专题05 方程与不等式的应用（6大题型专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 方程与不等式的应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的应用 题型02 二元一次方程组的应用 题型03 一元二次方程的应用 题型04 分式方程的应用 题型05 不等式与不等式组的应用 题型06 方程与不等式综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·浙江·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【典例02】（2026·浙江衢州·一模）《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400钱；每人出100钱，则多出500钱．则合伙买金人共有________人． 方法透视 考向解读 1、配套问题：利用“1个笔管与1个笔套是一套”建立等量关系，如 。 2、盈亏问题：利用“总量不变”建立方程，如 。 3、比例问题：利用“实际重量与读数比例恒定”建立方程，如。 4、图形拼接问题：利用周长比或线段和差关系列方程。 方法技能 一元一次方程解应用，审题找等量是关键； 设列解答四步走，单位检验不遗漏。 变式演练 【变式01】（2025·浙江湖州·二模）在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重量的读数为，然后小浦在书上面又放上质量为的砝码，显示重量的读数为．根据实验数据可以发现，这一叠书的实际重量是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2023·浙江台州·模拟预测）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），有n支球队参加比赛，若赛前有一支球队因故放弃比赛，主办方发现最后比赛总场次减少了4场，则______． 【变式03】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 题型02 二元一次方程组的应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江丽水·一模）龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 方法透视 考向解读 1、根据题意找出两个等量关系，列出二元一次方程组，如。 2、利用方程组解决配套、分配、行程等问题。 3、通过整体思想（如 (x + y)）简化求解过程。 方法技能 二元一次方程解应用，两个等量定方程组； 代入加减消元快，回代检验才完整。 变式演练 【变式01】（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 【变式02】（2024·浙江台州·模拟预测）某乐高创客小组自制了一台“滑轮塔吊”装置，如图，是平衡杆，点O处装有滑轮组，以的速度在平衡杆上滑动．现要将置于地面且距离障碍物的物体A搬运到障碍物后的置物台上，障碍物高为，置物台高为，两者宽度均为．在搬运过程中，滑轮滑动的同时，吊绳匀速收放．（物体体积、装置和滑轮组重力及摩擦力均忽略不计）    （1）物体在上升过程中，随着滑轮组向右滑动，吊绳匀速收起，若物体恰好能越过障碍物，则此时装置的收绳速度为_______； （2）在（1）的基础上，物体缓缓上升，在到达某一高度后装置开始放绳，通过调整放绳速度，使物体顺利运至置物台．在搬运过程中，若物体恰好能以最小速度运至置物台，物体离地面最大高度为_______． 【变式03】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 题型03 一元二次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·浙江·模拟预测）随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例02】（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 方法透视 考向解读 1、增长率问题：，其中 (a) 为初始量，(b) 为增长后量，(x) 为增长率。 2、几何图形问题：利用面积或勾股定理建立方程，如。 3、利润问题：利用“单价 × 数量 = 总价”列方程。 方法技能 一元二次方程解应用，增长几何是常考； 公式配方法和因式，验根取舍要记牢。 变式演练 【变式01】（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（　　） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 【变式02】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为______． 【变式03】（2023·浙江金华·二模）今年某百货公司“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额为360万元，第五天的营业额是前四天总营业额的． (1)求该百货公司今年“五一黄金周”这五天的总营业额； (2)今年，该百货公司2月份的营业额为300万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，求该百货公司今年3、4月份营业额的月增长率． 题型04 分式方程的应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·浙江·一模）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价． 方法透视 考向解读 1、工程问题：利用“工作量 ÷ 效率 = 时间”列方程，如。 2、行程问题：利用“路程 ÷ 速度 = 时间”列方程。 3、销售问题：利用“总价 ÷ 单价 = 数量”列方程，如。 4、注意：解分式方程后必须验根，确保分母不为0。 方法技能 分式方程解应用，工作行程常相逢； 去分母化整式解，验根勿忘才成功。 变式演练 【变式01】（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·浙江丽水·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为___________． 【变式03】（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 题型05 不等式与不等式组的应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 【典例02】（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．从这个月开始，小健每月存18元零花钱，小康每月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康，可列不等式为_____________． 方法透视 考向 解读 1、至少、至多问题：根据“不少于”“不超过”列不等式，如。 2、范围问题：利用“未溢出/有溢出”列不等式组，如。 3、整数解问题：结合实际情况取整数解。 方法技能 不等式解应用题，“至少”“最多”定不等； 负乘变号别忘记，整数解要合实际。 变式演练 【变式01】（2023·浙江·模拟预测）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为__________． 【变式02】（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 【变式03】（2025·浙江·模拟预测）把26个完全相同的玻璃球分别装在五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个．用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响．请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由． 题型06 方程与不等式综合应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江衢州·一模）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【典例02】（2025·浙江杭州·模拟预测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，则共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，则共需要资金4120元． (1)每个电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，求最多能购进多少台液晶显示器． 方法透视 考向解读 1、方程与不等式结合：先列方程求参数，再列不等式求范围，如与。 2、方案设计问题：根据条件列出不等式组，确定最优方案。 3、利润最值问题：利用“总利润 = 单利 × 销量”结合不等式求最值。 方法技能 新方程不等综合用，先列方程后列不等； 方案择优看条件，最值往往在边界。 变式演练 【变式01】（2025·浙江杭州·模拟预测）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． (1)求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； (2)两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 【变式02】（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【变式03】（2023·浙江湖州·模拟预测）今年以来，“新冠”疫情形势严峻，在全国范围内呈多地散点爆发的态势，经济形势不容乐观．湖州某地一水果商店积极开展应对措施，实行线上线下同步销售．已知该商店中某热销水果线上销售和线下销售的销售额相同；线上销售，线下销售，共获得元． (1)求该水果线上销售和线下销售的单价分别为每千克多少元？ (2)若该水果月份的进价为每千克元，线上和线下共销售． ①若要使月份该水果的总销售利润达到元，则该水果线上销售了多少千克？ ②由于疫情形势严峻，运输受阻，月份该水果的进价提高了元，线下销售的单价不变，线上销售单价同步提高元，总销售量下降了%，线下销售量至少应达到多少千克才能使销售毛利润不低于？（） 题●型●训●练 1．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江湖州·一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在矩形土地上修建矩形菜地，并沿菜地四周修建宽度相等的环形小路．若小路宽，则菜地的面积为；若小路宽，则菜地的面积为．若菜地的面积为，则小路的宽度为______． 6．（2025·浙江杭州·二模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为______． 7．（2025·浙江杭州·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的.若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程组_____（结果可以不化简）． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）某商店经销一种产品，4月份的销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种产品打9折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元． (1)求该产品4月份的销售价格； (2)若5月份每件产品盈利，6月份以5月份的售价继续销售这种产品，且在这3个月的销售利润不低于2450元，求6月份至少销售该产品多少件． 9．（2025·浙江温州·二模）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 10．（2025·浙江宁波·二模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． (1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 11．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 价格（元） (1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 12．（2023·浙江衢州·模拟预测）常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，品牌总花费元，单价元箱，品牌总花费元，单价元箱，其中品牌双柚汁比品牌多箱． (1)求品牌购进的数量； (2)该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市决定加大销售力度，对品牌按买箱送箱捆绑销售，品牌每箱降价元销售； ①用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额； ②若超市的总利润不低于元，求的最大值． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 方程与不等式的应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 一元一次方程的应用 题型02 二元一次方程组的应用 题型03 一元二次方程的应用 题型04 分式方程的应用 题型05 不等式与不等式组的应用 题型06 方程与不等式综合应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 一元一次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·浙江·模拟预测）明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程——配套问题，理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 根据“个笔管与个笔套是一套”，若满足制成的笔管数量与笔套数量正好配套，即“笔管数量等于笔套数量”；若设用于制作笔管的短竹数为根，用于制作笔套的短竹数为根，结合题意，列出方程；若设用于制作笔套的短竹数为y根，用于制作笔管的短竹数为根，结合题意，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：若设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：； 若设用于制作笔套的短竹数为y根，则能制成个笔套，用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：． 故选：B． 【典例02】（2026·浙江衢州·一模）《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百．问人数，金价各几何？其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400钱；每人出100钱，则多出500钱．则合伙买金人共有________人． 【答案】19 【分析】根据题意可知：人数人数，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设合伙买金人数共有x人，由题意可得： ， 解得， 即合伙买金人数共有19人． 方法透视 考向解读 1、配套问题：利用“1个笔管与1个笔套是一套”建立等量关系，如 。 2、盈亏问题：利用“总量不变”建立方程，如 。 3、比例问题：利用“实际重量与读数比例恒定”建立方程，如。 4、图形拼接问题：利用周长比或线段和差关系列方程。 方法技能 一元一次方程解应用，审题找等量是关键； 设列解答四步走，单位检验不遗漏。 变式演练 【变式01】（2025·浙江湖州·二模）在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重量的读数为，然后小浦在书上面又放上质量为的砝码，显示重量的读数为．根据实验数据可以发现，这一叠书的实际重量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是比例关系的运用、一元一次方程的实际应用，解题关键是理解物品实际重量与电子称读数总保持一定比例的关系． 设这叠书的实际重量为，由物品实际重量与电子称读数总保持一定比例列出方程求解即可． 【详解】解：设这叠书的实际重量为， 由题意得：， 解得， 即这叠书的实际重量为． 故选：． 【变式02】（2023·浙江台州·模拟预测）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），有n支球队参加比赛，若赛前有一支球队因故放弃比赛，主办方发现最后比赛总场次减少了4场，则______． 【答案】5 【分析】根据单循环赛制的总场次计算方法，利用原计划总场次减去实际总场次等于减少的4场，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：原计划有支球队参赛，则原计划总场次为：， 赛前一支球队退出，实际参赛球队为支，实际总场次为：， 可知减少场次为：， ∵总场次减少了场， ∴， 解得． 【变式03】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形，已知，最小正方形的边长为．    (1)用的代数式表示，的长； (2)若阴影部分的周长与长方形的周长比为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）由线段的和差关系可求解； （2）先分别求出阴影部分的周长与长方形的周长，列出方程可求解． 【详解】（1）解：；； （2）长方形的周长， 阴影部分的周长． 阴影部分的周长与长方形的周长比为， ， 解得， 答：的值为3． 题型02 二元一次方程组的应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江丽水·一模）龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 【典例02】（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 【答案】 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：，整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 方法透视 考向解读 1、根据题意找出两个等量关系，列出二元一次方程组，如。 2、利用方程组解决配套、分配、行程等问题。 3、通过整体思想（如 (x + y)）简化求解过程。 方法技能 二元一次方程解应用，两个等量定方程组； 代入加减消元快，回代检验才完整。 变式演练 【变式01】（2026·浙江嘉兴·一模）某实践小组想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出壹元硬币和伍角硬币的质量．于是，他们找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录．请帮该实践小组算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克，则和满足的方程组是（   ） 记录 天平左边 天平右边 状态 记录一 5枚壹元硬币，1个10克的砝码 10枚伍角硬币 平衡 记录二 15枚壹元硬币 20枚伍角硬币，1个10克的砝码 平衡 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格记录，列出方程组即可. 【详解】解：设一枚壹元硬币的质量为克，一枚伍角硬币的质量为克， 由题意，得. 【变式02】（2024·浙江台州·模拟预测）某乐高创客小组自制了一台“滑轮塔吊”装置，如图，是平衡杆，点O处装有滑轮组，以的速度在平衡杆上滑动．现要将置于地面且距离障碍物的物体A搬运到障碍物后的置物台上，障碍物高为，置物台高为，两者宽度均为．在搬运过程中，滑轮滑动的同时，吊绳匀速收放．（物体体积、装置和滑轮组重力及摩擦力均忽略不计）    （1）物体在上升过程中，随着滑轮组向右滑动，吊绳匀速收起，若物体恰好能越过障碍物，则此时装置的收绳速度为_______； （2）在（1）的基础上，物体缓缓上升，在到达某一高度后装置开始放绳，通过调整放绳速度，使物体顺利运至置物台．在搬运过程中，若物体恰好能以最小速度运至置物台，物体离地面最大高度为_______． 【答案】 3 50 【分析】本题考查了有理数的加减法、除法，以及二元一次方程组，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得滑轮组向右滑动的距离为，时间为秒，吊绳匀速收起，障碍物高为，故装置的收绳速度为： ； （2）设从点A到最高点的时间为，则，设为两个矩形的顶点，由题意得，只有贴着障碍物右侧P点滑下来，滑到平台的最右侧Q点，物体恰好能以最小速度运至置物台，从点P到点Q分析，水平方向是匀速的，即，从点P到点Q，即水平方向从点C到点E，距离为，则时间为，而竖直方向的时间也为，点P与点Q的竖直高度差为，故从点P到点Q的竖直速度为，设从点F到点Q的时间为，则竖直下落的高度，由，而水平方向从点A到点E的距离为，，故，可得，解得：，故． 【详解】解：（1）根据题意得滑轮组向右滑动的距离为， 时间为秒， 吊绳匀速收起，障碍物高为， ∴装置的收绳速度为： ， 故答案为：3； （2）由（1），设从点A到最高点的时间为，则，如图：    设为两个矩形的顶点，由题意得，只有贴着障碍物右侧P点滑下来，滑到平台的最右侧Q点，物体恰好能以最小速度运至置物台， ∵从点P到点Q分析，水平方向是匀速的，即，从点P到点Q，即水平方向从点C到点E，距离为，则时间为，而竖直方向的时间也为， ∵点P与点Q的竖直高度差为， ∴从点P到点Q的竖直速度为， 设从点F到点Q的时间为， ∴竖直下落的高度， ∵， ∵水平方向从点A到点E的距离为， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：50． 【变式03】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分 a b 100 无 积分可以兑换部分商品，具体如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 800 1500 2000 1000 已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分． (1)求a，b的值； (2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？ 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． 题型03 一元二次方程的应用 典例引领 【典例01】（2025·浙江·模拟预测）随着生产技术的进步，某工厂生产某种硬件设备的成本连年下降，两年前生产1件该硬件设备的成本为100元，现在生产1件该硬件设备的成本为80元．设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用现在生产1件该硬件设备的成本两年前生产1件该硬件设备的成本该硬件设备的年平均下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设生产该硬件设备的成本年平均下降率为x，根据题意得： 故选：B． 【典例02】（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 方法透视 考向解读 1、增长率问题：，其中 (a) 为初始量，(b) 为增长后量，(x) 为增长率。 2、几何图形问题：利用面积或勾股定理建立方程，如。 3、利润问题：利用“单价 × 数量 = 总价”列方程。 方法技能 一元二次方程解应用，增长几何是常考； 公式配方法和因式，验根取舍要记牢。 变式演练 【变式01】（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（　　） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于的方程，并用整体代入思想解答是解题关键．欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为，设，，在中，利用勾股定理建立关于的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，设，，则，， ， 在中，，即， 整理得：， 矩形的面积为：， 矩形的面积为， 一定能求出矩形面积的是与的积， 故选：A． 【变式02】（2024·浙江嘉兴·三模）随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计某市2024年4月份累计租车6500人次，租车量逐月增加，预计到6月份租车量达7600人次，求平均每个月的增长率．若设平均每月增长率为x，根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得月份租车量为次，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 【变式03】（2023·浙江金华·二模）今年某百货公司“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额为360万元，第五天的营业额是前四天总营业额的． (1)求该百货公司今年“五一黄金周”这五天的总营业额； (2)今年，该百货公司2月份的营业额为300万元，3、4月份营业额的月增长率相同，“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，求该百货公司今年3、4月份营业额的月增长率． 【答案】(1)432万元 (2) 【分析】（1）利用该百货公司今年“五一黄金周”前四天的总营业额乘以，求得第五天的营业额，再利用前四天的总营业额加上第五天的营业额即可求解； （2）设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x，根据“五一黄金周”这五天的总营业额与4月份的营业额相等，即可得出关于x的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）（元）， 答：今年“五一黄金周”这五天的总营业额为432万元； （2）解：设百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为x， 根据题意，得， 解这个方程，得（不合题意，舍去），， 经检验，满足题意． 答：百货公司今年3、4月份营业额的月增长率为． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，明确题意，找出等量关系是解题的关键． 题型04 分式方程的应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 【典例02】（2024·浙江·一模）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价． 【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用等知识点，首先设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是元，即可根据题意列出方程，解此分式方程即可求得答案，注意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：第一家网店每支签字笔的价格是10元． 方法透视 考向解读 1、工程问题：利用“工作量 ÷ 效率 = 时间”列方程，如。 2、行程问题：利用“路程 ÷ 速度 = 时间”列方程。 3、销售问题：利用“总价 ÷ 单价 = 数量”列方程，如。 4、注意：解分式方程后必须验根，确保分母不为0。 方法技能 分式方程解应用，工作行程常相逢； 去分母化整式解，验根勿忘才成功。 变式演练 【变式01】（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 【变式02】（2025·浙江丽水·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文是：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为天，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为：． 【变式03】（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 题型05 不等式与不等式组的应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为.，根据题意列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为， ∵分割销售的总额不少于整鱼销售额， ∴可得不等式 ， ∵，两边同时除以得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为． 【典例02】（2024·浙江杭州·一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元．从这个月开始，小健每月存18元零花钱，小康每月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康，可列不等式为_____________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，列式即可． 本题考查了不等式的性质，正确理解题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】根据题意，得． 故答案为：． 方法透视 考向 解读 1、至少、至多问题：根据“不少于”“不超过”列不等式，如。 2、范围问题：利用“未溢出/有溢出”列不等式组，如。 3、整数解问题：结合实际情况取整数解。 方法技能 不等式解应用题，“至少”“最多”定不等； 负乘变号别忘记，整数解要合实际。 变式演练 【变式01】（2023·浙江·模拟预测）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为__________． 【答案】 【分析】设一楼有间房，则二楼有间房，再根据题意可列出不等式组，求得解集即可． 【详解】解：设一楼有间房，则二楼有间房， 根据题意有：，解得：， 且，即， 所以， 又因为：为正整数，因此． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要结合数轴来判断． 【变式02】（2024·浙江台州·二模）如图，小明想利用“排水法估计一个玻璃球的体积”，现将大小规格相同的玻璃球逐个放入盛有水的长方体容器中，已知该容器的最大容积为，当放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出，求一个玻璃球体积的取值范围． 【答案】大于小于等于 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找到不等关系是解题的关键．根据“放入第24个玻璃球时，容器中水未溢出，但放入第25个玻璃球时，容器中水有溢出”列不等式组求解． 【详解】解：设一个玻璃球的体积为， 则：， 解得：， 答：一个玻璃球体积的取值范围为大于小于等于． 【变式03】（2025·浙江·模拟预测）把26个完全相同的玻璃球分别装在五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个．用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响．请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了不等式组的应用，先充分理解题意，再列出不等式组，通过比较得，，再整理进一步分析得，然后推出的值是4或3或2或1个，因为，故的值为4或3或2个，则或，进一步由式可知或9个，即可作答． 【详解】解：设五个袋子里玻璃球的数量分别为个， 由题意可得： 比较式可知， 比较式可知， 由，，式可得 由上面的三个式子可知 ∵，且每个袋子里的球数不同且至少1个 ∴当时，则或1； ∴当时，则或1； ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； ∴当时，则； 综上或1 进一步由式可知 ∵为正整数 ∴或9个， 当时，则或，此时， 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为； 当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为； 当时，则或，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为； 当时，则或，此时， 则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为； 综上：符合题意的组合是、、、 题型06 方程与不等式综合应用 典例引领 【典例01】（2026·浙江衢州·一模）如图，将某种规格的长方形纸板按照图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒． 现有此种规格的长方形纸板共m张．设按图1方法裁剪用了x张长方形纸板，剩余的纸板按图2方法裁剪．部分数量关系如下表： 裁剪方法纸板数量（张） 图1所示方法 图2所示方法 裁得的纸板数量 小长方形纸板数 正方形纸板数 y (1)①若裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，用含x的代数式表示y； ②当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？列方程解决问题； (2)当时，最多能做多少个无盖长方体纸盒？请直接写出答案． 【答案】(1)①②6 (2)13 【分析】（1）①根据长方形和正方形的纸板比为，即可列式求解． ②将代入，结合长方形和正方形的纸板比为，列出一元一次方程，即可求解． （2）设能做个无盖长方体纸盒，根据题意列一元一次不等式，再验证是否满足要求即可． 【详解】（1）解：①∵由题意可知，小长方形纸板有块，正方形纸板有块， ∴， ∴； ②当时， 依题意得：， 解得：， ∴图1方法用9张纸板，图2方法用4张纸板． ∴（个）， 答：最多能做6个无盖长方体纸盒； （2）解：设能做个无盖长方体纸盒，则需要小长方形纸板块，正方形纸板块， ∴按图1方法裁剪张，按图2方法裁剪张， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为13， 检验，当时，需要小长方形纸板块，正方形纸板块， 取20张纸板按图1方法裁剪，得到小长方形纸板40块；取9张纸板按图2方法裁剪，得到小长方形纸板27块，满足条件， 答：最多能做13个无盖长方体纸盒． 【典例02】（2025·浙江杭州·模拟预测）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，则共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，则共需要资金4120元． (1)每个电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？ (2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，求最多能购进多少台液晶显示器． 【答案】(1)每个电脑机箱的进价是60元，每个液晶显示器的进价是800元 (2)最多能购进26台液晶显示器 【分析】此题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）根据题意得出等量关系列出方程组，即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价； （2）根据题意列不等式计算即可求解． 【详解】（1）解：设每个电脑机箱的进价是元，每个液晶显示器的进价是元． 根据题意，得， 解得， 答：每个电脑机箱的进价是60元，每个液晶显示器的进价是800元； （2）解：设购进台显示器， 根据题意得：， 解得． 答：最多能购进26台液晶显示器． 方法透视 考向解读 1、方程与不等式结合：先列方程求参数，再列不等式求范围，如与。 2、方案设计问题：根据条件列出不等式组，确定最优方案。 3、利润最值问题：利用“总利润 = 单利 × 销量”结合不等式求最值。 方法技能 新方程不等综合用，先列方程后列不等； 方案择优看条件，最值往往在边界。 变式演练 【变式01】（2025·浙江杭州·模拟预测）和兴食品加工厂接到一批600袋食品的订单，决定由甲、乙两组共同完成，甲组每天加工的袋数是乙组每天加工的袋数的2倍，乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天． (1)求甲、乙两组每天各能加工多少袋食品； (2)两组人员同时开工3天后，临时又增加了90袋的任务，为了整个工期不超过7天，两组人员从第4天起各自提高了工作效率，甲组的效率仍是乙组效率的2倍，求乙组提高效率后每天至少加工多少袋食品？ 【答案】(1)甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品 (2)乙组提高效率后每天至少加工35袋食品 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙组每天能加工袋食品，则甲组每天能加工袋食品，根据“乙组单独完成任务比甲组单独完成任务多用10天”建立分式方程求解； （2）设乙组提高效率后每天加工袋食品，根据题意得到，再解不等式求解． 【详解】（1）解：设乙组每天能加工袋食品，则甲组每天能加工袋食品． 由题意，得． 解得． 经检验是分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲组每天能加工60袋食品，乙组每天能加工30袋食品． （2）解：设乙组提高效率后每天加工袋食品． 由题意，得， 解得， 答：乙组提高效率后每天至少加工35袋食品． 【变式02】（2024·浙江·三模）如图，将若干条完全相同的塑料板凳叠放成一摞．如图1，测得一条板凳的高度为；如图2，测得五条板凳的总高度为． (1)求六条板凳叠放成一摞的总高度． (2)运送时，板凳总高度限制为不超过，则运送时最多可以将几条板凳叠放成一摞？ 【答案】(1)六条板凳总高度为 (2)运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设增加一条板凳将增高，根据五条板凳的总高度为列得，求出一条板凳的高度即可求出六条板凳的高度； （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞，列不等式求解． 【详解】（1）设增加一条板凳将增高，则，解得； 六条板凳总高度：. 答：六条板凳总高度为. （2）设运送时最多可以将y条板凳叠放成一摞， ；解得． 答：运送时最多可以将11条板凳叠放成一摞． 【变式03】（2023·浙江湖州·模拟预测）今年以来，“新冠”疫情形势严峻，在全国范围内呈多地散点爆发的态势，经济形势不容乐观．湖州某地一水果商店积极开展应对措施，实行线上线下同步销售．已知该商店中某热销水果线上销售和线下销售的销售额相同；线上销售，线下销售，共获得元． (1)求该水果线上销售和线下销售的单价分别为每千克多少元？ (2)若该水果月份的进价为每千克元，线上和线下共销售． ①若要使月份该水果的总销售利润达到元，则该水果线上销售了多少千克？ ②由于疫情形势严峻，运输受阻，月份该水果的进价提高了元，线下销售的单价不变，线上销售单价同步提高元，总销售量下降了%，线下销售量至少应达到多少千克才能使销售毛利润不低于？（） 【答案】(1)该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元 (2)①该水果线上销售了千克；②线下销售量至少应达到千克才能使销售毛利润不低于 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元，依题意列出二元一次方程组，解方程即可求解． （2）①设该水果线上销售了千克，则线下销售了千克，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设线下销售量应达到千克才能使销售毛利润不低于，依题意得不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元，依题意得， 解得： 答：该水果线上销售单价为每千克元，线下销售的单价为元； （2）①设该水果线上销售了千克，则线下销售了千克，根据题意得， 解得： 答：该水果线上销售了千克； ②设线下销售量应达到千克才能使销售毛利润不低于，依题意得， 解得： ∴的最小值为 答：线下销售量至少应达到千克才能使销售毛利润不低于 题●型●训●练 1．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 2．（2026·浙江·一模）我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1枚放到黄金这边（互换1枚），这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少？设黄金一枚重两，白银一枚重两，根据题意，下列方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意的两个等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：由黄金9枚和白银11枚的重量相等，可列方程：， 互换1枚后，天平一边为8枚黄金和1枚白银，另一边为1枚黄金和10枚白银， ∴根据题意，可列方程：， ∴方程组为． 3．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设张技师每小时做手工艺品件，张技师比李技师每小时少做件， ∴李技师每小时做件， ∵工作时间 ， ∴张技师做件的时间为，李技师做件的时间为， 又∵张技师做件与李技师做件所用时间相等， ∴可得方程 ． 4．（2026·浙江湖州·一模）2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目的数量关系，结合“不低于”的含义列出不等式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得． 5．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，在矩形土地上修建矩形菜地，并沿菜地四周修建宽度相等的环形小路．若小路宽，则菜地的面积为；若小路宽，则菜地的面积为．若菜地的面积为，则小路的宽度为______． 【答案】/ 【分析】设所求的小路的宽度为，矩形土地的长为，宽为，先求出的值，再根据面积关系建立一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设所求的小路的宽度为，矩形土地的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 将和均看作整体，化简得：， 由②得：，代入①得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； 当时，，符合题设； 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以小路的宽度为． 6．（2025·浙江杭州·二模）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为，再根据整个挂图的长与宽之比为列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 依题意得：或． 故答案为：或． 7．（2025·浙江杭州·二模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的.若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程组_____（结果可以不化简）． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据等量关系列出方程组是解题的关键；由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得方程；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：甲原有钱，乙原有钱， 由题意得：； 故答案为：． 8．（2025·浙江杭州·模拟预测）某商店经销一种产品，4月份的销售额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种产品打9折销售，结果销售量增加20件，销售额增加700元． (1)求该产品4月份的销售价格； (2)若5月份每件产品盈利，6月份以5月份的售价继续销售这种产品，且在这3个月的销售利润不低于2450元，求6月份至少销售该产品多少件． 【答案】(1)该产品4月份的销售价格为每件50元 (2)6月份至少销售该产品50件 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该产品4月份的销售价格为每件元，分别表示出销售量，根据“结果销售量增加20件”建立方程求解； （2）设6月份销售该产品件．先求该产品的进价为元，5、6月份的售价为元，4月份销售产品的件数为件，则5月份销售60件，由题意得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设该产品4月份的销售价格为每件元． 由题意，得． 解得． 经检验是分式方程的解，且符合题意． 答：该产品4月份的销售价格为每件50元． （2）解：设6月份销售该产品件． 该产品的进价为（元）， 5、6月份的售价为（元）， 4月份销售产品的件数为（件）， 则5月份销售60件， 由题意，得． 解得． 答：6月份至少销售该产品50件． 9．（2025·浙江温州·二模）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 【答案】(1)90转/分钟 (2)齿之间（包含边界值） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据公式列出分式方程是解题的关键. （1）先求出，再根据公式列出分式方程求解即可； （2）上坡的踩踏转速为转/分钟，再根据公式 【详解】（1）解：∵， 又∵，米/秒， ∴， ∴（转/分钟）， 答：小光平路骑行时的踩踏转速为90转/分钟. （2）解：∵上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟， ∴上坡的踩踏转速为转/分钟， ∵， 当时，， 解得：， ∴后链轮齿数， 当时，， 解得， ∴后链轮齿数， ∴上坡的后链轮齿数的设定范围为齿之间（包含边界值）. 10．（2025·浙江宁波·二模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． (1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】(1)每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； (2)该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 11．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 价格（元） (1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 【答案】(1)派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品 (2)当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设甲型货车辆，乙型货车辆，根据题意列出方程组即可求解； （2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，根据题意列不等式组求出的范围，再计算费用即可． 【详解】（1）解：设甲型货车辆，乙型货车辆， 由题意得：， 解得：， 答：派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品； （2）设甲型货车辆，乙型货车为辆， 根据题意得：， 解得：， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 综上可知：当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低． 12．（2023·浙江衢州·模拟预测）常山“双柚汁”因为口感清新，营养价值丰富而深受市民的喜爱，某超市购进两种不同品牌的双柚汁，品牌总花费元，单价元箱，品牌总花费元，单价元箱，其中品牌双柚汁比品牌多箱． (1)求品牌购进的数量； (2)该超市分别以元和元的单价销售、两种品牌的双柚汁，在品牌售出一半，品牌售出后，超市决定加大销售力度，对品牌按买箱送箱捆绑销售，品牌每箱降价元销售； ①用含的代数式表示两种品牌的双柚汁全部售完后的销售额； ②若超市的总利润不低于元，求的最大值． 【答案】(1)100箱 (2)①元；②的最大值为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，能列出一元一次不等式是解题的关键． （1）根据题意，列分式方程解答即可； （2）①根据题意品牌售出一半，品牌售出前后，、品牌销售额加起即可； ②根据超市的总利润不低于元，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，品牌购进箱，品牌购进箱， 品牌双柚汁比品牌多箱， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 品牌购进箱； （2）解：①由（1）可知，品牌购进箱，品牌购箱， 品牌售出一半，即箱，每箱元共销售元，品牌售出即箱，每箱元共销售元， 品牌按买箱送箱， 剩余箱可凑个箱送箱，共销售元， 品牌每箱降价元销售，即每箱售价元， 剩余产品共销售元， 全部售完后的销售额元； ②由题意得： 解得：， 的最大值为10元． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $