专题06 图形变换综合（课件）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 图形变换综合 图形变换综合（热考） 数与式 10 4 8 命题透视 1．从命题形式上看，呈现出“新情境、新模型、新设问”的特点，载体形式上多以网格作图、函数图象、几何折叠/旋转、实际应用场景为主，凸显对直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养的考查，渗透数形结合思想，培养几何建模能力。 2．从命题内容上看，平移/轴对称/中心对称的坐标计算与最短路径、旋转全等/相似模型、折叠问题中的勾股定理与方程思想、图形变换中的最值与动态探究、变换与函数/坐标系综合、位似缩放与规律探究是历年中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 图形的平移 ①天津・T15.平面直角坐标系中图形平移求坐标； ②广西・T8.平移性质判定与坐标计算 ①广东・T7.平移规律与坐标计算； ②江苏・T10.平移与最短路径综合 ①广西・T6.图形平移规律判断； ②湖南・T12.平移与函数图象综合 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 图形的轴对称 ①山东・T11.折叠求线段长/角度；②广东・T16.轴对称与最短路径（将军饮马模型） ①浙江・T9.折叠性质与角度计算；②北京・T14.轴对称与坐标变换 ①河南・T9.折叠性质应用；②江苏・T14.轴对称与坐标变换综合 图形的旋转 ①浙江・T15.旋转全等模型综合；②湖北・T20.旋转与动态几何探究 ①四川・T12.旋转性质与坐标计算；②安徽・T18.旋转与相似三角形综合 ①四川・T10.旋转性质判定；②陕西・T18.旋转与相似三角形综合 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 图形的翻折（折叠） ①安徽・T12.折叠问题中的勾股定理与方程；②福建・T17.折叠与多结论判断 ①山东・T13.折叠求线段长；②江西・T17.折叠与函数关系式 ①云南・T8.折叠求线段长度；②江西・T19.折叠与函数关系式求解 位似变换 ①上海・T7.位似图形坐标与缩放；②河北・T13.位似比计算与作图 ①湖南・T8.位似图形性质与坐标；②山西・T12.位似与面积比 ①贵州・T9.位似图形性质；②山西・T15.位似与面积比综合 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 图形变换与函数综合 ①江苏・T24.二次函数与平移/旋转综合压轴；②广东・T25.图形变换与一次函数动点问题 ①浙江・T23.几何变换与二次函数最值；②广东・T24.变换与函数动点 ①湖南・T22.几何变换与二次函数最值；②浙江・T23.图形变换与坐标系综合证明 图形变换与动态几何 ①北京・T16.动点与平移/旋转综合；②重庆・T26.图形变换与存在性问题探究 ①河南・T22.动态几何与变换性质；②山东・T23.变换与动点轨迹 ①山东・T21.动态几何与变换性质；②河南・T23.图形变换与动点轨迹 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 图形变换与全等/相似 ①黑龙江・T18.旋转全等与证明；②吉林・T20.位似与相似三角形综合 ①辽宁・T13.变换与全等判定；②内蒙古・T18.相似与变换性质 ①辽宁・T11.变换与全等三角形判定；②内蒙古・T19.相似与图形变换性质综合 命题预测 命题形式：以生活化情境、网格/函数为载体，侧重考查直观想象、逻辑推理等核心素养，设问更具探究性与开放性。 核心考点：基础题聚焦平移/轴对称/旋转的性质与坐标计算，中档题侧重折叠勾股方程、最短路径模型，压轴题多为变换与函数、动态几何、全等/相似的综合。 备考方向：需熟练掌握核心变换模型，强化数形结合、分类讨论与方程思想，提升新情境下的几何建模与探究能力。 考点一：图形变换综合（热考） 考点二：数与式 考点一：图形变换综合（热考） 题型一：平移性质与坐标计算 题型二：轴对称性质与最短路径 题型三：中心对称与坐标计算 题型四：旋转性质与角度 / 边长 / 坐标计算 题型五：翻折（折叠）求角度/线段长/坐标 题型六：图形变换与全等三角形 题型七：图形变换与坐标综合 题型八：网格中作图（平移、旋转、轴对称）题型九：位似图形与坐标缩放 题型十：与图形变换有关的规律探究问题 必备知识 知识点一 轴对称图形与轴对称 知识点二 中心对称图形与中心对称 知识点三 图形的平移 知识点四 图形的旋转 命题预测 ►题型一 平移性质与坐标计算 由平移的性质可以得到线段相等、角相等、线段平行等结论，其中既有数量关系结论，又有位置关系结论，利用这些结论可以进行相关计算(如计算线段长、周长、面积、角度等）和证明. ►题型一 平移性质与坐标计算 1．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 解：过点作轴，作交的延长线于点， 则： ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， ∴，由平移可得， ∴， ∴， B ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； ►题型一 平移性质与坐标计算 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 解：设直线的解析式为，代入 ∴∴ ∴直线的解析式为 ∵， 当为时，平移方式为向右平移个单位 向上平移个单位，∴直线平移后的解析式为： ，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为：，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， ►题型一 平移性质与坐标计算 2．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． ∴直线平移后的解析式为： ，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， A ►题型二 轴对称性质与最短路径 （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小， 最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知， ，， ， ►题型二 轴对称性质与最短路径 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为______． 解：（1）如图，点即为所求作 ►题型二 轴对称性质与最短路径 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______． 解：如图，作点关于的对称点， 连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 ►题型二 轴对称性质与最短路径 3．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为 ，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为________． 解；∵关于直线的对称点为， ∴，设，则 ， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ►题型三 中心对称与坐标计算 1）中心对称图形上的对称点之间的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点. 2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. ►题型三 中心对称与坐标计算 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． A ►题型三 中心对称与坐标计算 1．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______． 解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，，∴， 把代入， 得，解得， 9 ►题型三 中心对称与坐标计算 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴， 而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， D ►题型四 旋转性质与角度/边长/坐标计算 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 解：如图，连接，交于点，由旋转的性质得： ，， ∴，在和中， ，∴， ∴，∴垂直平分， ∴，， ∵，， D ∴， 又∵， ∴， ∴， ►题型四 旋转性质与角度/边长/坐标计算 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，， ， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ，∴ H为的中点， ∴垂直平分，∴， 设，∵，， ∴正方形的边长为3， ∴， ， ∵， ∴， 即， 解得：，∴的长为， ►题型五 翻折（折叠）求角度/线段长/坐标 在折叠问题中，解题的关键是理解折痕所在的直线是折叠前后的两个图形的对称轴，折叠前后的两个图形是全等图形，利用对应边相等、对应角相等进行条件的转化，将题目中的已知条件与要求的结论联系起来. 【小技巧】1）折痕可看作垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分). 2）折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 记住三句话: 1）折叠前后对应角，对应边相等. 2）折叠不改变原先的平行关系. 3）以折线为对称轴. ►题型五 翻折（折叠）求角度/线段长/坐标 1．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 解：由折叠可得：， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，，∴， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， D ∴， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ，， ∴，故D错误，符合题意， ►题型五 翻折（折叠）求角度/线段长/坐标 2．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 解：如图，过作于， ∵正方形，∴， ， ，， ，， 由对折可得：，， ， ， ∴，而， ∴， ∴， ∴， B ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； H ∟ ►题型六 图形变换与全等三角形 1．（2025·山东德州·中考真题） 已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．①如图1，当点P与点O重合时，求证：；②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． （1）①证明：过点P作、， 如图所示：则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ►题型六 图形变换与全等三角形 1．（2025·山东德州·中考真题） 已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．①如图1，当点P与点O重合时，求证：；②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 , 故 为定值，该定值为； ►题型六 图形变换与全等三角形 1．（2025·山东德州·中考真题） 已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．①如图1，当点P与点O重合时，求证：；②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． （2）解：过点P作、， 连接，如图所示： 四边形是正方形， 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F ， ， 、 ►题型六 图形变换与全等三角形 1．（2025·山东德州·中考真题） 已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．①如图1，当点P与点O重合时，求证：；②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 同理可得 ， 是等腰直角三角形，在中， ， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． ►题型七 图形变换与坐标综合 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律点的坐标为 ． 解：依题意， ， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ ►题型七 图形变换与坐标综合 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ►题型七 图形变换与坐标综合 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为 ． ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示：  ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离 最小的点的坐标为． ►题型八 网格中作图（平移、旋转、轴对称） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． （1）解：如图所示： （2）解：点如图所示：作， 则，∴， ∴，即， ∴，，∴， ∴， ∴． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．  (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． ►题型八 网格中作图（平移、旋转、轴对称） 解：（1）如图，即为所求： ∵，∴向上平移5个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到： ，即 ； （2）如图，即为所求，； （3）， ∴点旋转到点的过程中， 所经过的路径长为 ►题型九 位似图形与坐标缩放 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ）  A． B． C． D． 解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵，∴，即， B ►题型九 位似图形与坐标缩放 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， B ►题型九 位似图形与坐标缩放 3．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴， C ►题型十 与图形变换有关的规律探究问题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ）   A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和，则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转，∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理 ，则 ， ∵，∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形，， 此时点在点的正北方． D ►题型十 与图形变换有关的规律探究问题 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将 绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． 解：如图，设直线与轴交于点， 分别过作轴，轴， 垂足分别为点， 由直线得， 当时，， ∴点，∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ， ►题型十 与图形变换有关的规律探究问题 2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将 绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______． ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：， ， ∴， ∴， 即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵，∴在直线上， ∴的纵坐标为： ， 知识01 轴对称图形与轴对称   轴对称图形 轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 图示   性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. 1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角相等； 3.两个图形全等. 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 联系 1)沿对称轴折叠，两个图形重合. 2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形. 1)沿对称轴折叠，图形的两部分重合. 2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称.   中心对称图形 中心对称 概念 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 把一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心. 图形   性质 过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的周长与面积分别相等. 1）中心对称的两个图形是全等图形； 2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 3）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等. 区别 指具有某种性质的一个图形 指两个图形的(位置)关系 知识02 中心对称图形与中心对称 知识03 图形的平移 概念 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 图示   性质 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 知识04 图形的旋转 概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫旋转角. 要素 旋转中心、旋转方向、旋转角 图示   性质 1）旋转前后的两个图形全等； 2）对应点到旋转中心的距离相等； 3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 作图步骤 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（   ） A． B． C． D． 解：如图，记GH交A'C于点O， ∵四边形ABCD是菱形，∴GH⊥AC， 设AC=m，则A'C=m-x，设∠BAC=α，则 由平移的性质可知，∠GA'C=∠BAC=α， ∴OG=OA'⋅ tanα， ∴GH=2OG=2OA'⋅ tanα=A'C⋅tanα=(m-x)tanα， ∴y=GH=m-xtanα=-tanα⋅x+m∙tanα， ∵α为定值，m为定值， ∴-tanα为定值，且小于0， m∙tanα为定值，且大于0， ∴y是关于x的一次函数， 且y随x的增大而减小， ∴D选项符合题意． D O 2．（25-26九年级上·上海普陀·期末）如图，在等边三角形中，点在边上，点关于直线的对称点分别是点，那么关于线段与线段之间的数量关系正确的是（　　）  A．     B． C． D． 解：如图，连接，过作于点， ∵点关于直线的对称点分别是点， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形，， 即， ∴ ， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， B 3．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，，，．将 绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，， ∴． ∵将绕点B旋转得到，∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 的最大值为： ． D 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①， ② ③， ④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：， ， ，为等边三角形， ， 将绕点旋转到位置， ，， ， ， ，，， ， 故①正确，③错误； ，， ，故②正确， 的周长 ， 当最小时，的周长最小． 4．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①， ② ③， ④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ，， 是等边三角形， ， 当时，长度最小， 即长度最小， ，，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故④正确， C 5．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 解：，， 轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， D 6．（2025·四川乐山·二模）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将位于右边的部分沿翻折，弧交直线于点，当的长为正整数时，则的长为（   ）．  A．2 B． C． D．2或 解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， ， 将沿翻折交直线于点F， 此时与点重合，故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接，此时， ，， ，， ； 当时，且点在线段之间， 连接，同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， D 7．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，与关于点O位似，若，，，则为（   ） A． B．3 C．4 D．6 解：∵，， ∴， ， ∴， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵，∴,  A 8．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，直线相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为_______． 解：取的中点，连接，设交于点， 在中，， ∵，∴， 由旋转可知：， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是的中点，∴， ∵，∴， ∴， 在中，， 当在一条直线上时， 有最大值， ∴线段的最大值为． 9．（2025·上海杨浦·一模）在菱形中，，点在线段上，且，点为上一点，将沿翻折，点B对应点E， ，且，则_____． 解：如图，∵四边形都是菱形， ∴A，C关于对称， ∵，∴点E在线段上， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 10．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在四边形中，，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是 _______． 解：如图，作点A关于的对称点E、F， 连接分别交于点H、G，连接， 由对称性知：， ， 当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ， ， ， ， ， ， ，此时． 考点二：图形变换综合（压轴） 题型 1：旋转全等模型综合 题型 2：折叠问题中的勾股与方程 题型 3：图形变换中的最值问题 题型 4：旋转中的动态几何探究 题型 5：图形变换与函数综合 题型 6：几何变换与相似综合 题型 7：图形变换与动点存在性问题 题型 8：与图形变换有关的阅读理解类问题 命题预测 ►题型一 旋转全等模型综合 由旋转的性质可知任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，解决以图形的旋转为背景的问题时，常借助这些性质，并结合全等三角形的知识把已知条件和未知条件联系起来，使问题得以解决.在一些题目中，主动进行旋转可以构造出全等三角形，这是较复杂的辅助线作法之一. ►题型一 旋转全等模型综合 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接直线与交于点E．  (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． （1）解：，理由如下： 由旋转的性质可得 过作于 过点C作的延长线于， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ►题型一 旋转全等模型综合 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接直线与交于点E．  (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． （2）证明：延长至， 使得， 连接， 为中点 为的中位线 ， 由旋转的性质可得 ， ，， ， ， 四点共圆， ， ， 连接， 在中，点是的中点， ， ►题型一 旋转全等模型综合 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接直线与交于点E．  (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． 同理可得， 在中，点是的中点， ， 同理可得， ， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是平行四边形， ， 又， P，Q，R三点共线； ►题型一 旋转全等模型综合 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接直线与交于点E．  (1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线； (3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______． （3）解：过点C作延长线于， 由旋转的性质可得： ，  由（1）得， 由旋转的性质可得， ， ， ， ， ， ， 中， ， ，则S的最大值为25． 25 ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 1．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长． ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 1．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①_______ _．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 解：（1）由折叠可知，． 由矩形的性质，可知， ． ．． 智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为； ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 1．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 方法一：证明，得到 ，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． （2）方法一：∵矩形， ∴ ， 由折叠可得， ∴ ，，， ∴，即：，， 由（1）知： 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 1．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、． 方法一：证明，得到 ，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程． 方法二：作交于点G 则：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，∵矩形， ∴，∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴，， ∴， ∴，∴； ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 1．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长． （3）解：作交于点G， 则：， 由（2）可知：， ，， ， 设，则：， ， ， 如图，当，  ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 1．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论． 【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长． ∴，即：， ∴， 解得：或（舍去）； 故．当时， ∵， ∴， ∴三点共线，∴， ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，即，解得：，∴ ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 2．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． （1）解：∵， 矩形是黄金矩形， ∴，∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片， 点B落在上的点E处， ∴，，又∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形； ∴，由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，∴， ∴，∴四边形是黄金矩形． ►题型二 折叠问题中的勾股与方程 2．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． ∵，四边形是正方形， ∴，∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点，∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：， ，， 设，则， ∵ ∴ ， 解得：， ∴，∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： 解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点， 使得延长交于点， 则四边形是矩形， ∴． ∴，∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ）  A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 H G ∟ ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ）  A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 当点与点重合时，与重合时， 最小此时， ， 故错误，符合题意； 故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则， ， 过作于点， 此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ）  A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为． 故项正确，不符合题意； ►题型三 图形变换中的最值问题 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ）  A． B． C． D． 解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H， 即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ►题型三 图形变换中的最值问题 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ）  A． B． C． D． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，∴，即， ∴，∴ ∴ ， 即面积的最小值为． B ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________ ； 解:（1） ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴； ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （2）证明： ∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵，∴ ∵四边形是矩形，，， ∴，∴ ∴ ∵， ∴ 即 ∴∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； 如图，连接交于点，连接 ∵是的中点， 在中， ∴ ∴共圆，∴， ∵∴ ∴， 在中， ∴ ∵，在中， ∴， ∵∴ 又∴ ∴， 即 ∴ ∴∴∴ ►题型三 图形变换中的最值问题 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． （4）解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴是等边三角形，则 ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴， ∵∴ 又∵ ∴∴当时，   即 又 ∴， ∴ ∴在上运动，且 ∴当时，取得最小值， 1．（2025·江西·中考真题）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值  类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． ►题型四 旋转中的动态几何探究 O 如图1 如图2 如图3 1．（2025·江西·中考真题）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值   ►题型四 旋转中的动态几何探究 O 解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， （2）如图，根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图1 如图2 1．（2025·江西·中考真题）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．  类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系 （用含β的式子表示）． ►题型四 旋转中的动态几何探究 如图3 （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证，∴， ∵菱形中，，∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴，∴， 过点作于点，∴， ， ∴，∴， ∴的值与α无关； （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． ►题型五 图形变换与函数综合 1．（2025·山东德州·中考真题） 如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．  (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （1）解：∵，∴， ∵，∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处，∴， ∴， ∴，∴； （2）设，根据折叠的性质，得 ，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得，故， 设直线的解析式为， ∴，解得， 故直线的解析式为． ►题型五 图形变换与函数综合 1．（2025·山东德州·中考真题） 如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．  (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示：当时， ， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴，解得：， ∴t的取值范围为． ►题型五 图形变换与函数综合 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． （1）解：抛物线： 过原点， 将代入抛物线解析式可得 ，解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得： ，解得， 直线的解析式为； ►题型五 图形变换与函数综合 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为： ， 联立抛物线与的解析式得，， 解得， 点的坐标为； ►题型五 图形变换与函数综合 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． ②联立抛物线与的解析式得， ，解得， 点的横坐标为，∴， ∴； ③设抛物线的解析式为： ， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ►题型五 图形变换与函数综合 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C， 过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ►题型五 图形变换与函数综合 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为 ， 解得， ►题型五 图形变换与函数综合 2．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． ►题型六 几何变换与相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题） 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 解：（1）∵正方形，边长为4， ∴ ，∴， 由翻折可得， ∴，， ∴， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ； ►题型六 几何变换与相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题） 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． ∴， ∵，∴， 由折叠可得，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴， ∵，∴， ， ∴， ， ∴， 在中， ， ∵，， ∴； （2）当时，如图， 作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ►题型六 几何变换与相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题） 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． ②当时，如图： 作于点，延长 交于点，作于点， 则：，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； ►题型六 几何变换与相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题） 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． （3）连接，， 交于点， 作，则：四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得， ∴，， ，， ∴，， ∴， 又∵， ∴，∴， ∴， 作点关于的对称点， 连接，连接交于点， 则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时， ，值最小； ►题型六 几何变换与相似综合 1．（2025·山东淄博·中考真题） 【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 如图∵， ，， ∴， ∴，∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得： ，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． ►题型六 几何变换与相似综合 20．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以内部任意一点为中心，画出与成中心对称的．当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ①若，求的长；（请直接写出答案） ②若的面积为，求的长． (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． ►题型六 几何变换与相似综合 20．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ①若，求的长；（请直接写出答案） ②若的面积为，求的长． （1）解：①∵， ∴， ∵，∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴. ②∵， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴设， ∴， ∵的面积为，∴， ►题型六 几何变换与相似综合 20．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ①若，求的长；（请直接写出答案） ②若的面积为，求的长． ∴，∴， ∵ 与关于成中心对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∵，， ∴，∴. ►题型六 几何变换与相似综合 20．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 【问题解决】 (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． ，，， ，∴， 设，，， ∴, ∵，∴， ∴， 即， 同理：， ∴， 即， 同理：， ∴，即， （2）解：如图，连接，， 记，的交点为， ∵与关于成中心对称， “平行六边形”， ∴共线，共线， ►题型六 几何变换与相似综合 20．（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 【问题解决】 (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． ∴ ， ∵，， ， ∴的最小值为： ， 此时，， ， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为： ，同理可得：， 同理：，， ∴，， ∴，∴是的重心. ►题型七 图形变换与动点存在性问题 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在 中，，， ，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （1）解：由题意得，， ∵在中，， ，， ∴， 由平移的性质得，， ，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，∴， ∴， ∴，即， 解得； ►题型七 图形变换与动点存在性问题 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在 中，，， ，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （2）解：当时，∴点在线段上， 作于点，作于点， ∵，，∴，， ∵， ∴，即， ∴， 同理，即，∴， ∵，∴， ∵ ； ∴； ►题型七 图形变换与动点存在性问题 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在 中，，， ，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）解：存在，理由如下，由题意， 当时， 作于点，交延长线于点 同理，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ►题型七 图形变换与动点存在性问题 1．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在 中，，， ，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式； (3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ∴， ∴，即， 整理得，解得， ∵，∴； 当时， 作于点， ∵，∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴，即， 整理得，解得， ∵，∴； 综上，的值为或． ►题型八 与图形变换有关的阅读理解类问题 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 解:[探究发现]： 解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ，， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ，， 四边形是菱形，， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，，，， 四边形是菱形，，， ，， 四边形是平行四边形； ►题型八 与图形变换有关的阅读理解类问题 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． [探究提升]：解：四边形能 成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于， 过作于，如图：， ，，设，则， ， 为中点，，， 四边形是菱形，， 四边形是矩形，， ，，， ， ， ， ， ； ►题型八 与图形变换有关的阅读理解类问题 1．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 当四边形是菱形时， 延长交于，如图： 设，则 ， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形，， ， ；综上所述， 四边形为轴对称图形时，的值为或． ►题型八 与图形变换有关的阅读理解类问题 2．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． （1）解：如图， 过点D作于H， ∵，∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴；   ►题型八 与图形变换有关的阅读理解类问题 2．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中， ，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． （2）解：如图（2）， 连接，把沿平移使M与P对应，得到； 再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点．   1．（2025·河南南阳·二模）综合与实践  【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______ ，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， 1．（2025·河南南阳·二模）综合与实践  【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． （2）①如图②， 过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：； ； 设，， 则， ， ， ∴， ∴， 1．（2025·河南南阳·二模）综合与实践  【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． ②当在内时，如图③-1， 过点作，垂足为， 同理可得：， ；； ∵在中，，， ∴， ∴，∴当时， ∴，∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 2．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，，，是边上的中线，点E是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图1，线段与线段相交于点G，当点G是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点E与点C重合时，线段与线段相交于点P，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点M，是否存在点E，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． （1）解：∵中，， ，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵点G是的中点，点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴，即当点G是边的中点时，的长为． 2．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，，，是边上的中线，点E是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图1，线段与线段相交于点G，当点G是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点E与点C重合时，线段与线段相交于点P，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点M，是否存在点E，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． （2）解：由（1）知，  ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∴（经检验是原方程的根） ∴． 2．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，，，是边上的中线，点E是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图1，线段与线段相交于点G，当点G是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点E与点C重合时，线段与线段相交于点P，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点M，是否存在点E，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． （3）解：存在， ①如图，当时， ∵， ， ∴， ∴，∴， 作于H， ∴，， ∴，∴， ∴，∴， ， ∴， ∴； 2．（2023·四川成都·二模）如图，在中，，，，是边上的中线，点E是边上的一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)如图1，线段与线段相交于点G，当点G是边的中点时，求的长； (2)如图2，当点E与点C重合时，线段与线段相交于点P，求的长； (3)如图3，线段与线段相交于点M，是否存在点E，使得为直角三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． ②如图，当时， ∵， ， ∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述，存在点E，使得为直角三角形，的长为或． 3．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限．  (1)填空：如图①，点B的坐标为_________， 点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到， 点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． （1）解： ∵ ， ∴， ∵为等边三角形， 作轴于点D，如图①所示，则 ， ∴， ∴点B的坐标为 的坐标为， 3．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限．  (1)填空：如图①，点B的坐标为_________， 点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到， 点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． （2）解：①由平移的性质可得， ， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴是等边三角形， 在中，， 则 ， ∴， 在中， ， ∵， 3．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限．  (1)填空：如图①，点B的坐标为_________， 点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到， 点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． ∴ ， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， 点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； 3．（2025·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，是等边三角形，点C在第二象限．  (1)填空：如图①，点B的坐标为_________， 点C的坐标为_________； (2)将沿x轴向右平移得到， 点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形 ， 设，∴ ， 解得，，∴， 由（1）得， 点O关于直线的对称点为点， 故， 当三点共线时，值最小， 连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，，∴的坐标为． 4．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接，  (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． （1）解：四边形是菱形， 理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将沿翻折使B的对应点落在中点上， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 4．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接，  (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． （2）解：①如图2，连接，在上截取， 连接，连接，并延长，交于点N， 过点C作直线于H， ∵四边形是菱形，∴， 又∵，∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，∴是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∵是等边三角形，∴， ，∴， ∴， ∴，， ∴，∴是等边三角形， ∴，， ∴，，∴，， 当时，， ∴， ∴； 4．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接，  (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 当时，过点M作于Q， 过点G作于P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上所述：的长为3或， ②由（2）①可知：点G在上运动， 且，与的距离为， ∴当点G与点H重合时，的最小值为． 5．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部， 且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． 5．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部， 且，求 的长． 【初步探究】（1）经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转， 得到， 连接， 寻找，，三边之间的数量关系，即可求得 的长为 ； 解：（1）由旋转可知： 是等边三角形， ， 是直角三角形， 5．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部， 且，求 的长． 【理解应用】（2）如图②，在等腰直角中，， P为内一点，， 判断，，之间的数量关系， 并说明理由； （2） 理由如下： 如图， 把绕点C顺时针旋转得到， 连接，由旋转可知: ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中， 即   5．（2025·四川广元·一模）在某次校园数学实践活动中，为测量校园内三角形景观的相关数据，某小组同学遇到了如下问题：如图①，点P 在等边内部，且 ，求 的长． 【类比迁移】（3）如图③，学校有一块三角形的劳动实践基地，其中，，实践工具存放点位于基地的P点，通过测量，，求线段的长． （3）如图，将 绕点B顺时针旋转，得到 连接，  由旋转可知： 是等腰直角三角形， 点在线段上， 是直角三角形， 的长为 ． $