第16章 函数及其图象（单元复习课件）数学新教材华东师大版八年级下册

单元复习课件 第16章 函数及其图象 华师版（新教材）·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握：变量与函数的概念，能准确判断两个变量是否为函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）及各自特点；熟练掌握一次函数（y=kx+b，k≠0）和反比例函数（y=，k≠0）的图象特征、性质，能运用待定系数法求函数解析式；掌握函数图象的绘制方法（描点法），能从图象中提取有效信息。 3. 体会：数形结合思想（函数解析式与图象的相互转化）、分类讨论思想（一次函数中k、b的符号对图象的影响）、建模思想（将实际问题转化为函数问题）在数学中的应用；体会数学与生活的密切联系，培养严谨的逻辑推理能力和综合解题能力，为后续学习二次函数奠定基础。 2. 理解：函数的本质是两个变量之间的唯一对应关系；理解平面直角坐标系中点与有序实数对的一一对应关系；理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系；理解反比例函数中比例系数k的几何意义；理解函数在实际问题中的应用原理，能建立简单的函数模型。 单元学习目标 常量与变量 函数的概念 函数的表示 函数的应用 解析法 列表法 图象法 单元知识图谱 考点一、变量与函数的概念 1.常量和变量 一般地，在一个变化过程中，我们称_______________的量为常量，_______________的量为变量. 数值始终不变 数值发生变化 2. 函数的相关概念 函数 概念 函数值 函数解析式 自变量的取值范围 求函数值 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 考点串讲 考点一、变量与函数的概念 2、函数关系判断： 判断两个变量是否为函数关系，关键是“对于自变量x的每一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应”，这是函数的本质特征，也是易错点 y²=x中，x取正数时，y有两个值对应， y²=x中y不是x的函数） 范例 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 1、函数定义： 3.函数三要素：自变量取值范围、函数解析式、函数值 考点串讲 3、自变量取值范围的求解的核心： ① 整式型（如y=2x+3）：x取全体实数； ② 分式型（如y=）：分母≠0，即x≠2； ③ 根式型（如y=）：被开方数≥0，即x≥1； ④ 实际问题型（如路程s、时间t）：结合实际意义，t ≥0、s≥0。 考点一、变量与函数的概念 忽略实际问题中自变量的取值范围（如人数、件数需为非负整数），导致答案错误。 易错点提醒 考点串讲 考点二、函数的图象 4.函数的图象 定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 画法 1.列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. 2.描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 3.连线：按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 图象的实际意义 考察横坐标、纵坐标的意义，图象的增减趋势，特殊点（与坐标轴交点、顶点等）的意义。 4.注意连线时“平滑曲线”（反比例函数）或“直线”（一次函数），并标注自变量取值范围； 函数图象与解析式是“数形结合”的核心 考点串讲 考点二、函数的图象 表示方法 优点 缺点 解析法 变量间关系简洁明了，便于分析计算 需通过计算，才能得到所需 结果 列表法 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况 图象法 直观形象地表示了变量间的变化过程与趋势 函数值一般是近似值 关系 解析式是基础，是重点，列表是画图象的关键，图象是在解析式和列表的基础上对函数的总体概括和形象化地表达 5.函数的表示方法 考点串讲 函数 字母系数取值 （ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x 增大而增大 b = 0 b < 0 考点三、一次函数的图象与性质 第一、三象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 1、y＝kx + b(k ＞ 0)图像特征 考点串讲 考点三、一次函数的图象与性质 函数 字母系数取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x增大而减小 b＝0 b < 0 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 2、y＝kx + b(k ＜ 0)图像特征 考点串讲 考点三、一次函数的图象与性质 3、一次函数y=kx+b（k≠0）的k、b的作用 （1）k的作用：决定直线的倾斜方向和增减性 ——k>0，直线从左到右上升，y随x增大而增大； ——k<0，直线从左到右下降，y随x增大而减小； ——|k|越大，直线越陡。 （2）b的作用：决定直线与y轴的交点位置 ——b>0，交点在y轴正半轴 ——b=0，交点在原点（正比例函数） ——b<0，交点在y轴负半轴。 （3） k、b共同决定直线经过的象限： ① k>0、b>0：第一、二、三象限； ② k>0、b=0：第一、三象限； ③ k>0、b<0：第一、三、四象限； ④ k<0、b>0：第一、二、四象限； ⑤ k<0、b=0：第二、四象限； ⑥ k<0、b<0：第二、三、四象限 考点串讲 考点三、一次函数的图象与性质 4.待定系数法求解析式： 步骤为: →设（设解析式为y=kx+b） →代（代入已知点的坐标） →解（解方程组求k、b） →写（写出解析式）， ① 忽略k≠0的条件（如判断y=kx+b是否为一次函数，需强调k≠0）； ② 求与x轴交点时，令y=0，求与y轴交点时，令x=0，容易混淆； ③ 一次函数与一元一次方程的关系： 方程kx+b=0的解，就是一次函数图象与x轴交点的横坐标。 易错点提醒 注意:正比例函数只需代入一个点即可（b=0） 考点串讲 考点四、反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象 反比例函数 (k≠0)的图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 . 双曲线 原点 y = x y=－x (2) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ x y o x y o 一、三 二、四 减小 增大 考点串讲 考点四、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数定义：形如（为常数，）， 变式 :或，自变量。 2.图象与性质： (1)图象：双曲线，关于原点、直线对称； (2)象限分布： 时，图象在第一、三象限，每个象限内随增大而减小； 时，图象在第二、四象限，每个象限内随增大而增大 （跨象限无增减性）。 k的符号意义：决定双曲线的位置和增减性 考点串讲 考点四、反比例函数的图象与性质 3.k的几何意义： 双曲线上任一点作 x 轴、y 轴垂线，围成矩形面积为。 垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的三角形的面积为 如图:双曲线上任意一点P（x，y）， 过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则: 矩形OAPB的面积=OA×OB=|x|×|y|=|xy|=|k|； 三角形OAP（或OBP）的面积= ×|k|。 x y o P A ∟ B ∟ 考点串讲 考点四、反比例函数的图象与性质 ① 忽略“每个象限内”的条件，误说反比例函数的增减性； ② 计算k的几何意义时，忽略绝对值，导致符号错误； ③ 反比例函数图象不与坐标轴相交，因为x≠0、y≠0。 4.待定系数法求解析式： 代入双曲线上一个点的坐标，即可求出k（xy=k），注意k≠0。 易错点提醒 考点串讲 考点五、函数的实践与探索 求 ax+b = 0 (a，b 是 常数，a≠0) 的解 x 为何值时，函数 y = ax + b 的值为 0？ 从“数”的角度看 求 ax+b = 0 (a，b 是 　常数，a≠0) 的解 从“形”的角度看 1.一次函数与一元一次方程 求直线 y = ax+b 与 x 轴交点的横坐标 考点串讲 考点五、函数的实践与探索 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b(k、b为常数，且k≠0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 2. 一次函数与二元一次方程 二元一次方程的解 对应直线上点的坐标 考点串讲 考点五、函数的实践与探索 函数的实际应用:是“建模”，即将实际问题转化为函数问题，步骤为： ① 分析题目中的变量，确定自变量和因变量； ② 根据题意列出函数解析式（一次函数或反比例函数）； ③ 结合自变量取值范围，利用函数性质求解实际问题 （如最值、方案选择、交点问题等）。 考查方向： ① 一次函数的实际应用（行程问题、利润问题、分段函数问题）； ② 反比例函数的实际应用（如面积、压强、浓度等成反比例关系的问题）； ③ 一次函数与反比例函数的综合应用（求交点、比较函数值大小等）。 ① 列解析式时，忽略题目中的数量关系（如利润=售价-进价、路程=速度×时间）； ② 忽略实际问题中自变量的取值范围，导致答案不符合实际； ③ 综合题中，不会结合函数图象分析问题。 易错点提醒 考点串讲 题型一、变量与函数概念及自变量取值 例1.（2024·四川眉山中考）下列函数中，是一次函数的是（ ） A．y=3x² B．y= C．y=3x+1 D．y=3 解：本题考查一次函数的定义，一次函数的形式为y=kx+b（k≠0），其中x的次数为1。 A选项x的次数为2，是二次函数； B选项是反比例函数； C选项符合一次函数定义（k=3≠0，b=1）； D选项是常数函数，不是一次函数。 方法总结： 判断一次函数，关键抓住两个条件： ① 自变量x的次数为1；② 一次项系数k≠0；常数项b可以为0（此时为正比例函数）。 C 题型剖析 21 题型一、变量与函数概念及自变量取值 方法总结： 求自变量取值范围，需分类型分析，多个条件同时满足时，取它们的公共部分；实际问题需结合实际意义补充限制条件。 例2（2023·山东聊城中考） 函数y=的自变量x的取值范围是________。 解：本题考查自变量取值范围， 需同时满足根式和分式的要求： ① 被开方数非负：x-2≥0→x≥2； ② 分母不为0：x-3≠0→x≠3。 综上，x≥2且x≠3。 x≥2且x≠3 题型剖析 22 题型二、函数图象的识别与信息提取 例3．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 解： 由题意得，当时，， 则此时图象分布在第四象限； 当时，， 则此时图象分布在第三象限； C 题型剖析 例4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 解： 由图象可知：小明家到体育馆的距离为； 故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为； 故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为； 故选项D错误； C 题型二、函数图象的识别与信息提取 题型剖析 题型三、一次函数的图象与性质 方法总结： 待定系数法求一次函数解析式，关键是代入两个已知点的坐标，解方程组；一次函数与不等式的关系，可转化为“函数值大小比较”，结合图象或代数整理求解。 例5（2024·北京中考）在平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点 A（-1，2），B（2，-1）。 （1）求该函数的解析式及点C（0，b）的坐标； （2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=kx+b的值大于函数y=mx-1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围。 解：（1）将A、B两点坐标代入y=kx+b， 代入A（-1，2）：-k + b = 2；① 代入B（2，-1）：2k + b = -1；② ② - ① 得: 3k = -3 k = -1， 代入得:b = 1； 故解析式为y = -x + 1，点C（0，1）。 题型剖析 25 题型三、一次函数的图象与性质 例题6.（2024·北京中考）在平面直角坐标系中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-1，2），B（2，-1）。 （1）求该函数的解析式及点C（0，b）的坐标； （2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=kx+b的值大于函数y=mx-1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围。 解：（2）当x>0时，-x + 1 > mx - 1恒成立， 整理得（m + 1）x < 2； 分情况讨论： ① 当m + 1 = 0，即m = -1时，0 < 2恒成立 ② 当m + 1 > 0，即m > -1时，x < ，无法满足x>0时恒成立； ③ 当m + 1 < 0，即m < -1时，x > ，因< 0，故x>0时恒成立； 综上，m ≤ -1。 题型剖析 26 题型三、一次函数的图象与性质 例7.（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 解:∵一次函数过， 把代入得 ，即． 又随的增大而增大，． 选项A：点，代入 得， 把代入得， 化简得，解得， 不满足，舍去． 选项B：点，代入 得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入 得， 把代入得， 化简得，解得， 不满足，舍去． 选项D：点，代入 得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 题型剖析 【变式1】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴ ， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为： ， 解得：(舍去)， ∴m的值为2，正方形的边长是2， 直线的解析式是， ， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， D 题型三、一次函数的图象与性质 题型剖析 【变式2】（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 1或 解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ，此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 题型三、一次函数的图象与性质 题型剖析 题型四、反比例函数的图象与性质 方法总结：反比例函数y=中，k=xy，代入图象上任意一点的坐标即可求k；比较函数值大小，需结合k的符号和点所在的象限，避免跨象限比较增减性。 例8.（2023·上海中考）已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，-3），则k的值为________；若点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在该反比例函数图象上，且x₁<0<x₂，则y₁与y₂的大小关系是________。 解析：本题考查反比例函数的待定系数法和性质。 ① 代入点（2，-3），得k = 2×(-3) = -6； ② 由k = -6 < 0，可知反比例函数图象在第二、四象限，x₁<0时，点A在第二象限，y₁>0； x₂>0时，点B在第四象限，y₂<0， 故y₁>y₂。 -6 y₁>y₂ 题型剖析 30 例9．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 题型四、反比例函数的图象与性质 （1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点，∴， ∵D为的中点，∴， ∵反比例函数的图象过点D， ∴，∴，∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E，∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴． 题型剖析 例10（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题：  (1)利用图中残留的信息，推测的面积为_____； (2)求直线的解析式； (3)若． ①判断点P在点A的左侧还是右侧； ②求此时t的值． （1）解：由图可得当时， ， 题型五、函数的实际应用 题型剖析 例10 .（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： (2)求直线的解析式； （2）解：由图可得当时，， ∴，即点B的坐标为； 又∵， 即， 解得， 把代入得到， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； 题型五、函数的实际应用 题型剖析 例10.（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： (3)若． ①判断点P在点A的左侧还是右侧；②求此时t的值． （3）解：①过A点作轴于点D 则，  ∴ ， 当时，， 由图象可得S随x的增大而减小， ∴点P在点A的右侧； ②当时， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）． 题型五、函数的实际应用 题型剖析 例11（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 解：∵时，， ∴A，B两地相距， 故B结论正确，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇， 故A结论正确，不符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地， 慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地， 故C结论错误，符合题意； ， ， ∴快车的速度为， 慢车的速度为， 故D结论正确，不符合题意； C 题型五、函数的实际应用 题型剖析 1.2024·辽宁阜新中考）下列函数中，y随x的增大而增大的是（ ） A．y=-2x B．y=2x-1 C．y=-2x+1 D．y= 解：① 一次函数y=kx+b（k≠0）： k>0时，y随x增大而增大； k<0时，y随x增大而减小。 A选项k=-2<0，y随x增大而减小； B选项k=2>0，y随x增大而增大； C选项k=-2<0，y随x增大而减小。 B 分析：本题考查一次函数和反比例函数的增减性，核心结合函数解析式中k的符号判断。 ② 反比例函数y=（k≠0）： 增减性需强调“每个象限内”， D选项k=2>0，在每个象限内y随x增大而减小，无法确定整体增减性。 针对训练 2．（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数 的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：∵，∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴，∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， D 针对训练 3.（2023·江苏徐州中考）若一次函数y＝kx＋b的图像如图所示，则关于kx＋b＞0的不等式的解集为________。 解：结合题意，一次函数图象与x轴的交点横坐标为2， 且图象从左到右呈下降趋势（k<0）， 即当x<2时，函数图象在x轴上方，此时y=kx+b>0； 当x>2时，图象在x轴下方，y=kx+b<0。 故不等式kx+b>0的解集为x<2。 x<2 分析：本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是明确“kx+b>0”对应函数图象在x轴上方的部分，其自变量x的取值范围即为不等式的解集。 y O x 2 针对训练 4.（2024·贵州贵阳中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=2x+1与y=kx+b的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ① 在一次函数y=kx+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大； ② 方程组的解为； ③ 方程kx+b=0的解为x=2； ④ 当x>1时，2x+1>kx+b。 其中结论正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：本题考查一次函数图象的综合应用，逐一分析结论： ① 一次函数y=kx+b的增减性由k决定，图象从左到右呈下降趋势，故k<0，y随x增大而减小，①错误； ② 两个一次函数图象的交点坐标，即为对应方程组的解，由图象可知，两函数交点为（1，3），故方程组的解为，②正确； ③ 方程kx+b=0的解，即为y=kx+b图象与x轴交点的横坐标，由图象可知，该函数与x轴交点为（2，0），故解为x=2，③正确； ④ 当x>1时，y=2x+1的图象在y=kx+b的图象上方，即2x+1>kx+b，④正确。 综上，正确的结论为②③④，共3个， y O x 3 y=kx+b y=2x+1 1 2 C 针对训练 5.（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，，，，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列， 如：，，，，，，……， 根据这个规律，点的坐标为 . ∵，，， ，，， ，，， ，，……，由此发现： 点在第四象限的角平分线上， 点在第三象限的角平分线上， 点在直线的图象上， 点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∴点． 解： 针对训练 6.（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为 ． 解：设直线，交于点， 直线，交于点， 直线，交于点， 联立直线，的解析式组成方程组得： ，解得：， 点的坐标为， 同理：点的坐标为， 点的坐标为． 过点作轴于点， 过点作轴于点， 则，，如图所示 ， ， 针对训练 7.（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） B． D． A． C． 解：由题意得，当时，， 则此时图象分布在第四象限； 当时，， 则此时图象分布在第三象限； C 针对训练 8.（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是 ． 解：将反比例函数代入中，可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得：， 针对训练 9．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． （1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元， B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，，解得， 答： A款“哪吒”纪念品每个进价为40元， B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 针对训练 9．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． （2）解：设需要购进B款纪念品m个， 则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得：， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； 针对训练 9．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 针对训练 1.核心概念：牢记函数的“唯一对应”本质，掌握变量、常量、自变量取值范围的求解方法，这是解决所有函数问题的基础。 2.图象与性质：重点掌握一次函数和反比例函数的图象特征、性质，明确k、b（一次函数）、k（反比例函数）的作用，熟练运用“数形结合”思想，实现解析式与图象的相互转化。 3.解题方法：待定系数法是求函数解析式的核心方法，步骤固定（设、代、解、写）；解决实际问题的关键是“建模”，将实际场景转化为函数问题，结合自变量取值范围求解。 4.易错点提醒： ① 忽略一次函数k≠0、反比例函数k≠0及x≠0的条件； ② 反比例函数增减性需强调“每个象限内”； ③ 实际问题中忽略自变量的实际意义； ④ 一次函数与不等式、方程的内在联系需熟练掌握。 课堂总结 感谢聆听! $