第十一章 不等式与不等式组（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十一章不等式与不等式组 思维导图 加减不变向 乘除正不变十 不等式性质口快 一不等式合〔不等号种铁 定义 除负变向 同大取大 概念 同小取小 八、解题方法与口诀 一、不等式及其解集 不等式的解 解不等式组口诀 解的集合 大小小大中找 不等式的解珠 一概念 大大小小解不了 在数轴上表示 审设列解验答 应用授步腰 性质1一不等式两边加（诚）同一个数（成式子） 应用性质3时忘变号 去分母时漏乘不含分母项 二、不等式的性质 性质2一不等式两边乘（除）同一个正致 不等式两边乘（除）同一个负致 不等式组解年判断横误 七、高频易错点 性质3 一不等号方向改变 数轴表示端点应实不分 定义 实际问题忽略非负等隐含条件 不等式与不等式组 一去分母 不等式性质的运用 去括号 一元一次不等式的解法 一元一次不等式 十解法步票 移项 一元一次不等式组的解法 六、高频考点 合并同关项 不等式（组）解集的数轴衣示 系数化为 列不等式解决实际问题 ~解集的数袖表示 审设未知 一定义 找不等关系 列不等式解应用题 一同大取大 列不等式（组） -同小取小 求解并检验 五、不等式的应用 的偏定 四、一元一次不等式组 大小小大中间找 分配问题 大大小小无处找 方案选择问题 常见类型 一分别解每个不等式 最伯问题 解法步璦 找出公共解集 在数轴上衣示 知识清单 知识点01不等式的概念 一 般地，用“”、 “”、 ”或“”表大小关系的子，做不等 用“”表不 等关系的子是不等 知识点02不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等两加或 同一个数或子，不等的方不 用子表：如果ab,么a±cbtc 不等式的基本性质2：不等两都或以同一个数，不等的方不 1/9 而学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 a、b 用子表：如果ab,c0,么acbc或cc 不等式的基本性质3：不等两 或以同一个负数，不等的方 4<b 用子表：如果ab,c0,么aebc或cc 知识点03不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等成的知数的，做不等的解. 2.不等的解集：对于一个有知数的不等，它的有解组成这个不等的解集 知识点04一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一 次不等式组. 知识点05解一元一次不等式（组） 1解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项：④合并同 类项：⑤化系数为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不 等号方向。 注意：符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式 2.解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组 的解集。 (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组. (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些 解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分. 解集的规律：同大取大：同小取小：大小小大中间找：大大小小找不到. 2.一元一次不等式（组）的整数解 (1)解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解.可以借助数轴进行数形结合，得到需要的 值，进而非常容易的解决问题. (1)一元一次不等式组的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）· 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得 到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解. ②已知解集（整数解）求字母的取值。 般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目 中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案， 知识点06一元一次不等式（组）的应用 (1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题 的答案。 (2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等 关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵. (3)列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： 口弄清题中数量关系，用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式，求 出解集.④写出符合题意的解。 易错总结 易错点1利用不等式（组）的整数解求参数的取值范围 总结 1.数个数：将 点计入数个数时出，如x<3的数解为0,1,2， 0或加3。 2. 等多解：数 是等导数解个数化，常验 。 3.方对 ：数增大时数解 化方 了。 意： ·数定：将数解在数上标出，直观出数 。单验：数 时，代入验证数解个数是 -用 ：“数解个”问题转化为数在相数之，再讨论点。 验：求出后，数小大验证数解是合要求。 3/9 ©函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x≥a 【例1】(25-26年级下·全国·中)已知关于的不等组 2x+1 2 好有两个数解， 实数 3 的 是 3x-1<x+1 2 【变式】(25-26年级上重· 中)关于x的不等 组2(x+1)≥-x+a有仅有4个数解， 有满足件的数a的之和一 易错点2根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 总结 1. 点 :解集“”或“”时，数点能 等 (如解集为x>2,数a能等 于2)。 2.方对 ：将解集表在数上时，数化方与不等组解集对 了。 3.多种情 ：解集为“解”“有解”“数解个”时，分类讨论不全（如有解包括数种情， 列不等时 )。 意： ·数 ：将已知解集和数解集在数上标出，直观 包关系。 记点：“同大大，同小小”等要，特别意等的 性。 验：求出数后，特 代入验证是满足原解集要求。 -分情 :“解”要列不等组相 ，“有一数解”要列数在 内的不等组。 5(x-1>5 【例2】(25-26年级下·全国·)关于x的不等组a-x<0的解集是x>a,a的 是 2x+a>x+2 【变式】(25-26年级上·大安·考)关于x的不等组x+3≥2x-1解， a的 是 4/9 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点3整式方程（组）与不等式（组）结合求参数的问题 总结 1.解方程 ：解方程时、分 出，导 数表达 2.不等方 ：将方程解代入不等时， 意 负数要 。 3.数解件：求数解时， “数”这一关限制， 在内 4.方程组解的关系：将方程组解的和、 等关系代入不等时， 解出各知数。 意： ·解后代：准确解出方程（组）的解（用数表），再代入不等。 ·意：不等两 负数时，记 不等方。 ·数解：求出数后，根 数解个数或具体进一步小。 - 验点：数 是等要代入原题验证。 x+2y=3k-1 【例3】(2025年级上全国·专题习)关于x,y的方程组2x+y=7 的解满足0<x+y<4, k的 是 [2x-y=4m-2 【变式】(24-25年级下·安合·考)已知关于x,y的二元一次方程组x-2y=m x+y=2 (1) 方程组的解满足 “的为一 (2)方程组的解满足x<y,m的 为 易错点4不等式与不等式组中的新定义型问题 总结 1.定转化：将新定准确为常不等（如[a表不大于a的大数，作四 入) 2.多重件：新定常多个限制件（如同时满足和数要求），顾 3.解集表不：求得解后，按新定要求的 (如特定、 数解个数) 表达。 意： ·确转化： 理解新定，用数学 准确表。 -分类讨论：定分时，各分别求解再 集。 验证：点是合定要一验。 5/9 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作答： 答按题目要求的 (集合、 、列)现。 【例4】(25-26年级上： 中)对于任意实数m,n,定一种新 m n=mn-m-n+2 如：26=2×6-2-6+2=6 根上定解以下问题： (1)2x<4,求实数x的 (2)a<4x<7,x的解集中有3个数解，求实数a的 【变式】(24-25年级下· )定：如果一元一次不等组的解都是一元一次不等组 的解，么一元一次不等组是一元一次不等组的“相容不等组”，如果一元一次不等 组的解都不是一元一次不等组的解，么一元一次不等组是一元一次不等组的“相 不等组” x>2 x>4 (1)根上定， 不等组x<3是不等 组x>5的.( “相容不等组”或“相 不等组”)： x>2「x>a-1 (2)关于x的不等 组x<3是x<a+1的“相不等组”，求a的； 1 1 x≥1.8 x>-a+1 x>-a+1 2 x≥1.8 2 (3)关于的不等 组x≤4是x<2a+1的“相容不等组”， r≤4和x<2a+1的 数解相同， 求a的 易错训练 一、单选题 1(25-26年级下安北·中) 1-m叫+5<0是关于x的一元一次不等，m=（） A±1 B1 c-1 D0 2(25-26年级下 中)已知关于x的不等x-3m+3>0的小数解为10， 数m的 是() A4 C6 D7 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （m-3)x<m-3 3 (25-26年级下· ·中)已知关于x的不等 的解集在数上表如图， m的可以是() 202> A5 C 3 D2 x<2(x-a) 2 4(25-26年级下 中)关于x的不等组x-1行x， 有3个数解，a的 是() A Osa<1 B0≤a<1 1 C-2<a<0 D-1≤a<0 x+6x ->-+1 54 5(25-26年级下·深·中)关于的不等 组 x+m<0 的解集为 <4’ 的 是() Am=-4 B m=4 Cm≥4 Dm≤-4 4x+3y=2m+17 6(24-25年级上·长开学考) 在一个数m,使得关于x,y的方程组3x+4y=5m-3 5x-m>0 的解满足x+y≤1， 让不等 x-4<-1只有3个数解，满足件的有数m的和是() A12 B 6 C14 D15 二、填空题 7(25-26年级下·安 安中)(m+2)-1>2 是关于x的一元一次不等，m= 8(25-26年级下·安 中)关于x的不等 2(x-m)<m+6 的解集和不等2x4<0的解集 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相同，m的为 9 (25-26年级下·上海 ·考)关于x的不等2x-3a+2≥0的小数解为-5，a的 是 10(25-26年级下· ·中)现定一种新，mn=2m-n,其中m、n为常数 关于x 的不等kx≤5的解集在数上表如图，k的为 。。。。 -5-4-3-2-1012345> x>4 11 (25-26 年级下· 安·中)如果关于x的不等组x≤6a-8解， 实数a的 是 x+2y=3k-1 12 (25-26 年级上全国·单元习)关于x,y的方程组2x+y=7的解满足0<x+y<4,k的 是 三、解答题 x+y=-7-a 13(25-26年级下. 德·中)已知关于x,y的方程组x-y=3a+1的解中x≤0，y<0 (1)a的 为 (2)化：a++1-a (3)在a的 中，a为 数时，不等2ax+x>2a+l的解集为x<1? 2x+y=1+2m 14(25-26年级下·建·考)已知关于x,y的二元一次方程组x+2y=2-m(其中m是数) 3x+3y= ()观察方程组中知数的系数，用“体法”可得 (用m的代数表结果) (2)方程组的解满足不等x+y>0,求m的 (3)在(2)的件下，不等(6m+刂x-6m<1 的解集为>1，求出数m的： x<a+1 (4)关于x的不等组2x-2>a(其中a是数)的解集好有两个数，直接写出a的 8/9 ©函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 15(25-26年级上·全国·单元习)新定：一元一次方程的解在一元一次不等组的解集 内， [x-1>1 方程为不等组的“相方程”，如：方程x-1=3的解为x=4,而不等组x-2<3的解集 x-1>1 为2<x<5,不难现x=4在2<x<5的 内，以方程x-1=3是不等组x-2<3的“相方程” 2x+3≤x+11 (1) 4x-1刂-1=3(x-2)是是不等组 2x+5-1>4-x的“相方程”， 3 说明理由； 3x+1<m+2 灯方壁4亏0--可压干的电后督到 3+121的“相方程”，时不 等组有只有2个数解，求m的 (3)关于x的方程 是关于x的不等组 生2x-的“相方程”，求太的 x+k=2x-1 223 919 第十一章 不等式与不等式组 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2.一元一次不等式（组）的整数解 （1）解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． （1）一元一次不等式组的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 易错点1 利用不等式(组)的整数解求参数的取值范围 易错总结 1. 整数个数误判：将区间端点值计入整数个数时出错，如x<3的整数解为0,1,2，易漏0或错加3。 2. 边界取等多解：参数边界值是否取等导致整数解个数变化，常忘检验临界值。 3. 方向对应混乱：参数增大时整数解范围变化方向判断反了。 注意事项： - 画数轴定位：将整数解在数轴上标出，直观看出参数范围。 - 边界单独验：参数取边界值时，代入验证整数解个数是否改变。 - 用口诀辅助：“整数解几个”问题转化为参数在相邻整数之间，再讨论端点。 - 双向检验：求出范围后，取参数最小最大值验证整数解是否符合要求。 【例1】（25-26八年级下·全国·期中）已知关于的不等式组恰好有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先解出不等式组中第二个不等式的解集，再结合得到不等式组的整体解集．根据“恰好有两个整数解”这一条件，确定这两个整数解，进而分析得到实数的取值范围． 【详解】解：解不等式 ： 两边同乘得： ∴不等式组的解集为 ． 由于解集恰好有两个整数解，且 ，整数解最大为，因此整数解只能为和． 为确保包含整数，需 ； 为确保不包含整数，需 ． 故实数 的取值范围是 ． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 易错点2 根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 易错总结 1. 端点取舍混乱：解集含“≤”或“≥”时，参数端点能否取等判断错误（如解集为x>2，参数a能否等于2）。 2. 方向对应错误：将解集表示在数轴上时，参数变化方向与不等式组解集范围对应反了。 3. 多种情况遗漏：解集为“无解”“有解”“整数解几个”时，分类讨论不全（如有解包括无数种情况，但列不等式时漏掉边界）。 注意事项： - 画数轴辅助：将已知解集和参数解集在数轴上标出，直观判断包含关系。 - 口诀记端点：“同大取大，同小取小”等口诀要熟练，特别注意等号的传递性。 - 逆向检验：求出参数范围后，取特殊值代入验证是否满足原解集要求。 - 分情况完整：“无解”要列不等式组相互矛盾，“有唯一整数解”要列整数在区间内的不等式组。 【例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【变式】（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 分别解不等式组中的两个不等式，得到和．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公共部分，即，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组无解，则， 即， 所以． 故答案为：． 易错点3 整式方程(组)与不等式(组)结合求参数的问题 易错总结 1. 解方程符号错误：解含参方程时移项、去分母符号出错，导致参数表达式错误。 2. 不等号方向忽略：将方程解代入不等式时，未注意乘除负数要变号。 3. 整数解条件遗漏：求整数解时，忽略“整数”这一关键限制，未在范围内筛选。 4. 方程组解的关系误判：将方程组解的和、积等关系代入不等式时，未先解出各未知数。 注意事项： - 先解后代：先准确解出方程(组)的解(用参数表示)，再代入不等式。 - 注意变号：不等式两边乘除负数时，牢记改变不等号方向。 - 整数解筛选：求出参数范围后，根据整数解个数或具体值进一步缩小范围。 - 检验端点：参数临界值是否取等要代入原题验证。 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于x，y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，则的值为 ； （2）若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知加减消元法是解题的关键． （1）用得到，再根据条件，得到，解方程即可； （2）利用加减消元法求出，再根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ①-②，得：， ， ， 解得； （2）， 由①+②，得：， ， ， ， ， 解得． 故答案为：，． 易错点4 不等式与不等式组中的新定义型问题 易错总结 1. 定义转化错误：未将新定义准确翻译为常规不等式(如[a]表示不大于a的最大整数，误作四舍五入)。 2. 多重条件遗漏：新定义常含多个限制条件(如同时满足范围和整数要求)，顾此失彼。 3. 解集表示不当：求得解后，未按新定义要求的形式(如特定区间、整数解个数)规范表达。 注意事项： - 精确转化：逐字理解新定义，用数学符号准确表示。 - 分类讨论：定义域分段时，各段分别求解再取并集。 - 验证边界：端点值是否符合定义要逐一检验。 - 规范作答：最终答案按题目要求的形式(集合、区间、列举)呈现。 【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 【变式】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， ∴的值可以是． 4．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式含参问题．先正确的解出每一个不等式，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或数轴来找参数的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得：． 不等式组的解集为， ， 解得：． 6．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 8．（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 9．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为，得，解出a即可． 【详解】解：移项， 移项，得， 解得， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， 解得． 10．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 【详解】解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 11．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式组解集的表示方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）已知关于，的方程组的解中，． (1)的取值范围为___________． (2)化简：． (3)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2)当时；当时；当时 (3)当时，不等式的解集为 【分析】（1）解方程组把未知数、的值用含的代数式表示出来，再根据，，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围； （2）根据的取值范围分段化简； （3）因为不等式的解集为，根据不等式的基本性质可知，结合，可知，又因为为整数，可知． 【详解】（1）解：解方程组， 可得：， ，， ，    解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 即的取值范围为； （2）解：由（1）可知，， 当时， ，， ，             当时， ，， ， 当时， ，， ，      综上所述：当时； 当时； 当时； （3）解：， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 又， ， 为整数， ， 当时，不等式的解集为． 14．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得______；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值； (4)若关于x的不等式组（其中a是参数）的解集恰好含有两个整数，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或或 【分析】（1）把两方程相加即可求解； （2）根据并结合建立关于的不等式求解范围； （3）先整理不等式，根据解集判断不等式系数的正负，得到 m 的新范围，并结合（1）中所得结果确定的取值范围，然后确定其整数解即可； （4）先解出不等式组x的解集，是含有a的一个解集范围，再由“解集中恰好有两个整数”，得出，设出两个整数解为k，，列出关于a，k的不等式组，解出a范围，再根据两个解集的范围大小，列出k的不等式，从而求出确定的k，再反带回列出的关于a，k的不等式组，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）解： ，得； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：移项，得． 的解集为， ， ． ， ， ∴整数的值为，； （4）解： 解得不等式，得， ∵不等式组的解集恰好含有两个整数， ∴， ∴， ∴； 设整数的值为，， 则有，， ∴，， ∴， ∴， ∴整数k为3或4， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，， ∴内必有3个整数解，不符合题意，舍去； 当时， ，有5和6两个整数解，符合题意； 综上，a的取值范围为或或． 15．（25-26八年级上·全国·单元复习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $