精品解析：陕西渭南市大荔县大荔中学2025-2026学年高三下学期阶段学业能力自测数学试卷（三）

2025-2026学年高三下学期阶段学业能力自测 数学试卷（三） 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三备课组 第Ⅰ卷 （选择题，共58分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第分位数是（ ） A. 2.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 2. 双曲线的实半轴长为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 3 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 13 8. 集合，集合，，则满足的集合对有（ ）个． A. B. C. D. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象在区间上单调递增 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 11. 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（ ） A. 设向量旋转后的向量为，则 B. 点的轨迹是以为半径的圆 C. 设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D. 直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 不等式的解集为______． 13. 已知的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为_____ 14. 斐波那契数列，又称黄金分割数列．因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，．这种递推方法适合研究生活中很多问题．比如：某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有______种．（用数字作答） 四．解答题（本大题共5小题，共77分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）当时，证明函数在单调递增； （2）若函数在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 18. 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）设． （i）若直线与平面所成的角为，求线段的长； （ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等？说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值； （3）设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期阶段学业能力自测 数学试卷（三） 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三备课组 第Ⅰ卷 （选择题，共58分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第分位数是（ ） A. 2.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义，即可求得答案. 【详解】数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6已按从小到大顺序排列， 由于，故第分位数是， 故选：C 2. 双曲线的实半轴长为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简双曲线的方程为标准方程，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为，可得，即， 所以双曲线的实半轴长为. 故选：C. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】， 故. 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直向量可得，即，求解即可. 【详解】已知向量 所以，即， 即， 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过条件求出，再利用三角公式将目标变形，最后转化为用表示，再代入的值计算即可. 【详解】由得， 所以 . 故选：D. 6. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案. 【详解】设，代入抛物线，可得， 两式相减得， 所以直线的斜率为， 又因为的中点为，可得， 所以，即直线的斜率为. 故选：C. 7. 已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 8. 集合，集合，，则满足的集合对有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用分步计数原理，对每个元素独立分析它在中的可能状态，再将所有元素的情况数相乘. 【详解】对于中的任意一个元素，要满足， 分析在集合中的归属情况：且；且；且 这三种情况都能保证，而只有且这一种情况不满足条件. 因此，每个元素有种有效的归属方式. 因为中共有个元素，且每个元素的选择相互独立， 所以满足条件的集合对的个数为：. 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由周期公式即可判断，对于B，由平移可判断，对于C,代入验证即可，对于D，求得单调区间即可判断. 【详解】函数的最小正周期是，所以A正确； 函数的图象向右平移个单位长度可得到的图像，所以B错误； ，所以C正确； 由，解得， 所以函数的增区间是， 令，得到增区间，因为，所以D正确， 故选：ACD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故A正确； 对于B： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 11. 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（ ） A. 设向量旋转后的向量为，则 B. 点的轨迹是以为半径的圆 C. 设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D. 直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断A、B，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D. 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，故A正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量， 则，故C正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算. 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 13. 已知的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和余弦定理得到，从而得到异号，分和两种情况，第一种情况不成立，第二种情况得到，结合得到的取值范围. 【详解】由正弦定理得：，故， 又， 所以，即， 由余弦定理得， 因为为的一个内 角，所以， 由，知异号. 若，则A为钝角，为锐角， 则， 所以在上单调递减，而为锐角， 故，所以，不合题意； 若，则为钝角，为锐角， 因为，所以， 由，得， 即， 因为为锐角，所以， 方程两边同除以得：， 故得，即， 因为A为锐角，所以，所以. 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 14. 斐波那契数列，又称黄金分割数列．因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，．这种递推方法适合研究生活中很多问题．比如：某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有______种．（用数字作答） 【答案】89 【解析】 【分析】设小明上个台阶有种方法，只需把最后一步分成上1个台阶与上2个台阶两类情况，可得，利用斐波那契数列的定义即可求得. 【详解】设小明上个台阶有种方法，考虑最后一步， 若最后一步小明上1个台阶，则前个台阶有种方法且； 若最后一步小明上2个台阶，则前个台阶有种方法且. 由加法原理得，易知， 可得. 所以小明不同的上楼方法共有89种. 四．解答题（本大题共5小题，共77分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为2,公差为2的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）先得到，再把两侧同时取倒数并利用等差数列的定义证明即可. （2）先结合题意得到，再结合裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 . 16. 已知函数． （1）当时，证明函数在单调递增； （2）若函数在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【答案】（1） 当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； （2） （3）1个 【解析】 【分析】（1）求导通过，即可求证； （2）由题意可得在有变号的根，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可； （3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为； 【小问3详解】 因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． （1）求甲获得分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列为： ​ 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. 【小问2详解】 甲的总得分的可能取值为，  ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜：  ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜：  ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. 【小问3详解】 由定义， 代入得 由基本不等式​，当且仅当即​时取等号. 因此 ，即的最大值为. 18. 如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）设． （i）若直线与平面所成的角为，求线段的长； （ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等？说明理由． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）（i）； （ii）不存在，理由如下： 假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等， 由，得，则，所以， 所以， 设，则，其中，则， 在中，， 这与矛盾， 所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等． 从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等． 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）（i）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可解出的值，即可得出线段的长度； （ii）假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等，设，则，其中，则，利用勾股定理计算，利用二次函数的基本性质推导出，推出矛盾，从而得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 在平面内，作交于点， 因为，，故， 在中，，所以， 设，其中，由，则， 则、、、、、， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 因为，可取直线的一个方向向量为， 由题意可得， 整理可得，即， 因为，解得，所以； （ii）略 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）若圆可以将椭圆完全覆盖，求的最小值； （3）设点为椭圆上在第一象限的点，直线，直线分别过的左、右焦点，与椭圆分别交于点，，记直线，，的斜率分别为，，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出的值，进而求得椭圆的方程. （2）先求出圆心到椭圆任意点的距离的最大值，进而确定的最小值. （3）分别求出直线的方程，然后与椭圆方程联立，求出的坐标，进而由已知列出方程求出未知数即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，短轴长为， 所以，所以. 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 圆完全覆盖椭圆，意味着椭圆上任意一点到圆心的距离均不超过半径， 设椭圆上任意一点为，则该点与圆心的距离的平方为. 由椭圆方程知， 代入得， 对称轴为，椭圆中的取值范围为，所以当时，函数取最大值， 即，因此，的最小值为5. 【小问3详解】 由题意可知，椭圆的左右焦点坐标为，设， 则且，易得， 所以. 设， 直线的方程为，直线的方程为，其中， 由，消去得， 则， 从而， 所以. 同理可得， 则 ， 所以， 因为，所以，解得，所以. 因为，所以， 则的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $