ACB+LABC=2a, 即LACB=LABC=a, ∠BAD=∠ABC=a, .BD=AD ·DH=BH-BD=105 -BD. 3 :AH⊥BC, AD2=AH2+DH2, 解得BD=3√5. 故答案为：3√5. 5.(2026上海虹口二模)如图，在Rt△4BC中，∠C=90°，AC=4,tanB=】 点D在边B上，点E 在边BC上，联结DE，把BDE沿DE翻折得到FDE,联结AF、AE,如果四边形AFDE为平行四边形， 那么CE的长是」 21/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C B 【答案】2 【详解】解：如图，设AD与EF交于点G, E 在Rt△ABC中，tanB=AC=L BC 2 ∴.BC=2AC=2×4=8, AB=AC2+BC2=45, :BDE沿DE翻折得到FDE, ∠DFE=∠B,FD=BD, 设FD=BD=x,则AD=AB-BD=4V5-x, :四边形AFDE为平行四边形， AEW FD.AE-FD-.AG=DG-AD25- ∠DFE=∠AEG, .∠AEG=LB, 又：∠EAG=LBAE, ∴△AEG☐△ABE, AE AG AB,AE,即+ 25-1 2 45 x 整理得：x2+2V5x-40=0, 解得x=25,x2=-45(舍去)， .AE =25, 在RtACE中，CE=VAE2-AC=25-42=2, 22/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即CE的长是2 6.(2026上海徐汇·二模)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着 EF翻折，使点B恰好与△ACD的重心G重合.若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为 A D 【答案】4 【详解】解：取AD的中点N,连接CN,取CD的中点M,连接AM与CN交于点G,则点G为重心， 在菱形ABCD中，连接BD, ÷O为AC的中点， 点G在BD的线段上， D E MN∥AC,MN=2AC, ZACG=ZMNG,ZNMG=ZCAG.DJ=DO, .△VMGACAG,J是OD的中点， MN GJ 1 AC=0G2' 0G2 OD 3' DG 4 1 BD123 :B关于EF的对称点是G, BH 1 =2=1, GH 1 BH 2 80-5 菱形ABCD的面积为18， 1 “S.c=)×18=9, 2 23/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EF∥AC, ∴∠BAO=LBEF,LBCA=LBFE, △BEF∽△BAC, S匹-B0_9 S.BH=4' S.BEF=4. 7. (2025江苏扬州中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4W3,点E是BC边上的动点，将 △ABE沿直线AE翻折得到APE,过点P作PF1AD,垂足为F,点Q是线段AP上一点，且AQ=PF,当 点E从点B运动到点C时，点？运动的路径长是· F D D B E 【答案】3 π 【详解】解：：矩形ABCD, ∠BAD=∠B=90°， :翻折， .AP AB=4, 当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP,交AB于点H,则：∠AQH=90°=∠BAD, D D BI-- E :∠AHQ=∠PAF=90°-∠HAQ, :PF⊥AD, .∠PFA=90°=∠AQH, 24/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△AQH∽△PFA, 片AHAg AP PF :H=4g1 AP PF w:号pe2, 点Q在以AH为直径的圆上运动， :当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH, 1 :点Q的运动路径长为： x2n=元： 当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP,交BA的延长线于点K, 同法可得：△AKQ∽aPAF,AK=AP=2, 2 :.∠AKQ=∠PAF,点Q在以AK为直径的O0上运动，连接O0, 当点E运动到点C时，如图： :AB=4,BC=4V5,∠B=90°， tan∠BAC BC=5, AB ∴.∠BAC=60°， ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°， :折叠， ∴.∠PAC=∠BAC=60°， ∠PAF=∠PAC-∠CAD=30°， .∠AKQ=∠PAF=30°， 25/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AOQ=2∠AKQ=60°， ÷点0的运动轨迹为圆心角为60°的A0,路径长为60肛×1= 180 3， :点Q的运动路径总长为：元+3了 π4π 故答案为： 4π 8. (2025四川绵阳.中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BC=4,AD=2,点E在 四边形内，DE⊥CE,EF⊥CD于点F,将△BCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合，延长FE交折痕CG的 延长线于点H,∠DCG=45°，则点B到直线FH的距离为 D E H Ba 【答案】4 【详解】解：过点C作CK⊥AD,交AD的延长线于K,过点B作BQ⊥CD于Q,如图， D K E G :将aBCG沿CG翻折，点B恰好与点E重合， ∴.∠GCE=∠GCB,∠CEG=∠CBA=90°，CE=CB=4,BG=GE, :∠K=∠A=∠ABC=90°， 四边形ABCK是矩形， ∠BCK=90°， :∠DCG=45°， 即∠GCE+∠DCE=45°， LDCK+∠GCB=45°， .∠DCK=∠DCE, 26/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠CED=∠CKD=90,CD=CD, ∴△CDE≌△CDK(AAS), .CK =CE=4=BC, 四边形ABCK是正方形， :AK BC=4, :AD DK DE =2, 在R1aCDK中，CD=VDK2+CK2=2V5, :∠ECF=∠DCE,∠CFE=∠CED, △CEF∽△CDE, CF CE CE CD 即CF、4 425' CF=85 ·∠DCK+∠BCQ=∠CBQ+∠BCQ=90°， .∠CBQ=∠DCK, sin∠CB0=sin∠DCK=DK=2-V5 CD 25 5 :Cg=sim∠c80=5 BC c0=5c-45 5 854V545 ∴.FQ=CF-CQ= 5 5-5 则点B到直线FH的距离为4 5 故答案为： 4v5 9.（2026·上海普陀·二模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5(如图所示)·点D在边AB上 (不与点A、B重合)，DE1AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,OE的半径长为2.如果⊙F与OE外 切，那么⊙F的半径长r的取值范围是 27/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 3 【答案】 13sr<10 【详解】解：如图，连接CD,EF,设EF与OE交于点G, A B 如果⊙F与OE外切，则FG的长为⊙F的半径长， 在RIABC中，AC2+BC2=AB2, AC=V132-52=12, :DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°， ·四边形DECF为矩形， :CD=EF, :FG=EF-EG CD-2, 当CD⊥AB时，CD最短， 根据三角形面积公式可得，此时CD=4CBC_60 AB 131 34 ∴.FG=CD-2= 13 当点D无限接近点A时，此时FG<AC-2=10, 34≤FG<10, 1 即⊙F的半径长r的取值范围是 3sr<10 34 10.(2026·上海杨浦.二模)如图，圆O为ABC的外接圆，CC'与BB相交于圆心0，且CC'⊥BB', 28/39 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=AC,直线B'C'与圆O交于P、Q,则tan∠APQ= A B 【答案】 22+1 1 【详解】解：连接AO并延长交BC于点H,交PQ于G,连接OP, G\B' 由题意知∠C0B=∠C'0B'=90°， :∠BAC=∠B0C=450, AB=AC,OB=OC, .AH垂直平分BC,即∠OHB=90°， :0B=0C,∠C0B=90°， ·.△COB为等腰直角三角形； AB=AC, ÷∠ABC=∠4CB=180,45°=67.50， 2 ∠BC'C=180°-45°-67.5°=67.5°， ∠ABC=LBC'C, ∴BC=CC'; 同理可证BC=BB', CC'=BB', .CC'-OC =BB'-0B, 即0C'=OB', 29/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “△COB'也是等腰直角三角形： ∠B'C'C=LC'CB=45°， PQ川BC, 0G⊥C'B, ∴△OGC'也是等腰直角三角形： 设BH=x, 则BC=CC'=2r,OB=0C= BC=x, C'0=CC'-0C=(2-2)x, co-o6.ce.2-r-5- √22 AG=0A-0G=0B-0G=V2x-(N2-1x=x, 在a0GP中，PG2=0p-0G2=0B2-0G2=(x-[（2-=(2-2, :.tan2∠APQ (ra)re x2 12√2+1 22+1 tan∠APQ= 7 11.(2026上海松江·二模)已知ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点P、Q分别在边AB、BC上， 如果△ACP是以AP为腰的等腰三角形，且CP⊥PQ,那么PQ的长是· 【答案】 5或65 4 5 【详解】解：在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=V62+82=10, 当PA=PC时， A B ∠A=∠1， 30/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACB=909 ∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90° ∠B=∠2， :PC=PB, :PA=PB=PC=-AB=5, :∠B=∠2， ∴.tan∠2=tan∠B, :CP⊥PO AC PO BC PC :6=P№ 8=5 P0=15 当AP=AC=6时，则BP=AB-AP=4,过点AG⊥CP于点G, G4公 O B .∠1=∠4 :∠ACB=90°，CP⊥PQ .∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° ∠2=∠3， :∠B=LB △BPQ∽△BCP, BP BOPO BC BP CP BP2=BQ×BC,即42=8BQ 解得BQ=2, c082-6,子8器 设PQ=x,CP=2x, 31/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△CPQ中，由勾股定理得，x2+(2x)2=62, 解得x=6V5 (舍负)， ·Pg=v⑤ 综上所述， Pe的长为5或v5 4 5 12.(2026上海金山二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,直线1经过边AB的中点0，将 ABC沿直线I翻折得到△DEF(点A、B、C分别与点D、E、F对应)，若△DEF的重心G在射线CO上， 那么D到直线的距离为 7 【答案】 【详解】解：有两种情况： ①：1与射线C0重合，如图所示： B 此时C和F重合，两三角形重心也重合且在线段CO上，过A作AH⊥OC于H, 由对称性知D到直线I的距离就是A到直线I的距离AH, 由勾股定理知AB=√AC2+BC2=10, :O是AB的中点， 0c-48=55 1 -2S.= ×6x8=24, 1 S.0e-OCAH=5AH-12, 1 2 2 AH=24 24 ,即D到直线的距离为5： ②1与射线CO垂直，如图所示，过A作AQ⊥1于)， 32/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G H B 此时△DEF的重心G在射线CO延长线上， 易证得四边形AQOH为矩形， 0=0H,AH=00=24 400中，由勾数定理得0-0F-0g--(于-子 7 由对称性知D到直线1的距离就是A到直线1的距离A0= 综上所述，D到直线1的距离为24。 7 5 (2026·上海徐汇·一模)如图，在ABC中，AB=AC=5,cosC= ,将△ABC绕点A逆时针旋转得到 4 13. ADE,点B、C分别与点D、E对应，边AD、DE分别与原三角形底边BC交于点F、G,当aDFG是等腰 三角形时，FG的长为 B 【答】我而2 【详解】解：过点A作AT⊥BC于点T, E BF可G >C D 4B=AC=5.c0sC=4 ÷BC=2CT=2 xACxcosC=2x5×4=8,∠B=∠C, “旋转， 33/39 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠B=∠C=∠D=∠E,AB=AC=AD=AE=5, ①当DF=GF时，过点F作FH⊥AB于点H, A E H B F ∠D=∠FGD, ∴.∠FGD=∠B AB∥DE, ∠BAD=∠D, .∠B=∠BAD, :FB=FA, :FH⊥AB, C.BH=AB-> 2 cos B=cosC=BHI 4 24, ..BF= =AF, FG=FD=AD-A=5-25_15 88 ②当DF=GD时； H F 0 :∠B=∠C=∠D=∠E,∠BFA=∠DFG,LFGD=∠HGC .△BFAm△DFG,△FGD∽△HGC, DF=GD .BF=AB=5,CG=CH 34/39 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设FG=x,则CG=BC-BF-FG=8-5-x=3-x .HC=3-x, .AH=AC-CH=5-(3-x=2+x :∠E=∠C,AHE=∠GHC ∴.△AEH∽aGCH, ∴△ABF∽△AEH, AB=AE, B、F =1, AE AH .AF AH =2+x, .AD-AF=AC-AH, .FD=HC=3-x, :△FGD∽△HGC, FD_FG=1. HC HG .FG=HG=x :△AEHn△GCH AE AB AH CGCG HG 5=2+x 3-xx 解得：x=√10-2或x=-10-2(舍) ③当FG=GD时， :△BFA∽△DFG, ·AF=AB,此时不成立， 综上：FG=1或0-2， 8 故答案为：而-2或5 · 14.(2026上海长宁.一模)在矩形ABCD中，AB=CD=6,AD=BC=5,E为射线AB上一点，将 ADE沿DE翻折，得到△A,DE(点A的对应点为A)·联结AA、A,B,当△AAB为等腰三角形时，AE 长是 35/39 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【路案13号615 【详解】解：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则 A0,0),B(6,0,D(0,5),设E(x,0)(x≥0)， D A (A B花 :△ADE沿DE翻折得到△A,DE, ∴DA1=DA=5,EA=EA=x, ①如图，当AA=A,B时，则A在AB的垂直平分线x=3上， A (O)A B 设A(3,y), :D4=5,D(0,5), 32+(y-5)2=52, y=1或y=9, EA =x, 32+y2=x2 ÷当y=1时，x=3当y=9时，=15： ②如图，当AA=AB=6时， 36/39 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (O)A E B主 设Ap,9 :AA=6且DA=5,D(0,5), ∫p2+g2=62 p2+(g-5)2=52 解得p=4.8,9=3.6, A4.8,3.6 EA =x,E(x,0, (4.8-x)2+3.62=x2, 解得一县 ③如图，当A,B=AB=6时，设A,(P,9, (OA E)B主 :AB=6且DA=5,B(6,0),D(0,5), (p-6)2+g2=62 (p2+(g-5)2=52” 300 360 解得p= 61,9s 61 300360 46161/ EA=x, 37/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 300 2 61-x 360)2 =x2, 61 解得x=6, 故答案为： 515 3’4,6,15. 15. (2026·上海徐汇·二模)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,点0在边AB上，如果⊙0与ABC 的一边所在的直线相切，且经过ABC的一个顶点，那么OB的长是 B 【答案】25或120 8 9 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E, 当OO与BC相切于点D时，则OD⊥BC 、A D E AB=AC=5,BC=8 :BE=- AE=VAB2-BE2=V52-42=3 设0B=x,则0A=0D=5-x :OD⊥BC,AE⊥BC 06B即5-r3 sin∠ABC=OD-4E 5 25 8 当OO与AC相切于点F时，则OF⊥AC,过点B作BG⊥AC于点G, 38/39 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B AB=AC ·LABC=LC :BG=BC.sin C=8x3=24 55 设0B=x,则0F=0B=x,0A=AB-0B=5-x, :OF∥BG .aAOF∽△ABG OF OA BG AB x=5-x .245 解得：x=120 49 综上所述，OB的长是5或120 8 49 39/39