精品解析：山东德州市夏津第一中学2025-2026学年下学期4月份月考高一数学试题

夏津第一中学2025——2026学年下学期4月份月考 高一数学试题 一、单选题 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 则. 3. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两端平方，从而解出与的夹角. 【详解】因为，所以， 所以，所以． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可得A错误；当时可得B错误；由模长的运算和数量积的运算律可得C正确；由数量积的定义结合数乘向量定义可得D错误. 【详解】A：设，则，且， 但，故A错误； B：当时，由于零向量与任意向量都共线，所以与不一定平行，故B错误； C：因为，所以， 所以，所以，故C正确； D：由数量积的运算可得与共线，与共线， 由于不知道间关系，所以原式不一定相等，故D错误； 故选：C. 5. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 6. 如图是函数图象的一部分，M，N是它与轴的两个交点，C，D分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像，是线段的中点，判断出函数最值求出,设出的坐标，利用向量数量积的坐标表示求出坐标和周期，带入坐标求出所有参数，可得解析式 【详解】因为是线段的中点，所以的纵坐标为2，函数最大值为2，则, 设，则，可知函数周期，求得，可知， 则，，解得， 可知周期，， 因为，解得， 将带入函数得，解得，可知.则. 故选：B. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 ， ， ， 由在的单调性可知：. 8. 给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合数量积的运算律，利用向量垂直条件逐项判断即可. 【详解】A选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； B选项， 当不与垂直时，该结果就不等于0，错误； C选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； D选项，因此这两个向量垂直，正确． 二、多选题 9. 已知，，均为单位向量，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，，均为单位向量，则， 对其展开得：， 代入模长得，解得， 选项A：，两向量垂直，A正确； 选项B：， 这是开口向上的二次函数，最小值在处取得，最小值为， 因此的最小值为，B错误； 选项C：向量在向量上的投影向量为，C正确； 选项D：，夹角范围为，因此，D正确. 10. 下列各式中，化简结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：因为， 整理得， 所以，故C正确； 对于D： ，故D错误. 11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若．则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，如图 因为，所以，取中点， 则有，所以点三点共线，则为三角形中线， 同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确. 对于B，因为，所以， 所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确 对于C，由B可知，选项C错误. 对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 由平行四边形法则，在的角平分线上， 又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形， 又因为， 所以，所以， 所以为等边三角形，D正确. 三、填空题 12. 已知角的终边在直线上，则____________. 【答案】## 【解析】 【详解】根据题意可知：， 所以， 所以. 13. 已知向量，，若，方向相反，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，由此即可求出参数的值，从而进一步得解. 【详解】因为，，且，方向相反， 所以可设， 则，解得或（舍去）， 所以，． 故答案为：. 14. 点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为原点平面直角建立坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示得出所求表达式，再配方求最值即可． 【详解】如图，以为原点平面直角建立坐标系， 则，设， ， 则当时，取得最小值，最小值为． 四、解答题 15. 在中，,设，． （1）用，表示，； （2）若，向量的夹角为，求的模长； （3）若为内部一点，且，求证：，，三点共线． 【答案】（1）； （2） （3） 因， 而由（1）知，则， 又共点，故，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算结合图形即可求解； （2）利用向量的数量积的定义与运算律计算即得； （3）利用条件表示出，推得即可得证. 【小问1详解】 ； ； 【小问2详解】 依题意，，由（1）得， 则； 【小问3详解】 略 16. 已知，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两边同时平方，结合同角关系即可解得的值； （2）联立，结合，可解得，使用和差公式可得，使用二倍角公式分别求即可求解； （3）原式化简变形得，由（2）可得的值，进而可求得的值. 【小问1详解】 ，两边同时平方得， 解得. 【小问2详解】 , 则有， 联立，且，解得， 所以， 则. 【小问3详解】 由题意，， 分式上下同时除以得， 由（2）得， 将，代入得， 即, 17. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）不是定值，取值范围为. 【解析】 【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值； （2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值； （3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围. 【小问1详解】 因为，，所以, 又因为，所以，，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 在菱形中，，所以，所以 【小问3详解】 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 由菱形边长为，，得，，，， 因为，易得，由可得， 在线段上，则 ，. ，，所以，又， 所以，又因为，所以. 故不是定值，取值范围为 . 18. 图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形. （1）用表示线段的长; （2）求矩形面积的最大值. 【答案】（1），其中； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，由对称性可知⊥，表达出各边长，得到，其中； （2）由三角恒等变换得到，并根据求出最大值. 【小问1详解】 连接，，由对称性可知⊥， 设交于点，交于点. 在中，，， 在中，， ，其中； 【小问2详解】 由（1）得矩形的面积 ， 当，即时，取得最大值，最大值为. 19. 已知函数，定义域为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角公式将化简，应用公式即可求出周期； （2）将方程两个实数解问题转化成函数有两个交点问题，利用换元将函数转化成正弦函数求解； （3）由对任意的，总存在，使得成立，本质上是两个函数在给定区间上的值域包含问题，利用换元法求值域即可. 【小问1详解】 由 ， 从而函数的最小正周期. 【小问2详解】 由，即，则， 令，，则， 则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图 ，解得，即实数a的取值范围； 【小问3详解】 将函数的图象向右平移个单位长度 得 函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 得 当，则，可得， 从而； 当，则，可得， 从而， 当，， 当，， 由对任意的，总存在，使得成立， 则或 解得或， 实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夏津第一中学2025——2026学年下学期4月份月考 高一数学试题 一、单选题 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 5. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数图象的一部分，M，N是它与轴的两个交点，C，D分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，均为单位向量，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 10. 下列各式中，化简结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（ ） A. 若，则点为的重心 B. 若．则点为的垂心 C. 若，则点为的外心 D. 在中，且，则为等边三角形 三、填空题 12. 已知角的终边在直线上，则____________. 13. 已知向量，，若，方向相反，则______． 14. 点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______. 四、解答题 15. 在中，,设，． （1）用，表示，； （2）若，向量的夹角为，求的模长； （3）若为内部一点，且，求证：，，三点共线． 16. 已知，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 17. 在菱形中，，，，. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围. 18. 图，在扇形中，半径，圆心角，是弧的中点，是扇形弧上的动点，满足，矩形内接于扇形. （1）用表示线段的长; （2）求矩形面积的最大值. 19. 已知函数，定义域为． （1）求函数的最小正周期； （2）已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $