卷1 第二十五章 一元二次方程 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过“上分技巧”总结判别式与根的关系、根与系数关系转化方法，结合选择、填空、解答题构建知识网络，帮助学生形成完整知识体系。 其亮点在于融合实际应用、传统文化与规律探究，如药品成本下降率问题培养模型意识，赵爽几何解法展现数学眼光，分基础到难题实现分层复习。通过错题解析（如甲同学漏解）和变式训练，提升运算能力与推理意识，助力教师精准教学，巩固知识。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 卷1 第二十五章综合检测卷 考查内容：一元二次方程 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间：90 min 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2026天津南开区月考]若一元二次方程 化成一般形式后二次项的系 数是2，则一次项的系数是( ) B A.3 B. C.5 D. 【解析】，，一次项系数是 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 2.[2026山西大同一中月考]一元二次方程 可转化为两个一元一次方 程，其中一个是 ，则另一个是( ) D A. B. C. D. 【解析】两边直接开平方可得或 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 3.[2026广东佛山三水区月考]关于的一元二次方程 根的情况 为( ) C A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法判断 【解析】 ， ， 方 程无实数根.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 上分技巧 一元二次方程根的情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2026河北石家庄月考]某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程 ，解答过程如下： 甲 乙 两边同时除以 ，得 . 移项，得， ， 或，解得， . 下列判断正确的是( ) C A.甲正确 B.甲和乙都正确 C.乙正确 D.甲和乙都不正确 【解析】有可能为0，而0不能作除数， 甲的解答过程错误，方程两边不能 同时除以 ，这样会漏解；乙利用因式分解法解一元二次方程，移项，得 ，，或 ，解得 ，， 乙的解答过程正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2026河南许昌月考]一元二次方程的两根为，，则 的 值为( ) A A.3 B. C. D. 【解析】一元二次方程的两根为，， ， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分技巧 根与系数关系的应用 求与一元二次方程两根相关的代数式的值时，一般要将代数式转化为“两根和”或 “两根积”的形式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 6.[2026山东威海环翠区月考]若关于 的一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】，，， ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 （第7题图） 7.回归教材 [2026河南郑州月考，中]如图，在五角星 中， ，，，，分别是边与边的交点，若 且 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】设，则 . ，，，整理得 ， 解得，（舍去），的值为 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.新考法 [2026贵州毕节月考，中]2022年生产1吨药品的成本是5 000元，随着生 产技术的进步，2024年生产1吨药品的成本是3 200元，设这种药品生产成本的年 平均下降率为 ，下列说法错误的是( ) D A. 年这种药品生产成本的年平均下降额是900元 B.2023年生产1吨这种药品的成本为 元 C. D.按照这种下降速度，2025年生产1吨这种药品的成本为2 300元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】这种药品生产成本的年平均下降率为 ，2022年生产1吨药品的成本是 5 000元，年生产1吨这种药品的成本为 元，故B不符合题意； 年生产1吨药品的成本是3 200元， ，解得 ，（不符合题意，舍去）， 这种药品生产成本的年平均下 降率为，故C不符合题意； 年这种药品生产成本的年平均下降额是 （元），故A不符合题意；按照这种下降速度，2025年生 产1吨这种药品的成本为 （元），故D符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第9题图） 9.传统文化 [2026福建漳州月考，中]我国古代数学家赵爽在其 所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何 解法，以方程，即 为例说明，如图， 大正方形的面积是 ，同时它又等于四个矩形的面积 加上中间小正方形的面积，即 ，因此 C A. B. C. D. ，所以 .在下面四个选项中（每个小正方形的边长 为1），能正确说明方程 的解法的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】方程，即 .如图，中间小正方形的边长为 ，其面积为9， 大正方形的面积为 ，其边长为7， ，因此，C选 项所表示的图形符合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 10.规律探究 [2026北京人大附中月考，难]如图是由同样大小的圆按一定规律排 列组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形 中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆， ，按此规律排列下去，现已知第 个图形中圆的个数是134，则 ( ) B 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 A.10 B.11 C.12 D.13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】第1个图形中一共有 （个）圆，第2个图形中一共有 （个）圆，第3个图形中一共有 （个）圆， 第4个图形中一共有（个）圆，第 个图形中圆的个数是 ，，解得（舍去）， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.[2026安徽黄山月考]已知是一元二次方程，则 ____. 【解析】是一元二次方程， 且 ，解得.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 上分警示 一元二次方程的系数 注意一元二次方程的二次项系数不能为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 12.[2026吉林长春月考]如果一元二次方程 配方后得到 ，那么 _____. 【解析】根据题意，得可变形为， .故答 案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13.教材新增 [2026河南郑州月考]若一个多边形的对角线条数恰好为边数的2倍， 则这个多边形的边数为___. 7 【解析】设这个多边形的边数为.由题意得，解得或 （舍去）， 这个多边形的边数为7，故答案为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 14.[2026山东烟台十中月考，中]在解一元二次方程 时，小明看错 了一次项系数，得到的解为，；小颖看错了常数项 ，得到的解 为， .请你写出正确的一元二次方程：_______________. 【解析】根据题意得，，解得， ，所以正 确的一元二次方程为.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 15.[2026山西朔州月考，中]如图，这是2025年4 月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式 圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大 的数的乘积为153，则这个最小数为___. 9 【解析】设最小数为，则最大数为 .根据 题意，得 ，整理，得 ，解得 （不符合题 意，舍去）， ，所以这个最小数为9.故答 案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 16.[2026广东惠州惠城区月考，难]如图所示， 中， ，，，点从点开始沿向 点 以的速度移动，点从点开始沿向点以 的速度 移动.，分别从，同时出发，设点，的移动时间为 ，则 ______时，线段将的面积分成 的两部分. 2或4 【解析】根据题意，知，.线段 将 的面积分成的两部分，或 ， 或 ，整理得 或（无实数根），解得，，即线段 将的面积分成的两部分时，移动时间为或 .故答案为2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17.[2026山东泰安月考]（8分）解方程： （1） .（4分） 【解】原方程可化为 ， ，…………（1分） ，…………（2分） 即 ，…………（3分） ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2） .（4分） 【解】原方程整理得 .…………（5分） ，…………（6分） ，…………（7分） ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.[2026北京西城区月考]（10分）已知关于 的方程 ， 为常数. （1）若方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围.（5分） 【解】 方程有两个不相等的实数根， ，…………（4分） 解得 ， 的取值范围是 .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 （2）小明认为该方程的根不会为0，他的观点正确吗？请说明理由.（5分） 【解】小明的观点正确.…………（6分） 理由如下： 当时， .…………（8分） ，方程没有实数根，关于 的方程 的根不会为0. …………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 19.[2026广东深圳中学月考]（10分）某水果店以640元的成本收购了某种水果 ，目前可以按12元/的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失 ，且 每个星期需支付各种费用16元，但同时每个星期价格会上涨2元/ . （1）设水果店储藏了个星期后出售，则售出的价格为__________元/ .（3分） 【解析】根据每个星期价格会上涨2元/，可得水果店储藏了 个星期后出售，售 出的价格为元/，故答案为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （2）水果店为了获取1 156元的利润，且为了减少浪费，应储藏几个星期后全部 出售？（7分） 【解】设储藏 个星期后全部出售.由题意可得 ，…………（7分） 解得， .…………（8分） 要减少浪费， .…………（9分） 答：应储藏11个星期后全部出售.…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 20.新定义 [2026陕西西安月考]（12分）定义：设， 是方程 的两个实数根，若满足 ，则称此类方程 为“和谐方程”.例如，方程 是“和谐方程”. （1）方程 ______“和谐方程”.（填“是”或“不是”）（3分） 不是 【解析】，.设方程的两个实数根为，，则 ， ，不满足 ，故不是“和谐方程”.故答案为不 是.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）［中］若方程是“和谐方程”，求 的值.（5分） 【解】， 方程有两 个实数根.设方程的两个实数根为，，则，. 方程 是“和谐方程”，， ， 即 ，…………（6分） 解得， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）［中］若方程 为“和谐方程”，直接写 出， 满足的数量关系.（4分） 【解】 .…………（12分） 设方程的两个实数根为， ， ，.方程为“和谐方程”， . ，，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.综合与实践 [2026福建福州仓山区月考]（12分）综合与实践：九年级课外小 组计划用两块长为，宽为 的长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：如图（1），设计无盖长方体收纳盒.在长方形硬纸板的四角剪去四个相同 的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 任务二：如图（2），设计有盖长方体收纳盒.在另一块长方形硬纸板的四角剪去四 个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和 两边恰好重合 且无重叠部分. 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【问题解决】 （1）［中］若任务一中设计的收纳盒的底面积为 ，求剪去的小正方形 的边长.（6分） 【解】设剪去的小正方形的边长为 . 由题意得 ，…………（4分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：剪去的小正方形的边长为 .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）［中］若任务二中设计的收纳盒的底面积为 ，求该收纳盒的高.（6分） 【解】设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为 ，宽为 ， ，…………（10分） 解得， （不符合题意，舍去）. 答：该收纳盒的高为 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 22.探究性问题 [2026江苏苏州中学月考]（14分）我们已经学习了一元二次方程 的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解.按照同样 的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解. ①换元法求解四次方程： . 设，则原方程可变为，解得， . 当时，即， ； 当时，即， . 原方程有四个根：，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 ②因式分解法求解三次方程： . 将其变形为 ， ， ， ， ， 或 ， 原方程有三个根：，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （1）仿照以上方法解方程： ①［中］ ；（6分） 【解】设，则原方程可变为，解得 ， . …………（4分） 当时，即 ，此时无解； 当时，即，， . 原方程有两个根：， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 ②［中］ .（6分） 【解】将原方程变形为， ， ， ， ，…………（10分） 或，原方程有三个根：， ， .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）［难］已知，且，则 的值为_______.（2分） 【解析】，，，，.故答案为 .…………（14分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 $