23.2.1正比例函数的图象和性质教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学下册

23.2一次函数的图象和性质 第1课时正比例函数的图象和性质 课题 23.2第1课时正比例函数的图象和性质 授课人 1. 教学内容分析 本节是人教版八年级下册第二十三章《一次函数》的核心课时，承接第二十二章《函数》与上一课时“一次函数概念”的学习，是学生首次系统用数形结合思想研究函数图象与性质的关键内容。正比例函数是最简单的初等函数，在正比例函数图象和性质的研究中，蕴含了数形结合、分类讨论的思想和观察、表征、类比、归纳等数学认知活动。通过正比例函数的图象和性质的学习，学生可以发展几何直观，为后面一次函数的学习打下良好的基础，从而串联起方程、不等式与函数的关联，助力学生构建完整的知识网络，提升模型观念与几何直观素养。根据内容分析可以确定本节的教学重点是：正比例函数图象的画法和性质的归纳概括。 2. 学情分析 （一）已有基础 知识：七年级学习了平面直角坐标系，第二十二章《函数》章节学习了变量、常量，上一课时掌握正比例函数的定义（y=kx，k≠0）； 能力：具备简单的图象观察、数据整理能力，但数形结合意识薄弱，对“函数表达式与图象的对应关系”认知模糊； 经验：接触过简单的归纳推理。 （二）认知障碍 易混淆k>0与k<0的图象特征，难以建立“k的符号”与“函数图象所在的象限及和函数的增减性”的关联； 基于以上分析，确定本节的教学难点是：正比例函数性质的归纳概括。 3. 目标确定 1.经历正比例函数y=kx的图象和性质的探究过程，会用描点法画出正比例函数的图象； 2.掌握正比例函数的图象特征，借助正比例函数的图象理解正比例函数的性质； 3.体会数形结合的思想，发展几何直观和推理能力。 教学重点 正比例函数图象的画法和性质的归纳概括。 教学难点 正比例函数性质的归纳概括。 教学步骤 师生活动 设计意图 活动一：知识回顾，导入新课 问题1：上节课我们学习了正比例函数，那么什么是正比例函数?你能写出两个具体的正比例函数吗？ 师生活动：每位同学写出两个正比例函数的解析式，同学之间互相检验。老师也给出一些如①y=2x；②y=－x 问题2：正比例函数有怎样的性质？我们可以通过什么方法研究函数的性质？ 回顾正比例函数的概念，加深学生的理解 了解学生对图象和性质的的认知基础，并引出下一步活动 活动二：问题引入，自主探究 探究点正比例函数的图象及性质 问题3：我们从具体的正比例函数y=2x开始研究，用描点法画出函数y=2x的图象。 师生活动：教师引导学生回顾描点法画图的步骤（列表、描点、连线）后，让学生独立画图。 解：(1)函数y=2x中的自变量x可为任意实数. ①列表：下表是y与x的几组对应值. x … －2 －1 0 1 2 … y … －4 －2 0 2 4 … ②描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. ③连线：将这些点连接起来，得到一条直线，它就是函数y=2x的图象(如图①). 问题4：请概括函数y=2x的图象有哪些特征。 师生活动：教师引导学生从形状、位置（所在象限）、过原点、从左向右上升等角度观察、表述图象的特征。 问题5：在同一平面直角坐标系里，用描点法画出函数的图象，概括函数的图象的特征，并通过对比，归纳两个函数图象的共同特征。 师生活动：学生从形状、位置（所在象限）、过原点、从左向右上升等角度，归纳两个函数图象的特征。学生总结出：一般地，正比例函数y=kx（k>0）的图象是一条经过原点和第一、三象限的直线。 ④用同样的方法，在图①中画出函数的图象，它也是一条直线. 问题6：这两个函数图象都有“从左向右上升”的特点，当动点在函数的图象上从左向右移动时，点的横坐标和纵坐标分别是怎么变化的？由此说出函数值y是如何随自变量x的变化而变化的。 师生活动：教师提问，学生思考并回答，由“图象从左向右上升”，得到“函数y随x的增大而增大”的结论。 问题7：请延用前面的方法和思路，画出y=-4x和y=-1.5x的图象，并研究两个函数的性质。 师生活动：学生独立画图并归纳图象特征和函数的性质，在小组内进行对比，发现问题并解决。教师组织学生回答问题，汇总得出结论。明确：一般地，正比例函数y=kx（k<0）的图象是一条经过原点和第二、四象限的直线。由“图象从左向右下降”，得到“函数y随x的增大而减小”的结论。 (2)函数y=－1.5x中的自变量x可为任意实数. ①列表：如表是y与x的几组对应值. x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 1.5 0 －1.5 －3 … ②描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. ③连线：将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y=－1.5x的图象(如图②). ④用同样的方法，在图②中画出函数y=－4x的图象，它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线. 问题8：综合以上结论，正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线，对于函数y=kx，函数y随x的增大（或减小）是由图象从左向右上升（或下降）的特征得到的，说说对于图象从左向右上升（或下降）的特征又和什么相关呢？ 师生活动：教师提问，学生独立思考并小组讨论问题。教师选学生回答，并及时补充、完善，共同得出解比例函数的性质：当K>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 问题9：通过上面的学习我们知道，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，同时我们知道两点确定一条直线。由此，你能想到画正比例函数的图象的简便方法吗？ 师生活动：教师引导学生思考得到，只要过原点和图象上另一点即可画直线，另一点可以是（1，k）或（-1，-k）等等，具体可视情况而定。 【对应训练】 1.正比例函数y=－3x的大致图象是(C) 让学生复习描点法画函数图象的步骤、方法，同时从解析式得到图象，为后续研究提供基础。 让学生学会观察图象，了解描述函数图象的一般维度。 通过对比，让学生归纳出图象的共同特征，提高学生的总结能力。 启发学生借助函数图象的特征得出函数的性质，培养学生用“形”解释“数”的能力，这是对函数性质的初步研究。 让学生再次经历画图象并探究函数性质的过程，并为后续归纳概括正比例函数的增减性与k的关系提供基础。 设计意图：通过问题帮助学生梳理“系数k的正（或负）”“图象从左向右上升（或下降）”“函数y随x的增大（或减小）”这几个结论之间的联系，完成对函数性质的归纳概括。 设计意图：让学生用表格将k>0和k<0进行对比，加深理解和记忆 设计意图：总结用两点法画正比例函数的图象，让学生理解这种简便画法的合理性。 设计意图：检验学生对上面内容的理解程度。 活动三：合作探究，归纳概括 活动四：初步应用，巩固知识 练习：教材P119练习第1，2题. 师生活动：学生独立完成练习并相互交流，教师适时给予评价 设计意图：及时巩固正比例函数的图象和性质 活动五：回顾总结，分享收获 教师与学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）正比例函数的图象是什么？怎么用简便方法画正比例函数的图象？ （2）正比例函数有哪些性质？我们是怎样研究正比例函数的性质的？ （3）在研究正比例函数的性质的过程中，你与什么收获？ 设计意图：让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过交流互相分享、互相启发。教师通过概括性引导提升学生对正比例函数性质的认识，总结研究函数图象与性质的一般方法 布置作业 教材P124习题23.2第1，2题. 板书设计 23.2一次函数的图象和性质 第1课时正比例函数的图象和性质 1.正比例函数的图象. 2.正比例函数的性质. 教学反思 预测可能出现的问题 问题1：画图不规范，步骤混乱、图象不准确 预测表现：描点错位、连线成折线 对策：示范+纠错：黑板标准画图，投影展示错误案例（折线、漏原点、不标注） 问题2：对“k的意义”理解模糊，只记结论不理解 预测表现：混淆k的正负与增减性的关系，不会用图象判断。 对策：①从特殊到一般：先画图象让学生观察象限、走向，再归纳规律；②数形对应：用坐标解释——k>0，x与y同号，故在一、三象限；③动手验证：分组画不同k的图象，自主总结，教师再提炼，避免死记硬背。 问题3：数形结合思想薄弱，不会用图象解题 预测表现：①给出图象，不会判断k的符号；②已知x1<x2，不会比较y1、y2大小，只会代数计算。 对策：①强化对应训练：图象→象限→k符号→增减性，三步闭环练习；②直观演示：用动态课件拖动直线，观察k变化时图象的旋转、升降；③一题多法：同一题先算、再看图，让学生体会“图象更快捷”。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $