甘肃定西市渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试卷高二数学

**基本信息** 高二数学期中卷以解三角形、AI模型统计对比、立体几何等核心知识为载体，通过基础选择与综合解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数、向量|基础概念辨析，如集合运算、复数虚部| |多选题|3/18|解三角形、圆锥、函数性质|多选项分层考查，如三角形形状判断、圆锥侧面积| |填空题|3/15|三角形面积、二项式定理|限定条件下最值求解，如面积最大值| |解答题|5/77|解三角形、统计（列联表）、立体几何、解析几何、导数|AI情境统计分析、立体几何面面垂直证明、导数零点证明，体现数学建模与逻辑推理|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 9 B A 0 D C ABD ACD 题号 11 答案 ABD 12. 2525 33 13.-160 14.-6 15.1D①LABC=3；AB⊥BD,∠DBC=27-T刀 326 CD BD 2 :BD=2,CD=V2,:在△BDC中，由正弦定理得 sin∠DBC-sinZC'即s πsin∠C, sin- 6 解得sin∠C=V2 2 在48C申，∠48C=行，：∠C为锐角： 0=年A=-5子 2πππ 元元V6-2 所以sin∠A=sinT=sinT-=sincos刀-cossin 12 46 46 464 AD BD 在△ABD中，由正弦定理得 sin∠ABD sin∠A 所以AD BD·sin∠ABD 2 sin∠A √6-√2 =2(6+2) 4 mA=音4B180.802 tan- ππ ~tan 1- 所以tan∠A=tan = 4 6三 46)厂1+tantan 3。=2-5, 4 6 1+1x ∴.tan∠A= BD2-V3,得1B2 AB 2-522+) ∠BDC=5+=7,sin∠BDC=sing+g 12212 43 -sin 4 3 43 4 在△BCD中，由正弦定理得 答案第1页，共2页 BC DC C in sin∠8 DC"sina∠DBC,即s sinπ，所以BC=5+1 12 6 所以5c-488c24Bc-N5l小x2+k5.9+s5 2 2 AD BD (2):AB⊥BD,BD=2,:在△ABD中，由正弦定理得 sin∠4BD sin.∠A' AD=BD.sin∠ABD_2 sin∠A sinA'得sin∠4=2 AD ∠DBC-名，D=2,:在BDC中，由正弦定理得 CD BD sin∠OBC sin.∠Cc' CD=BD:sin∠DBC2xsinπ "6= 1,得sin∠C=1 CD sinC sinC sin∠C 在ABC中，L4ABC=3,得ZA+ZC=3,∠C=④， 3 所以4+-2引sn∠4+sin∠C)=2sin∠A+2sin（G∠A=sin∠4+5cos2A AD CD 4引4号m4+到 16.(1)首先补全2×2列联表： 有效生成 无效生成 合计 模型A 36 4 40 模型B 28 12 40 合计 64 16 80 根据频率估计概率，模型A共生成40次，其中有效生成36次， 因此随机生成1次为有效生成的频率为了=6-〉=09， 4010 根据频率估计概率，利用模型A随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率0.9 (2)零假设H。:文本生成效果与模型类型无关 代入卡方公式计算，令a=36,b=4,c=28,d=12,n=80, 答案第1页，共2页 n(ad-be)2 80×(36x12-4×28)280×3202 xi=a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =5 40×40×64×16 162×64×100 因为小概率值=0.05对应的临界值x5=3.841,由于x2=5>3.841,因此H不成立 结论：依据=0.05的独立性检验，认为文本生成效果与模型类型有关 17.(1)因为PC⊥底面ABC,BDC底面ABC,所以PC⊥BD, 又AB=BC,D是AC中点，故BD⊥AC, 由于PCOAC=C,PC,ACc平面PAC,因此BD⊥平面PAC, 因为CEc平面PAC,所以BD⊥CE, 又因为CE⊥PD,PDOBD=D,PD,BDC平面PBD,所以CE⊥平面PBD, 又因为CEc平面CEF,所以平面CEF⊥平面PBD; (2) 以B为坐标原点，AB,BC所在直线为x,y轴，过B作平面ABC的垂线Bz为z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系 AB=BC=PC=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A0,2,0),P(2,0,2),D1,1,0), 即CD=(-1,1,0),DP=(1,-1,2,设DE=DP=(2,-入，22)， 则CE=CD+DE=(-1,1,0)+(2,-2,22)=(-1+入，1-λ，22)， 因为CE⊥PD,所以 CE·DP=-1+九，1-22九L-山2=0→-1+元-1+元+4=0→入=3}) (222Y 即正-3 因为F在BD上，所以可设F(t,t,0),t∈[0，]，则CF=(t-2,1,0), 由图可知平面PBC的法向量为m=(0,1,0), 答案第1页，共2页 设平面CEF的法向量i=(x,y,z, CE-i=-2x+22 则 +后y+写2=0 ,令x=-t,可得i=（-1,t-2,2(1-), CF.n=(t-2)x+y=0 设平面CEF与平面PBC夹角为O, 则cos0= m.n t-2 2-t 同-2+1-22+41-62-12+8' 2-t 1 令2-1=5，则os0= 62-121+8V6(2-s2-12(2-s)+8 6s2-12s+8, -品+6=日》6-- (s22s 当时，即-2-s=号0小m 3 54 16 所以(cos0m=5=3， V2 即平面CEF与平面PBC夹角的余弦值的最大值为y6 18.(1)设P(x,y)(x≠±2)，则Q(-x,-y) 直线AP的斜率kp=y y x2”直线A。的室k。大士2-x2 如子有克2。子斯月 一=- x2-44 整理得4：-3-4，即3x+4=12,故号+号-1x≠2，即y*0) 43 所以E的方程为父+上=10y≠0) 43 (2)设Pmm(n≠0)在E上，则m+ =1. 43 点S与P关于y轴对称，故S(-m,n) 直线P的方程为y=42+2,令0，斜y m+2,所以M0, 2n ”m+2 2n 2n 直线S的方程为y2”+2),令=0，得)2-m -,所以N0, 2-m 设B(p,O),如图所示：tan∠OBM= 2n tan∠ONB= p(2-m) pm+2) 2n 答案第1页，共2页 由∠OBM=∠ONB,得 2n=p(2-m) 即4n2=p2(4-m2) p(m+2)2n 由+-1，得m=34-m） 4 3 4 代入符434-m】=p4-m）,即34-m)=p4-m) 4 因为m≠±2，所以p2=3,即p=±V3 故存在点B,坐标为V5,0或(-V3,0) A 19.(1)令fx=0→a=2 exlnx, g(x)=2exlnx(x>0),g'(x)=2e(Inx+1), 因为y=g(x)在(0，+w上单调递增，由g'(x=0得x=, e 所以gx)在0，单调递减， 仁+切单调递增 y=2exlnx y=a A …2 当x→0时，gx)→0， 当xe(0,1)时，gx<0,xe(1,+o)时gx)>0, 作出y=g(x)的图象和直线y=a,其中y=g(x)的图象与x轴的交点是B(I,0),极小值点 62. 如图我们有：当a∈(-2,0)时，y=∫(x)有两个零点 答案第1页，共2页 (2)①由1)可知：设0<x<1<x,<1, e 要证明x+5>2,只要证明5>2-X, 2 e e 2 又因为x2,二-x均在函数gx)的单调递增区间上， e 2 故只需证明：8(5>8。 又因为gx2)=gx)=a, 故只证明：8-任小>0， 记-径小 p到=+&--2+n尽-小2 层刃2 所以p()在0上单调递减，p(>日)=0， e 2 所以x+x2> e ②过O,A两点的直线方程为y=-2ex, 设直线0A与直线y=a的交点的横坐标为x'=- 2e y y=2exlnx xxxx2 B y-a 2 令hx=-2ex, 则xe（03时，8到-=2elnr+2er=2er+小<0， 所以gx<hx),故有 答案第1页，共2页 h(x)>g(x)=hx)又因为h(x)单调递减，x<x', 类似的过A,B的直线方程为y= 2e（x-),设直线AB与直线y=a的交点的横坐标为 e-1 x2=1+9 a(e-1) 2e 令m2x- G(x)=g(x)-m(x)=2exlnx-- c日=G0=0,G=2ax+1e在上单调递塔， G(-.c-1-0. 由悵的存在性定理知，3，∈仁小，G=0。 所以G在怎单调道减，在上单调端增。 所以当时有c<0,即到Ka m(x2)>g(x2)=m(x,又m(x单调递增，x2>x2', 由得k->西-=1+号 x2>x2 2 答案第1页，共2页 2025-2026年第二学期甘肃省渭源县第四高级中学期中试卷学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高二 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 3．设，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．是等比数列，且， ，则（ ） A．12 B．24 C．30 D．32 6．已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若（），则（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分 ，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．在中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.下列说法正确的是（    ） A．是直角三角形 B．若是的中点，则 C．若，为的中点，则的最大值为 D．若，则 10．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为 D．圆锥的外接球与内切球半径比值为 11．已知函数，是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 三、填空题:本题共3小题，每题5分，共15分 12．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 13．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为________.（用数字作答） 14．若的展开式中的系数为30，则__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15(13分)．如图，在中，为边上一点，且. (1)若. （i）求； （ii）求的面积； (2)求的取值范围. 16（15分）．人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取两种模型各次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据如下表. 有效生成 无效生成 合计 模型 模型 合计 (1)完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型随机生成次文本，求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. 附 17（15分）．如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18（17分）．在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 19（17分）．已知函数 (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，设函数的两个零点分别为. ①证明： ②证明 第1页共4页 第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $