函数的对称性及应用课件-2027届高三数学一轮复习

第二章　函数的概念与基本初等函数 2.4　函数的对称性及应用 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 掌握一些函数图象的轴对称和中心对称公式和推论,会利用函数的对称性解决相关问题. 2023 2024 2025   新课标Ⅰ卷T18 全国一卷T4   新课标Ⅱ卷T11   必备知识　回顾 1.奇函数、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于____对称,偶函数的图象关于____对称. (2)若f(x+a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为直线______;若f(x+a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心为点_____. 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a+x),则函数的图象关于直线x=a对称;若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数的图象关于点______对称. 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于____对称. (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于____对称. (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于____对称. 知识梳理 原点 y轴 x=a (a,0) (a,0) y轴 x轴 原点 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(　 　) (2)函数y=f(x-1)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.(　 　) (3)若函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0,则f(x)的图象关于y轴对称.(　 　) (4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.(　 　) 基础检测 √ × × √ 必备知识 回顾 返回 2.函数f(x)=图象的对称中心为(　 　) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) 解析:因为f(x)=,由y= 的图象,且y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称.故选B. B 必备知识 回顾 返回 3.(一题多解)(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数y=f(x+2)-3是奇函数,且f(4)=2,则f(0)=__. 解析:方法一　∵y=f(x+2)-3是奇函数,∴f(-x+2)-3=-f(x+2)+3,令x=2,f(0)-3=-f(4)+3,得f(0)=4. 方法二　由y=f(x+2)-3是奇函数,得f(x)的图象关于点(2,3)对称,故f(0)+f(4)=6,即f(0)=4. 4 必备知识 回顾 返回 4.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=__. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),由f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5. 5 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 函数的对称性 【例1】　(一题多解)(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,求证:曲线y=f(x)是中心对称图形. 【证明】　证法一　易知x∈(0,2), f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=2a, 所以f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,即曲线y=f(x)是中心对称图形. 关键能力 提升 返回 证法二　f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2), f(1+x)+f(1-x)=ln+a(1+x)+b(1+x-1)3+ln+a(1-x)+b(1-x-1)3=ln+a(1+x)+bx3+ln+a(1-x)-bx3=ln 1+2a=2a, 因此f(x)的图象关于点(1,a)对称,所以曲线y=f(x)是中心对称图形. 关键能力 提升 返回 对称性的五个常用结论 (1)y=f(x+a)是偶函数⇔f(a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)y=f(x+a)是奇函数⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于点(a,0)对称. (3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. 特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 规律总结 关键能力 提升 返回 (4)若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称. 特别地,当b=0,即f(x)+f(2a-x)=0或f(a+x)+f(a-x)=0时,y=f(x)的图象关于点(a,0)对称. (5)函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 特别地,当a=b时,函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称. 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(2023·全国乙卷理节选)已知函数f(x)=ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在,求a,b;若不存在,说明理由. 解:假设存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)ln, 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x), 即(x+a)ln= (2b-x+a)ln= (x-2b-a)ln, 关键能力 提升 返回 于是当a=,b=-时, g(x)=,g(-1-x)= = =g(x), 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意. 故存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,且a=,b=-. 关键能力 提升 返回 考点2 对称性与周期性 【例2】　(2026·山东青岛一模)已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)为偶函数,且f(x)+f(4-x)=2,f(1)=2,则f(n)= (　 　) A.2 027 B.2 026 C.2 025 D.2 024 A 关键能力 提升 返回 【解析】　由f(2x+1)为偶函数,得f(2x+1)=f(-2x+1),即f(1+x)=f(1-x),则f(2-x)=f(x),因此f(2-x)+f(4-x)=2,即f(2+x)+f(x)=2,则f(4+x)+f(2+x)=2,于是f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的周期函数,由f(2+x)+f(x)=2,得f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,又f(2)+f(2)=2,所以f(2)=1,所以f(n)=506×4+f(1)+f(2)=2 027.故选A. 关键能力 提升 返回 1.若函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=a,x=b,则其周期T=2|b-a|. 2.若函数y=f(x)图象的对称中心为点(a,0),(b,0),则其周期T=2|b-a|. 3.若函数y=f(x)图象的对称轴为直线x=a,对称中心为点(b,0),则其周期T=4|b-a|. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(多选)(2025·河北石家庄三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)是定义在R上的奇函数,则 (　 　) A.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 B.f(x)是周期为2的函数 C.f(2 027)=0 D.f(i)=0 AC 关键能力 提升 返回 解析:对于A,因为f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以其图象关于原点对称,又f(x+1)的图象可看成是由函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;对于B,由f(x+1)是定义在R上的奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),即f(-x)=-f(x+2),又f(-x)=f(x),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的函数,故B错误;对于C,由f(-x)=-f(x+2),令x=-1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0,所以 f(2027)=f(506×4+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=0,故C正确;对于D,由f(x+2)+f(x)=0,则f(2)+f(4)=0,又f(1)=f(3)=0,f(x)是周期为4的函数,则f(i)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=f(2),而f(2)的值无法确定,故D错误.故选AC. 关键能力 提升 返回 考点3 周期性、单调性与对称性 【例3】　(多选)(2026·河南郑州模拟)已知函数f(x)定义在R上,且f(1+x)为偶函数,f(2+x3)为奇函数,当0<x≤1时,f(x)=2-x,则 (　 　) A.f(3)=1 B.f(11)<f(-20) C.-<f(x)≤-1的解集为 D.f(k)=1 BCD 关键能力 提升 返回 【解析】　因为f(1+x)为偶函数,所以f(1-x)=f(1+x),则f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(2+x3)为奇函数,所以f(2-x3)=-f(2+x3),等价于f(2-x)+f(2+x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,由f(1-x)=f(1+x),得到f(2-x)=f(x),又f(2-x)+f(2+x)=0,所以f(2+x)=-f(x),则f(x+4)= -f(2+x)=f(x),所以f(x)的周期为4,当0<x≤1时,f(x)=2-x,则1<x<2时,f(x)=x,2<x≤3时,f(x)=x-4,3<x<4时,f(x)=2-x.对于A,f(3)=3-4=-1,故A错误;对于B,f(x)的周期为4,f(4)=f(0),又f(0)+f(4)=0,所以f(0)=0,则f(11)=f(3)=-1<f(-20)=f(0)=0,故B正确;对于C,f(x)的部分图象如图所示,由图象知,当x∈[0,4)时,由-<f(x)≤-1得到,又f(x)的周期为 关键能力 提升 返回 4,所以-<f(x)≤-1时,+4k,k∈Z,故C正确;对于D,因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以f(k)=f(1)+f(2)+0×506=1,故D正确.故选BCD. 关键能力 提升 返回 解决函数性质的综合问题,一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间,然后利用单调性比较大小或解不等式. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练3】　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,∀x,y∈R,都有①f(2-x)=f(x),②当0<x<y<1时,>0,③当xy≠1时,f(x)+f(y)=f,则 (　 　) A.f(x+2)为偶函数 B.f(x)为奇函数 C.f(x)在(-1,1)上单调递增 D.f BCD 关键能力 提升 返回 解析:对于A,B,由f(2-x)=f(x),可知曲线y=f(x)关于直线x=1对称,所以f(x+1)为偶函数,当xy≠1时,f(x)+f(y)=f,令x=y=0,可得f(0)+f(0)=f(0),则f(0)=0,令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即函数f(x)为奇函数,即函数图象关于点(0,0)中心对称,故A错误,B正确;对于C,∀x1,x2∈(0,1),设0<x1<x2<1,则>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,1)上单调递增,则f(x)在(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)=0,所以f(x)在(-1,1)上单调递增,故C正确;对于D,由 关键能力 提升 返回 f(2-x)=f(x),f(x)=-f(-x),得f(2-x)=-f(-x),则f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)= -f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f,f,易知f(x)在(1,3)上单调递减,且1<<3,所以f,故D正确.故选BCD. 关键能力 提升 返回 对称的充要条件 1.链接教材:(人教A版必修第一册P87习题3.2T13) 我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. 教材深研 关键能力 提升 返回 (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 2.上述问题中第(2)题的结论为:函数y=f(x)的图象关于直线x=c成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+c)为偶函数. 3.对于例1,由f(x)=ln+ax+b(x-1)3,可知y=f(x+1)-a=ln+ax+bx3为奇函数,故据教材结论可知,曲线y=f(x)关于点(1,a)成中心对称图形. 关键能力 提升 返回 【典例】　(1)我们知道,函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数.已知函数f(x)=|x|+|x-2|+1,则下列函数中,其图象关于直线x=2对称的是(　 　) A.f(x-1)-1 B.f(x)-1 C.f(x+1)-1 D.f(x+2)-1 A 关键能力 提升 返回 【解析】　若函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则函数y=f(x+2)为偶函数,即f(x+2)=f(-x+2).对于A,令g(x)=f(x-1)-1,则g(x+2)=f(x+1)-1=|x+1|+|x-1|+1-1=|x+1|+|x-1|,又g(-x+2)=f(-x+1)-1=|-x+1|+|-x-1|+1-1=|x-1|+|x+1|,因此可得g(x+2)=g(-x+2),则f(x-1)-1的图象关于直线x=2对称,故A正确;对于B,令h(x)=f(x)-1,则h(x+2)=f(x+2)-1=|x+2|+|x|+1-1=|x+2|+|x|,又h(-x+2)=f(-x+2)-1=|-x+2|+|-x|+1-1=|x-2|+|x|,则h(x+2)≠h(-x+2),故f(x)-1的图象不关于直线x=2对称,故B错误;对于C,令G(x)=f(x+1)-1,则G(x+2)=f(x+3)-1=|x+3|+|x+1|+1-1=|x+3|+|x+1|,又G(-x+2)=f(-x+3)-1=|-x+3|+|-x+1|+1-1=|x-3|+|x-1|,则G(x+2)≠G(-x+2), 关键能力 提升 返回 故f(x+1)-1的图象不关于直线x=2对称,故C错误;对于D,令H(x)=f(x+2)-1,则H(x+2)=f(x+4)-1=|x+4|+|x+2|+1-1=|x+4|+|x+2|,H(-x+2)=f(-x+4)-1=|-x+4|+|-x+2|+1-1=|x-4|+|x-2|,则H(x+2)≠H(-x+2),故f(x+2)-1的图象不关于直线x=2对称,故D错误.故选A. 关键能力 提升 返回 (2)(多选)已知函数f(x)=ax+,g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,则下列说法正确的是(　 　) A.函数y=f(x+1)-a为奇函数 B.函数f(x)图象的对称中心为点(1,a) C.当a>0时,f(x)在(1,+∞)上单调递增 D.若a=1,f(x)与g(x)的图象共有2 026个交点,记为Ai(xi,yi),i=1,2,3,…, 2 026,则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)的值为4 052 ABD 关键能力 提升 返回 【解析】　对于A,B,设G(x)=f(x+1)-a=a(x+1)+,函数G(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称且G(-x)=-ax-=-G(x),所以y=f(x+1)-a为奇函数,所以函数f(x)图象的对称中心为点(1,a),故A,B正确;对于C,f(2)=2a+=2a+1,fa+2,当2a+1<a+2,即0<a<2时,f(2)<f,f(x)在(1,+∞)上不单调递增,故C错误;对于D,若a=1,则f(x)=x+的图象关于点(1,1)中心对称,与g(x)图象的对称中心相同,即f(x)与g(x)的图象的2 026个交点也关于点(1,1)中心对称,所以(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x2 026+y2 026)=(x1+x2+…+x2 026)+(y1+y2+…+ y2 026)=2×1 013+2×1 013=4 052,故D正确.故选ABD. 关键能力 提升 返回 课时作业9 1.(5分)函数y=|3x+2|的图象的对称轴是直线(　 　) A.x=2 B.x=-2 C.x= 解析:记y=f(x)=|3x+2|,因为f=|-3x-2|=|3x+2|=f(x),所以函数y=|3x+2|的图象的对称轴是直线x=-.故选D. 基础巩固 D 返回 课时作业 2.(5分)函数f(x)=图象的对称中心为(　 　) A.(1,1) B.(-1,1) C.(-1,-1) D.(1,-1) 解析:f(x)=,由y=的图象关于原点对称,将y=的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,可得f(x)=的图象,所以f(x)图象的对称中心为(-1,-1).故选C. C 返回 课时作业 3.(5分)函数y=3x与y=32-x的图象 (　 　) A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于直线x=1对称 D.关于直线x=2对称 解析:设函数y=3x与y=32-x的图象关于直线x=a对称,因为函数y=3x的图象关于直线x=a对称图象对应的函数解析式为y=32a-x,所以32a-x=32-x,所以a=1.故选C. C 返回 课时作业 4.(5分)(2025·山西晋中三模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=sinx,则f= (　 　) A.- C.- 解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),则f(x)=-f(x-2),于是f(x)= -f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),即f(x)的周期为4,则f.故选C. C 返回 课时作业 5.(5分)(2026·广东惠州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(x+1)为奇函数,则(　 　) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 B 返回 课时作业 解析:因为函数f(x+2)为偶函数,所以f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(x+1)为奇函数,所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1),即得f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=f(x),故函数f(x)是以4为周期的周期函数.对于B,对于f(1-x)=-f(x+1),令x=0,则f(1)=-f(1)⇒f(1)=0,对于f(x+2)=-f(x),令x=-1,则f(-1)=-f(1)=0,故B正确;对于A,由题意可知f,无法推出f=0,故A错误;对于C,D,f(2)=-f(0),f(4)=f(0),而f(0)是否为0不确定,故C,D错误.故选B. 返回 课时作业 6.(5分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+4)+f(-x)=0,且对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,都有>0.若m,n是关于x的方程x2-4x+t2-5=0的两个不等实根,则关于t的不等式f(m)+f(n)+f(t)>0的解集为(　 　) A.(-∞,2) B.(-3,2) C.(2,+∞) D.(2,3) D 返回 课时作业 解析:因为m,n是关于x的方程x2-4x+t2-5=0的两个不等实根,所以Δ=16-4(t2-5)>0,解得-3<t<3,且m+n=4,因为f(x+4)+f(-x)=0,x∈R,所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,则f(m)+f(n)=0,且f(2)=0,又对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,都有>0,所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,则该函数在(-∞,2)上单调递增,故函数f(x)在R上为增函数,由f(m)+f(n)+f(t)>0,可得f(t)>0=f(2),解得t>2,又-3<t<3,所以2<t<3.故选D. 返回 课时作业 7.(6分,多选)(2025·宁夏银川二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)是定义在R上的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)的最小正周期为4 B.f(-3)=-3 C.f(2 026)=8 D.f(2 025)=3 BCD 返回 课时作业 解析:对于A,因为f(x+2)是定义在R上的偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为8,故A错误;对于B,当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,所以f(-3)=f(5)=-f(1)=-3,故B正确;对于C,f(2 026)=f(8×253+2)=f(2)=8,故C正确;对于D, f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=3,故D正确.故选BCD. 返回 课时作业 8.(6分,多选)(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x,则下列判断正确的是(　 　) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小值为2,无最大值 C.函数f(x)在(-π,π)上单调递增 D.不等式f(x-1)<f(x)的解集为 ABD 返回 课时作业 解析:对于A,f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos 2x,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,f(x)的图象关于y轴对称,故A正确;对于B,当x≥0时,f(x)=e2x+cos 2x,f'(x)=2e2x-2sin 2x>0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(0)=2,且f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值为2,无最大值,故B正确;对于C,由A,B可知,f(x)在(-π,0]上单调递减,在(0,π)上单调递增,故C错误;对于D,不等式f(x-1)<f(x)⇔|x-1|<|x|,两边平方并整理得-2x+1<0,解得x>,故D正确.故选ABD. 返回 课时作业 9.(5分)已知函数y=f(x)与g(x)=ln(-x-2)-x-2的图象关于点(-1,0)对称,则f(x)=______________.  解析:设M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,且点M关于点(-1,0)的对称点为(m,n),可得可得m=-2-x,n=-y,将其代入函数g(x)=ln(-x-2)-x-2,可得-y=ln x+x,所以y=-ln x-x,即f(x)=-ln x-x. -ln x-x 返回 课时作业 10.(5分)设函数f(x)的定义域为R,f(-1-x)=-f(-1+x),f(3+x)=f(1-x),当x∈[-1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(1)+f(3)=0,且f(-4)+f(3)=-3,则f. 返回 课时作业 解析:因为f(-1-x)=-f(-1+x),所以f(-2-x)=-f(x),又f(3+x)=f(1-x),所以 f(4-x)=f(x),所以f(-2-x)=-f(4-x),所以f(x+6)=-f(x),所以f(x+12)= -f(x+6)=f(x),所以函数f(x)的周期是12,由f(3+x)=f(1-x)可知f(3)= f(1),由f(1)+f(3)=0可知f(1)=0,所以f(1)=a+b=0,由f(-4)+ f(3)=-3 及 f(-1-x)= -f(-1+x)可知-f(2)+f(1)=-3,所以f(2)=3,所以f(2)=4a+b=3,结合f(1)=a+b=0,求得a=1,b=-1,所以当x∈[-1,2]时,f(x)=x2-1.所以f. 返回 课时作业 11.(16分)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x+2),当x≥1时,f(x)=lg x+ex. (1)求f(x)的解析式; 解:因为函数f(x)满足f(x)=f(-x+2),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x<1时,-x+2>1, 所以f(-x+2)=lg(-x+2)+e-x+2,所以f(x)=lg(-x+2)+e-x+2, 所以f(x)= 返回 课时作业 (2)若不等式f(2-3t)-f(2t-3)<0成立,求实数t的取值范围. 解:由(1)可知,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,不等式f(2-3t)-f(2t-3)<0可化为|2-3t-1|<|2t-3-1|,解得-3<t<1, 所以实数t的取值范围为{t|-3<t<1}. 返回 课时作业 12.(20分)设函数f(x)=ln +ax-b(a>0,b∈R). (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明); 解:f(x)的定义域为(0,6),f(x)=ln x-ln(6-x)+ax-b, 当a>0时,y=ln x,y=-ln(6-x),y=ax-b都是增函数,所以函数f(x)在(0,6)上单调递增. 返回 课时作业 (2)求证:曲线y=f(x)是中心对称图形; 解:证明:f(x)的定义域为(0,6), 因为f(x)+f(6-x)=ln +a(6-x)-b=6a-2b, 所以曲线y=f(x)关于点(3,3a-b)中心对称,即曲线y=f(x)是中心对称图形. 返回 课时作业 (3)若3a=b,解关于实数t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0. 解:当3a=b时,由(2)知,f(x)的图象关于点(3,0)中心对称, 则由关于t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0得t2-2t+3+3+t>6,即t2-t>0, 则 解得-1<t<0或1<t<3.故原不等式的解集为(-1,0)∪(1,3). 返回 课时作业 13.(6分,多选)(2025·广东汕头一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=tan x,则下列结论正确的是(　 　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f C.f(x)在区间[2 023,2 025]上单调递增 D.当x∈[0,201]时,方程f(x)= 素养提升 AC 返回 课时作业 解析:对于A,B,由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知,f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f,故A正确,B错误;对于C,奇函数f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=0,所以f(x)在[-1,1]上单调递增(提示:奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性相同),由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期为4的函数,所以f(x)在区间[2 023,2 025]上单调递增,故C正确;对于D,曲线y=f(x)关于直线x=1对称,由f,f(x)在[-1,1]上单调递增,可知方程f(x)=在[-1,1]上有一根,再结合对称性可得f(x)=在[1,3]上有一根2-,即该方程在[-1,3]上有两根,且和为2,故f(x)=在[0,201]上所有根的和为2×(1+5+9+…+201)-,故D错误.故选AC. 返回 课时作业 14.(6分,多选)(2025·广东湛江一模)设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)+g'(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4,若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有(　 　) A.f(2)+f(4)=8 B.f(2 025)=4 C.f(n)=8 100 D.g'(4)=0 ABC 返回 课时作业 解析:由f(x)+g'(x)=4得f(x-1)+g'(x-1)=4.又f(x-1)-g'(3-x)=4,所以g'(x-1)=-g'(3-x),即g'(x)=-g'(2-x),所以g'(x)的图象关于点(1,0)对称,g'(1)=0.因为g(x)是奇函数,所以g'(x)是偶函数,所以g'(x+4)=g'(x).对于A,因为g'(4)=-g'(-2)=-g'(2),所以g'(4)+g'(2)=0,所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,故A正确;对于B,f(2 025)=4-g'(2 025)=4-g'(1)=4,故B正确;对于C,因为g'(3)=-g'(-1)=-g'(1)=0,所以g'(1)+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0,所以f(n)=4×2 025-g'(n)=8 100- g'(2 025)=8 100-g'(1)=8 100,故C正确;对于D,g'(4)=g'(0),但不一定为0,故D错误.故选ABC. 返回 课时作业 本课结束 $